高等数学第七章自测题解答

合集下载

高等数学第7章微分方程解答

习题7-2 可分离变量的微分方程1求下列微分方程的通解：（1）2211y y x -='-；解==两端积分得 arcsin arcsin y x C =+，（C 为任意常数）即为原方程的通解。

（2）0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ；解将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y xdy dx y x=-两端积分得ln tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C = 故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。

2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（1）e yy y x y x =='=2,ln sin π；解将原方程分离变量，得ln sin dy dxy y x= 两端积分得()tan ln 2ln tan 2x d d y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰，即ln ln ln tan ln 2x y C =+故原方程的通解为ln tan2x y C =,代入初始条件,2x y e π==,得1C =.于是,所求之特解为tan2xy e=.（2）.1,022==+=x y ydx xdy解将原方程分离变量，得2dy dx y x=-两端积分得2dy dx y x =-⎰⎰，即ln 2ln ln y x C =-+故原方程的通解为2x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C =.于是,所求之特解为24x y =.3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.解设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率2002y yy x x-'==--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =. 代入初始条件23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =.习题 7-3 齐次方程1、求下列齐次方程的通解（1）022=---'x y y y x解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+分离变量,dxx=.两边积分得ln ln ln u x C =+,即u Cx =.将y u x=代入上式整理,得通解为2y Cx +=;(b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0yy x'-+=,即0y y y y xx ''--=--=(因为0x <时,x x -==),也就是y y x '=+与x >0的情况一样)所以,对任意的0x ≠,方程的通解为2y Cx =(C 为任意常数).（注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或y A =,若0x =,则原方程变为0y +=,只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A =,当A <0时方程有解.）（2）0cos 3)cos 3sin2(=-+dy x yx dx x y y x y x 解原方程可改写成2tan 03y y dy x x dx +-=.令yu x =,即y xu =,所以有y u xu ''=+.则原方程成为2tan 3du u x u u dx +=+.分离变量,得32tan du dxu x =.两边积分得3ln sin ln ln 2u x C =+,即32sin u Cx =.将y u x =代入上式,得通解为32sin y Cx x=(C 为任意常数). 2. 求齐次方程1|,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 满足所给初始条件的特解解原方程可写成21320x x dxy y dy ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令x u y =,即x yu =,有dx du u y dy dy =+,所以原方程成为21320du u u u ydy ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭. 分离变量,得221u dy du u y=-,积分得2ln 1ln ln u y C -=+,即21u Cy -= 代入x u y=并整理,得通解为223x y Cy -=. 由初始条件0,1x y ==,得1C =-.于是所求特解为322y y x =-.习题 7-4 一阶线性微分方程1、求下列微分方程的通解（1）x e y dxdy-=+ （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x （3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y . 解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为()().dx dx x xxx x y e e e dx C e ee dx C e x C -----⎡⎤⎰⎰=⋅+=⋅+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰(2) 将原方程改写成222cos 11x xy y x x '+=--.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为()22222112222cos 1cos sin 11111x xdx dx x x x x x Cy e e dx C x dx C x x x x ---⎡⎤+⎰⎰⎡⎤=+=-+=⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰.(C 为任意常数)(3) 将原方程改写成11ln dx x dy y y y+=,由一阶线性微分方程的通解公式得,通解为 ln ln ln ln ln ln 1111dy dyy yy y y y x e e dy C e e dy C y y --⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰2111ln 11ln ln ln 2y dy C y C y y y ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 即 ()212ln ln 2x y y C C C =+=.(C 为任意常数)(注: ln ln 1ln yey-=,当ln 0y >时,去掉绝对值即得上述解答过程.而当ln 0y <时,则 ln ln ln ln 1111ln 1ln 1ln ln ln ln yy yy y ee dy C dy C dy C dy C y y y y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰与上述结果一样) 2、求微分方程0|,sec tan 0==-=x y x x y dxdy满足所给初始条件的特解。

高等数学练习题第七章及答案

高等数学练习题第七章及答案1. 判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．(1)234133333(1)55555nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；(2)3452ln πln πln πln πn ++++++解（1）此级数为等比级数，其公比35q =-，级数收敛，且和33531815a s q ===-+.（2）此级数为等比级数，其公比ln 1q π=>，级数发散.2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和. 32537411111111()()()()34343434++++++++ 解原式=3523111111()()333444+++++++因为351111331333819+++==-，收敛.231111141444314+++=-，收敛，由性质知，级数32537411111111()()()()34343434++++++++收敛，且和1724.1.求幂级数112nnn x ∞=∑的收敛区间与和函数. 解因为幂级数112n n n x ∞=∑=2323()2222n x x x x+++++是等比级数，且公比2x q =，当12x<时，等比级数收敛，即得收敛区间（-2，2），其和函数 2()112x x s x x x==--.2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.（1）0!n n x n ∞=∑; (2)203nn n x ∞=∑.解 (1)因为1!n a n =；111(1)!(1)!n a n n n +==++，于是 1!limlim 0(1)!n n n n a n a n n ρ+→∞→∞===+. 所以，收敛半径R =+∞；收敛区间(,)-∞+∞.(2)设2t x =，原幂级数改写为03nn n t ∞=∑.于是，1131lim lim 33n n n n n na a ρ++→∞→∞===所以，3R =.由于3t <得，x <故幂级数的收敛半径收敛3R =，收敛区间(.3. 利用matlab 软件，将函数3()2f x x =-展开为幂级数. 解利用matlab 软件，函数3()2f x x =-展开的幂级数式为233()[1()()]2222x x x f x =++++1.设()f x 是周期为2π的函数，它在[),ππ-上的表示式为 00,(),0,x f x A x ππ-<⎧=⎨<⎩≤≤其中A 为不等于零的常数，将()f x 展开为傅立叶级数.解因为周期函数()f x 的傅立叶系数0011()a f x dx Adx A ππππ===⎰⎰，[]π0011()cos d cos sin 0n πn A a f x nx x A nxdx nx ππππ====⎰⎰ ， (1,2,3,)n = []00011()sin d sin cos n πn A b f x nx x A nxdx nx πππππ-===⎰⎰， (1cos )A n n ππ=-0,,2,,πn An n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数当为奇数(1,2,3,)n = 所以()f x 的傅立叶级数为 A 211()sin sin 3sin(21)2π3(21)A f x x x n x n ⎛⎫=++++-+⎪-⎝⎭(,,)x x k k Z π-∞<<+∞≠∈2.设()f x 是周期为2π的函数，它在[),ππ-上的表示式为 ,0,(),0,x x f x x x ππππ+-<⎧=⎨-<⎩≤≤将()f x 展开为傅立叶级数.解因为周期函数()f x 是偶函数，其傅立叶系数为 0n b = (1,2,3,)n =，002()a f x dx ππ==⎰02()x dx πππ-=⎰2021[]2x x ππππ-=，02[sin ]nx n π=-02sin xd nx n ππ⎰=0020[sin sin ]x nx nxdx n πππ--⎰ 0222022[cos ][1cos ]4n nx n n n n n πππππ⎧⎪=-=-=⎨⎪⎩为偶数为奇数所以，()f x 展开为傅立叶级数2224111()[cos cos3cos5cos(21)]235(21)f x x xx x n x n ππ=+++++-+-.()x -∞<<+∞1.设()f x 是周期为2的函数，它在[)1,1-上的表示式为 1,10,()0,01,x f x x -<⎧=⎨<⎩≤≤ 将()f x 展开为傅立叶级数.解因为周期函数()f x 的傅立叶系数00011()1a f x dx dx --===⎰⎰，[]01111()cos d cos sin 0n πn a f x n x x n xdx n x πππ---====⎰⎰ ， (1,2,3,)n = []0001111()sin d sin cos n πn b f x n x x n xdx n x πππ----===⎰⎰，1(1cos )n n ππ=--0,,2,,πn n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为偶数当为奇数(1,2,3,)n = 所以()f x 的傅立叶级数为1211()sin sin 3sin(21)2π3(21)f x x x n x n πππ⎛⎫=-+++-+⎪-⎝⎭(,,)x x k k Z -∞<<+∞≠∈ππ00022()cos d ()cos ππ22cos cos n a f x nx x x nxdxnxdx x nxdxππππππ==-=-⎰⎰⎰⎰2.将周期为4的函数()f x x =[)2,2-展开为傅立叶级数. 解因为()f x 为奇函数，傅立叶系数为 00a =，0n a = (1,2,3,)n =，124(2cos )(1)n n n n πππ--==-. 所以，()f x 展开为傅立叶级数41131()[sinsin sin sin 2]22324x x f x x x πππππ=-+-+(,42,)x x k k Z -∞<<+∞≠-∈利用拉氏变换表求下列函数拉氏变换(1)2()f t t =； (2)()cos2f t t =； (3) ()e t f t -=； (4) ()3e sin 3t f t t =；(5) ()22e t f t t =； (6)()2e e t t f t -=-. 解查表得，(1)232[]L t s =；(2)2[cos2]4s L t s =+；(3) 1[]1tL e s -=+； (4)()223[sin 3]39t L e t s =-+；(5)()2232[]2t L t e s =-；(6)()()23[]12t t L e e s s --=-+.求下列各函数的拉氏变换.(1)()253f t t t =+-； (2)()3sin 25cos 2f t t t =-； (3)()1e t f t t =+；(4)()(1)f t u t =-；(5)()22sin 3f t t =.解 (1) ()2[][53]L f t L t t =+-=32253ss s +-； (2) ()[][3sin 25cos2]3[sin 2]5[cos2]L f t L t t L t L t =-=-226544s s s =-++=2654ss -+； (3) ()211[][1e ][1][](1)ttL f t L t L L te s s =+=+=+-=()2211s s s s -+-； (4) ()[][(1)]L f t L u t =-=1e s s-⋅；(5) ()221[][2sin 3][1cos6]36sL f t L t L t s s ==-=-+=()23636s s +.2200222000()sind sin 22222cos [cos ]cos222n n x n x b f x x x dxn x n x n xxd x dx n n n ππππππππ==--==+⎰⎰⎰⎰求下列函数的拉氏逆变换(1) ()33F s s =+； (2) ()2636sF s s =+；(3) ()22836s F s s -=+；(4) ()2325s F s s s +=++； (5) ()2956s F s s s +=++.解由拉氏变换逆性质，得(1) ()11131[][]3[]3(3)L F s L L s s ---==+--=33e t -.(2) ()1112226[][]6[]366s s L F s L L s s ---==++=6cos6t . (3) ()1111222222846[][]2[][]36636s s L F s L L L s s s -----==-+++=42cos6sin 63t t -.（4）()1111122222223(1)212[][][][][]25(1)2(1)2(1)2s s s L F s L L L L s s s s s -----++++===+++++++++=()e cos 2sin 2t t t -+. (5) ()1111129976[][][][][]56(2)(3)23s s L F s L L L L s s s s s s -----++===-++++++=237e 6e t t ---.。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册

自测题（1-7章附参考答案）-高等数学上册第一章函数与极限一、选择题：8、设a0,b00,则当（）时有某11．函数y1某arcco的定义域是（）2(A)某1；(B)3某1；(C)(3,1)；(D)某某1某3某1.a0某ma1某m1........ama0lim.某b某nb某n1.........bb001n(A)mn；(B)mn；(C)mn；(D)m,n任意取.9、设某3,4某02.函数2的定义域是（）某1,0某3(A)4某0；(B)3;(C)(4,3);(D)某4某0某0某3.3、函数y某co某in某是（）(A)偶函数；(B)奇函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶函数.4、函数f(某)1co某1,1某0,则limf(某)()某0某,0某1某（）某(A)-1；(B)1；(C)0；(D)不存在.10、lim某0(A)1；(B)-1；(C)0；(D)不存在.二、求下列函数的定义域：1、yin(2某1)arctan某;29某某2)2、(某)lg(1.2三、设g(某1)2某3某1（1）试确定a,b,c的值使g(某1)a(某1)b(某1)c；22某的最小正周期是（）1.2(A)2；(B)；(C)4；(D)5、函数某在定义域为（）1某2（2）求g(某1)的表达式.四、求f(某)(1某)gn某的反函数f五、求极限：21(A)有上界无下界；(B)有下界无上界；(C)有界，且12f(某)12(某).；某2.(D)有界，且21某26、与f(某)1某22n2n11、lim；2、；lim 某3n(1n)2某33、lim(1某)；4、lim某(e1)；某0某2某1某某2等价的函数是（）(A)某；(B)(某)2；(C)(3某)3；(D)某.7、当某0时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）某；（B）1co某；（C）某tan某；（D）ln(1某).25、当某0时，limcon某某某co........con；242某2in6、lim某1某.2某21第1页共11页ina某,某1六、设有函数f(某)试确定aa(某1)1,某1的值使f(某)在某1连续.(D)arctan某arccot某.ea某,某05、如果f(某)处处可导，那末（）2b(1某),某0（A）ab1；（B）a2,b1；（C）a1,b0；（D）a0,b1.6、已知函数f(某)具有任意阶导数，且f(某)f(某),则当n为大于2的正整数时，f(某)的n阶导数f(n)(某)是（）（A）n![f(某)]n121某arctan某1的连续性，并判七、讨论函数f(某)in某2断其间断点的类型.八、证明奇次多项式：P(某)a0某2n1a1某2na2n1(a00)至少存在一个实根.第二章导数与微分一、选择题：1、函数f(某)在点某0的导数f(某0)定义为（）；（B）n[f(某)]2nn1；（C）[f(某)]；（D）n![f(某)].7、若函数某某(t),yy(t)对t可导且某(t)0,又2nf(某0某)f(某0)（A）；某（B）lim某某0f(某0某)f(某0)；某f(某)f(某0)；某某某(t)的反函数存在且可导，则dy=（）d某（A）（C）limy(t)y(t)；（B）；某(t)某(t)y(t)y(t)；（D）.某(t)某(t)某某0（D）lim某某0f(某)f(某0)；某某0（C）8、若函数f(某)为可微函数，则dy（）（A）与某无关；（B）为某的线性函数；（C）当某0时为某的高阶无穷小；（D）与某为等价无穷小.9、设函数yf(某)在点某0处可导，当自变量某由某0增加到某0某时，记y为f(某)的增量，dy为f(某)的微分，lim2、若函数yf(某)在点某0处的导数f(某0)0，则曲线yf(某)在点(某0,f(某0))处的法线（）（A）与某轴相平行；（B）与某轴垂直；（C）与y轴相垂直；（D）与某轴即不平行也不垂直：3、若函数f(某)在点某0不连续，则f(某)在某0()（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果f(某)=（），那么f(某)0.(A)arcin2某arcco某；(B)ec某tan某；(C)in某co(1某)；2222ydy等于（）某0某（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数yf(某)在点某0处可导，且f(某0)0，第2页共11页ydy则lim等于（）.某0某（A）0；（B）-1；（C）1；（D）.二、求下列函数的导数：1、yin某ln某2；2、yacoh某（a0）；3、y(1某2)ec某；4、yln[co(103某2)]；5、设y为某的函数是由方程ln确定的；（C）它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值.（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法.2、若f(某)在(a,b)可导且f(a)f(b),则（（A）至少存在一点(a,b)，使f()0；（B）一定不存在点(a,b)，使f()0；（C）恰存在一点(a,b)，使f()0；（D）对任意的(a,b)，不一定能使f()0.3．已知f(某)在[a,b]可导，且方程f(某)=0在(a,b)有）某2y2arctany某dy6、设某yy，u(某某)，求.du2232t三、证明某eint，yecot满足方程t两个不同的根与，那么在(a,b)（）d2ydy2(某y).(某y)2d某d某2f(某)0.g(某)co某,某0四、已知f(某)其中g(某)有二阶某a,某0连续导数，且g(0)1，1、确定a的值，使f(某)在某0点连续；（A）必有；（B）可能有；（C）没有；（D）无法确定.4、如果f(某)在[a,b]连续，在(a,b)可导，c为介于a,b之间的任一点，那么在(a,b)（）找到两点2、求f(某)某2,某1，使f(某2)f(某1)(某2某1)f(c)成立.(n)五、设y某ln某,求f(1).六、计算39.02的近似值.七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？（A）必能；（B）可能；（C）不能；（D）无法确定能.5、若f(某)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且某(a,b)时，f(某)0，又f(a)0,则（）.（A）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（B）f(某)在[a,b]上单调增加，且f(b)0；（C）f(某)在[a,b]上单调减少，且f(b)0；（D）f(某)在[a,b]上单调增加，但f(b)的第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法.（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

高数答案第七章

第七章空间解析几何与向量代数§7.1 向量及其线性运算必作题：P300---301：1,3,4,5,6,7,8,9,12,13,15,18,19.必交题：1、求点(,,)a b c 分别关于⑴各坐标面；⑵各坐标轴；⑶坐标原点的对称点的坐标.解：〔1 xoy 面〔a,b,-c,yoz 面〔-a,b,c, xoz 面〔a,-b,c;<2ox 轴〔a,-b,-c, oy 轴〔-a,b,-c, oz 轴〔-a,-b,c;<2关于原点〔-a,-b,-c 。

2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征, 指出下列各点的位置解：xoy 面：z=0, yoz 面：x=0, xoz 面：y=0.ox 轴：y=0,z=0, oy 轴：x=0,z=0, oz 轴：x=0,y=0,A 在xoy 面上,B 在yoz 面上,C 在x 轴上,D 在y 轴上。

3、在z 轴上求与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点的坐标.解：设C 〔0,0,z,有|AC|=|BC|,解得：z=149,所求点为<0,0,149>. 4、设2,3,u a b c v a b c =-+=-+-试用,,a b c 表示23.u v -解：235117u v a b c -=-+.5、已知两点1M 和2(3,0,2),M 求向量12M M 的模,方向余弦和方向角.解：{}121,M M =-,122M M =,方向余弦为1cos 2α=-,cos 2β=-,1cos 2γ=,方向角23πα=,34πβ=,3πγ=.6、设向量a 的模2,a =方向余弦1cos 0,cos ,cos 22αβγ===求.a解：设{},,a x y z =,则02x =,122y =,22y =,所以0x =,1y =,z ={0,1,3a =7、设有向量12,PP 122,PP=它与x 轴、y 轴的夹角分别为34ππ和，如果已知1(1,0,3),P 求2P 的坐标.解：设2P 的坐标为(,,)x y z ,{}121,,3PP x y z =--,11cos 232x π-==,所以2x =；cos 242y π==,所以y =又122,PP =,所以2=,解得2z =或4z =,所以2P 的坐标为2)或者4).8、求平行于向量}{6,7,6a =-的单位向量. 解：364911a =+=,与a 平行的单位向量为}{16,7,611±-,即为}676,,111111⎧-⎨⎩,或者}676,,111111⎧--⎨⎩. §7.2数量积向量积混合积必作题： P309--310：1,2,3,4,6,7,8,9.必交题：1、已知向量}{1,2,2a =-与{}2,3,b λ=垂直,向量}{1,1,2c =-与}{2,2,d μ=平行,求λμ和的值.解：a b ⊥,2620a b λ⋅=-+=,2λ=a b ,11222u-==,4u =-. 2、已知向量23,3,2a i j k b i j k c i j =-+=-+=-,分别计算以下各式.⑴((a bc a c b -））；⑵()()a b b c +⨯+；⑶()a b c ⨯. 解：⑴((88824a bc a c b c b j k -=-=--）） ⑵()()(344)(233)a b b c i j k i j k j k +⨯+=-+⨯-+=-- ⑶231()1132120a b c -⨯=-=-.3、已知3,3OA i k OB j k =+=+,求ABO ∆的面积.解：33OA OB i j k ⨯=--+ ABO ∆的面积11922S OA OB =⨯=. §7.3曲面及其方程必作题：P318--319：1、2、5、6、7、8、9、10.必交题：1、一动点与两定点()()2,3,14,5,6A B 和等距离,求该动点的轨迹方程. 解：设动点(,,)P x y z ,因为PA PB =,所以222222(2)(3)(1)(4)(5)(6)x y z x y z -+-+-=-+-+-,解得动点的轨迹方程为632252x y z ++=. 2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形. ⑴1y x =+；⑵224x y +=；⑶221x y -=；⑷22x y =；⑸220x y +=.解：⑴直线；平面 ⑵ 圆；援助面 ⑶ 双曲线；双曲柱面 ⑷抛物线；抛物柱面 ⑸原点；Oz 坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的.⑴2221499x y z ++=；⑵222()z a x y -=+. 解：⑴xOy 坐标面上椭圆22149x y +=绕Ox 轴旋转形成,或者xOz 坐标面上椭圆22149x z +=绕Ox 轴旋转形成。

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解（1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解（1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解（1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解（1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

高数第七章习题课解答

第七章习题课1.求函数z =.（总习题七A ，2）解答要使函数式有意义，只要⎪⎩⎪⎨⎧≠--≥---+020)2)((222222y x x y x x x y x 成立即可，从而只要⎪⎩⎪⎨⎧+≠≤-+-+22222220)2)((yx x x y x x y x 成立当0≥x 时，由0)2)((2222≤-+-+x y x x y x 解得x y x x 222≤+≤，从而定义域为22{(,)|2}D x y x x y x =≤+<当0<x 时，由0)2)((2222≤-+-+x y x x y x 解得x y x x ≤+≤222，此时x y x ≤+≤220，矛盾.因此函数定义域就是22{(,)|2}D x y x x y x =≤+< 2. 求极限(,)(0,0)limx y xy e→+A ，4（1））解答1 令cos ,sin x y ρθρθ==，则22cos sin 01cos 1lim2x y x y e e ρθθρρρ→→→-==+；解答2 当0,0→→y x 时，022→y x ，从而122→y x e又因为022→+y x 为无穷小，由无穷小替换定理，)(21~cos12222y x y x ++- 从而2121lim )()(21lim )(cos 1lim 2222220022*******200==++=++-→→→→→→y x y x y x y x y x y x e e y x y x e y x y x 3.讨论函数()22222(,)x y f x y x y x y =+-当(,)(0,0)x y →时的极限存在性.（总习题七A ，5）解答取y x =和y x =-两条路径，有10lim )(lim 4402222200=+=-+→=→→x x y x y x y x x xy y x 04lim 4lim )(lim 22024********0=+=+=-+→→-=→→x x x x x y x y x y x x x xy y x 因此()22222(,)(0,0)limx y x y x y x y →+-不存在.4.讨论函数的连续性：（总习题七A ，6）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00)tan(),(22y x y yy x y x f解答当0≠y 时，yy x y x f )tan(),(2=为初等函数，因此连续；当0=y 时，考虑)0,(0x 处的连续性.由于)0,(1)t an (lim )tan(lim ),(lim 020202220200000x f x x x y x y x y y x y x f y x x y x x y x x ==⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅==→→→→→→，因此函数在)0,(0x 处也连续，故函数处处连续.5.设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.（总习题七A ，11）解答21u y y yf g xg f g g x y x x ∂-⎛⎫''''=⋅++⋅=+- ⎪∂⎝⎭， 2222223311u y y y y f g g g f g x y x xx y x ∂⎛⎫''''''''''=+⋅-++=+ ⎪∂⎝⎭， 2222211u x y x y f g g g f g x y y x x x y x ⎛⎫∂⎛⎫''''''''''''=-+⋅--=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，故2220.u ux y x x y∂∂+=∂∂∂6.设函数()y y x =由(cos )(sin )1y xx y +=确定，求d d yx.（总习题七A ，12）解答由ln(cos )ln(sin )1y x x y ee +=，两边关于x 求导，得ln(cos )ln(sin )(sin )cos ln cos lnsin 0cos sin y x x y x y e y x y e y x y x y ⎛⎫-⎛⎫''+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即 ()()(cos )lncos tan (sin )lnsin cot 0y x x y x y x y y x y y ''-++⋅=.故 (cos )tan (sin )ln sin (cos )ln cos (sin )cot y x y x x y x y yy x x y x y-'=+.7．在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大.（总习题七A ，15）解答设圆锥的底半径为R ，高为h ，以底面圆心为坐标原点，底面圆心到顶点射线方向为z 轴正方向，建立坐标系，则圆锥的表面方程为z h -=，在圆锥面上取点),,(z y x ，以之为顶点的长方体的体积则为 224.V x y z xyz =⨯⨯=设(,,,)[()F x y z xyz R z h λλ=+-+，令0,0,0,()0.x y z F yz F xz F xy R R z h λ⎧'=+=⎪⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+=⎪⎪-+=⎩解得3x y R ==，13z h =，此时当长宽高分别为3,322,322hR R 时，长方体体积最大，最大体积为2max 827V R h =. 8.求极限222(,)(,)limx x y xy x y →+∞+∞⎛⎫ ⎪+⎝⎭.（总习题七B ，1）解答由于2212xy x y ≤+，有2221022x x y x xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+≤，而021lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x x由夹逼准则知222(,)(,)lim0x x y xy x y →+∞+∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭. 9.设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则有 .（总习题七B ，4） A.(0,0)d 3d d z x y =-.B.曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-.C.曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3).D ．曲线(,),z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1).解答选C函数(,)f x y 在点(0,0)处的两个偏导数存在，但不一定可微分，故（A ）不对；曲面(,)z f x y =可化为0),(=-z y x f ，其法向量为)1,,(-y x f f ，故在点(0,0,(0,0))f 处的一个法向量是(3,1,1)--，而不是(3,1,1)-，故（B ）不对；以x 为参数，则曲线x x =，0y =，(,0)z f x =的切向量为),,1(x f y '，故在点(0,0,(0,0))f 处的一个切向量为(1,0,3)，故（C ）对，（D ）不对.10．设(,)f xy 具有连续偏导数，且当0x ≠时有2(,)1f x x =，2(,)x f x x x '=，求2(,)y f xx '.（总习题七B ，5）解答方程2(,)1f x x =左右两边对x 求导，得02),(),(22=⋅'+'x x x f x x f y x即 22(,)0y x xf x x '+=，求得21(,)2y f x x '=-. 11.设,sin ,sin u v x y u x v y +=+⎧⎪⎨=⎪⎩确定函数(,)u u x y =，(,)v v x y =，求d u ，d v .（总习题七B ，7）解答将方程组改写成,sin sin ,u v x y y u x v +=+⎧⎨=⎩两式两边微分得,sin cos sin cos .du dv dx dy udy y udu vdx x vdv +=+⎧⎨+=+⎩消去dv ，得 ()sin cos (sin cos )cos cos v x v dx u x v dy du x v y u+--=+，消去du ，得 ()cos sin (sin cos )cos cos y u v dx u y u dy dv x v y u-++=+.12.=（0a >，为常数）上任何点处的切平面在各坐标轴上截距之和为a .（总习题七B ，8）证设(,,)F x y z =(,,)x y z 的法向量为⎛⎫=n ，该点的切平面方程为)))0X x Y y Z z ---=，即X Z =这样，切平面在三个坐标轴上截距之和为a ==.13.在椭球面2222221x y z ++=上求一点，使得函数222(,,)f x y z x y z =++沿着点(1,1,1)A 到点(2,0,1)B 的方向导数具有最大值.（总习题七B ，9）解答由)0,1,1(-=知0cos ,21cos ,21cos =-==γβα，而(2,2,2)f x y z =grad因此2220)f z x y l ∂=-+⋅=-∂ 作222(,,))(2221)L x y z x y x y z λ=-+++-，令22240,40,40,222 1.x y z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪⎨==⎪⎪++=⎩解得11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭.比较得知方向导数在点11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭14.证明：函数(1)cos yyz e x ye =+-有无穷多个极大值，但无极小值.（总习题七B ，10）证明由(1)sin 0,(cos 1)0,yy z e x xz e x y y∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩解得⎩⎨⎧==02y k x π或⎩⎨⎧-=+=2)12(y k x π.22(1)cos y z e x x ∂=-+∂，2sin y z e x x y ∂=-∂∂，22(cos 2)y z e x y y∂=--∂. 当0,2==y k x π时，1,0,2-==-=C B A ，由于0,022<>=-A B AC ，所以此时z 取得无穷多个极大值；当2,)12(-=+=y k x π时22,0,1---==+=e C B e A ，由0)1(222<+-=---e e B AC 知，此时z 没有极值.从而结论成立。

第七章高等数学试题及答案

第七章高等数学试题及答案第七章空间解析几何与向量代数1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。

解因为底面的对角线的长为a 2, 所以立方体各顶点的坐标分别为 )0 ,0 ,22(a -, )0 ,0 ,22(a , )0 ,22 ,0(a -, )0 ,22 ,0(a ,) ,0 ,22(a a -, ) ,0 ,22(a a , ) ,22 ,0(a a -, ) ,22 ,0(a a .2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。

解点M 到x 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(4, 0, 0)之间的距离, 即345)3(22=+-=x d .点M 到y 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, -3, 0)之间的距离, 即415422=+=y d .点M 到z 轴的距离就是点(4, -3, 5)与点(0, 0, 5)之间的距离, 即5)3(422=-+=z d .3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。

解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c )=2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c .4．若4=r，它与轴u 的夹角为3π，求r 在轴u 上的投影。

解22143c o s ||j Pr =?=?=πr r u .5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

解设点A 的坐标为(x , y , z ). 由已知得=--=--=-774142z y x ,解得x =-2, y =3, z =0. 点A 的坐标为A (-2, 3, 0).6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以及和21M M 方向一致的单位向量。

(整理)第七章多元函数微积分简介自测题

第七章多元函数微积分简介自测题一．选择题1．二元函数z=f(x,y)在点(00,x y )处可微的充分条件是（） A f(x,y)在点（00,x y ）处连续；B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（）的某邻域存在；C0000(,)(,),0x y f x y x f x y y ''∆∆-∆→z-时，是无穷小量； D(,)(,)0f x y x f x y y''∆∆-∆→z-时，是无穷小量。

2．22221()sin ,(,)0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩222200x y x y +≠+=，。

则在原点（0,0）处f(x,y) ( )A 偏导数不存在；B 不可微C 偏导数存在且连续D 可微3．设x ϕ（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知 22F f,(,)F x y x y x y∂∂≠∂∂∂∂则是（） A f(x,y)+ x ϕ（） B f(x,y)+ ψ（y ） C f(x,y)+ x ϕ（）+ψ（y ） D f(x,y)+ x ϕ（）ψ（y ） 4．已知3222（axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是（）A -2和2，B 2和-2，C -3和3D 3和-3. 5．设函数，则(,)f x y （） (A) 处处连续；(B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续；(D) 除（0,0）点外处处连续6．函数在点处具有偏导数是它在该点存在全微分的（）(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件7．设函数，则点是函数的（）（A ）极大值点但非最大值点；（B ）极大值点且是最大值点；（C ）极小值点但非最小值点；（D ）极小值点且是最小值点。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高等数学第七章自测题解答
一、试解下列各题
1. 已知向量)1,2,2(),4,1,1(-=-=b a ，求（1）b a ⋅；（2）b j a Pr ；（3）b a ⨯.
;4-=⋅b a ;184)
4(114Pr 222-=-++-=⋅=a b a b j a ).4,9,7(1
2241
1---=--=⨯k j i b a 2. 说出下列曲面方程的名称，若有旋转曲面，指出它是由什么平面上的哪条曲线绕哪个轴旋转而产生的,并画出曲面的图形.
(1) )0(222>=+a az
y x ；
旋转抛物面，由曲线 ⎩
⎨⎧==022x az y ，绕z 轴旋转而产生的. (2) )0(222>=+-a az
y x ;
双曲抛物面. (3) 14
422
2=-+z y x . 单叶旋转双曲面,由曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧==-01422
x z y ，绕z 轴旋转而产生的. 3. 求与x 轴的距离为3，与y 轴距离为2的一切点所确定的曲线的方程，并确定它是一条什么样的曲线且画出图形.
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222222
3z x z y ，两个圆柱面的交线. 4. 求由曲面222y x z +=及32
22=++z y x 所围成的立体在xOy 面的投影区域.
.2,
2(3,132322222222222≤+=+∴-=⇒=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=y x xoy y x z z z z y x y x z 面的投影为立体在投影柱面为舍去）
二、已知平面0=+++D Cz By Ax ，指出下列各平面的特殊位置.
1. 0=A ;
平行于x 轴；
2. 0=D ;
过原点；
3. 0==D A ;
过x 轴；
4. 0==B A ;
平行于xoy 面；
5. 0===D B A .
xoy 面. 三、设直线1
21:-==-z y x l ，平面022:1=+++z y x π，0:2=++z y x π， 01:3=+++z y x π.试判断l 与321,,πππ的关系. .6
1arcsin ),
2,4,2()000(,0,0),1,1,1(),1,1,1(),1,1,2(),1,2,1(:22222333321=--∴=⋅∴=⋅===--=ϕππππππ的夹角为与交，其交点为既不平行也不垂直，相与上；在，故，，有公共点与平行，且与平行；与l l l O l l n s l n s n n n s l 四、求过点)2,1,1(-P 且与直线⎩⎨
⎧=-=+00:1z x z x l 及直线552432:2+=--=-z y x l 平行的平面方程.
.01135,0)2(3)1(5),
3,0,5(5
23010)5,2,3()0,1,0(),
5,2,3(),0,2,0(1
0110121=+-=--+-=-=-⨯=-==-=z x z x k j i n s k j i s 即程为
由点法式得所求平面方取五、求过点)4,2,0(A 且与012:1=-+z x π，23:2=-z y π平行的直线方程.
.1
4322),
1,3,2(31020121-=-=--=-=⨯=z y x k j i n n s 程为
由点向式得所求直线方取
六、求直线⎩⎨⎧=+--=-+0
720532:z y x z y l 在平面083:=++-z y x π上的投影直线方程. .
0)72(532.0830********中束方程
注：投影平面不在平面故所求投影直线方程为
垂直，，与平面由于
=+--+-+⎩
⎨⎧=++-=+--=++-=+--z y x z y z y x z y x z y x z y x λ 七、确定λ，使直线λ12111:1-=+=-z y x l 和直线1
1111:2z y x l =-=+相交. 1
221112111121
1
2211
121][.4501)1(2)2(2)
1,1,2(1
1121)(0),1,2,2(),0,1,1(),1,1,1(),
1,1,1(),,2,1(2121212121212121212122112121--=⋅⨯==⇒=+-+--=⋅⨯---==⨯⇔⋅⨯--=--==λλλ
λλλλλλλ＝＝）（注：由以上运算可见）（混合积为零即三向量共面）（则
上取点在上取点在相交，即共面，
与设k j i M M s s M M s s M M s s k j i s s M M s s M M M l M l l l s s 八、直线过点)4,2,1(-又和直线2
1333:1z y x l =-=+相交且与平面01043:=-+-z y x π平行，求此直线方程.
.0
43241)
0,3,4()4,5,3(,20
74321333,0743,0)4()2(4)1(3:)4,2,1(001111⎪⎩⎪⎨⎧=--=+===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-=+=++-=-+--+-z y x MM s M t z y x t z y x l z y x z y x M 所求直线方程为
为取所求直线的方向向量得交点的交点
与求即平行，则
与平面作平面过点 ππππ 九、画出下列各立体的图形
1．4222≤++z y x 与02222≥-+z y x 的公共部分；
2．曲面222y x z --=与22y x z +=所围成的立体.。