几何图形中的变与不变
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
数学中的几何变换与变形
数学中的几何变换与变形几何学是数学的一个重要分支，它研究空间形状和大小之间的关系。
而在几何学中，几何变换和几何变形是两个重要的概念。
本文将详细介绍数学中的几何变换与变形，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、几何变换几何变换是指通过某种规则和方法，改变几何图形的形态、位置或大小。
常见的几何变换包括平移、旋转、镜像和缩放等。
1. 平移平移是指通过固定向量来改变几何图形的位置，使其在平面上或空间中整体移动。
平移不改变图形的形状和大小，只改变了它的位置。
2. 旋转旋转是指围绕某一点或某条轴线，使几何图形按照一定的角度旋转。
旋转可以是顺时针方向或逆时针方向，并且可以是围绕原点旋转或围绕其他点旋转。
3. 镜像镜像是指以一条直线或一个平面作为镜子，使几何图形对称地映射到另一侧。
镜像可以是关于一条直线的对称，也可以是关于一个平面的对称。
4. 缩放缩放是指通过改变几何图形的大小，使其变大或变小。
缩放可以按比例进行，也可以按照给定的倍数进行。
二、几何变形几何变形是指改变几何图形的形状，使其在保持面积或体积不变的前提下，变为另一种形状。
常见的几何变形包括相似变形和全等变形。
1. 相似变形相似变形是指通过等比例放缩、旋转和镜像等操作，使几何图形变为相似形状。
相似变形不改变几何图形的角度，只改变它们的尺寸和位置。
2. 全等变形全等变形是指通过平移、旋转和镜像等操作，使几何图形完全重合。
全等变形保持了几何图形的所有尺寸和角度不变。
三、几何变换与变形在实际应用中的意义几何变换与变形在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
以下是几个例子：1. 图像处理在计算机图形学和图像处理中，几何变换和变形常用于图像的平移、旋转、缩放和变形等操作，以便实现对图像的处理和编辑。
2. 计算机动画在计算机动画制作中，几何变换和变形用于控制和改变动画中物体的形状和位置，实现生动逼真的动画效果。
3. 建筑设计在建筑设计中，几何变换和变形可以帮助设计师快速调整和修改建筑物的形状和结构，提高设计效率和灵活性。
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。
它是研究几何性质和图像的重要方法之一。
本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。
一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。
平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。
例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。
2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。
例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。
3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。
二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。
旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。
例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。
2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。
例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。
3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。
在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。
三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。
对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。
例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。
2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。
小学数学思想方法的梳理(六)几何变换思想
平移、旋转、轴对称变换与生活中物体的平移、旋转和轴对称现象不是一个概念。数学来源于生活，但不等于生活，是生活现象的抽象和概括。生活中的平移和旋转现象往往是物体的运动，如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体的运动，都可以称之为平移现象或旋转现象。而中小学中的几何变换都是指平面图形在同一个平面的变换，也就是说原图形和变换后的图形都是平面图形，而且都在同一个平面内。几何中的平移、旋转和轴对称变换来自于生活中物体的平移现象、旋转现象和轴对称现象，如果把生活中这些物体画成平面图形，并且在同一平面上运动，就可以说成是几何中的平移、旋转和轴对称变换了。
③在平移变换下两点之间的距离保持不变。如任意两点A和B，变换后的对应点为Ａ′和Ｂ′，则有ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。
在解初等几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。
(2)旋转变换。
在同一平面内，使原点O变换到它自身，其他任何点X变换到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)；则称这样的变换为旋转变换。O称为旋转中心，定角θ为旋转角。当θ>0时，为逆时针方向旋转；当θ<0时，为顺时针方向旋转。当θ等于平角时，旋转变换就是中心对称。通俗地说就是一个图形围绕一个定点在不变形的情况下转动一个角度的运动，就是旋转。在旋转变换下，图形的方位可能有变化。
图案的欣赏和设计
判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到的；
利用平移、旋转和轴对称等变换，设计美丽的图案
相似变换
把简单图形放大或缩小
画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形
4．几何变换思想的教学。
(1)课程标准关于图形变换的教学要求。
几何变换的基本概念与性质
性质：几何变换的组合具有结 合律和单位元，满足封闭性。
组合方式：顺序组合、嵌套组 合、逆序组合等。
应用：在计算机图形学、机器 人学、物理学等领域中广泛应 用。
几何变换的复合
性质：复合变换具有连续性 和可结合性，满足结合律。
定义：将两个或多个几何变 换按照一定的顺序进行组合， 得到一个新的几何变换。
域有广泛应用
举例：平面镜成 像、反射光线等
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04 几何变换的应用
在图形设计中的应用
几何变换可用于创建各种复杂的几何图形和图案 通过几何变换可以生成对称、旋转、平移等图形效果 在计算机图形学中，几何变换是实现三维模型渲染和动画效果的关键技术之一 几何变换在建筑设计、平面设计、服装设计等领域有着广泛的应用
的角度
错切变换：将图形 沿某一方向倾斜一
定的角度
几何变换的实现方法
矩阵变换：通过定义 变换矩阵，对原始几 何形状进行线性变换
投影变换：通过投影 方式将三维物体转换 为二维图像，常见于
计算机图形学
仿射变换：包括平移、 旋转、缩放等基本操 作，保持形状和大小
不变
组合变换：将多个基 本变换组合起来，实 现更复杂的几何变换
在机器人学中的应用
几何变换可用于描述机器人的运动和姿态 机器人通过几何变换实现精确的定位和导航 机器人通过几何变换实现姿态调整和姿态控制 几何变换在机器人学中具有广泛的应用前景
05 几何变换的组合与复合
几何变换的组合
定义：将两个或多个几何变换 按照一定的顺序组合在一起， 形成一个新的几何变换。
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计算方法：通过矩阵乘法或 相应的坐标变换公式进行计
变中不变找规律 函数特值试一试——对中考一类定值问题的探究
变中不变找规律㊀函数特值试一试对中考一类定值问题的探究陈㊀通(江苏省泗洪县洪泽湖路实验学校ꎬ江苏泗洪２２３９００)摘㊀要:中考中的定值问题ꎬ主要涉及三角形中的定值问题㊁圆中的定值问题和矩形中的定值问题.解决这类定值问题的方法主要是寻找变化中的不变量ꎬ先从特殊情形(比如特殊点或特殊位置)算出定值ꎬ再结合几何性质或者函数关系进行一般化的证明.关键词:中考ꎻ平面几何ꎻ定值问题ꎻ运动ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００３８－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:陈通(１９８６.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省泗洪县人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在一个给定的图形中ꎬ某些元素(如点㊁线㊁角㊁三角形等)按照一定的规律在运动变化ꎬ而在运动变化中ꎬ某几何量或几何量间的关系(如线段的长度㊁角的度数㊁图形的周长或面积的大小等)却始终保持固定的数值ꎬ这就是几何图形 变中不变 问题ꎬ也称 定值 问题[１].求解这类 定值问题 难度较大ꎬ解决的办法一般是将问题特殊化ꎬ即先从特殊情况入手ꎬ找出定值ꎬ然后再一般化处理.定值问题常见的题型有:线段㊁角度定值ꎻ周长定值ꎻ面积定值ꎻ线段的乘积定值等[２].比如ꎬ对于线段乘积为定值的问题ꎬ大多采用相似法ꎬ通过相似成比例把乘积问题转化为比例问题.此外ꎬ对于定值问题ꎬ还可以设变量ｘꎬ并用ｘ的代数式来表示其他变量ꎬ通过代数式变形计算解决问题.若计算结果中不含ｘ和其他变量ꎬ则为定值ꎬ否则不是.这种用 数 来研究 形 的方法ꎬ是研究定值问题的常用方法[３]ꎬ同时体现了转化思想与数形结合思想.１三角形中的定值问题例１㊀如图１ꎬ在等腰直角әＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬＯ是ＡＢ的中点ꎬ且ＡＢ＝６ꎬ将一块直角三角板的直角顶点放在点Ｏ处ꎬ始终保持该直角三角板的两直角边分别与ＡＣꎬＢＣ相交ꎬ交点分别为ＤꎬＥꎬ则ＣＤ＋ＣＥ＝(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.６图１㊀例１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例１解析示意图分析㊀先探究特殊位置ꎬ当Ｅ是ＢＣ中点时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ当Ｅ与点Ｃ重合时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ因此只需说明点Ｅ在ＢＣ上任意位置ＣＤ＋ＣＥ的值是不变的.解㊀如图２ꎬ连接ＯＣ.ȵ等腰直角әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝６ꎬʑＢＣ＝６ˑｃｏｓ４５ʎ＝６ˑ２２＝３.ȵＯ是ＡＢ的中点ꎬʑＯＣ＝１２ＡＢ＝ＯＢꎬＯＣʅＡＢꎬʑøＣＯＢ＝９０ʎ.ȵøＤＯＣ＋øＣＯＥ＝９０ʎꎬøＣＯＥ＋øＥＯＢ＝９０ʎꎬʑøＤＯＣ＝øＥＯＢ.８３同理可得øＡＣＯ＝øＢꎬʑәＯＤＣɸәＯＥＢꎬʑＤＣ＝ＢＥꎬʑＣＤ＋ＣＥ＝ＢＥ＋ＣＥ＝ＢＣ＝３.点评㊀本题是一个选择题ꎬ我们可以通过点Ｅ的特殊位置快速选出答案.对于解答题探究定值ꎬ一般是先考虑特殊情况ꎬ得到定值ꎬ再一般化ꎬ确定求证途径.２圆中的定值问题例２㊀如图３ꎬ线段ＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬ延长ＡＢ至点Ｃꎬ使ＢＣ＝ＯＢꎬＥ是线段ＯＢ的中点ꎬＤＥʅＡＢ交☉Ｏ于点ＤꎬＰ是☉Ｏ上一动点(不与点ＡꎬＢ重合)ꎬ连接ＣＤꎬＰＥꎬＰＣ.(１)求证:ＣＤ是☉Ｏ的切线.(２)小明在研究的过程中发现ＰＥＰＣ是一个确定的值.回答这个确定的值是多少ꎬ并对小明发现的结论加以证明.㊀㊀图３㊀例２题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀例２分析示意图分析㊀如图４ꎬ先探究点Ｐ的特殊位置ꎬ当ＰＥʅＯＣ时ꎬ易得әＰＣＥ是含３０ʎ角的直角三角形ꎬ因此ＰＥＰＣ＝１２.最后再证明一般情况下比值不变即可.解㊀(１)如图５ꎬ连接ＯＤꎬＤＢꎬȵＤＥ垂直平分ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ.ȵＤＯ＝ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ＝ＯＢꎬʑәＯＤＢ是等边三角形ꎬʑøＢＤＯ＝øＤＢＯ＝６０ʎ.ȵＢＣ＝ＯＢ＝ＢＤꎬ且øＤＢＥ为әＢＤＣ的外角ꎬʑøＢＣＤ＝øＢＤＣ＝１２øＤＢＯ＝３０ʎ.ʑøＯＤＣ＝øＢＤＯ＋øＢＤＣ＝６０ʎ＋３０ʎ＝９０ʎꎬʑＣＤ是☉Ｏ的切线.图５㊀例２(１)问解析示意图(２)这个确定的值是１２.如图３ꎬ由已知可得ＯＰ＝ＯＢ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＯＥＯＰ＝ＯＰＯＣ＝１２.又ȵøＣＯＰ＝øＰＯＥꎬʑәＯＥＰʐәＯＰＣꎬʑＰＥＰＣ＝ＯＰＯＣ＝１２.点评㊀解决定值问题时ꎬ对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ定值一定和题目所给的 不变量 有关.因此ꎬ在 变化 的量中寻求 不变 的量是解决问题的关键.一般可先从特殊位置㊁极端位置或特殊数值入手ꎬ探究出这个定值ꎬ然后再借助特殊情况的思路作为探讨一般情况的基础ꎬ完成一般情况的证明.３矩形中的定值问题例３㊀如图６ꎬ在边长为３的正方形ＡＢＣＤ中ꎬ点Ｅ是ＣＤ边上一点ꎬ点Ｆ是ＣＢ延长线上一点ꎬＡＦ＝ＡＥꎬ连接ＥＦꎬ交ＡＢ于点Ｋꎬ过点Ａ作ＡＨʅＥＦ于Ｈꎬ延长ＡＨ交ＢＣ于点Ｇꎬ连接ＨＤꎬ若ＢＧ＝２ꎬ则ＡＫ ＤＨ＝.分析㊀可证ＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬ从而可得øＤＡＥ＝øＢＡＦꎬ再证әＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬ可得әＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬ从而可证әＡＫＦɸәＨＥＤꎬ可得ＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬ可证øＢＦＫ＝øＢＡＧꎬ可得ｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬ可求２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ可证әＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬ可得３－２ｘ＝２＋３ｘꎬ即可求解.㊀㊀图６㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３解析示意图解㊀ȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＡＢ＝ＡＤꎬøＡＤＥ＝øＡＢＣ＝øＡＢＦ＝øＤＡＢ＝９０ʎꎬ在ＲｔәＡＢＦ和ＲｔәＡＤＥ中ꎬＡＢ＝ＡＤＡＦ＝ＡＥ{ʑＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬʑøＤＡＥ＝øＢＡＦꎬʑøＥＡＦ＝øＢＡＥ＋øＢＡＦ＝øＢＡＥ＋øＤＡＥ＝９０ʎꎬʑәＡＦＥ为等腰直９３角三角形ꎬȵＡＨʅＥＦꎬʑ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬʑＡＨ＝ＥＨ＝ＦＨ＝１２ＥＦꎬ如图７ꎬ连接ＣＨꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＣＤ＝ＡＤ.ȵ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬøＤＣＢ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝１２ＥＦꎬʑＡＨ＝ＣＨ.在әＡＤＨ和әＣＤＨ中ꎬＡＨ＝ＣＨＤＨ＝ＤＨＡＤ＝ＣＤìîíïïïꎬʑәＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬʑøＡＤＨ＝øＣＤＨ＝４５ʎꎬȵәＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬʑøＡＦＥ＝４５ʎꎬʑøＡＦＫ＝øＥＤＨ＝４５ʎꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑøＢＫＦ＝øＣＥＨꎬʑøＡＫＦ＝øＤＥＨꎬʑәＡＫＦʐәＨＥＤꎬʑＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ.在等腰直角三角形әＡＦＨ中ꎬＡＦ＝２ＦＨ＝２ＥＨꎬʑＥＨ＝２２ＡＦꎬȵøＢＡＧ＋øＡＧＢ＝øＡＧＢ＋øＢＦＫ＝９０ʎꎬʑøＢＦＫ＝øＢＡＧꎬʑｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬʑＢＧＡＢ＝ＢＫＢＦꎬ即２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ在әＡＫＨ和әＦＧＨ中ꎬøＢＡＨ＝øＧＦＨＡＨ＝ＦＨøＡＨＫ＝øＦＨＧìîíïïïꎬʑәＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬʑＡＫ＝ＦＧꎬʑ３－２ｘ＝２＋３ｘꎬʑｘ＝１５ꎬʑＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢＦ２＝３２＋３５æèçöø÷２＝２３４２５ꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ＝２２ˑ２３４２５＝１１７２２５.点评㊀根据正方形和三角形的性质以及一般角的三角函数值等ꎬ找出ＡＫ＝ＦＧꎬ从而可得３－２ｘ＝２＋３ｘ是解题的关键.４平行四边形中的定值例４㊀如图８ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬＢＣ＝３ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬＮ为ＡＢ上一点ꎬＥ为ＢＣ上一点ꎬＢＥ＝ＡＢꎬＡＢ＝４ＡＮꎬＰ㊁Ｍ分别为ＡＥꎬＢＣ上两点ꎬ当ＮＰ＋ＭＰ＝３时ꎬＡＰ＝.分析㊀本题主要考查了平行线之间的距离和等边三角形的判定和性质ꎬ先证明әＡＢＥ是等边三角形ꎬ再在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ构造әＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬ将折线线段和转化为平行线之间的距离ꎬ得出Ｍ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬ通过解三角形求出ＡＰ.图８㊀例４题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例４解析示意图解㊀ȵ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬʑøＢ＝６０ʎꎬ又ȵＢＥ＝ＡＢꎬʑәＡＢＥ是等边三角形ꎬʑøＢＡＥ＝øＤＡＥ＝６０ʎꎬ如图９ꎬ过点Ａ作ＡＨʅＢＣ垂足为Ｈꎬ在ＲｔәＡＢＨ中ꎬＡＨ＝ＡＢｓｉｎøＢ＝２ˑ３２＝３ꎬ在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ即ＡＱ＝１４ＡＢ＝１２ꎬʑәＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬʑＱＰ＝ＮＰꎬʑＮＰ＋ＭＰ＝ＱＰ＋ＭＰȡＡＨꎬȵＮＰ＋ＭＰ＝３ꎬ即:ＱＰ＋ＭＰ＝ＡＨꎬʑＭ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬʑＡＰ＝ＡＱｃｏｓøＱＡＰ＝１２ːｃｏｓøＱＡＰ＝１.对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ可以将问题引向特殊情形ꎬ先求出这个定值ꎬ再进行证明ꎬ探索出的定值必须通过证明才能明确其正确性ꎬ要论证的问题就是特殊情形与一般情形的固定关系.也可直接设参数进行推理㊁计算ꎬ并在计算中消去参数ꎬ得到定值.得到了定值ꎬ做题时就有了明确的目标与方向ꎬ再证明一般情况下结论成立即可.参考文献:[１]吕小保.中考 定值 问题探究[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１０(０６):４１－４３.[２]刁琴ꎬ石勇国.中考热点题型 动点最值问题的反思[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２３(０１):５０－５１.[３]刘贤华.中考最值问题分析及解题技巧[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２２(１９):２９－３０.[责任编辑:李㊀璟]０４。
三年级数学认识几何中的平移旋转与对称
三年级数学认识几何中的平移旋转与对称三年级数学认识几何中的平移、旋转与对称在三年级数学学习中，我们开始认识几何图形，同时也学习了几何中的平移、旋转与对称。
这些概念是我们数学学习的重要一环，对于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力起着至关重要的作用。
一、平移平移是指将一个图形按照固定的方向和距离进行移动，移动后的图形与原来图形大小、形状保持不变。
平移是我们最常见的一种几何变换，例如我们常见的走路、开车等都是平移的例子。
在平移中，重要的是确定平移的方向和距离。
我们可以使用箭头来指示平移的方向，使用格子来确定平移的距离。
通过平移，我们可以改变图形的位置，但图形的其他性质会保持不变。
例如，我们可以利用平移将一个正方形移动到另一个位置。
在平移的过程中，正方形的边长和内角大小始终保持不变，这就是平移的特点之一。
二、旋转旋转是指将一个图形按照一个固定的中心点，按照一定的角度将图形进行转动。
旋转后的图形与原来图形大小、形状保持不变。
在旋转中，中心点和旋转角度是非常重要的概念。
我们可以通过使用一个圆圈来表示旋转的中心点，并使用角度来表示旋转的方向。
在旋转的过程中，图形的其他性质也会保持不变，例如边长、角度等。
例如，我们可以通过旋转将一个三角形转动到另一个位置。
在旋转的过程中，三角形的边长和角度大小保持不变，只是位置发生了变化。
三、对称对称是指图形相对于某个中心线对称，即两侧具有相等的形状和大小。
在对称中，中心线是非常重要的概念，它可以是直线、曲线或者是某个点。
在对称中，图形的性质有以下特点：对称图形的两边镜像对应的边和角度都是相等的，也就是说，对称图形的一半是可以通过镜像对折而得到的。
例如，我们可以通过对称将一个图形翻转到另一侧。
在对称的过程中，图形的大小、形状都保持不变，只是位置发生了翻转。
通过学习平移、旋转和对称，我们可以更好地理解和把握几何图形的性质。
这些概念不仅仅在数学学习中有用，也在我们日常生活中有很多应用。
几何图形中的变与不变——面积不变周长变化的规律
无论什么形状，面积都相等。
因为都是由6个同样大小的正方形组成的。
既然它们的面积一样， 那么哪种摆法周长
最长？哪种摆法周长最短呢?
公共边的条数越多，周长越短。
随着长和宽的变化，周长也跟着发生了变化。
在长和宽的数值相差越大时，周长越大；在
长和宽的数值相差小时，周长越小。
面积相同的情况下为什么正方形的周长最短呢？ 正方形的公共边最多，因此它的周长最短，
也就是公共边越多，周长越短。
应用规律，猜想、验证
一个长方形面积是24平方分米，猜猜长、宽分别是
多少时，周长最大？何时周长最小？图形什么样？
欧 拉的故事
欧拉在小时候就应用面积不变，周长变化的数学知识， 帮助爸爸解决了难题。 原来的羊圈有100只羊。长40米，宽15米，面积是600平 方米。平均每一头羊占地6平方米。但现在，爸爸发现羊圈有 点小了，决定建造一个新的羊圈。他发现他的材料只够围100 米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，周长 将是110米（15+15+40+40=110）。 怎么办呢？
如果你是小欧拉，你怎么帮助爸爸呢？
让长和宽的数值相差最小，周长才能最小，围 成边长是25米的正方形，不但使羊圈的面积增大， 而且100米的篱笆正好够围，帮助爸爸解决了难题。
人教版数学三年级下册
第六单元
面
积
课题六 几何图形中的变与不变 —面积不变周长变化的规律
用6个同样大小的正方形设计成不同形状的欢迎牌匾。
④号牌匾，在面积 相同的情况下它的 周长最短。
为了增加美观性，我们要在牌匾的外围镶金边。 如果让你选择，你觉得哪块牌匾镶金边能够既 省材料、围起来速度又快？
你还能用6个正方形设计出不同形状的欢迎 牌匾吗？你认为它们的面积和周长都一样吗？
解决翻折问题的关键：找准“变”与“不变”
解决翻折问题的关键：找准“变”与“不变”作者：韩文美来源：《新高考·数学基础》2019年第04期立体几何的翻折问题是指将一平面图形翻折后变成空间图形，然后根据平面图形的数量关系、位置关系等的变化与否来研究空间图形中各元素间的数量关系、位置关系等问题.所以，解决翻折问题的关键是确定翻折前后的不变量与改变量.一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，把握这点是解决这类问题的关键.一、翻折中的判定问题通过平面图形的翻折后变成空间图形，进而研究翻折后的空间图形中的点、线、面的位置关系，判定相关的点、线、面的平行或垂直关系，以及相应量的变化等.例1 如图1，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△Al DE.若M为线段A，C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是____ .故填答案：①②④.点评平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征，据此可加以分析与判断.二、翻折中的距離问题通过平面图形的翻折后变成空间图形后的距离问题，往往涉及空间几何体的表面积与体积，以及空间距离等数量关系的证明与计算等.例2 如图3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D'EF的位置.三、翻折中的探究问题结合平面图形的数量关系与位置关系研究翻折后的空间图形中的点、线、面的开放与创新探索问题，包括点、线的位置确定，存在性或探究性问题等.例3 如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD 上的一点.将△ADE沿DE翻折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图5.（1）求证：DE∥平面AlCB;（2）求证：A1F⊥BE;（3）线段A1B上是否存在点Q，使AC⊥平面DEQ？说明理由.分析（l）由D，E分别为AC，AB的中点，通过线线平行的转化，易证DE∥平面A1 CB;（2）由题中线线垂直可证DE⊥平面A1DC，进而有DE⊥A1F，结合线面垂直的判定可证A1F⊥平面BCDE，进而得到对应的线线垂直关系;（3）分别取A1C，A1B的中点P，Q，可得PQ∥BC，平面DEQ即为平面DEP，结合（2）中的线面垂直关系的转化，利用线线垂直关系来证明对应的线面垂直关系，进而得以解决存在性问题.点评在解决翻折中的开放、创新或探究性问题时，一般通过先确定存在性、位置关系等开放性结论，再通过合理的推理与分析来说明.而正确的翻折处理、直观图的判定以及科学的推理论证都是必不可少的.立体几何的翻折问题背景简单，但立意较深，对考生的空间想象能力要求很高，可以有效改善同学们对立体几何的思维定势，构造空间立体几何结构直观图，使静态数学动态化，优化思维品质。
几何形的变形与运动
几何形的变形与运动几何形的变形与运动是几何学中一个重要的研究领域，它研究的是几何图形在平面或者空间中的形状的改变和位置的变化。
这些变形和运动常常出现在实际生活中的各个领域，如建筑设计、工程制图、计算机图形学等。
本文将介绍几何形的变形与运动的基本概念、方法和应用。
一、基本概念1. 几何形的变形几何形的变形是指在平面或者空间中，通过改变图形的边长、角度或者其他属性，使得图形的形状发生改变的过程。
常见的几何形变形包括平移、旋转、缩放、对称等。
平移是指沿着指定的方向将图形整体移动到另一个位置，旋转是指围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，缩放是指改变图形的尺寸大小，对称是指关于某个中心点或者中心轴对图形进行对称。
2. 几何形的运动几何形的运动是指在平面或者空间中，通过改变图形的位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变的过程。
与几何形的变形不同，几何形的运动只改变图形的位置，而不改变其形状和大小。
常见的几何形运动包括平移、旋转、翻转、滑动等。
平移是指将图形整体移动到另一个位置，旋转是指围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，翻转是指将图形沿指定的中心轴进行翻转，滑动是指在平面上按照一定线段的方向和长度进行平移。
二、基本方法1. 平移变形与运动平移是最基本的几何形变形与运动之一。
平移变形是通过改变图形的位置将图形整体移动到另一个位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变，但形状和大小保持不变。
平移运动是通过改变图形的位置将图形整体移动到另一个位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变，但形状和大小保持不变。
2. 旋转变形与运动旋转是几何形变形与运动中常见的一种方法。
旋转变形是通过围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，使得图形的形状相对于原来的位置发生改变。
旋转运动是通过围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，使得图形的位置相对于原来的位置发生改变，但形状保持不变。
3. 缩放变形与运动缩放是几何形变形与运动中常见的一种方法。
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几何图形中的变与不变
___面积不变周长变化的规律
一、教学目标：
1、通过用几个面积相同的正方形摆各种不同形状的图形，让学生感受面积不会发生变化，图形的周长会变小或不变。
2、通过对用几个面积相等的正方形摆各种不同形状的周长变化情况进行探讨，总结周长变化规律。
3、通过学习探讨感受数学的学习乐趣，灵活地将学到的知识应用到生活中，为我们解决生活中的问题。
二、教学重难点：
1、用几个相同面积的正方形摆不同图形的方法。
2、探讨周长为什么会发生变化，是如何变化的。
3、面积与周长的特点在生活中的运用。
三、教具准备：
1、老师准备12个边长5厘米的正方形，大方格纸一张。
每桌同学准备边长1厘米的小正方形6个。
2、面积与周长变化对照表。
3、PPT
四、教学过程：
（一）谈话引入课题
师：同学们，通过前几天的学习，大家一定都知道长方形和正方形的面积计算方法，而且也能根据条件进行不同情况下计算，好，今天老师想与你们一起来探讨几何图形中面积不变的情况下周长的变化情况。
（二）动手操作，探索不同的组合形式
（1）规则图形的组合
师：同学们，老师给大家准备了6个边长1厘米的正方形（出示），请同学们想一想：你用这6个正方形能摆成一些什么图形……
（生先想，然后动手摆）
生：……
师：教师巡视。
师：老师在下边巡视时，看到了同学们许多不同的摆法，真好！现在老师想请几个同学上黑板来将他们的摆法展示给同学们看一看。
生：展示自己的摆法。
师：同学们摆出了各种形状的组合，但这些都有一个共同的特点：都是组成的图形是规则的长方形。
（2）不规则图形的组合
师：同学们能不能用这6个正方形摆一些不规则的图形呢？老师来个抛砖引玉，请看：
师：同学们像这样的不规则图形你一定拼出各种各样的，请同学们开动你的脑筋，再去拼一拼吧！
生：……动手拼成其它不规则图形。
师：帮助一些小组的同学拼组图形
生：请同学上黑板去展示拼成的各种图形。
师：生展示一个，在PPT上出示一个……
方法1 方法2
方法3
方法4
师：同学们真会动脑筋，组合出了各种美丽的图形，真是了不起，老师真心为你们祝贺！
(过渡)师：现在我们来探究这些图形的面积与周长之间的特点。
（三）探究面积特点与周长特点
（1）有重叠边的情况
师：同学们，我们现在来将刚才大家拼成的图形来进行了一个分类，
你们有什么好的分类标准呢？
生：根据边有没有重叠来分类。
师：
好，那我们现在将有重叠的图形移到一起，来探究一下这些图形面积与周长的变化情况。
师：出示图形，并计算面积和周长
图1 图2 图
3 图
4 图
5 图
6 图
7 面积 6 6 6 6 6 6 6
周长14 10 14 12 14 12 14 重叠边 5 7 5 6 5 6 5 图1 图2
图3 图4
图5 图6
图7
结论；用相同的小正方形拼图形，无论如何拼面积都不变，图形重叠边越多，周长越小。
（2）没有重叠边的情况
师：现在我们来讨论没有重叠边图形的面积与周长的情况（请同学们用刚才的办法自己来填表格进行总结。
）
生：观察拼成的图，然后填空
师：同学们你们发现了什么呢？
生：用相同小正方形拼成的图形中，没有重叠边的图形面积相等，周长也相等。
师：是的，你们真能干，通过刚才我们动手拼图，观察探究找出了拼图中的图形面积都是不变的，如果边的重叠，重叠越多，周长越短，没有重叠边的，周长就是原来的图形的周长总和。
（四）知识运用
师：同学们，老师现在这里有16个大小相等的小正方形，请你在方格纸中摆规则图形，你能摆出多少种？ 生：拼…… 生：展示
图8 图9 图10 图11 面积 周长 重叠边
图8
图9
图10
图11
师：利用上面同学们画的图，请你完成下面的表：
长宽面积周长
16 1 16 34
8 2 16 20
4 4 16 16
生：填表……
师：老师将上面表格的数据绘制成条形统计图，这样进行对照，请细心观察，你发现了当面积相同时，图形的长宽与周长的关系了吗？
师生：总结：长宽相差越（大），周长越（长），长宽相差越（小），周长越（小）当长与宽（相等）时，周长最短。
师：现在我们再一次来拼图，验证规律。
请你用24个大小相等的小正方形拼规则图形，猜猜什么时候周长最短，什么时候周长最长？
师：同学们你们通过观察知道哪种情况周长最短？哪种情况下周长最长了吗？
生：当长是24，宽是1时，周长最长；当长是6时，宽是4时，周长最短。
师：真是好样的，同学们明白了当面积相等时，什么情况下周长最长，什么情况下周长最短。
师：其实在很久以前，就有一位与你们年龄差不多的小男孩，用这样的知识用他的爸爸解决了一个圈羊圈的问题。
（五）讲欧拉的故事
欧拉在小时候就应用面积不变，周长变化的数学知识，帮助爸爸解决了难题。
原来的羊圈里有100只羊，面积有点小了，不利于羊生长。
爸爸决定建造一个新的羊圈，面积是600平方米，长40米，宽15米，平均每一头羊占地6平方米的羊圈。
爸爸发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。
若要围成长40米，宽15米的羊圈，周长将是110米（15+15+40+40=110）。
怎么办呢？
如果你是小欧拉，你怎么帮助爸爸呢？
让长和宽的数值相差最小，周长才能最小，围成边长是25米的正方形，不但使羊圈的面积增大，而且100米的篱笆正好够围，帮助爸爸解决了难题。
师生一起回顾总结：
今天我们一起探讨了面积与周长的不变与变的情况，而且知道了一些如何用这个知识解决问题，希望同们们运用这个知识，为自己生活增添光彩吧！
课后思考：
这堂数课，在充分运用数字媒体，将一堂本应该是教学十分艰巨的内容，让
学生轻松地在动手与探索中完成了教学任务，使同学们的认知水平得到了一个提升，同时全班多数同学在教学中个性思维也得到了很大的发展，这堂课我认为是充分展示了数字课堂让学生个性发展的范例。
一、数字课堂的图例，让学生的空间思维能力得到了一个极大的提升。
拼图是孩子们特别喜欢的一件事，于是我就提前让同学们准备几个大小相同的小正方形，让同学们来动手拼图，由于同学们的空间思维受一些生活中的图形的束缚，所以在拼图时，常常想到的就是一些规则的图形，为了让同学们的思维活跃起来，我选择抛砖引玉的手法，拼出一个不是规则的图形展示给同学们看，同学们的思维一下子打开，用一位同学的话说：“哟，除了长方形正方形外，还可以这样拼组哈！我们以前只想到拼成规则图形。
”激起了同学们的兴趣，同学们的个性有得到了发展，思维一下子放开了，这样的情境让我们的同学学习十分有利。
二、几何图形教学中，不少的同学空间想象能力不够，只有图形摆在面前时，图形的形状才会在头脑中形成，而且一旦图形消失，他们的意象也消失了，而数字课堂可以使图形进行再现，使图形的意象保持，增加意象保持的时间，空间，逐渐形成空间感，同时几个意象图形还可以进行对比，从而很容易让同学们通过观察对比找出图形的易同，总结规律。
这个过程同学们的个性发展是一个飞跃，以前一些教学教师只能通过口头传述，学生想象一下，然后教师将事物的规律告知学生，让他们记住规律，有了数字课堂教学，学生可从中捕获大量的图形，根据自己的感触来认知事物，找出事物间的规律，这样的认知过程可以让学生终身记忆。
三、对于几何图形的教学让学生个性得到张扬。
几何图形的特点，规律，公式的推导都是许多同学特点困难的。
数字课堂教学就是在学生动手的情况下，通过意象的停留，对比，观察找到规律，这一过程会极大地激发学生的学习热情，这如上面的一堂课上之前，办公室的老师都说：这个内容太难了，学生很难总结出规律……。
而学生学习后，不少的同学有这样的感受：原来的数字课堂原来我…想都不敢想的图象，事物之间的规律我自己在课堂中都发现了，而且与生活中的一些事物联系了起来，记忆深刻……甚至有的同学还说我找到了这类问题的学习方法了，要怎样怎样……这样的课堂极度地让同学们的个性学习得以实现。
总之，通过这堂课的教学，我认识到数字课堂能够很好地让学生个性学习成为可能，在学习中每个学生都表现出积极的方面，学习知识快，掌握知识的层度深，学习过程更有趣，知识运用更灵活。