离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑
2—1基本概念
例题1. 所有的自然数都是整数。
设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。
设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x))
例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写
成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化
例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x,
谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数,
则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x)))
例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))
命题的符号表达式与论域有关系
两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有
(1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)
(2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)
1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。
表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,
因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
?x(N(x)∧I(x))?(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an)) 比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。所以此表达式不能表示这个命题。
2.有些大学生吸烟。此命题的真值也是真的。
?x(S(x)∧A(x))?(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an)) 且x只有用吸烟的大学生代入才为真,例如a2不是大学生
或者不会吸烟的客体,则(S(a2)∧A(a2))为假。所以用?x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。
而?x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真,例如
(S(a2)→A(a2))为真。所以表达式?x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。
3.所有大学生都喜欢一些歌星。
令S(x):x是大学生,X(x):x是歌星,L(x,y):x喜欢y。则命题的表达式为: ?x(S(x)→?y(X(y)∧L(x,y)))
4.没有不犯错误的人。
此话就是“没有人不犯错误”,“没有”就是“不存在”之意。令P(x):x是人,F(x): x犯错误,此命题的表达式为:??x(P(x)∧?F(x)) 或者?x(P(x)→F(x))
5.不是所有的自然数都是偶数。
令N(x):x是自然数,E(x):x是偶数,命题的表达式为: ??x(N(x)→E(x)) 或者?x(N(x)∧?E(x))
1
6.如果一个人只是说谎话,那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。
令A(x):x是人,B(x,y):y是x说的话,C(x):x是谎话,D(x):x是可以相信的命题的表达式为:
?x(A(x)→(?y(B(x,y)→C(y))→??z(B(x,z)∧D(z))))
7.每个自然数都有唯一的后继数。
令N(x):x是自然数,A(x,y):y是x的后继数,E(x,y):x=y 则命题的表达式为?x(N(x)→?y(N(y)∧A(x,y)∧?z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))
小结
1.命题的符号表达式形式与论域有关系。
论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。
2.如果量词前有否定符号,如“没有...”“不是所有的...”等,可以按照字面直译。如“??x…”“??x...”
3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元,才表示命题。有时给定命题中有些量词没有明确给出,要仔细分析并写出这隐含的量词。例如
a) 金子闪光,但闪光的不一定都是金子。G(x),F(x)
?x(G(x)→F(x))∧??x(F(x) →G(x))
b) 没有大学生不懂外语。S(x),K(x,y),F(x)??x(S(x)∧?y(F(y)→?K(x,y)))
2-3谓词演算的等价式与蕴涵式
例1.设论域D={1,2} a=1 b=2
f(1)=2 ,f(2)=1P(1,1)=T ,P(1,2)=T ,P(2 ,1)=F P(2,2)=F 求谓词公
式?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。
解:?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))
??y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧?y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))
?((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨ (P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧
((P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))
?((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧
((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))
?((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))
?(F∨ F)∧(T ∨ T)
?F∧T ?F
量词辖域的扩充公式
1. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)
2. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)
3. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)
4. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)
5. B→?xA(x)??x(B→A(x))
6. B→?xA(x)??x(B→A(x))
7. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)
8. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)
量词分配公式
1. ?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)
2. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)
3. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)
4. ?xA(x)∨?xB(x)??x(A(x)∨B(x))
其它公式
1. ?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)
2. ?x A(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x))
两个量词的公式
1. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)
2. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)
3. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)
4. ?x?yA(x,y)??x?yA(x,y)
5. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)
6. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)
7. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)
8. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)
下面证明公式1.。
证明:设论域为{a1,a2,....,an},
则?x?yA(x,y)??yA(a1,y)∧?yA(a2,y)∧…∧?yA(an,y) ?(A(a1,a1)∧A(a1,a2)∧…∧A(a1,an))∧(A(a2,a1)∧A(a2,a2)∧…∧A(a2,an))∧…∧
(A(an,a1)∧A(an,a2)∧…∧A(an,an))
?(A(a1,a1)∧A(a2,a1)∧…∧A(an,a1))∧(A(a1,a2)∧A(a2,a2)∧…∧A(an, a2))∧…∧
(A(a1,an)∧(A(a2,an)∧…∧A(an,an))
??xA(x,a1)∧?xA(x,a2)∧…∧?xA(x,an)
??y?xA(x,y)
例2. 令A(x,y)表示x+y=xy, 论域是{1,2,3}, 求谓词公式??x?yA(x,y)的真值。
解:??x?yA(x,y)??x?y?A(x,y)
??y?A(1,y)∨?y?A(2,y)∨?y?A(3,y)
?(?A(1,1)∧?A(1,2)∧?A(1,3))∨
(?A(2,1)∧?A(2,2)∧?A(2,3))∨(?A(3,1)∧?A(3,2)∧?A(3,3))
?(T∧T∧T)∨(T∧F∧T)∨(T∧T∧T)
?T∨F∨T?T
2-4 前束范式
例1. ?xA(x)→?xB(x)
???xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)
??x?A(x)∨?yB(y) (换元)
??x(?A(x)∨?yB(y)) (量词辖域扩充)
??x?y(?A(x)∨B(y))
另一个方法:?xA(x)→?xB(x)
???xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)
??x(?A(x)∨B(x)) (量词分配公式)
例2.?x(P(x)∧R(x))→(??xP(x)∧Q(x))
???x(P(x)∧R(x))∨(??xP(x)∧Q(x)) (去→)
??x?(P(x)∧R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (量词转换)
??x(?P(x)∨?R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (后移?)
??x(?P(x)∨?R(x))∨(?y?P(y)∧Q(z)) (换变元)
??x(?P(x)∨?R(x))∨?y(?P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)
??x?y((?P(x)∨?R(x))∨(?P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)
2-5 谓词演算的推理理论
例1. 令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。
⑴?x(A(x)→B(x)) P
⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1
⑶?xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(0.1)为F
⑴?xB(x) P
⑵B(c) ES 如c=-1
⑶?xA(x) P
⑷A(c) ×ES A(-1)为F
正确解法如下:
⑴?xA(x) P
⑵A(c) ES
⑶?x(A(x)→B(x)) P
⑷A(c)→B(c) US
⑸B(c) T ⑵⑷I11
例2 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。
令M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。符号化为:
?x(M(x)→C(x)),M(a) ?C(a)
⑴?x(M(x)→C(x)) P
⑵M(a)→C(a) US ⑴
⑶M(a) P
⑷C(a) T ⑵⑶I11
例3 所有自然数都是整数。有些数是自然数。因此有些数是整数。令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。
?x(A(x)→B(x)),?xA(x) ??xB(x)
⑴?xA(x) P
⑵A(c) ES ⑴
⑶?x(A(x)→B(x)) P
⑷A(c)→B(c) US ⑶
⑸B(c) T ⑵⑷I11
⑹?xB(x) EG ⑸
例4不认识错误的人,也不能改正错误。有些诚实的人改正了错误。所以有些诚实的人是认识了错误的人。
设A(x):x是认识错误的人。B(x):x改正了错误。C(x):x是诚实的人。符号化为:
?x(?A(x)→?B(x)),?x(C(x)∧B(x)), ??x(C(x)∧A(x))
⑴?x(C(x)∧B(x)) P
⑵C(c)∧B(c) ES ⑴
⑶C(c) T ⑵I1
⑷B(c) T ⑵I2
⑸?x(?A(x)→?B(x))P
⑹?A(c)→?B(c) US ⑸
⑺??A(c) T ⑷⑹I12
⑻A(c) T ⑺E1
⑼C(c)∧A(c) T ⑶⑻I9
⑽?x(C(x)∧A(x)) EG ⑼
例5.“鸟都会飞。猴子都不会飞。所以,猴子都不是鸟。”
设B(x):x是鸟;F(x):x会飞;M(x):x是猴子。
?x(B(x)→F(x)),?x(M(x)→?F(x))??x(M(x)→?B(x))
证明:⑴?x(B(x)→F(x)) P
⑵B(a)→F(a) US ⑴
⑶?x(M(x)→?F(x)) P
⑷M(a)→?F(a) US ⑶
⑸?F(a)→?B(a) T ⑵E18
⑹M(a)→?B(a) T ⑷⑸I13
⑺?x(M(x)→?B(x)) UG ⑹
例6.?x(A(x)∨B(x)),?x(B(x)→?C(x)),?xC(x)??xA(x)
(1) ?x(A(x)∨B(x)) P
(2) A(a)∨B(a) ES (1)
(3) ?x(B(x)→?C(x)) P
(4) B(a)→?C(a) US (3)
(5) ?xC(x) P
(6) C(a) US (5)
(7) ?B(a) T (4)(6) I12
(8) A(a) T (2)(7) I10
(9) ?xA(x) EG (8)
例7 一些病人喜欢所有医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。
设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y.请同学将上述各个命题符号
化:?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))),?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) ???y(D(y)∧Q(y ))
?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))),?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) ???y(D(y)∧Q (y))
⑴?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))) P
⑵P(a)∧?y(D(y)→L(a,y)) ES ⑴
⑶P(a) T ⑵I1
⑷?y(D(y)→L(a,y)) T ⑵I2
⑸?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) P
⑹P(a)→?y(Q(y)→?L(a,y)) US ⑸
⑺?y(Q(y)→?L(a,y)) T ⑶⑹I11
⑻D(b)→L(a,b) US ⑷
⑼Q(b)→?L(a,b) US ⑺
⑽L(a,b) →?Q(b) T ⑼E18
⑾D(b)→?Q(b) T ⑻⑽I13
⑿?D(b)∨?Q(b) T ⑾E16
⒀?(D(b)∧Q(b)) T ⑿E8
⒁?y?(D(y)∧Q(y)) UG ⒀
⒂??y(D(y)∧Q(y)) T ⒁E25
例8 ?x(P(x)→Q(x)) ??xP(x)→?xQ(x) 用条件论证证明:
⑴?xP(x) P(附加前提)
⑵?x(P(x)→Q(x)) P
⑶P(a)→Q(a) ES ⑵
⑷P(a) US ⑴
⑸Q(a) T ⑶⑷I11
⑹?xQ(x) EG ⑸
⑺?xP(x)→?xQ(x) CP
用反证法证明例5:
?x(P(x)→Q(x))??xP(x)→?xQ(x)
⑴?(?xP(x)→?xQ(x)) P(假设前提)
⑵?(??xP(x)∨?xQ(x)) T ⑴E16
⑶?xP(x)∧??xQ(x) T ⑵E9
⑷?xP(x) T ⑶I1
⑸??xQ(x) T ⑶I2
⑹?x(P(x)→Q(x)) P
⑺P(a)→Q(a) ES ⑹
⑻P(a) US ⑷
⑼Q(a) T ⑺⑻I11
⑽?xQ(x) EG ⑼
⑾??xQ(x)∧?xQ(x) T ⑸⑽I9
例9.给定谓词如下:S(x):x是学生;L(x):x是校领导;G(x):x是好的;T(x):x 是老师;P(x): x受过处分;C(x,y):y表扬x
用上述谓词表达下面各个命题,并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。
“没有受过处分的学生,都受到过校领导的表扬;有些好学生,仅仅受到老师的表扬;所有好学生,都没有受过处分。所以,有的老师是校领导。”
先请同学将上述各个命题符号化,然后推理。
?x((S(x)∧?P(x))→?y(L(y)∧C(x,y))),?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y ))) ,?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x))??y(T(y)∧L(y))
⑴?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y))) P
⑵(S(a)∧G(a))∧?y(C(a,y)→T(y)) ES ⑴
⑶S(a)∧G(a) T ⑵I1
⑷?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x)) P
⑸(S(a) ∧G(a)) →?P(a) US ⑷
⑹?P(a) T ⑶⑸I11
⑺S(a) T ⑶I1
⑻S(a) ∧?P(a) T ⑹⑺I9
⑼?x((S(x)∧?P(x))→?y(L(y)∧C(x,y))) P
⑽(S(a)∧?P(a))→?y(L(y)∧C(a,y)) US ⑼
⑾?y(L(y)∧C(a,y)) T ⑻⑽I11
⑿?y(C(a,y)→T(y)) T ⑵I2
⒀L(b) ∧C(a,b) ES ⑾
⒁C(a,b)→T(b) US ⑿
⒂L(b) T ⒀I1
⒃C(a,b) T ⒀I2 ⒄T(b) T ⒁⒃I11
⒅T(b)∧L(b) T ⒂⒄I9 ⒆?y(T(y)∧L(y)) EG ⒅
例10.用推理证明公式:?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)
⑴?y?xA(x,y) P
⑵?xA(x,b) ES ⑴
⑶A(a,b) US ⑵
⑷?yA(a,y) EG ⑶
⑸?x?yA(x,y) UG ⑷
补充题
1.每个人的叔叔都是他父亲的弟弟。
设:P(x):x是人,U(x,y):y是x的叔叔,
B(x,y):x是y的弟弟,f(x)=x的父亲?x(P(x)→?y(U(x,y)→B(y,f(x)))
2.下面是判定一个年号是否为闰年的命题:
“年号能被4整除并且不能被100整除的为闰年,或者年号能被400整除的也
是闰年。”设Y(x):x是年号; D(x,y):x可整除y; R(x):x是闰年
?x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x))))
此式有些问题,因为它等价于
?x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))∧D(400,x))→R(x)))
正确答案:1)?x(Y(x)→((D(4,x)∧?D(100,x))→R(x)))∧?x(Y(x)→(D(400,x) →R(x)))
2)?x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))∨D(400,x)) →R(x)))
小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员,该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者都喜欢雪。凡是小杨喜欢的,小刘就不
喜欢。小杨喜欢雨和雪。试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。如果有,他是谁?
设:M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。D(x):x是登山者。
L(x,y):x喜欢y。
a:小杨;b:小刘;c:小林;d:雨;e:雪。
命题符号化为:M(a), M(b),
M(c), ?x(M(x)→( H(x)∨D(x))), ??x(D(x)∧L(x,d)), ?x(H(x)→L(x,e))?x(L(a ,x)→?L(b,x)), L(a,d)∧L(a,e)
⑴L(a,d)∧L(a,e) P
⑵L(a,e) T ⑴
⑶?x(L(a,x)→?L(b,x)) P
⑷L(a,e)→?L(b,e) US ⑶
⑸?L(b,e) T ⑵⑷I11
⑹?x(H(x)→L(x,e)) P
⑺H(b)→L(b,e) US ⑹
⑻?H(b) T ⑸⑺I12
⑼?x(M(x)→(H(x)∨D(x))) P
⑽M(b)→(H(b)∨D(b)) US ⑼
⑾M(b) P
⑿H(b)∨D(b) T ⑽⑾I11
⒀D(b) T ⑻⑿I10
⒁D(b)∧?H(b) T ⑻⒀
一.将下面命题符号化
1.只有你考试和体检都合格,才会被
录取。
2.上大学的人都需要参加高考。
(A(x):x是人,B(x):x上大学, C(x,y):x参加y,D(x):x是高考。) 二.将命题公式A(P,Q,R)化简。其中
A(P,Q,R)?(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨
(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
三.令f(x)=x2,P(x):x是奇数,Q(x,y):x
≥y,论域 D
D={-1,0,1},求谓词公式?x(?P(f(x))→Q(f(x),x))
的真值.(要求有解题的过程)
四.用谓词逻辑推理证明下面推理的有
效性。(按照教材格式写出推理过程) ?x(A(x)→?y(B(y)→?C(x,y))), ?x(A(x)→?y(C(x,y)∨D(y))),
?x(A(x)∧?y?D(y))
??y?B(y)
第二章小结
本章重点掌握内容:
1.各基本概念清楚。
2.会命题符号化。
3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。
4.会写前束范式。
5.熟练掌握谓词逻辑的三种推理方法。
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学期末练习题-(带答案)
离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（）
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
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总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性；
离散数学学习体会
我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一
离散数学课程总结
离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演
算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
东北大学离散数学复习总结(满分版)
方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用
4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律P∧P=P P∨P=P 吸收律P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如~ , ~, ~ => R->S
R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式
量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁ ”，则用量词否定公式﹁ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁ ”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 4)用量词辖域扩充公式提取量词，使之成为前束范式形式。 简要概括：1、去-> ，<-> 2、移﹁ 3、换元 4、量词辖域扩充
离散数学总结
离散数学学习总结 一、课程内容介绍： 1．集合论部分： 集合论是离散数学中第一个抽象难关，在老师的生动讲解下，深入浅出，使得集合论成了相当有趣的知识。只是对于以后的应用还不是很了解，感觉学好它很重要。直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如： 方程x2－1＝0的实数解集合； 26个英文字母的集合； 坐标平面上所有点的集合； 集合通常用大写的英文字母来标记，例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数)，整数集合Z，有理数集合Q，实数集合R，复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种：列元素法和谓词表示法， 如果两个集合的交集为，则称这两个集合是不相交的。例如B和C 是不相交的。 两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} 2．关系 二元关系也可简称为关系。对于二元关系R，如果
得到新的关系R'，使得R'具有自反性。但又不希望R'与R相差太多，换句话说，添加的有序对要尽可能的少。满足这些要求的R'就称为R的自反闭包。通过添加有序对来构造的闭包除自反闭保外还有对称闭包和传递闭包。 3．代数系统 代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑*。设α,β是∑*上的两个字，将β连接在α后面得到∑*上的字 αβ。如果将这种连接看作∑*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。 整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合Mn(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈Mn(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={