平均自由程和概率分布剖析
气体分子平均自由程
子间的引力，但考虑了分子斥力起作用时两个分子质心间的距离，即考虑了 分子的体积，而不象理想气体，忽略了分子本身的大小。
4
自由程 ： 分子两次相邻碰撞之间自由通过 的路程 .
5
气体分子平均自由程（mean free path） 平均自由程λ 为分子在连续两次碰撞之间所自 由走过的路程的平均值。
dN K exp( Kx)dx N0
18
由分子自由程的概率分布可求平均自由程 dN K exp( Kx)dx N0
1 K exp( Kx) xdx K 0
dN Kdx N
N Kdx Ln N
0 0
x
N N 0 exp( Kx )
17
N N 0 exp( Kx )
表示从 x =0 处射出了刚被碰撞过的N0个分子，它们 行进到 x 处所残存的分子数 N 按指数衰减。 对上式之右式两边微分，得到
既然（-dN ）表示 N0 个分子中自由程为 x 到x + dx 的平均分子数，则（-dN /N0 ）是分子的自由程在 x 到 x + dx范围内的概率。这就是分子自由程的概率分布。 即分子按自由程分布的规律。
Z 2 π d vn
2
v 1 2 z 2π d n
当气体较稀薄时
p nkT
1 T 一定时 p
kT 2π d 2 p
p 一定时
T
11
例 计算空气分子在标准状态下的平均自由程 10 和碰撞频率。取分子的有效直径 d 3.5 10 m 已知空气的平均相对分子量为29。 解： 标准状态下
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
它是分子间碰撞频率与分子运动速度之比的倒数。
分子间碰撞频率取决于分子的浓度和分子的直径。
根据动力学理论，分子运动速度与温度有关，分子运动速度在气体中服从玻尔兹曼分布，而在液体中服从麦克斯韦分布。
对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。
考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。
这个体积称为碰撞体积。
假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。
假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。
分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。
根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为f(v) = 4πv² (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。
当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。
所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为∫(nπd²v * f(v))dv。
根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即λ = (4V/πd²) / (∫(nπd²v * f(v))dv)。
根据上述公式可以看出，平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。
当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。
当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。
总之，分子运动的平均自由程是分子在气体或液体中运动时与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
平均碰撞频率和自由程
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时，CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动，其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动，则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
高电压技术知识点总结
•为什么要有高电压：提高输送容量，降低线路损耗，减少工程投资，提高单位走廊输电能力，节省走廊面积，改善电网结构，降低短路电流，加强联网能力。
•电介质：在其中可建立稳定电场而几乎没有电流通过的物质。
•极化：在外电场作用下，电介质内部产生宏观不为零的电偶极矩。
•电介质极化的四种基本类型：电子位移极化，离子位移极化，转向极化，空间电荷极化。
•介电常数：用来衡量绝缘体储存电能的能力，代表电介质的极化程度〔对电荷的束缚能力〕•液体电介质的相对介电常数影响因素(频率)：频率较低时，偶极分子来得及跟随电场交变转向，介电常数较大，接近直流情况下的εd；频率超过临界值，偶极分子转向跟不上电场的变化，介电常数开始减小，介电常数最终接近于仅由电子位移极化引起的介电常数εz。
•电介质的电导与金属的电导有本质上的区别：金属电导是由金属中固有存在的自由电子造成的。
电介质的电导是带电质点在电场作用下移动造成的。
气体：由电离出来的自由电子、正离子和负离子在电场作用下移动而造成的。
液体：分子发生化学分解形成的带点质点沿电场方向移动而造成的。
固体：分子发生热离解形成的带电质点沿电场方向移动而造成的。
•介质损耗：在电场作用下，电介质由于电导引起的损耗和有损极化损耗，总称为介质损耗。
•电介质的等效电路：电容支路：由真空和无损极化所引起的电流为纯容性。
/阻容支路：由有损极化所引起的电流分为有功和容性无功两部分。
/纯阻支路：由漏导引起的电流，为纯阻性的。
•介质损耗因数tgδ的意义：假设tgδ过大会引起严重发热，使材料劣化，甚至可能导致热击穿。
/用于冲击测量的连接电缆，要求tgδ必须小，否则会影响到测量精度/用做绝缘材料的介质，希望tgδ。
在其他场合，可利用tgδ引起的介质发热，如电瓷泥胚的阴干/在绝缘试验中，tgδ的测量是一项基本测量项目•激励：电子从近轨道向远轨道跃迁时，需要一定能量，这个过程叫激励。
•电离：当外界给予的能量很大时，电子可以跳出原子轨道成为自由电子。
热学气体分子平均自由程
气体分子的碰撞截面
碰撞截面
截面对平均自由程的影响
气体分子间的碰撞截面决定了分子间 的相互作用和碰撞概率。
碰撞截面越大，分子间的碰撞概率越 高，平均自由程越短。
截面大小
不同气体分子间的碰撞截面大小不同， 与分子间的距离和相互作用力有关。
气体分子的能量损失
能量损失
01
气体分子在碰撞过程中会损失能量，导致平均自由程的变化。
特性
与气体分子的速度、气体分子的分布、气体分子的碰撞频率等因素有关。
平均自由程与气体分子碰撞频率的关系
碰撞频率
气体分子在单位时间内所发生的碰撞 次数。
关系
平均自由程与气体分子碰撞频率成反 比，碰撞频率越高，平均自由程越小。
平均自由程在热学中的重要性
热传导
平均自由程是影响气体热传导的重要因素之一，通过 改变平均自由程可以调节气体的热传导性能。
总结词
在高温高压条件下，气体分子间的相互 作用力减弱，分子间的碰撞频率降低， 因此平均自由程较大。
VS
详细描述
在高温高压条件下，气体分子间的平均距 离增大，分子间的碰撞频率减少，导致气 体分子的平均自由程增大。这种情况下， 气体分子的运动受到的相互碰撞的限制较 小，运动路径较长。
04 气体分子平均自由程的影 响因素
探索气体分子平均自由程在极端条件下的行为
研究高温、高压、高密度等极端 条件下气体分子平均自由程的变 化规律，揭示其与温度、压力、
密度的关系。
探讨极端条件下气体分子与障碍 物的相互作用，以及气体分子间 的相互作用，以理解其行为特性。
研究极端条件下气体分子输运性 质的变化，为相关领域的应用提
供理论支持。
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平均自由程和概率分布剖析
u
p nkT ,
v
8kT m
4p Z m kT
对于非化学纯气体，设气体由两种成分的气体组成。显然：
1 d d ( d1 d 2 ) 2
碰撞截面为
2
1 ( d1 d 2 ) 2 4
z
2d nv12
由上面的证明可知：
v12 v1 v2
2
2
y
x N,
x dx N dN
残存数
x z 0 0 N0 x t N x+dx t+dt N+dN
dN Ndx
dN Kdx N
dN KNdx
dN Kdx N
N N0e
Kx
N为气体分子行进到x处未被碰撞的分子数（残存数）。
对
N N0e
Kx
1 1 0.37 0.63 e
气体分子平均自由程
一．平均碰撞频率和平均自由程的概念
1. 平均碰撞频率（
z
）
单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。
2. 平均自由程（ ）
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程。
在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， Z 就越大，而 就越小。
二．平均碰撞频率和平均自由程的计算
10 d 3 . 6 10 (m ) ） （
p 25 3 2.69 10 ( m ) 解： n kT
8 RT v 4.25 10 2 ( m / s ) M z 2d 2 v n 6.85 109 (次/秒) v / z 6.46 10 8 ( m )
2、平均自由程
v z
3.5气体分子平均自由程详解
3. 在一容积不变的封闭容器内理想气体分子的平均速率若提高为原来 的2倍，则 (A) 温度和压强都提高为原来的2倍．
(B) 温度为原来的2倍，压强为原来的4倍．
(C) 温度为原来的4倍，压强为原来的2倍． (D)温度和压强都为原来的4倍． 4.
v 446 m 6.9 108 m 9 Z 6.5 10
与分子直径3.5×10-10m相比，标况下是其d的200倍。
第二章复习小结
一、概率的基本性质及求平均值的方法 1等概率性
2运算法则
3平均值公式 4概率分布函数
二、麦克斯韦速率、速度分布
1两种分布曲线 2三种统计速率 3速度空间、代表点 三、重力场中自由粒子分布、等温大气压强公式
经上述分析，存在一个以分子A的质心 为圆心、d为半径垂直于射线束的圆： 所有射向圆区的分子都有不同程度的散 射，而圆外区域分子轨迹不发生偏折。
定义：分子散射截面: d 2
对两个分子有效直径分别为d1和d2的分子，其碰撞截面：
d1 d 2 1 2 d d 1 2 2 4
2
(A) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v p O
v (B) 图中ａ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (C) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v (D) 图中ｂ表示氧气分子的速率分布曲线； v v
2
2
p H 2 p H 2 p H 2
2
2、分子间平均碰撞频率
分子间平均碰撞频率▬▬单位时间内一个分子的平均碰撞次数。 转换研究对象，现在假设B分子束相对静止，A分子以相对速度v12 运动，其运动发生碰撞的轨迹如图： A分子每碰到一个视为质点的B分子就 改变一次运动方向。
6-3 气体分子速率分布率和平均自由程
100~200
200~300 300~400
0.081
0.165 0.214
400~500
500~600 600~700
0.206
0.151 0.092
700~800
800~900 900以上
0.048
0.021 0.009
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
N 1 由此数据为依据，以v N v 为横轴，以单位速率间隔 21.4% 内的分子数在总分子数内 所占的百分比为纵轴，作 16.5% 如图所示的锯齿形图。注 8.0% 意在速率间隔∆ν内实际包 200 400 括由v到v+∆ν内的所有速率 的分子。
f (v)
平 均 速 率
O
v
v
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
方均根速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
N
0
v dN N
2
0
m e v f (v) 4p 2pkT
3 dN 2 2 mv 2 f (v )dv 2 2 kT RT 3kT 3 RT v N m 1.73
dN f (v )dv N
或
dN f (v ) Ndv
分子速率分布函数
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
速率分布函数
dN f (v ) Ndv
a、物理意义： 速率在v 附近的单位速率区间的 分子数占总分子的百分比。 b、应用: 确定分布在任一有限速率分布范围v1～v2 内的分子数占总分子数的百分比。
mv2 2 kT v 2 e
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
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气体分子碰撞的概率分布
一、气体分子的自由程分布
分子间碰撞的平均频率及平均自由程,虽然它们均能表示 分子间碰撞的主要特征，但不能反映分子间碰撞的随机性质。
分子在两次碰撞之间所走过的路程有长有短。为了描述 这种随机性质，必须找到它x到x+dx范围内受到碰撞的概率, 即分子的自由程处于x到x+dx范围内的概率。
p nkT,
v 8kT
m
Z 4p mkT
对于非化学纯气体，设气体由两种成分的气体组成。显然：
d
d
1 2
(d1
d2
)
碰撞截面为
1 4
(d1
d2)2
z 2d 2nv12
2、平均自由程
由上面的证明可知：
v12
v2 1
v2 2
v 1
z
2d 2n
v 1 z 2d 2n
由 p nkT 得
例：求自由程大于和小于平均自由程的分子概率
解：
N(x )
1
e
x
d
x
1
0.37
N0
e
N(x )
1
e
x
dx
1
1
1
0.37
0.63
N0
e
气体分子平均自由程
一．平均碰撞频率和平均自由程的概念
1. 平均碰撞频率（ z ）
单位时间内一个分子与其它分子碰撞的平均次数。
2. 平均自由程（ ）
一个分子在两次连续碰撞间自由运动的平均路程。
在分子的平均速率一定的情况下，分子间的碰撞越频繁， Z就 越大，而 就越小。
二．平均碰撞频率和平均自由程的计算
y
x N, x dx N dN
残存数
z0 0 N0
x x+dx t t+dt N N+dN
x
dN Ndx
dN KNdx
dN Kdx N
dN Kdx N
N N 0e Kx
N为气体分子行进到x处未被碰撞的分子数（残存数）。
对 N N 0e Kx 求微分
dN KeKx p(x) N0dx
u
1、平均碰撞频率 z
对于化学纯气体，分子A与其他分子发生碰撞时，可假
定其他分子不动，而分子A以平均相对速率 u 运动。
假定分子的有效直径为d，即两分子的中心距小于或等于 d时发生碰撞。
z d 2ut n d 2nu
t
可以证明：
u 2v
u
z 2d 2nv 2nv
其中 d 2 称为分子碰撞截面。
分子自由程分布概率密度
dN KeKx dx N0
分子按自由程分布规律
平均自由程
f (x)xdx
KeKx dx 1
0
0
K
P(x) 1/λ
1 x
N N0e
N
x
e
N0
0
x x+dx
x
分子按自程分布规律
dN
1
x
e dx
N0
气体分子行进到x处未被碰撞的分子数占总 分子数的比率——概率
kT 2d 2 p
z 2d 2nv 4p mkT
平均自由程 和碰撞频率 的Z大小是由气体的性质和状态决
定的。
例: 计算标态下 O2 系统分子的平均碰撞次数和平均自由程。
（ d 3 .6 10 10 ( m ) ）
解： n p 2.69 1025 (m3 ) kT
v 8RT 4.25102 (m / s)