离散数学总结

对于正确的推理，在自然推理系统P中构造证明
自然推理系统P的定义
自然推理系统P的推理规则
附加前提证明法
归谬法
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数理逻辑－ 一阶逻辑
个体词（个体域、全总个体域），谓词(特性谓词)，量词 （全称量词、存在量词）
命题符号化： ❖当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化。 ❖当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化。 ❖在符号化时，当引入特性谓词时，注意全称量词与蕴含 联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。
任取 x，有 x∈A ………………………………… <x, x>∈R R 在 A 上对称 任取 <x, y>，有 <x, y>∈R …………………………… <y, x>∈R R 在 A 上反对称 任取 <x, y>，有 <x, y>∈R ∧ <y, x>∈R …………… x＝y R 在 A 上传递 任取 <x, y>, <y, z>，有 <x, y>∈R ∧ <y, z>∈R …………… <x, z>∈R
❖一定对前束范式才能使用UI、UG、EI、EG规则，对不是 前束范式的公式要使用它们，一定先求出公式的前束范式。
❖记住UI、UG、EI、EG规则的各自使用条件。
❖在同一推理的证明中，如果既要使用UI规则，又要使用EI 规则，一定要先使用EI规则，后使用UI规则，而且UI规 则使用的个体常项一定是EI规则中使用过的。
离散数学总结大源自好1离散数学离散数学(Discrete Mathematics) 离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目
标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此它充 分描述了计算机科学离散性的特点。
代数结构
数理逻辑
集合论
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图论
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离散数学的应用举例
关系型数据库的设计(关系代数) 表达式解析(树) 优化编译器的构造(闭包) 编译技术、程序设计语言(代数结构) Lisp和Prolog、人工智能、自动推理、机器证明(数理逻辑) 网络路由算法(图论) 游戏中的人工智能算法(图论、树、博弈论) 专家系统(集合论、数理逻辑—知识和推理规则的计算机表达) 软件工程—团队开发—时间和分工的优化(图论—网络、划分) (各种)算法的构造、正确性的证明和效率的评估(离散数学的
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求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、(若存在)。 A→B ┐A∨B AB (┐A∨B)∧(A∨┐B)
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。 ┐┐A A ┐(A∧B) ┐A∨┐B ┐(A∨B) ┐A∧┐B
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式， ∨对∧的分配律求合取范式。
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单射和满射的证明方法
证明函数 f : A→B是满射的，基本方法是： 任取 y∈B，找到 x∈A ( x 与 y 相关，可能是一个关于 y 的 表达式)或者证明存在x∈A，使得 f (x)＝y。
证明函数 f : A→B是单射的，基本方法是： 假设 A 中存在 x1 和 x2，使得 f (x1)＝f (x2)，利用已知条件 或者相关的定理最终证明 x1＝x2。
❖A－B＝{ x | x∈A ∧ x B }
❖……
掌握基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配 律、德·摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、 余补律、双重否定律、补交转换律）。
运用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的
等式或包含式 。
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集合恒等式的证明方法
逻辑演算法 利用逻辑等值式和推理规则
…… B 所以 AB
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集合论－二元关系
有序对、笛卡尔积、笛卡尔积的性质 二元关系，A到B的二元关系，A上的二元关系，关系的定义
域和值域，关系的逆，关系的合成，关系的定义域、值域、 逆等的主要性质
集合A上的二元关系的主要性质（自反性，反自反性，对称 性，反对称性，传递性）的定义及判别法，对某些关系证明 它们有或没有中的性质。
公式的类型：重言式、矛盾式、可满足式。
等值式与等值演算。
基本的等值式，其中含：双重否定律、幂等律、交换律、结 合律、分配律、德·摩根律、吸收律、零律、同一律、排中
律、矛盾律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位、等价否 定等值式、归谬论。
与范式有关的概念：简单合取式、简单析取式、析取范式、 合取范式、极小项、极大项、主析取范式、主合取范式。
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集合论－基数
掌握基数的基本概念 掌握可数集合和不可数集合的概念，以及相关结论
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图论－解决实际问题
(1) 很多离散问题可以用图模型求解。 (2) 为了建立一个图模型，需要决定顶点和边分别代表什么。 (3) 在一个图模型中，边经常代表两个顶点之间的关系。
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图论－基本概念
生成树： G 的子图并且是树 ❖树枝（n-1）、弦（ m-n+1 ）、余树（ m-n+1 条边 ） ❖无向图 G 具有生成树当且仅当 G 连通。
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结束
对于给定的推理，正确地构造出它的证明。
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集合论－集合代数
掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符 号化表示。
❖B A x (x∈B → x∈A)
❖B A x (xB xA)
❖……
掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义交、 广义并的定义及其性质。
❖A∪B＝{ x | x∈A ∨ x∈B }
集合演算法 利用集合恒等式和已知结论
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逻辑演算法的格式
题目：A＝B 证明： x，
x∈A
… … x∈B 所以 A＝B 或证 AB ∧ AB
题目：AB 证明： x，
x∈A …… x∈B 所以 AB
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集合演算法的格式
题目：A＝B 证明： A
＝…… ＝B 所以 A＝B
题目：AB 证明：A
A上二元关系的n次幂的定义及主要性质 等价关系、等价类、商集、划分等概念，以及等价关系与划
分之间的对应
偏序关系、偏序集、哈斯图、最大元、最小元、极大元、极 小元、上界、下界、上确界、下确界等概念
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关系性质的特点
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关系性质的证明
通常的证明方法是利用定义证明。 R 在 A 上自反
理解与图的定义有关的诸多概念，以及它们之间的相互关 系。
深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们。
深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、 二部图等概念及其它们的性质和相互关系，并能熟练地应 用这些性质和关系。
深刻理解通路与回路的定义、相互关系及其分类，掌握通 路与回路的各种不同的表示方法。
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C)
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求公式A的主析取范式的方法与步骤
方法一、等值演算法
(1)化归为析取范式。 (2)除去析取范式中所有永假的析取项。 (3)将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。 (4)对合取项补入没有出现的命题变元，即添加如(p∨┐p)式，
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集合论－函数
掌握函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在函 数下的完全原像的概念及表示法；当A与B都是有穷集时， 会求A到B的函数的个数。
掌握A到B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方 法。
掌握常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射 等概念。
掌握复合函数的主要性质和求复合函数的方法。 掌握反函数的概念及主要性质。
理解无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系， 并能熟练地求出给定的较为简单的图的点连通度与边连通 度。
理解有向图连通性的概念及其分类，掌握判断有向连通图 类型的方法。
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欧拉图和哈密顿图
深刻理解欧拉图与半欧拉图的定义及判别定理。 会用 Fleury 算法求出欧拉图中的欧拉回路。 深刻理解哈密顿图及半哈密顿图的定义。 会用破坏哈密顿图应满足的某些必要条件的方法判断某些
然后应用分配律展开公式。
方法二、真值表法
(1)写出 A 的真值表。 (2)找出 A 的成真赋值。 (3)求出每个成真赋值对应的极小项（用名称表示），按角标
从小到大顺序析取。
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求公式A的主合取范式的方法与步骤
方法一、等值演算法
(1)化归为合取范式。 (2)除去合取范式中所有永真的合取项。 (3)将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。 (4)对析取项补入没有出现的命题变元，即添加如(p∧┐p)式，
然后应用分配律展开公式。
方法二、真值表法
(1)写出 A 的真值表。 (2)找出 A 的成假赋值。 (3)求出每个成假赋值对应的极大项（用名称表示），按角标
从小到大顺序析取。
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数理逻辑－命题逻辑
推理的形式结构 推理的前提 推理的结论 推理正确
判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法
图不是哈密顿图。 会用满足哈密顿图的充分条件的方法判断某些图是哈密顿
图。 严格地分清哈密顿图必要条件和充分条件，千万不能将必
要条件当充分条件，同样地，也不能将充分条件当成必要 条件。
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图论－树
树 ❖连通无回路的无向图 ❖任意两个顶点之间存在唯一的路径。 ❖m＝n1。 ❖任何边均为桥。 ❖在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得 到唯一的一个含新边的圈。 ❖n 阶非平凡的无向树中至少有两片树叶。
逻辑有效式、矛盾式、可满足式 闭式的性质：在任何解释下均为命题。 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。