高三数学专题复习：空间向量

一、知识梳理
【高考考情解读】 高考对本节知识的考查以解答题的形式为主：1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明、空间角(主要是线面角和二面角)的计算.2.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题．
1． 直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)(以下相同)．
(1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.
(3)面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3.
(4)面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.
2． 直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算
设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同)．
(1)线线夹角：设l ，m 的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22
. (2)线面夹角：设直线l 与平面α的夹角为θ(0≤θ≤π2)，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|
＝|cos 〈a ，μ〉|. (3)面面夹角：设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，则|cos θ|＝|μ·v ||μ||v |
＝|cos 〈μ，v 〉|. 提醒 求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．
3． 求空间距离
直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P 到平面α的距
离：d ＝|PM →·n ||n |
(其中n 为α的法向量，M 为α内任一点). 二、课前预习
1．平面α的法向量为m ，向量a 、b 是平面α之外的两条不同的直线的方向向量，给出三个论断：①a ⊥m ；②a ⊥b ；③m ∥b .以其中的两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，
写出所有正确的命题______________________．
2.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，
∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，则cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值为________．
3．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，
CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为________．
4．如图，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，
则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是________．
三、典型例题
探究点一 利用向量法求异面直线所成的角
例1 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝CC 1，D 为B 1C 1的中点，求异面直线BD 和A 1C 所成角的余弦值．
探究点二 利用向量法求直线与平面所成的角
例2 如图，已知平面ABCD ⊥平面DCEF ，M ，N 分别为AB ，DF 的中点，求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值．
探究点三 利用向量法求二面角
例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12
，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．
探究点四 综合应用
例4 如图所示，在三棱锥A —BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是
公共的斜边，且AD ＝3，BD ＝CD ＝1，另一个侧面ABC 是正三角形．
(1)求证：AD ⊥BC ；
(2)求二面角B －AC －D 的余弦值；
(3)在线段AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30°角？若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由．
四、课后练习 一、填空题(每小题6分，共48分)
1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于________．
2．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成的角的大小为________．
3．如图，在正四面体ABCD 中，E 、F 分别是BC 和AD 的中点，则AE 与CF 所成的角的余弦值为________．
4．(2011·南通模拟) 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知B 1C ，C 1D 与上底面
A 1
B 1
C 1
D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成的余弦值为________．
5．P 是二面角α—AB —β棱上的一点，分别在α、β平面上引射线PM 、PN ，如果∠BPM
＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α—AB —β的大小为________．
6．(2011·无锡模拟)已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都相等，侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是________．
7．如图，P A⊥平面ABC，∠ACB＝90°且P A＝AC＝BC＝a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．
8．如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成的角的正弦值为________．
二、解答题(共42分)
9．(14分) 如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.
(1)求二面角B－AD－F的大小；
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．
10．(14分)(2011·大纲全国，19)如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.
(1)证明：SD⊥平面SAB；
(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值．
11．(14分)(2011·湖北，18)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1各棱长都是4，E是BC的
中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；
(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值．。