算法设计与分析课后习题

第一章

1. 算法分析题

算法分析题1－1 求下列函数的渐进表达式

(1). 3n^2 + 10n < 3n^2 + 10n^2 = 13n^2 = O(n^2)

(2). n^2 / 10 + 2^n

当n>5是，n^2 < 2 ^n

所以，当n >= 1时，n^2/10 < 2 ^n

故: n^2/10 + 2^n < 2 ^n + 2^n = 2*2^n = O(2^n)

(3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1)

(4). log(n^3)=3log(n)=O(log(n))

(5). 10log(3^n) = (10log3)n = O(n)

算法分析题1-6

(1)因为：f(n)=log(n^2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5

所以：f(n)=Θ(log(n)+5) =Θ(g(n))

(2)因为：log(n) < √n ; f(n) = 2log(n); g(n)= √n

所以：f(n) = O(g(n))

(3)因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n^2) = 2log(n)

所以；f(n) = Ω(g(n))

(4)因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn

所以：f(n) =Ω(g(n))

(5)因为: f(n) = 10; g(n) = log(10)

所以:f(n) =Θ(g(n))

(6)因为: f(n)=log^2(n); g(n) = log(n)

所以: f(n) ==Ω(g(n))

(7)因为: f(n) = 2^n < 100*2^n; g(n)=100n^2; 2^n > n ^2

所以: f(n) = Ω(g(n))

(8)因为：f(n) = 2^n; g(n) = 3 ^n; 2 ^n < 3 ^n

所以: f(n) = O(g(n))

习题1－9 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为Θ(f(n)),该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω(f(n)).

分析与解答：

因此，Tmax(N) = Ω(Tavg(N)) = Ω(Θ(f(n)))=Ω(f(n)).

第二章

算法分析题

2-3 设a[0:n-1]是已经排好序的数组。请改写二分搜索算法，似的当搜索元素x 在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x的位置。

分许与解答：

改写二分搜索算法如下：

typedef int TYPE_t;

/*

* Function name: BinarySearch

* Parameters:

* iIndex 代表i的位置，即最大元素位置;

* jIndex代表j的位置，即最小元素位置;

* aArr[]: 代表数组a[],且有序

* xVar:代表元素x;

* aLen: 代表数组元素个数;

* Return value:

* 0: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置不等

* 1: 执行成功，最大元素位置和最小元素位置相等

*/

static int

BinarySearch(TYPE_t aArr[], int nLen, TYPE_t xVar, int *iIndex, int *jIndex)

{

int left = 0;

int right = nLen - 1;

int middle = (left + right) / 2;

while (left <= right){

if (xVar == aArr[middle]){

*iIndex = *jIndex = middle;

return 1;

}

if (xVar > aArr[middle]){

left = middle + 1;

}else{

right = middle - 1;

}

middle = (left + right) / 2;

}

*iIndex = right;

*jIndex = left;

return 0;

}

算法分析题2 – 6 对任何非零偶数n，总可以找到奇数m和正整数k，使得n = m * 2^k.为了求出2个n阶矩阵的乘积，可以把一个n阶矩阵划分成m×m个子矩阵，每个子矩阵2^k ×2^k个元素。当需要求2^k×2^k的子矩阵的积时，使用Strassen算法。设计一个传统方法与Strasssen算法相结合的矩阵相乘算法，对于任何偶数n，都可以求出2个n阶矩阵的乘积。并分析算法的计算时间复杂度。

分析与解答：

将n阶矩阵分块为m×m的矩阵。用传统方法求2个m阶矩阵的乘积需要计算O(m^3)次2个2^k×2^k矩阵的乘积。用Strassen矩阵乘法计算2个2^k×2^k的矩阵的乘积需要的计算时间为O(7^k), 因此算法的计算时间为O(7^k*m^3).

算法分析题2 - 9 设T[0, n-1]是n个元素的数组。对任一元素x，设S(x) = {i | T[i] = x }. 当|S(x) | > n/2时，称x为T的主元素。设计一个线性时间算法，确定T[0:n-1]是否有一个主元素。

分析与解答：

如果T有一个主元素x，则x是T的中位数。

反之，如果T的中位数不是T的主元素，则T没有主元素。

下面算法设计为在一个线性时间中找中位数：

typedef int T;