求欧拉回路的Fleury算法
欧拉图
欧拉图
例：(七桥问题)18世纪东普鲁士有一个城市称为个普 尼斯堡，它位于普雷格尔河畔，河中有两个小岛， 通过七座桥彼此相联（如图）。 当时有人提出：能否从某个地点出发经过每个桥一 次且仅一次然后返回出发点？
A B D
C
欧拉图 Euler的解：
A
D B
C
欧拉图 例: 中国邮路问题
1962年中国数学家管梅谷提出：一个邮递 员从邮局出发递送邮件，要求对他所负责 的辖区的每条街至少走一次，问如何选取 路程最短 的路线？（加的重复的边的权值最少）这个问 题称为中国邮路问题。 该问题可用专门的算 “一笔画”
G 连通且 G 中度数为奇数的点的个数不超过2
定理3
• 定理: G 是非平凡（至少有两个点）的欧拉图当且 仅当G是连通的,且为若干个边不重的圈的 并.
• 证明：对于非平凡的G，则d(v)>=2，所以一定存在圈C，令G1=G-E（C）只减去边， 不减去点。则成为多个连通分支，之后每个分支存在圈，重复上述过程，则最终只剩 下孤立点，此时倒推，两两连通分支的边必然不相交，则定理1 定理3 反过来，可以将圈地交点进行分裂，成为一个大圈，重复这种变化，可以构造成一个 欧拉回路（至多n次）。则定理3 定理1
欧拉图 例
（a ）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
欧拉图
定理:G是欧拉图当且仅当G是连通图且不含度为奇数 的点（定理1）；图G有欧拉通路但无欧拉回路，当且 仅当G是连通有两个度为奇的点。（定理2）（可以用 结论1证明结论2：奇次点连边成为欧拉图，然后回路 减去该边，则成为半欧拉图）
例如，对完全图 Kn，因 d(Kn) = n-1，故当n为奇数时是欧拉 图，当n为偶时不是欧拉图。
欧拉路径——精选推荐
欧拉路径貌似很多博客都喜欢⽤⼀笔画来引⼊欧拉路径，但像您这样的强者时⽆需那些繁琐的东西，我们直接进⼊正题。
定义：图中经过所有边恰好⼀次的路径叫做欧拉路径。
如果起点和终点⼀样，那它就是欧拉回路。
判定：判定当前图中是否存在欧拉路径其实⽐寻找更⿇烦显然，欧拉回路也是欧拉路径，但为了⽅便区分，下⽂判定中的欧拉路径特指起点和终点不同。
判定⽅法：⾸先，当且仅当这张图将有向边视为⽆向边时联通。
1. 有向图欧拉路径：图中恰好存在⼀个点（起点）出度⽐⼊度多1，恰好⼀个点（终点）⼊度⽐出度多1，剩下所有点⼊度等于出度。
2. 有向图欧拉回路：图中所有点⼊度等于出度（任⼀点都可以做起点和终点）。
3. ⽆向图欧拉路径：图中恰好有两个点的度数为奇数（起点和终点），其他所有点的度数为偶数。
4. ⽆向图欧拉回路：图中所有点的度数都为偶数（任⼀点都可以做起点和终点）。
寻找：算法⼀：Fluery 算法。
时间复杂度O(m2)，不常⽤。
算法⼆：Hierholzer 算法。
时间复杂度O(m)，常⽤。
只写 Hierholzer 算法，做法⾮常简单。
1. 从起点开始dfs，标记选了的边不能重复选，这⾥⽤类似Dinic的当前弧优化。
2. 当前点不存在出边时回退，并将当前点⼊栈P。
3. 当dfs结束时倒序输出栈P中的节点即可。
算法导论上似乎有该算法证明。
例题：题⽬保证联通，所以直接判断⼊度和出度即可。
要求字典序最⼩，那么每次都要选能到达的最⼩的点。
可以将边离线下来按v从⼤到⼩排序，然后依次插⼊到链式前向星⾥，这样可以保证每次选到的都是最⼩的。
当前弧优化不加复杂度就假了。
code:#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define in read()inline int read(){int p=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return p*f;}const int N=1e5+5;const int M=2e5+5;int n,m;struct edge{int v,nxt;}e[M];inline void insert(int u,int v){e[++en].v=v;e[en].nxt=head[u];head[u]=en;}struct QWQ{int u,v;}E[M];inline bool cmp(QWQ a,QWQ b){return a.v>b.v;}int p[M],pn;void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=head[u]){int v=e[i].v;head[u]=e[i].nxt;dfs(v);}p[++pn]=u;}int flagin,flagout,flag;int ind[N],outd[N];int S=1;signed main(){n=in,m=in;for(int i=1;i<=m;i++)E[i].u=in,E[i].v=in,outd[E[i].u]++,ind[E[i].v]++;sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++)insert(E[i].u,E[i].v);for(int i=1;i<=n;i++){if(ind[i]!=outd[i])flag++;if(ind[i]==outd[i]+1)flagout++;if(ind[i]+1==outd[i])flagin++,S=i;}if(flag==0||(flag==2&&flagout==1&&flagin==1)){dfs(S);for(int i=pn;i>=1;i--)cout<<p[i]<<' ';}else cout<<"No";return 0;}练习：将每个字母视为点，单词视为边，就和上⾯差不多了，注意欧拉路径的起始点。
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第四章欧拉图与哈密尔顿图第四章欧拉图与哈密尔顿图(⼀)、欧拉图及其性质(1)、问题背景---欧拉与哥尼斯堡七桥问题问题：对于图G，它在什么条件下满⾜从某点出发，经过每条边⼀次且仅⼀次，可以回到出发点？注：⼀笔画----中国古⽼的民间游戏（存在欧拉迹）要求：对于⼀个图G, 笔不离纸, ⼀笔画成.拓展：三笔画：在原图上添加三笔，可使其变为欧拉图。
定义1 对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。
欧拉闭迹⼜称为欧拉环游，或欧拉回路。
定理1 下列陈述对于⾮平凡连通图G是等价的：(1) G是欧拉图；(2) G的顶点度数为偶数；(3) G的边集合能划分为圈。
推论1 连通图G是欧拉图当且仅当G的顶点度数为偶。
推论2 连通⾮欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数。
证明：若G和H是欧拉图，则G×H是欧拉图。
若G是⾮平凡的欧拉图，则G的每个块也是欧拉图。
(⼆)、Fleury算法(欧拉图中求出⼀条具体欧拉环游的⽅法)⽅法是尽可能避割边⾏⾛(三)、中国邮路问题（最优欧拉环游，管梅⾕）定理2 若W是包含图G的每条边⾄少⼀次的闭途径，则W具有最⼩权值当且仅当下列两个条件被满⾜：(1) G的每条边在W中最多重复⼀次；(2) 对于G的每个圈上的边来说，在W中重复的边的总权值不超过该圈⾮重复边总权值。
(四)、哈密尔顿图的概念定义1 ：如果经过图G的每个顶点恰好⼀次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。
所经过的闭途径是G的⼀个⽣成圈，称为G的哈密尔顿圈。
定义2: 如果存在经过G的每个顶点恰好⼀次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。
(五)、哈密尔顿图性质与判定1、性质定理【必要条件】；定理1 (必要条件) 若G为H图，则对V(G)的任⼀⾮空顶点⼦集S，有：w(G−S)≤|S|注：不等式为G是H图的必要条件，即不等式不满⾜时，可断定对应图是⾮H、图。
欧拉路径(欧拉回路)算法教学内容
欧拉路径(欧拉回路)算法欧拉路径（欧拉回路）相关定义：若图G中存在这样一条路径，使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径。
若该路径是一个圈，则称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。
具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。
判断图是否为欧拉图：无向图为欧拉图，当且仅当为连通图且所有顶点的度为偶数。
无向图为半欧拉图，当且仅当为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
有向图为欧拉图，当且仅当其基图（忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图）连通，且所有顶点的入度等于出度。
有向图为半欧拉图，当且仅当其基图连通，且有且仅有一个顶点的入度比出度大1、有且仅有一个顶点的入度比出度小1，其它所有顶点的入度等于出度。
欧拉回路（路径）的算法：有向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从入度比出度小1的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
无向图：第一步，判断是否存在欧拉路径（欧拉回路），如果不存在，算法结束。
第二步，如果存在欧拉路径，从度为奇数的点开始BFS；如果存在欧拉回路，从任意一点开始。
第三步，设DFS到点u，遍历u的出边e(u,v)。
第四步，如果e未被标记，转到第五步，否则转到第三步。
第五步，标记e(u,v)及它的反向边，DFS点v。
第六步，边e(u,v)入栈。
第七步，完成DFS后，从栈顶顺序输出边构成一个欧拉路径（欧拉回路）。
图论及应用课件-欧拉图与中国邮路问题
解：
d
f
h
a
b
c
e
g
i
j
图G
例4 某博物馆的一层布置如下图，其中边代表走廊， 结点e是入口，结点g是礼品店，通过g我们可以离开博物 馆。请找出从博物馆e进入，经过每个走廊恰好一次，最 后从g处离开的路线。
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、Fleury算法
该算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方 法。方法是尽可能避割边行走。
1、 算法 (1)、 任意选择一个顶点v0,置w0=v0;
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2)、 假设迹wi=v0e1v1…eivi已经选定，那么按下述方 法从E-｛e1,e2,…,ei｝中选取边ei+1:
问题 某地区的双车道公路如图1的图G（单 位是千米），路上积满了雪 。一辆扫雪车从
v1点出发，扫除公路上的所有积雪，最后回 到v1 。
要求1） 请你为扫雪车选择一条路径，使它 经过的总路程最短。
要求2） 现在先进的喷气扫雪车只需沿公 路一侧行驶，就能清除两个车道的积雪。如
v1
4 v2 2
v3
1
v7
2 9
v8
5 3
1
v4
1
chapter8.1 欧拉图
七桥问题, 一笔画, 欧拉通(回)路, 欧拉图 欧拉图的充分必要条件 求欧拉回路的算法
1
七桥问题
七桥问题(Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad,Russia
Leonhard Euler
中国邮递员问题
中国邮递员问题(Chinese postman problem): 求邮递员走遍管区所有街道的最短回路
管梅谷(Guan Mei-gu),1962,中国 运筹学(Operation Research) 组合优化(Combinatorial Optimization)
总结
Leonhard Euler(1707~1783): 人类有史以来最多产的数学家. 1736年,“七桥问题”, 图论和拓扑学诞生
一笔画
欧拉图(Eulerian)
欧拉通路(Euler trail): 经过图中所有边的简单通路 欧拉回路(Euler tour/circuit): 经过图中所有边的简
Fleury算法(递归形式)
算法:
(1) if d(v)>1 then e:=v关联的任意非割边
(2)
else e:=v关联的唯一边
(3) u:=e的另一个端点.
(4) 递归地求G-e的从u到w的欧拉通路
(5) 把e接续在递归地求出的通路上
Fleury算法(迭代形式)
算法:
(1) P0:=v; (2) 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍,设Gi=G-{e1,e2 ,… ,ei},
的指令 可行性: 算法的指令都是可以实现的 终止性: 算法工作有穷步后停止
欧拉图
求一个欧拉图的欧拉回路的方法：从任一点 出发按下法来描画一条边不重复的通路， 使在每一步中未描画的子图的割边仅当没 有别的边可选择时才被描画。
Fleury 算法：
（1）任取v_0,令P_0=v_0
(2)设P_i=v_0e_1v_1e_2…e_iv_i已经行遍， 按下列方法来从E(G)-{e_1, e_2, …, e_i}中选 取e_{i+1} :
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
m
用Fleury算法求出欧拉环游为：
emgcfabchbdhgdjiejge
所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg
关于欧拉图，尚有一些理论问题没有解决。
（1） 我们知道欧拉图能表示成无公共边的圈的并，对于给 定的欧 拉图，它能表示成几个圈的并？
（2） 对平面图欧拉图G,由于|E(G)|≤3|V(G)|-6, 而每个圈至 少三条 边， 则G至多用|V(G)|-2个无公共边的圈的并。 但 非平面的欧拉图， 是否可以表成不超过该图顶点数减2个圈 的并呢？ 这个问题还没人证明或者反驳。
（a) e_{i+1}与v_i相关联;
(b) 除非无别的边可供行遍，否则e_{i+1}不 应该为G_i=G-{e_1, …., e_i}中的桥
（3） 当（2）不能再进行时， 算法停止。
定理：当G是欧拉图时， Fleury算法终止时 得到的P是欧拉回路。
例： 在下面欧拉图G中求一条欧拉回路。
d
f
h
欧拉图 Euler图的定义
设G是无孤立点的图。经过G中每条边一次且仅一
次的通路（回路）称为欧拉通路（回路），存在欧 拉回路的图称为欧拉图。
离散数学中初级回路和简单回路
离散数学中初级回路和简单回路离散数学是一门研究离散量和离散结构的学科，在其中初级回路和简单回路是常见概念之一。
本文将介绍初级回路和简单回路的概念、性质及应用。
一、初级回路和简单回路的概念1.初级回路初级回路又称为欧拉回路，是指经过图中每个边恰好一次的回路。
当图G中存在欧拉回路，G被称为欧拉图。
欧拉回路必须是连通图，而且每个顶点的度数都是偶数。
同样地，对于 n 个顶点的简单连通图 G，G 是欧拉图当且仅当它的每个顶点的度数都是偶数。
2.简单回路简单回路又称为哈密顿回路，是指经过图中每个顶点恰好一次的回路。
当图G中存在简单回路，G被称为哈密顿图。
在实际应用中，初级回路和简单回路有着不同的价值，前者被广泛应用于城市规划、通信网络等领域，而后者则被用于模拟电路、运输路线等问题的求解。
二、初级回路和简单回路的性质1.初级回路的性质对于 n 个顶点的欧拉图 G，设k 是一个连通分量，则 G 是欧拉图当且仅当 G 的每个连通分量都是欧拉图。
2.简单回路的性质对于 n 个顶点的简单连通图 G，如果 v 是 G 的一点，则 G 是哈密顿图当且仅当 G-v 是哈密顿图。
3.初级回路和简单回路的关系对于 n 个顶点的连通图 G，如果 G 是欧拉图，那么 G 必须是哈密顿图。
但反过来并不成立，即哈密顿图不一定是欧拉图。
三、初级回路和简单回路的应用1.初级回路的应用欧拉回路被广泛应用于城市规划、通信网络等领域。
以城市规划为例，欧拉回路可以用来规划城市的交通系统，以实现绿色出行，节约能源，减少碳排放等目的。
同时，欧拉回路还可以用来测试网络中的通信障碍，以及计算机网络中的最短路径等问题。
2.简单回路的应用哈密顿回路被广泛应用于模拟电路、物流运输等领域。
以模拟电路为例，哈密顿回路可以用来分析电路中的开闭电路问题，以实现电路的优化设计和性能最大化。
同时，哈密顿回路还可以用来计算物流运输中的最短路径问题，以实现物流效率的提升。
总之，初级回路和简单回路是离散数学中的常见概念，具有重要的理论和实际应用价值。
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求欧拉回路的Fleury算法
一、 实验内容：
判断图G是否存在欧拉回路，若存在，输出其中一条欧拉回路。否
则，显示无回路。
二、 实验环境： vc++
三、 实验过程与结果
1.
问题简介：通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有
顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图
2. 算法思想（框图）：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍，按下面方法来从
E(G)-{e1,e2,…,ei}中选取ei+1：
（a）
ei+1与vi相关联；
（b）
除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为
Gi=G-{e1,e2,…,ei}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2…emvm(vm=v0)
为G中一条欧拉回路。
判断是否为欧拉图
（连通性和奇度点）
图 Ｇ
ｙ ｎ
输出无欧拉回路 Ｐ0=V
0=1
Pi=v0e1v1…eivi,
ei+1∈E(G)-{e1,…,ei}
ei+1与vi关联，
i=i+1,ei+1非桥
Y
输出欧拉回路
Pm=v0e1v1e2emvm(vm=v0)
E(G)-{e1,e2,…,ei}
=Φ
Fleury算法流程图
3. 数据输入：
边数5，点数6
相关联的点1 2
1 3
2 5
4 2
3 2
4 5
4. 运行结果：
存在欧拉回路 1，3，2，4，5，2，1
5. 分析总结：
Fleury算法是求欧拉图的十分有效的算法，在执行过程中需要用到类似
于图的深度优先遍历，因为该算法就是需要将已找到的路径不断的扩展
下去，直到将所有边扩展进路径。
四、 完整源程序
#include
#include
#include
struct stack
{
int top , node[81];
} T,F,A; //顶点的堆栈
int M[81][81]; //图的邻接矩阵
int n;
int degree[81];
bool brigde(int i,int j)
{
int flag[81],t,s;
for(s=1;s<=n;s++)
flag[s]=0;
if(degree[i]==1)
return false;
else
{
M[i][j]=0;M[j][i]=0;
A.top=1;
A.node[1]=i;
flag[i]=1;
t=i;
while(A.top>0)
{
for(s=1;s<=n;s++)
{
if(degree[s]>0){
if(M[t][s]==1)
if(flag[s]==0)
{
A.top++;
A.node[A.top]=s;
flag[s]=1;
t=s;
break;
}
}
}
if(s>n){
A.top--;
t=A.node[A.top];
}
}
for(s=1;s<=n;s++)
{
if(degree[s]>0)
if(flag[s]==0)
{
M[i][j]=M[i][j]=1;
return true;
break;
}
}
if(s>n)
return false;
}
}
void Fleury(int x) //Fleury算法
{
int i,b=0;
if(T.top<=n+1){
T.top++;T.node[T.top]=x;
for(i=1;i<=n;i++)
if(M[x][i]==1)
if(brigde(x,i)==false)
{
b=1;
break;
}
if(b==1)
{
M[x][i]=M[i][x]=0;
degree[x]--;
degree[i]--;
Fleury(i);
}
}
}
void main()
{
int m , s , t , num , i , j,flag[81];
//input
cout<<"\n\t输入顶点数和边数:";
cin>>n>>m; //n顶点数 m边数
memset(M , 0 , sizeof(M));
for (i = 1; i <=n; i ++)
degree[i]=0;
for (i = 0; i < m; i ++)
{
cout<<"\n\t\t输入第"<
M[s][t] = 1; M[t][s] = 1;
degree[s]=degree[s]+1;
degree[t]=degree[t]+1;
}
//判断是否存在欧拉回路
for(i=1;i<=n;i++)
flag[i]=0;
s = 0; //判断是否连通
F.top=1;
F.node[1]=1;
flag[1]=1;
t=1;
for(j=2;j<=n;j++)
{
if(M[t][j]==1)
{
F.top++;
F.node[F.top]=j;
flag[j]=1;
t=j;
break;
}
}
if(j>n)
s=1;
else{
while(F.top<=n&&F.top>=1)
{
for(j=2;j<=n;j++)
{
if(M[t][j]==1)
if(flag[j]==0)
{
F.top++;
F.node[F.top]=j;
flag[j]=1;
t=j;
break;
}
}
if(j>n){
F.top--;
t=F.node[F.top];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(flag[i]==0)
{
s=1;
break;
}
}
if(s==0) //判断有无奇度点
{
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
num = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
num += M[i][j];
if (num % 2 == 1)
{
s ++;
break;
}
}
}
if (s == 0) {
T.top=0;
Fleury(1);
cout<<"\n\t该图的一条欧拉回路：";
for(i=1;i<=m+1;i++){
cout<
}
else
cout<<"\n\t该图不存在欧拉回路!\n";
}