西安电子科技大学《算法设计与分析》随课上机作业题
算法设计与分析习题答案
算法设计与分析习题答案算法设计与分析是计算机科学中一个重要的领域，它涉及到算法的创建、优化以及评估。
以下是一些典型的算法设计与分析习题及其答案。
习题1：二分查找算法问题描述：给定一个已排序的整数数组，编写一个函数来查找一个目标值是否存在于数组中。
答案：二分查找算法的基本思想是将数组分成两半，比较中间元素与目标值的大小，如果目标值等于中间元素，则查找成功；如果目标值小于中间元素，则在左半部分继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半部分继续查找。
这个过程会不断重复，直到找到目标值或搜索范围为空。
```pythondef binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return Trueelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return False```习题2：归并排序算法问题描述：给定一个无序数组，使用归并排序算法对其进行排序。
答案：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两半，分别对这两半进行排序，然后将排序好的两半合并成一个有序数组。
```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i = j = k = 0while i < len(left_half) and j < len(right_half): if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]merge_sort(arr)print("Sorted array is:", arr)```习题3：动态规划求解最长公共子序列问题问题描述：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。
算法分析与设计作业参考答案
算法分析与设计作业参考答案《算法分析与设计》作业参考答案作业⼀⼀、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。
2.程序：程序是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。
⼆、简答题：1.算法需要满⾜哪些性质？简述之。
答：算法是若⼲指令的有穷序列，满⾜性质：（1）输⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。
（2）输出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。
（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。
（4）有限性：算法中每条指令的执⾏次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。
2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。
答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质；（3）利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。
3.简要分析在递归算法中消除递归调⽤，将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法。
答：将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法主要有：（1）采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。
该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
（2）⽤递推来实现递归函数。
（3）通过Cooper 变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。
后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。
三、算法编写及算法应⽤分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。
答：排序算法的基本运算步为元素⽐较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求⽐较次数与n 的关系。
（1）设⽐较⼀次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计⼀个分治算法计算⼀棵⼆叉树的⾼度。
算法设计与分析-习题参考答案
算法设计与分析基础习题1.15..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也一定能整除m=r+qn和n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。
故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0<=m<n的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcd(m,n)=gcd(n,m)并且这种交换处理只发生一次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—山羊C—白菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个人, f—手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平方根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答：a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入：正整数n//输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[] 4.(古老的七桥问题)习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章 习题2.17.对下列断言进行证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断言是正确的。
算法设计与分析习题解答
算法设计与分析习题解答第一章作业1.证明下列Ο、Ω和Θ的性质1）f=Ο(g)当且仅当g=Ω(f)证明：充分性。
若f=Ο(g)，则必然存在常数c1>0和n0，使得?n≥n0，有f≤c1*g(n)。
由于c1≠0，故g(n) ≥ 1/ c1 *f(n)，故g=Ω(f)。
必要性。
同理，若g=Ω(f)，则必然存在c2>0和n0，使得?n≥n0，有g(n) ≥ c2 *f(n).由于c2≠0，故f(n) ≤ 1/ c2*f(n)，故f=Ο(g)。
2）若f=Θ(g)则g=Θ(f)证明：若f=Θ(g)，则必然存在常数c1>0，c2>0和n0，使得?n≥n0，有c1*g(n) ≤f(n) ≤ c2*g(n)。
由于c1≠0，c2≠0，f(n) ≥c1*g(n)可得g(n) ≤ 1/c1*f(n)，同时，f(n) ≤c2*g(n)，有g(n) ≥ 1/c2*f(n)，即1/c2*f(n) ≤g(n) ≤ 1/c1*f(n)，故g=Θ(f)。
3）Ο(f+g)= Ο(max(f,g))，对于Ω和Θ同样成立。
证明：设F(n)= Ο(f+g)，则存在c1>0，和n1，使得?n≥n1，有F(n) ≤ c1 (f(n)+g(n))= c1 f(n) + c1g(n)≤ c1*max{f,g}+ c1*max{f,g}=2 c1*max{f,g}所以，F(n)=Ο(max(f,g))，即Ο(f+g)= Ο(max(f,g))对于Ω和Θ同理证明可以成立。
4）log(n!)= Θ(nlogn)证明：由于log(n!)=∑=ni i 1log ≤∑=ni n 1log =nlogn ，所以可得log(n!)= Ο(nlogn)。
由于对所有的偶数n 有，log(n!)= ∑=ni i 1log ≥∑=nn i i 2/log ≥∑=nn i n 2/2/log ≥(n/2)log(n/2)=(nlogn)/2-n/2。
西安电子科技大学《算法设计与分析》随课上机作业题
confidenceHigh()
= 0.5948351426485464
Example values after creating PercolationStats(2, 100000)
mean()
= 0.6669475
stddev()
= 0.11775205263262094
confidenceLow()
// does the system percolate?
public static void main(String[] args) // test client, optional
}
约定行 i 列 j 下标在 1 和 N 之间，其中(1, 1)为左上格点位置：如果 open(), isOpen(), or isFull()不在这个规定
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问题。 在一个著名的科学问题中，研究人员对以下问题感兴趣：如果将格点以概率 p 独立地设置为 open 格点（因此以概率 1-p 被设置为 blocked 格点），系统渗透的概率是多少？ 当 p = 0 时，系统不会渗出; 当 p=1 时，系统渗透。 下图显示了 20×20 随机网格（左）和 100×100 随机网格（右）的格点空置概率 p 与 渗滤概率。
算法设计与分析上机题
算法设计与分析上机题第二单元8594 有重复元素的排列问题；9718 整数因子分解；11088 整数划分的扩展问题；17082 两个有序数序列中找第k小第三单元8596 最长上升子序列；***8601最大长方体问题；10303 数字三角；11077 最长公共子字符串；11078 不能移动的石子合并第四单元8602 区间相交问题；11079 可以移动的石子合并第五单元8600 骑士问题；8603 子集和问题；17085 工作分配问题；11089 多机最佳调度抽选概率：第二三单元，9选3第四五单元，6选2机选，这15题必做题中共抽5题，还要从选做题中抽1题，共呈现6题给考生吗？第二单元8594 有重复元素的排列问题；#include <iostream>#include <stdio.h>#include <stdlib.h>using namespace std;int total=0;int Findsame(char list[],int k,int i) {int mark=0;int j;for(j=k; j<i; j++){if(list[j] == list[i]){mark = 1;break;}}if(mark==1){return 1;}else{return 0;}}//交换元素void Swap(char &a,char &b){char temp;temp=a;a=b;b=temp;}//递归全排列void Perm(char list[],int k,int m){//产生list[k:m]的所有排列if(k==m) // 开始index == 结束index {int i;for(i=0; i<m; i++){//只剩下1个元素printf("%c",list[i]);}printf("\n");total++;}else //还有多个元素带排列，递归产生排列{int i;for(i=k; i<m; i++){if (Findsame(list,k,i))//判断第i个元素是否在list[k,i－1]中出现过continue;/*int mark = 0;for(int j = k; j < i; j ++) {if(list[j] == list[i]) {mark = 1;break;}}if(1 == mark)continue;*/Swap(list[k],list[i]);Perm(list,k+1,m);Swap(list[k],list[i]);}}}int main(){int n;scanf("%d",&n);char list[n];scanf("%s",list);Perm(list,0,n);printf("%d",total);return 0;}9718 整数因子分解；#include <iostream>using namespace std;#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int total=0;void count(int n){if(n==1){total++;}else{int i;for(i=2;i<=n;i++) {if(n%i==0){count(n/i); }}}}int main(){int n;scanf("%d",&n);count(n);printf("%d",total);}11088 整数划分的扩展问题；/*题目求：（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数约定：整数划分无顺序，比如对7划分，认为2 2 3和3 2 2和2 3 2为同一种划分。
(完整版)算法设计与分析考试题及答案,推荐文档
____________________________________。 4.若序列 X={B,C,A,D,B,C,D}，Y={A,C,B,A,B,D,C,D}，请给出序列
X 和 Y 的一个最长公共子序列_____________________________。 5.用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间，问题的解空间至
和
之分。
5、 f(n)= 6×2n+n2，f(n)的渐进性态 f(n)= O(
)
6、 贪心算法总是做出在当前看来
的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考
虑，它所做出的选择只是在某种意义上的
。
7、 许多可以用贪心算法求解的问题一般具有 2 个重要的性质：
性质和
性质。
二、简答题（本题 25 分，每小题 5 分）
五、算法理解题（本题 5 分） 设有 n=2k 个运动员要进行循环赛，
现设计一个满足以下要求的比赛日程表：
①每个选手必须与其他 n-1 名选手比赛各一次； ②每个选手一天至多只能赛一次；
③循环赛要在最短时间内完成。
我去（人1）如也果 就n=2k有，循人环赛！最少为需要U进R行扼几天腕； 入站内信不存在向你偶同意调剖沙 （2）当 n=23=8 时，请画出循环赛日程表。
六、算法设计题（本题 15 分） 分别用贪心算法、动态规划法、回溯法设计 0-1 背包问题。要求：说明所使用的算法
策略；写出算法实现的主要步骤；分析算法的时间。 七、算法设计题（本题 10 分）
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 通过键盘输入一个高精度的正整数 n(n 的有效位数≤240)，去掉其中任意 s 个数字后， 剩下的数字按原左右次序将组成一个新的正整数。编程对给定的 n 和 s，寻找一种方案， 使得剩下的数字组成的新数最小。 【样例输入】 178543 S=4 【样例输出】 13
电子科技大学研究生算法设计与分析拟考题及答案评分细则（3）
电子科技大学研究生算法设计与分析拟考题及答案评分细则（3）一、Please answer T or F for each of the following statements to indicate whether the statement is true or false1. The knapsack problem can be solved in polynomial time by using dynamic programming.( F )2. Some problems in NP can be solved in polynomial time.( T )3. To show a problem is NP-hard, we can reduce it to a well-known NP-Complete problem.( F )4. In an undirected graph, the value of the maximum flow between two vertices is equivalent to the value of the minimum cut between them. ( T )5. . ( F )二、Arrange the following functions in ascending asymptotic order of growth rate:，，，，.参考答案：f2，f3，f1，f4，f5三、Please answer the following questions:(a) What are the main steps of designing a dynamic programming algorithm?参考答案：1.定义子问题；2根据子问题建立递归关系式；3用自底而上的方式求解（建立储存表）。
(b) What are the main steps of proving the NP-Completeness of a problem?参考答案：1.证明该问题属于NP；2.选一个已知的NPC问题B；3.将问题B归约到该问题上。
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IllegalArgumentException 例外。构造函数应该与 N2 成正比。所有方法应该为常量时间加上 常量次调用合并-查找方法 union(), find(), connected(), and count()。
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蒙特卡洛模拟（Monte Carlo simulation）. 要估计渗透阈值，考虑以下计算实验： • 初始化所有格点为 blocked。 • 重复以下操作直到系统渗出： o 在所有 blocked 的格点之间随机均匀选择一个格点 (row i, column j)。 o 设置这个格点(row i, column j)为 open 格点。 • open 格点的比例提供了系统渗透时渗透阈值的一个估计。 例如，如果在 20×20 的网格中，根据以下快照的 open 格点数，那么对渗滤阈值的估计是 204/400 = 0.51，因为当第 204 个格点被 open 时系统渗透。
《算法设计与分析》实验教学大纲
课程编号：CS5102 课程名称：算法设计与分析 学分/学时：2.5/40 适用专业：计算机科学与技术 物联网工程 先修课程：离散数学，数据结构 JAVA 程序设计 开课单位：计算机学院 英文名称：Design and Analysis of Algorithms 课程性质：专业选修 建议开设学期：5
一、实验简介
本实验要求学生能够综合运用排序、 搜索、 图处理和字符串处理的基础算法和数据结构， 将算法理论、算法工程和编程实践相结合开发相应的软件，解决科学、工程和应用环境下的 实际问题。 使学生能充分运用并掌握算法设计与分析的方法以及算法工程技术， 为从事计算 机工程和软件开发等相关工作打下坚实的基础。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⋯
,
⋯
假设 T 足够大（例如至少 30） ，以下为渗滤阈值提供 95％置信区间： 1.96 1.96 , √ √ 我们创建数据类型 PercolationStats 来执行一系列计算实验，包含以下 API。 public class PercolationStats { public PercolationStats(int N, int T) on an N-by-N grid public double mean() public double stddev() public double confidenceLo() public double confidenceHi() public static void main(String[] args) }
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问题。 在一个著名的科学问题中，研究人员对以下问题感兴趣：如果将格点以概率 p 独立地设置为 open 格点（因此以概率 1-p 被设置为 blocked 格点），系统渗透的概率是多少？ 当 p = 0 时，系统不会渗出; 当 p=1 时，系统渗透。 下图显示了 20×20 随机网格（左）和 100×100 随机网格（右）的格点空置概率 p 与 渗滤概率。
// perform T independent computational experiments // sample mean of percolation threshold // sample standard deviation of percolation threshold // returns lower bound of the 95% confidence interval // returns upper bound of the 95% confidence interval // test client, described below
50 open sites
100 open sites
150 open sites
204 open sites
通过重复该计算实验 T 次并对结果求平均值，我们获得了更准确的渗滤阈值估计。 令 xt 是第 t 次计算实验中 open 格点所占比例。 样本均值μ提供渗滤阈值的一个估计值； 样本标 准差σ测量阈值的灵敏性。
在 N ≤ 0 或 T ≤ 0 时，构造函数应该抛出 ng.IllegalArgumentException 例外。
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此外，还包括一个 main( )方法，它取两个命令行参数 N 和 T，在 N×N 网格上进行 T 次独 立的计算实验（上面讨论），并打印出均值μ、标准差σ和 95％ 渗透阈值的置信区间。 使 用标准库中的标准随机数生成随机数； 使用标准统计库来计算样本均值和标准差。 Example values after creating PercolationStats(200, 100) mean() = 0.5929934999999997 stddev() = 0.00876990421552567 confidenceLow() = 0.5912745987737567 confidenceHigh() = 0.5947124012262428 Example values after creating PercolationStats(200, 100) mean() = 0.592877 stddev() = 0.009990523717073799 confidenceLow() = 0.5909188573514536 confidenceHigh() = 0.5948351426485464 Example values after creating PercolationStats(2, 100000) mean() = 0.6669475 stddev() = 0.11775205263262094 confidenceLow() = 0.666217665216461 confidenceHigh() = 0.6676773347835391 运行时间和内存占用分析。 使用 quick-find 算法（QuickFindUF.java from algs4.jar）实现 Percolation 数据类型。进行实验表 明当 N 加倍时对运行时间的影响；使用近似表示法，给出在计算机上的总时间，它是输入 N 和 T 的函数表达式。 使用 weighted quick-union 算法（WeightedQuickUnionUF.java from algs4.jar）实现 Percolation 数据 类型。进行实验表明当 N 加倍时对运行时间的影响；使用近似表示法，给出在计算机上的 总时间，它是输入 N 和 T 的函数表达式。 注：这个问题的实验由 Bob Sedgewick 和 Kevin Wayne 设计开发（Copyright © 2008） 。更多 信息可参考 /home/。 （二）几种排序算法的实验性能比较 实现插入排序（Insertion Sort，IS），自顶向下归并排序（Top-down Mergesort，TDM）， 自底向上归并排序（Bottom-up Mergesort，BUM），随机快速排序（Random Quicksort， RQ），Dijkstra 3-路划分快速排序（Quicksort with Dijkstra 3-way Partition，QD3P）。在你的 计算机上针对不同输入规模数据进行实验，对比上述排序算法的时间及空间占用性能。要 求对于每次输入运行 10 次，记录每次时间/空间占用，取平均值。 Comparison of running time of sorting algorithms (in Micro Seconds) Run1 IS Run2 Run3 Run4 Run5 Run6 Run7 Run8 Run9 Run10 Average
二、实验课程目标与毕业要求
通过本课程的学习使学生系统掌握算法设计与分析的基本概念和基本原理， 理解排序、 搜索、图处理和字符串处理的算法设计理论及性能分析方法，掌握排序、搜索、图处理和字 符串处理的数据结构与算法实现技术。课程强调算法的开发及 Java 实现，理解相应算法的 性能特征，评估算法在应用程序中的潜在性能。 课程目标与毕业要求如下： 3. 能够在安全、隐私、环境、法律等现实约束条件下，运用算法分析技术对设计方案的 可行性进行研究， 能够设计或组合已有算法达到对系统设计方案进行优选和改进， 体现创新 意识。能够基于算法理论和算法工程技术来选择研究路线，设计可行的实验方案。 （支撑毕 业要求 3.3 和 4.2） 。 4. 了解算法领域主要资料来源及获取方法， 能够利用网络查询、 检索本专业文献、 资料 及相关软件工具。 （支撑毕业要求 5.1） 。
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课程目标与毕业要求的关系矩阵 毕业要求指标点 1.4 课程目标 1 课程目标 2 课程目标 3 课程目标 4 √ √ √ √ √ 2.3 3.3 4.2 5.1
三、实验内容及基本要求 （一）渗透问题（Percolation）
使用合并-查找（union-find）数据结构，编写程序通过蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation）来估计渗透阈值的值。 安装 Java 编程环境。按照以下各步指令，在你的计算机上（操作系统 Mac OS X （/mac）· Windows （/windows）· Linux （/linux）安装 Java 编程环境。执行这些指令后，在你的 Java classpath 下会有 stdlib.jar and algs4.jar。前者 包含库：从标准输入读数据、向标准输出写数据以及向标准绘制绘出结果，产生随机数、 计算统计量以及计时程序；后者包含了教科书中的所有算法。 给定由随机分布的绝缘材料和金属材料构成的组合系统：金属材料占多大比例才能使组合 系统成为电导体？ 给定一个表面有水的多孔景观（或下面有油），水将在什么条件下能够 通过底部排出（或油渗透到表面）？ 科学家们已经定义了一个称为渗透（percolation）的抽 象过程来模拟这种情况。 模型。 我们使用 N×N 网格点来模型一个渗透系统。 每个格点或是 open 格点或是 blocked 格点。 一个 full site 是一个 open 格点，它可以通过一连串的邻近（左，右，上，下）open 格 点连通到顶行的一个 open 格点。如果在底行中有一个 full site 格点，则称系统是渗透的。 （对于绝缘/金属材料的例子，open 格点对应于金属材料，渗透系统有一条从顶行到底行的 金属路径，且 full sites 格点导电。对于多孔物质示例，open 格点对应于空格，水可能流过， 从而渗透系统使水充满 open 格点，自顶向下流动。）