西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案
线性代数期末试卷及解析(4套全)2018科大
线性代数期末试卷一一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（5）设矩阵210120001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足*2=+ABA BA E ，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则||=B __________.解：||=B 19.显然||3=A ，在等式*2=+ABA BA E 两端右乘A 得36=+AB B A (36)-=A E B A 上式取行列式03030||3003=-B故 1||9=B . 方法二：因||3=A ，则*31||||9-==A A将**2=+ABA BA E 移项得 *(2)-=A E BA E 两端取行列式得1||91⋅⋅=B ，故1||9=B .二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为（A ）010100.101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.解：（D ）正确. 由题意12=AE B ，其中12010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第一种类型初等矩阵，23(1)=BE C ，其中23100(1)011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭E 为第三种类型初等矩阵.于是有 1223(1)==AE E C AQ则 1223010100011(1)100011100001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q E E与所给答案比较，选（D ）.（12）设,A B 为满足=AB 0的任意两个非零矩阵，则必有 （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 解：（A ）正确.设A 为m n ⨯矩阵，B 为n p ⨯矩阵，因为 =AB 0故 ()()r r n +≤A B ，其中(),()r r A B 分别表示矩阵,A B 的秩.又因为,A B 皆是非零矩阵，故()0,()0r r >>A B ，所以()r n <A ，()r n <B .因此A 的列秩数，B 的行秩数小于n ，这说明A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，故选（A ）.取101000⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ， 由B 的列向量组线性无关知（B ）、（D ）错误.取101010-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则0000⎛⎫= ⎪⎝⎭AB ，由A 的行向量组线性无关知（C ）错误.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2)()0,n nn a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩L L L L L试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222220000aa a a a n n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B L L L L L L L L L L. 当0a =时，()1r n =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为120n x x x +++=L ， 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数. 当0a ≠时，对矩阵B 作初等行变换，有(1)1111000221002100.001001n n a a n n +⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎪-⎪-→→⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭-⎝⎭B L L L L L L L L LL可知(1)2n n a +=-时，()1r n n =-<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为 1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式为111112222(1)||.2n aa n n a a nnn n a-+++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+A L L L LL当||0=A ，即0a =或(1)2n n a +=-时，方程组有非零解.当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有1111111122220000,0000n n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A L L L L L L L L L L 故方程组的同解方程组为120,n x x x +++=L 由此得基础解系为T T T121(1,1,0,,0),(1,0,1,,0),,(1,0,0,,1)n -=-=-=-ηηηL L L L ，于是方程组的通解为1111n n x k k --=++ηηL ，其中11,,n k k -L 为任意常数.当(1)2n n a +=-时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 11111111222220000aa a a an n n n a na a ++⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A L L LLL L L L L L . 1111000021002100.00101a n n +⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭L L LL L L L L L L 故方程组的同解方程组为1213120,30,0,n x x x x nx x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩M由此得基础解系为T(1,2,,)n =ηL ， 于是方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （21）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化.解：A 的特征多项式为1232201431431515a aλλλλλλλ-----=-------11010(2)143(2)13315115aa λλλλλλ-=--=---------2(2)(8183)a λλλ=--++.若2λ=是特征方程的二重根，则有22161830a -++=，解得2a =-.当2a =-时，A 的特征值为2,2,6，矩阵1232123123-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭E A 的秩为1，故2λ=对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化.若2λ=不是特征方程的二重根，则28183a λλ-++为完全平方，从而18316a +=，解得23 a=-.当23a=-时，A的特征值为2,4,4，矩阵32341032113⎛⎫⎪-⎪-= ⎪⎪--⎪⎝⎭E A的秩为2，故4λ=对应的线性我关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化.线性代数期末试卷二一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中的横线上.） （6）同数学（一）一、（5）.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项目前的字母填在题后的括号内.） （13）同数学（一）二、（11）. （14）同数学（一）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.解法1 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有111111112222200.33333004444400aa a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B 当0a =时，()14r =<A ，故方程组有非零解，其同解方程组为 12340x x x x +++=.由此得基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时，11111000021002100,3010301040014001a a ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭B 可知10a =-时，()34r =<A ，故方程组也有非零解，其同解方程组为12131420,30,40,x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩由此得基础解系为 T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为 k =x η，其中k 为任意常数. 解法2 方程组的系数行列式311112222||(10)33334444aa a a a a++==+++A .当||0=A ，即0a =或10a =-时，方程组有零解. 当0a =时，对系数矩阵A 作初等行变换，有11111111222200003333000044450000⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ， 故方程组的同解方程组为12340.x x x x +++= 其基础解系为T T T123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)=-=-=-ηηη，于是所求方程组的通解为112233k k k =++x ηηη，其中123,,k k k 为任意常数. 当10a =-时，对A 作初等行变换，有911191112822201000337330010*******0010--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A91110000210021003010301040014001-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎪ ⎪→→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故方程组的同解方程组为2131412,3,4,x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩其基础解系为T(1,2,3,4)=η，于是所求方程组的通解为x k =η，其中k 为任意常数. （23）（本题满分9分） 同数学（一）三、（21）.线性代数期末试卷三一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（4）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++的秩为_________.解：秩为 2 .222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++ 222123121323222222x x x x x x x x x =++++-于是二次型f 的表示矩阵为211121112⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A易求得()2r =A ，故二次型f 的秩为2.二、选择题（本题8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （12）设n 阶矩阵A 与B 等价，则必有 （A ）当||(0)a a =≠A 时，||a =B . （B ）当||(0)a a =≠A 时，||a =-B . （C ）当||0≠A 时，||0=B . （D ）当||0=A 时，||0=B . 解：（D ）正确.因为n 阶矩阵A 与B 等价，故存在n 阶可逆矩阵,P Q 使 =PAP B故 ||||||||=B P A Q当||0=A 时，自然有||0=B ，故（D ）正确.当||0≠A 时，由||,||P Q 皆不为零，故||0≠B ，所以（C ）错误.当||0a =≠A 时，||||||a =B P Q ，仅由A 与B 等价，无法推出||||1=±P Q ，故（A ）、（B ）不正确.当,A B 相似时，（A ）才正确.（13）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵*≠A 0，若1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax 0的基础解系.（A ）不存在. （B ）仅含一个非零解向量. （C ）含有两个线性无关的解向量. （D ）含有三个线性无关的解向量. 解：（B ）正确.因*=A 0，故*A 中至少有一个非零元素. 由于*A 中元素恰为A 的1n -阶代数余子式所组成，故A 至少有一个1n -阶子式非零，这表明()1r n ≥-A .现断言()r n ≠A ，否则A 可逆，则线性方程组=Ax b 有惟一解，这与12,ξξ是非齐次线性方程组=Ax b 不同的解矛盾.由此必有()1r n =-A ，所以齐次线性方程组=Ax 0的解空间维数为(1)1n n --=，即=Ax 0的基础解仅含一个非零解向量. 可见（B ）正确，（A ）错误.尽管从1234,,,ξξξξ是非齐次线性方程组=Ax b 的互不相等的解，可以得出=Ax 0有三个不同的非零解，如121314,,,---ξξξξξξ但是它们是成比例的线性相关解，也就是说=Ax 0不会有两个，更不会有三个线性无关的解向量，即（C ）、（D ）不正确.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （20）（本题分13分）设T T T 123(1,2,0),(1,2,3),(1,2,2)a a b a b ==+-=---+ααα，T(1,3,3)=-β. 试讨论当,a b为何值时，（I ）β不能由123,,ααα线性表示；（II ）β可由123,,ααα惟一地线性表示，并求出表示式；（III ）β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式. 解：设有数123,,k k k ，使得112233k k k ++=αααβ. （*） 记123(,,)=A ααα. 对矩阵()Aβ施以初等行变换，有1111()22230323a b a a b -⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭A β111101000a b a b -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭.（I ）当0,a b =为任意常数时，有1111()0010001b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A β.可知()()r r ≠A A β. 故方程组（*）无解，β不能由123,,ααα线性表示.（II ）当0a ≠，且a b ≠时()()3r r ==A A β，故方程组（*）有惟一解 123111,,0,k k k a a=-== 则β可由123,,ααα惟一地线性表示，其表示式为1211(1)a a=-+βαα.（III ）当0a b =≠时，对()A β施以初等行变换，有110011()011.0000a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A β. 可知()()2r r ==A A β，故方程组（*）有无穷多解，其全部解为123111,(),k k c k c a a=-=+=，其中c 为任意常数.β可由123,,ααα线性表示，但表示式不惟一，其表示式为12311(1)()c c a a=-+++βααα. （21）（本题满分13分）111b b bb b b ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A L L M M M L. （I ）求A 的特征值和特征向量；（II ）求可逆矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵. 解：（I ）1º当0b ≠时，11||1b b b b bbλλλλ-------=---E A L LM M ML1[1(1)][(1)]n n b b λλ-=-----.故A 的特征值为121(1),1n n b b λλλ=+-===-L .对于11(1)/n b λ=+-，设A 的属于特征值1λ的一个特征向量为1ξ，则1111[1(1)]1b b b b n b b b ⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξξL L M M M L ， 解得T1(1,1,,1)=ξL ，所以全部特征向量为T1(1,1,,1)k k =ξL （k 为任意非零常数）.对于21n b λλ===-L ，解齐次线性方程组[(1)]0b --=E A x ，由111000(1)000b b b b b b b b b b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪--=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭E A L L LL M M M M M M L L， 解得基础解系T2(1,1,0,,0)=-ξL ，T3(1,0,1,,0)=-ξL ，… …T(1,0,0,,1)n =-ξL .故全部特征向量为2233n n k k k +++ξξξL （2,,n k k L 是不全为零的常数）. 2º当0b =时，特征值11n λλ===L ，任意非零列向量均为特征向量. （II ）1º当0b ≠时，A 有n 个线性无关的特征向量，令12(,,,)n =P ξξξL ，则 1diag{1(1),1,,1}.n b b b -=+---P AP L 2º当0b =时，=A E ，对任意可逆矩阵P ，均有 1-=P AP E .注：T1(1,1,,1)=ξL 也可由求解齐次线性方程组1()λ-=E A x 0得出.线性代数期末试卷四一、填空题（本题共6小题，每小4分，满分24分. 把答案填在题中横线上.）（4）设1010100,001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭A B P AP ，其中P 为三阶可逆矩阵，则200422-=B A _________. 解：300030001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 由010100001-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 得2100010001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，故4=A E ，其中E 是3阶单位阵，所以2004=A E .由1-=B P AP 得200412004-==B P A P E于是 20042210020030022010020030001002001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭BA E A . （5）设33()ij a ⨯=A 是实正交矩阵，且T 111,(1,0,0)a b ==，则线性方程组=Ax b 的解是__________.解：T (1,0,0).在方程=Ax b 两端左乘TAT T =A Ax A b 则 2131T 122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x A b将 12131a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x 代回=Ax b 有2131122232121323331311100a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由此得22121311a a ++=因A 为实矩阵，故12130a a ==，因此=Ax b 的解为100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（12）同数学（三）二、（12）.三、解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（20）（本题满分13分）设线性方程组1234123412340,220,3(2)(4)41,x x x x x x x x x x x x λμλμ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++++=⎩已知T(1,1,1,1)--是该方程组的一个解. 试求（I ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解； （II ）该方程组满足23x x =的全部解.解：将T (1,11,1)--代入方程组，得λμ=. 对方程组的增广矩阵施以初等变换，得 1102112032441λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭A 102101311.002(21)2121λλλλλλ---⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭（I ）当12λ≠时，有 1001011010.221100122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 因()()34r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T 11(0,,,0)(2,1,1,2)22k =-+--ξ， 其中k 为任意常数.当12λ=时，有 11101220131100000⎛⎫-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .因()()24r r ==<A A ，故方程组有无穷多解，全部解为T T T 121(,1,0,0)(1,3,1,0)(1,2,0,2)2k k =-+-+--ξ， 其中12,k k 为任意常数.（II ）当12λ≠时，由于23x x =，即 1122k k -+=-. 解得12k =，方程组的解为T T T 111(0,,,0)(2,1,1,2)(1,0,0,1)222=-+--=-ξ. 当12λ=时，由于23x x =，即 121132k k k --=. 解得121142k k =-，故全部解为 T T 2111311(,,,0)(,,,2)444222k =-+---ξ， 其中2k 为任意常数.[注]：在题（II ）中，12λ=时，解得21122k k =-时，全部解也可以表示为 T T 1(1,0,0,1)(3,1,1,4)k =-+-ξ，其中1k 为任意常数.（21）（本题满分13分）设三阶实对称矩阵A 的秩为122,6λλ==是A 的二重特征值. 若T T T 123(1,1,0),(2,1,1),(1,2,3)===--ααα都是A 的属于特征值6的特征向量. （I ）求A 的另一特征值和对应的特征向量；（II ）求矩阵A .解：（I ）因为126λλ==是A 的二重特征值，故A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个. 由题设可得123,,ααα的一个极大无关组为12,αα，故12,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量.由()2r =A 可知，||0=A ，所以A 的另一特征值30λ=. 设30λ=所对应的特征向量为T 123(,,)x x x =α，则有T T120,0==αααα，即 121230,20.x x x x x +=⎧⎨++=⎩ 解得此方程组的基础解系为T (1,1,1)=-α，即A 的属于特征值30λ=的特征向量为T (1,1,1)c c =-α，（c 为不为零的任意常数）.（II ）令矩阵123(,,)=P ααα，则1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ，所以 1600060000-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A P P .又1011112333111333-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P ， 故422242.224⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
电子科大数学真题答案解析
电子科大数学真题答案解析技大学是中国一所著名的高等学府，以其优秀的教学与研究成果而闻名于世。
其数学学科一直以来在国内乃至国际上都具有很高的声誉。
本文将对大数学真题中的一个题目进行详细解析，希望能够帮助读者更好地理解数学的基本概念与解题思路。
首先，我们来看一道大数学真题：已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上具有二阶导数，且满足f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a, b) 使得f''(ξ) = 0。
首先，我们来理解题目的要求。
题目要求证明对于任意满足条件的函数 f(x)，在区间 [a, b] 上必然存在一个点ξ，使得f''(ξ) = 0。
这个结论其实是关于函数极值或拐点的一个基本定理，也可以理解为导函数的性质。
那么，我们应该如何证明这个结论呢？我们可以采用反证法的思路来进行证明。
首先，我们假设不存在这样的点ξ，即对于任意满足条件的函数 f(x)，在区间 [a, b] 上f''(x) ≠ 0。
根据f''(x) ≠ 0，我们可以得出两种情况：要么 f''(x) > 0，要么 f''(x) < 0。
假设 f''(x) > 0，那么我们可以得到 f'(x) 单调递增（因为导函数与函数的单调性相反）。
根据单调函数的性质可知，若 f'(x) 单调递增，则 f(x) 在 [a, b] 上也单调递增。
因为 f(a) = f(b) = 0，所以在 [a, b] 上 f(x) 恒等于 0。
然而，根据题目条件，我们知道函数 f(x) 在 [a, b] 上有二阶导数，且满足 f(a) = f(b) = 0。
这意味着函数 f(x) 在 [a, b] 上至少有一个拐点（二阶导数正负变换的点）。
这与我们的假设矛盾，因此我们的假设不成立，即存在ξ∈(a, b) 使得f''(ξ) = 0。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案1
{
x1 + x2 + x3 = 0, 2 x1 + 2 x2 + x3 = 0, xi ∈ R} ，则 dim V =
3．已知向量组 α1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，而向量组 β 1 = 4α 1 + α 2 ， β 2 = α 2 + α 3 ，
β 3 = α 3 + α 4 ， β 4 = α 4 + 2λα 1 线性相关，则 λ =
经正交变换化为标准形
2
2
2
f ( y1 , y 2 , y3 ) = 2 y1 + 5 y 2 + 5 y3
2
2
2
， 求参数 a ，b 及用的正交变换。
⎛2 ⎜ ⎜1 六、 （6 分） 已知四阶方阵 A ，X 满足关系式 AXA − 2 A = XA ， 且A=⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2
5 3 0 0
0 0 4 7
（1） a ≠ −2 且 a ≠ 1 时，有唯一解 （2） a = −2 时，因为： R ( A) ≠ R( B) ，所以方程组无解。 （3） a = 1 时，因为： R ( A) = R( B) =1<3，所以方程组有无穷多解。
⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 其通解为 ⎜ x 2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ + k1 ⎜ 1 ⎟ + k 2 ⎜ 0 ⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
3n + 1 3 L 3 3 3n + 1 3 L 3 3 c1 + c 2 3n + 1 4 L 3 3 r2 − r1 0 1 L 0 0 c1 + c3 L L L L L r3 − r1 L L L L L = 3n + 1 二 解： Dn 3n + 1 3 L 4 3 0 0 L 1 0 M M 0 L 0 1 c1 + c n 3n + 1 3 L 3 4 rn − r1 0
2016年电子科技大学835线性代数真题
1 2 22 四(20分) 设 A , 规定2阶实矩阵线性空间 R 上的线性变换 A 为: 3 4
A : R 22 R 22 , B AB BA, B R 22 .
1 0 0 1 0 0 0 0 (1) 试计算线性变换 A 在 R 22 的标准基 , , , 下的矩阵. 0 0 0 0 1 0 0 1
T T
用写求解过程).
(2) 设非零向量 , R n . 证明: 存在正交矩阵 A 使得 A 当且仅当 T T 0 .
八(20 分). 设 A 是 3 阶实对称矩阵, 各行元素之和均为 0, 且 R 2 I A 2 , A 3I 不可逆.
电子科技大学 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目：835 线性代数
注意事项：所有答案必须写在答卷纸上，否则答案无效。 符号说明: I 表示单位矩阵, A* 表示伴随矩阵, R 表示实数域.
一(15 分) 已知 3 阶矩阵 A 1 , 2 , 1 , B 2 , 1 , 2 , 其中 1 , 2 , 1 , 2 都是 3 维列向量. 若 A 4, B 5 , 求 3 A 2 B . 二(20 分) 是否存在满足如下条件的矩阵? 如果有, 请写出一个或一对这样的矩阵(不必说明 理由). 如果没有, 请说明理由. (1) 两个秩为 2 的矩阵 A43 与 B34 使得 AB O . (2) 3 阶矩阵 C 使得 C 3 O , 但是 C 4 O . (3) 2 阶正交矩阵 F 和 G 使得 F G 也是正交矩阵. (4) 2 阶矩阵 U, W 使得 UW WU I . 三(20 分) 设 2 阶矩阵 A, B 满足 AB 3 A 2 B . (1) 证明: AB BA .
电子科技大学 线性代数试题
一. 填空题(21 分)： 1. 设 3 阶矩阵 A 满足| A | = 2, 则 | −(3A* )−1 |= ________.
→
→
2. 设三角形的顶点为原点 O 及 A = (1, 2, − 1), B = (1, 1, 0), 则 OA× OB = _____
___,
面积 SΔOAB = ________.
⎛ 0 1 0 ⎞2005 ⎛ 1 2 3 ⎞ ⎛ 0 0 1 ⎞2006
3.
⎜ ⎜
1
0
0
⎟ ⎟
⎜ ⎜
4
5
6
⎟ ⎟
⎜ ⎜
0
1
0
⎟ ⎟
=_______.
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 8 9 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 0 0⎟⎠
4. R3 中, 方程 z − x2 − y2 = 0 所确定的曲面形状称为____ 22
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电子科技大学
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………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
注意: 在第七、第八题中任选做一题！
七 (7 分 ). 在 R3 中 , 求 线 性 变 换 σ (x1, x2 , x3 ) = (2x1 − x2 , x2 + x3, x1) 在 基 ε1 = (1, 0, 0),
_____.
⎛k 1 1⎞
5.
设矩阵A
=
⎜ ⎜
1
k
1 ⎟⎟的秩R( A) < 3, 则 k = _________.
⎜⎝ 1 1 k ⎟⎠
6. 若二次型 2x12 + x22 + x32 + 2x1x2 + tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围是________.
西安电子科技大学2021数电期末试题
考试时间 120 分钟一、基础部分（共40分）1.（2分）完成下列数制转换：（25.25）10 = （ ）2= （ ）16 2.（2分）将十进制数转换为相应的编码表示。
（12）10 = （ ）8421BCD= （ ）余3码3.（4分）按照反演规则和对偶规则分别写出下列函数的反函数和对偶函数。
F =AB +E̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙D +BC F̅ =__________________________________ F ∗=_________________________________4.（3分）按照要求写出下列函数的等价形式：5.（9分）已知某逻辑函数F 表达式如下，试完成下列内容：F =A̅C ̅+A ̅B ̅+BC +A ̅C ̅D ̅（1）在下图基础上完成该逻辑函数的卡诺图（下画线处也需要填写）（3分）。
===+=BC B A F （或与式） （与非与非式） （与或非式）（2）用卡诺图化简，写出该逻辑函数的最简与或式（2分）。
（3）根据化简结果，列出函数F的真值表（2分）。
（4）根据最简与或式画出该逻辑函数的电路图（2分）。
6.（6分）下图所示电路用于产生2相时钟信号，按照要求完成下述内容。
CQ1Q2（1）分别写出该电路的输出Q1和Q2的逻辑表达式（2分）。
（2）完成下列波形图，并说明在A 取不同值的情况下电路功能（初态为0）（4分）。
C Q Q2AQ1该电路的功能：_______________________________________________________ ____________________________________________________________________。
7.（6分）74194是双向移位寄存器，试判断下列电路的功能，并画出其状态表和状态图。
1（1）在下表中填写电路的状态表，并画出状态图（4分）状态图如下：（2）该电路的功能是:__________________________；（2分）装 订 线8.（8分）阅读如下电路，完成各项以下内容。
线性代数
学习中心/函授站_ 汉中学习中心姓 名 粟深波 学 号 7016140241001西安电子科技大学网络与继续教育学院2015学年上学期《线性代数》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2015年4月3日公布，2015年5月9日前在线提交；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同、拷贝均按零分计。
一、填空题（每空2分，合计50分） 1、=-===ij n ij n a D a a D 则若, (1) ；2、()的系数是中在函数321112x xx x xxx f ---= (2) 3、对于方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++-=+-.,,013222321321321x x x x x x x x x ，其系数矩阵A = (3) ；4、排列()()32121 --n n n 的逆序数等于 (4) ；5、n 阶行列式共有 （5） 项，正负号由 （6） 决定.6、对于行列式|A |，当i=j ，时，=∑=nk kj kiA a1（7） .7、用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0和 （8） .8、若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 （9） 时，方程组有无穷多解． 9、矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是 （10） ，它的行数和列数可以不同.10、333231232221131211a a a a a a a a a = (11) ； 11、最少可经排列n n i i i i 121 - (12) ; 121i i i i n n -次对换后变为排列12、对于方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-++-=+-.,,013222321321321x x x x x x x x x ，其增广矩阵B = (13) ；13、=+=*-A A A A 32,1,1且为三阶矩阵设 (14) ；14、n 阶行列式每项都是位于不同行、不同列的 （15） 个元素的乘积.15、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于（16）. 16、用克拉默法则解方程组的两个条件： （17） 和方程组中未知数个数与方程个数相等. 17、若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 （18） 时，方程组有唯一解． 18、矩阵与行列式有本质的区别，行列式是 （19） ，数字行列式经过计算可求得其值. 19、只有当两个矩阵是 （20） 矩阵时，才能进行加法运算.20、若A 、B 为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且(AB )-1= （21） . 21、若A 方阵可逆，则矩阵方程AX =B 的解X = （22） .22、矩阵等价具有的三个性质为： （23） 、 对称性 、 （24） .23、矩阵的初等行变换包括j i r r ↔、 （25） 、j i kr r +三种. 二、选择题（每题2分，合计20分）1、设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ）．A ．AP 1P 2=B B ．AP 2P 1=BC ．P 1P 2A=BD ．P 2P 1A=B2、设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( )． A ．kA* B ．k 2A* C ．k 3A* D ．31A* 3、若r(A)=r<n,则n 元线性代数方程Ax=b( )．A ．有无穷多个解B ．有唯一解C ．无解D ．不一定有解 4、下列说法中正确的是（ ）．A ．对向量组k αα,,1 ，若有全不为零的数k c c ,,1 使011=++k k c c αα ，则k αα,,1 线性无关B ．若有全不为零的数k c c ,,1 使011≠++k k c c αα ，则k αα,,1 线性无关C ．若向量组k αα,,1 线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示D ．任何n+2个n 维向量必线性相关5、设A 为n 阶矩阵，x 为n 维向量，则以下命题成立的是（ ）。
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试 题 二 （考试时间：120分钟）
一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则3
1−A
= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，T
b )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2
340A A E −+=，则1
)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=
5．若二次型
31212
322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则
t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛=1201A 则=k
A 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：112230000000
00000011
1
1
1
n n a a a a a D a a −−−=
−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+−+=+−+=+−+3
23432424321
43214321x x x x x x x x x x x x λ
讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=
（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T
=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T
)2,0,4,1(1=α，T
)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，
T
b )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；
（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
此时写出具体的表达式。
六、（10分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，
()T
0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T 3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量。
（1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A 。
七、（12分）已知R 3
中两组基T
)
0,0,1(1=εT )0,1,0(2=ε，T )1,0,0(3=ε；及()T 0,0,11=α，
()T 0,1,12=α，T )1,1,1(3=α。
（1） 求由基321,,εεε到基331,,ααα的过渡矩阵A ；
（2） 设由基331,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=100001111B ，求321,,βββ；
（3） 已知向量ξ在基321,,βββ的坐标为()T
3,2,1，求ξ在基331,,ααα的坐标。
八、设T uu E A −=，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零向量，T u 为u 的转置，
证明: （1）A A =2
的充要条件是1=u u T ；
（2）当1=u u T
时，A 是不可逆的。
试题二参考答案
一、填空
1、 – 1/8 2 、(1,0,0)T
3、 –( A-7E)/31
4、0
5、22<<−t
6、192
7、4
8、⎟
⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛1201k 二 解：提示，第i 列加至第i+1列，i=1,…,n,则D=
1
21000
021+−−n a a L M M M M L L =(-1)n
(n+1)∏=n
i i a 1. 三 解：增广矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−→⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−−−110 404 000010101332 44 121131121λλ (1) 当λ=4时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。
(2) 当4≠λ时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。
令03=x , 得一特解T
),0,1,(41440−−−=λλη；易得方程组的基础解系 T
)0,1,0,1(=η。
所以方程组的通解为0ηη+=k x 。
四 解：(1)⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛==321321*********),,(x x x x x x Ax x f T
.
(2) 由03
2
23
00
02
=−−−−−=
−λλλλA E ，得5,2,1321===λλλ。
当11=λ 时，得对应的特征向量T
)110(1−=α； 当22=λ时，得对应的特征向量T )00
1(2=α；
当53=λ时，得对应的特征向量T
)110(3=α；
(3) 将321,,ααα正交化后得正交阵Q=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−2121212100
010，相应的正交变换为X=QY,使得 2
3
222152y y y f ++=。
五 解：令 A=(321,,ααα),X=),,(321x x x T
,B=β,既讨论方程组AX=B 是否有解。
由 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−=200001002110302143211010174
3021)(b a a b AB
(1) 当≠b 2时，方程组无解，故β不能由321,,ααα线形表出。
(2) 当b=2时且1≠a 时方程组有唯一解，且β=212αα+−， 当b=2时且1=a 时方程组有无穷解，由⎩⎨⎧+=−−= 221 32
3
1x x x x ，R x ∈3
得β=321)2()21(αααk k k +++−−。
六 解：(1) 由621==λλ是A 的2重特征值，所以A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得的一个极大无关组是,,21αα故21,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
由Ｒ(A)=2可得|A|=0.所以03=λ。
设03=λ所对应的特征向量为α=),,(321x x x T
,则0,021==ααααT
T ，即
⎩⎨
⎧=++=+
0 2032121x x x x x 得基础解系α=(-1,1,1)T
,所以属于03=λ的特征向量为c α. (2) 令),,(321ααα=P ，则⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎜⎝
⎛=−06
61
AP P ，所以
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−4222422240661P P A 。
七 解： (1) (321,,ααα)=),,(321εεεA=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛10011
0111. (2) ),,(321βββ=(321,,ααα)B=),,(321εεε A B
=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100110111⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−100001111=)
,,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛100101010。
所以1β=(0,1,0)T
, 2β=(1,0,0)T
,3β=(0,1,1)T。
(3) ξ= ),,(321βββ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321= (321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−100001111⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛321=(321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−312
所以ξ在321,,ααα下的坐标为(-2,1,3)T。
八 证明：当ξ是n 维列向量时，ξ
ξT 是n 阶方阵，ξT ξ是数。
(1) 因为 T T T T T
T
T
T
I I I I A ξξξξξξξξξξξξξξξξ)(22))((2
+−=+−=−−=
=T T
T I ξξξξ
ξξ)(2+−。
从而 由A 2
=A 可写为：T T T
T
I I ξξξξξξξξ−=+−)(2，化简得：
(1−ξξ
T
)T ξξ=0.
因为 ξ是非零向量所以T
ξξ0≠,故A 2
=A 当且仅当ξξT
=1。
(2) 用反证法：ξξ
T
=1时，由(1)知A 2=A。
如果A 可逆，则有A A A A 121−−=，从而有A=I，
这与已知矛盾。
从而A 不可逆。