高中数学必修四 两角和差倍角的三角函数第5讲
第5讲 三角函数、解三解形
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
高中数学必修四-两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式知识集结知识元两角和与差公式的正向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（1）C（α﹣β）（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（α+β）（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T：tan（α﹣β）＝．（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的正向运算例1.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'例2.已知△ABC中，7sin2B+3sin2C=2sin2A+2sin A sin B sin C，则=__．例3.'若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．'三角函数给值求值问题知识讲解给出三角函数值，求同角的三角函数值或相关角的三角函数值。
例题精讲三角函数给值求值问题例1.已知，则=（）A．B．C．D．例2.已知，则=（）A．B．C．D．例3.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=____．两角和与差公式的逆向运算知识讲解1．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）＝．（5）T（α+β）：tan（α﹣β）＝．（6）T（α﹣β）例题精讲两角和与差公式的逆向运算例1.sin17°sin77°-cos163°cos77°=（）A．B．-C．D．-例2.设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β=__．例3.cos42°sin78°+cos48°sin12°__．例4.tan75°-tan15°-tan15°tan75°=__．当堂练习单选题练习1.若tan（α-）=2，则tan（2α）等于（）A．-2B．C．2+D．练习2.若tanα=-3，则的值为（）A．B．C．D．-2练习3.若，则cos4θ=（）A．B．C．D．练习4.若sin（-5°）=m，则cos100°=（）A．2m B．1-2m2C．-2m D．2m2-1练习5.已知，且α为第三象限角，则tan（2α+）=（）A．B．C．D．填空题练习1.设当x=θ时，函数f（x）=sin x+cos x取得最大值，则tan（θ+）=_____．练习2.设△ABC的内角为A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B．则_．的值为__解答题练习1.'已知关于x的方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0（m≠0）的两根为tanα，tanβ．（1）求m的取值范围；（2）求tan（α+β）的最小值；（3）求m sin2（a+β）+（2m-3）sin（α+β）cos（α+β）+（m-2）cos2（α+β）的值．'练习2.'已知函数．（1）求f（x）最小正周期、定义域；（2）若f（x）≥2，求x的取值范围．'练习3.'已知函数f（x）=x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值．'练习4.'如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在单位圆O上，∠xOA=α，且．（Ⅰ）若，求x1的值；（Ⅱ）若∠AOB=，求y=x12+y22的取值范围．'练习5.'已知函数f（x）=2sin x cos x+2sin（x+）cos（x+）．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）-1=m在[0，）上恰有一解，求实数m的取值范围．'。
高中数学一轮复习三角函数 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【解析】
对于(2)，cosAcos B－sin Asin B＝cos(A＋B)<0， ∴cos Acos B<sin Asin B，则(2)不正确． b 在(4)中，φ 的正切与a有关，φ 所在象限内 a，b 的符号确 定，(4)错．
【答案】
θ π θ (2)由 θ∈(0，π)，得 0＜ ＜ ，∴cos ＞0. 2 2 2 因此 2＋2cos θ＝ θ 4cos ＝2cos . 2 2
2θ
θ θ 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) 2 2 θ θ θ θ 2θ ＝(2sin cos ＋2cos )(sin －cos ) 2 2 2 2 2 θ θ 2θ 2θ ＝2cos (sin －cos )＝－2cos cos θ. 2 2 2 2 θ －2cos cos θ 2 故原式＝ ＝－cos θ. θ 2cos 2
(2)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定 ( )
tan α＋tan β (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角 α，β 都成立( )
(4)公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)中 φ 的取值与 a，b 的值无关( )
【例 1 】 40° ；
θ θ 1＋sin θ＋cos θsin －cos 2 2 (2) (0＜θ＜π)． 2＋2cos θ
【思路点拨】
(1)切化弦，逆用两角和的正弦公式；
θ (2)统一为 的三角函数，变形化简． 2
【尝试解答】
sin 40° (1)4cos 50° －tan 40° ＝4sin 40° － cos 40°
最新人教版高中数学必修4第一章《三角函数》本章总览
第四章 三角函数
网络体系总览
考点目标定位
1.角的概念的推广.弧度制.
2.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.
3.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.
4.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
5.正弦函数、余弦函数的图象和性质.周期函数.
6.函数y=Asin(ωx+φ)的图象.正切函数的图象和性质.已知三角函数值求角. 复习方略指南
本部分内容历来为高考命题的热点，其分值约占15%，一般都是二或三个小题，一个大题.小题主要考查三角函数的基本概念、图象、性质及“和、差、倍角”公式的运用.大题则着重考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质及三角函数式的恒等变形.试题大都来源于课本中的例题、习题的变形,一般为容易题或中档题.因此复习时应“立足于课本，着眼于提高”. 本章内容公式多,三角函数作为工具,和其他知识间的联系密切,因此复习中应注意:
1.弄清每个公式成立的条件,公式间的内在联系及公式的变形、逆用等.切不可死记硬背,要在灵、活、巧上下功夫.
2.本章突出显现以数形结合思想与等价转化思想为主导的倾向.在本章复习中,应深刻理解数与形的内在联系,理解众多三角公式的应用及三角函数式的化简、求值、证明等无一不体现等价转化思想.
3.通过图象的变换理解并掌握利用变换研究图象的思想方法,并从中体会“变换美”.
4.有关三角函数方面的应用题，大都需要用“辅助角公式”asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a
b 确定)将函数化成y=Asin(ωx+φ)+h
的形式，再求其最值或周期等.。
19.必修四数学两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数知识点：两角和与差的正弦、余弦、正切函数公式类型一、化简类问题化简类问题的基本思路1、化为特殊角的三角函数值；2、化为正负相消的项，消去求值；3、化为分子分母出现公约数，约分求值。
例1.求下列各式的值（1）（2）sin 13°cos 17°+sin 77°cos 73°-变式练习1、(1)sin cos; (2)-; (3)tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°2、化简(1) (2)解决给值求值问题的关键1、寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”。
2、已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；3、已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍数关系”或“互余关系”。
例2、已知，求的值。
变式练习1、已知α∈,且sin α=,tan β=,则tan(α+β)=.2、已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=.3、设α∈,若sin α=,则cos 等于() A. B. C.- D.-4、若tan α=3,tan β=,则tan (α-β)等于() A.-3 B.- C.3 D.5、已知sin,且<α<,求cos α的值.6.[2016·江西临川模考]已知，且，求.7、已知为第二象限角，求的值。
例3、已知α,β均为锐角,且sin α =,cos β=,求α-β的值。
例4、已知x,y∈,且cos x=,cos y=,求x+y.变式练习1、已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为()A. B.- C.-或 D.无法确定2.若A,B是△ABC的内角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B等于.3、已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.4、如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.课后作业1.sin -cos 的值是()A. B. C.- D.sin2.(2016•山东青岛平度四校联考)已知tan(α+β)=,tan-,那么tan等于()A. B. C. D.3.设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于()A. B. C. D.-或4.已知tan =2,则的值为.5.若cos =-,θ∈,则cos θ的值为.6.已知cos-+sin α=,则sin=.7.已知cos α=-,tan β= π<α<,0<β<,求α-β的值.8.(2016•广东揭阳惠来一中检测)已知函数f(x)=2sin-,x∈R.(1)求f的值;(2)设α,β∈,f,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.9、已知<β<α<π cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α的值.。
高考数学一轮复习第四章三角函数5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件新人教A版2
sin110°sin20°
的值为( B )
cos2 155°-sin2 155°
1
1
√3
A.-2
B.2
C. 2
π
√14
2cos2 -1
(2)已知 θ∈ 0, ,且 sin θ-cos θ=- ,则 π =(
4
4
cos 4+
2
4
3
A.
B.
C.
3
3
4
例 2(1)
√3
D.- 2
D )
3
D.
2
(3)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为
) D
1
D.2
-5知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
3.(2020全国Ⅱ,理2)若α为第四象限角,则( D )
A.cos 2α>0
B.cos 2α<0
C.sin 2α>0
D.sin 2α<0
解析:∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,
∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D.
-6知识梳理
1
定义可得 sin β=sin α=3,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+ sin
αsin β=-
2√2
3
2
+
1 2 7
=-9.
3
(方法二)由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称可得 β=(2k+1)π-α,k
∈Z,
则 cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。
按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。
射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.α与2α的终边关系：任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )”同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==注意：1.角α的任意性。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件-2025届高三数学一轮复习
2
1+cos 2β
1
− cos 2β
2
2
2
1
2
= .
2
]
方法3 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式=
1−cos 2α 1−cos 2β
⋅
2
2
1
4
+
1+cos 2α
2
⋅
1+cos 2β
2
= (1 + cos 2αcos 2β − cos 2α − cos 2β) +
1
cos
2
1
4
2αcos 2β
s(2+β
co
)2=co
(α+β
s2
)−[2
s(α+β
co
)−1
]=
.β
s2=co
(α+β
s2
)+β
α−α
2
sin
s2·co=co
co
(α+β
s2
)−α
s(2+β
co
)2=co
(α+β
s2
)−[2
s(α+β
co
)−1
]=
.β
s2=co
(α+β
s2
)+β
α−
2
sin
=co
(α+β
s2
)−
s=co
co
(α+β
3
2 2
1
cos 2x = 1 − 2sin2 x = 1 − 2 × −
= .
3
9
例3 ［教材改编P223 T5］利用倍角公式求下列各式的值：
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
,cos
α= 33 ,则cos α
6
=
答案 1 - 6
26
解析
∵α∈ 0, 2
,cos
α= 3 , 3
∴sin α= 6 . 3
∴cos α
6
=cos
αcos -sin
6
αsin
6
= 3 × 3 - 6 × 1 = 1 - 6 .
.
3
答案 (1) 2 5 (2) 7
25
9
栏目索引
.
考点突破 栏目索引
解析 (1)依题意得sin α= 1 cos2α = 2 5 ,
5
因为sin(α+β)= 3 <sin α且α,β都是锐角,
5
所以α+β∈ 2 , ,所以cos(α+β)=- 54 .
于是cos β=cos[(α+β)-α]
5
A. 7 B.- 7 C. 16 D.- 16
25
25
25
25
答案 A 由sin(α-kπ)= 3 (k∈Z)得sin α=± 3 .
5
5
所以cos
2α=1-2sin2α=1-2× 53
2
=1- 18 = 7 .故选A.
25 25
教材研读 栏目索引
5.已知α∈ 0, 2
2 cos10 cos 80
=
2
2
cos10sin10
=
2 1 sin 20
=-1.
2
考点突破 栏目索引
考点突破 栏目索引
2-2 在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C=
新课标人教A版数学必修4全部课件：两角和与差的三角函数(5)
5、二倍角的正切公式
tan 2
2 tan 1 tan
2
T2
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 2 sin 1 2 co s
( 2 )sin cos
(3)a sin x b cos x
化 a sin x b cos x 为一个角的三角函数形式
4、 若 是 一 个 三 角 形 的 最 小 内 角 ， 则 函 数 y sin co s 的 值 域 为 .
5、 求 下 列 函 数 的 值 域 ： (1)y (2)y 5 sin x 1 co s x 2 tan 2 sec 1
6、 求 函 数 y
a sin x b cos x
a b
2 2
a a b
2 2
sin x
2
b a b
2
co s x
令
a b
2 2 2
co s
2
a a b
2
sin
2
b a b
2
s in x co s
c o s x si n
sin sin
co s co s
2
1 2 sin co s 1 2 sin co s
2
1、 已 知 角 、 、 足 sin sin sin , co s co s co s , 求 的 值 .
4、 若 是 一 个 三 角 形 的 最 小 内 角 ， 则 函 数 y sin co s 的 值 域 为 .
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第五讲 两角和差倍角的三角函数
【开心自测】
1. 已知cos （α+β）cos （α－β）=3
1，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32
B ．－31
C ．31
D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形 3. 已知),2
(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
【教学重难点及考点占比】重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
难点：公式的灵活运用 。
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【知识梳理】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
αααcos sin 22sin = 1c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s 2222-=-=-=ααααα
α
αα2tan 1tan 22tan -= 3．注意公式的逆用或变形应用
2
2c o s 1s i n 22c o s 1c o s 22ααα
α-=+= 2s i n 2c o s 12c o s 2c o s 122α
αα
α=-=+
ααααα2t a n 21t a n 1t a n 2s i n 2
1c o s s i n 2=-=⋅x )4t a n (t a n 1t a n 1απαα+=-+ )4t a n (t a n 1t a n 1απαα-=+- )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα+-+=+
)t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅+-=-
4．在公式的应用中，还要注意角的常见变形
如：)()(2βαβαα--+=
αβαβ-+=)( 22βαβαβ--+=
5．三倍角的正弦、余弦公式 αααα
ααcos 3cos 43cos sin 4sin 33sin 33-=-=
6．二倍角三角函数公式的主要功能 （1）并项功能：并项功能的主要表现形式是：
222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±
（2）升次功能：升次功能的主要表现形式是：
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
（3）降次功能：降次功能的主要表现形式是：
22cos 1sin 2
cos 1cos 22ααα
α-=+=
【金题精讲】 例1．不查表求下列各式的值.
(1)︒555sin (2))125cot(π-
（3）cos 75 ； （4）cos195 ；
(5)︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos (6)12cos 312sin
ππ-
（7）cos54cos36sin54sin36- ． （8）︒︒+︒+︒33tan 12tan 33tan 12tan
例2．把已知x x cos 3sin 2-化成)sin(ϕ+x A 的形式.
例3．已知2sin ,(,)32πααπ=
∈，33cos ,(,)42πββπ=-∈，求sin()αβ-，cos(),tan()αβαβ++．
例4．求值︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin
例5． 已知),2(,135sin ππ∈α=
α，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。
例6. 已知5
3)sin(,1312)cos(,432-=+=-<<<βαβαπαβπ，求α2sin 的值.
【达标训练】
1．2tan 2cot α
α
-可化简为（ ）
A 、αcot 2
B 、αsec 2
C 、αsin 21
D 、αcos 21 2．︒-︒
+20tan 120tan 1等于（ ）
A 、︒65tan
B 、︒25tan
C 、︒-65tan
D 、︒-25tan
3．若53)4tan(-=+π
α，则=-)4tan(π
α .
4．︒⋅︒+︒+︒40tan 20tan 340tan 20tan =
5.求值：
（1）sin 2230cos2230''⋅= ．
（2）=-π
18cos 22 ．
（3）=π
-π
8cos 8sin 22 ．
（4）8sin cos cos cos 48482412π
π
π
π
= .
6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4
πα+的值。
7.利用三角公式化简：)10tan 31(50sin +．。