泛函分析重要内容
理解泛函分析学习泛函分析的基本概念和方法
理解泛函分析学习泛函分析的基本概念和方法泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的集合和函数间的映射关系。
泛函分析的基本概念和方法对于理解和应用许多数学分支和应用科学领域都具有重要意义。
本文将介绍泛函分析的基本概念和方法，帮助读者更好地理解和学习泛函分析。
1. 范数和内积空间泛函分析的基本概念之一是范数和内积。
范数是定义在线性空间上的一种函数，用来度量空间中的向量的大小。
内积是定义在内积空间上的一种函数，用来度量空间中向量之间的夹角和长度。
了解范数和内积的定义和性质是学习泛函分析的基础。
2. 巴拿赫空间巴拿赫空间是泛函分析中的一个重要概念，它是一个完备的赋范线性空间。
完备性意味着空间中的柯西序列在该空间中有极限。
了解巴拿赫空间的定义和性质对于理解泛函分析的相关定理和方法至关重要。
3. 可分性和正交性可分性是指线性空间中存在可数的稠密子集。
泛函分析中的许多定理和方法依赖于对可分空间的研究。
正交性是指内积空间中存在满足正交关系的向量组。
正交性在泛函分析中有重要应用，如勾股定理和傅里叶级数展开等。
4. 对偶空间和弱收敛对偶空间是泛函分析中的一个重要概念，它是一个原空间的线性函数全体构成的线性空间。
对偶空间的研究对于理解泛函分析的双重性质及其在数学和物理问题中的应用具有重要意义。
弱收敛是指序列在对偶空间中的收敛性质。
了解对偶空间和弱收敛的定义和性质有助于掌握泛函分析中的重要思想和方法。
5. 紧算子和谱理论紧算子是泛函分析中的一个重要概念，它是一种在巴拿赫空间中有紧性的线性算子。
紧算子在泛函分析和泛函微分方程等领域的研究中具有重要应用。
谱理论研究的是算子的谱结构及其与算子性质的关系。
理解紧算子和谱理论对于深入理解泛函分析的相关概念和方法非常重要。
6. 泛函分析的应用领域泛函分析作为数学中的一个重要分支，在许多领域都有广泛的应用，包括数学分析、微分方程、优化理论、量子力学等。
了解泛函分析在不同领域的应用，可以帮助读者更好地理解泛函分析的实际意义，并将其应用于实际问题的研究和解决中。
大学数学泛函分析
大学数学泛函分析一、引言数学泛函分析是数学的一分支，研究数学空间中的函数和它们的性质。
本文将介绍大学数学泛函分析的基本概念、定理和应用，以帮助读者更好地理解和应用泛函分析知识。
二、范数空间与内积空间1. 范数空间范数空间是指一个向量空间上定义了范数的空间。
范数是一个函数，它将向量映射到非负实数。
我们要介绍的几个常见的范数包括：欧几里得范数、p-范数等。
2. 内积空间内积空间是指一个向量空间上定义了内积的空间。
内积是一个二元运算，它将两个向量映射到一个实数。
内积空间具有许多有用的性质，如共轭对称性、正定性等。
三、泛函分析的基本概念1. 线性算子线性算子是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性映射。
我们要介绍的几类线性算子包括有界线性算子、紧线性算子等。
2. 连续性与收敛性在泛函分析中，我们关心函数序列的收敛性问题。
连续性和收敛性是泛函分析中的重要概念，它们可以帮助我们刻画函数的性质和行为。
3. 凸集与凸函数凸集是指包含所有连接两点的线段的集合。
凸函数是指定义在凸集上的函数，满足一定的凸性质。
凸集和凸函数在泛函分析中有着广泛的应用。
四、泛函分析的重要定理1. Banach不动点定理Banach不动点定理是泛函分析中的重要定理，它与函数的收敛性和连续性有密切关系。
该定理表明，在某些条件下，一个映射总能找到一个不动点。
2. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的核心定理，它在函数的延拓性和存在性方面有重要应用。
该定理表明，在一定条件下，我们可以将一个线性函数延拓到整个向量空间上。
3. Riesz表示定理Riesz表示定理是泛函分析中的经典定理之一，它将内积空间中的连续线性泛函表示为内积的形式。
该定理在量子力学等领域有着重要的应用。
五、泛函分析的应用泛函分析在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 偏微分方程泛函分析在偏微分方程中有着重要的应用。
通过泛函分析的方法，我们可以研究偏微分方程的解的存在性、唯一性和稳定性等性质。
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析(统考)重点梳理与案例分析
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析（统考）重点梳理与案例分析一、泛函分析概述泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的推广，即泛函。
泛函分析在数学理论和实际应用中都具有广泛的意义。
在上海市考研数学四十三中，泛函分析作为一门必修课程，对于考生来说是一个具有较高难度和重要性的知识点。
下面将从重点概念、定理与证明、重要案例等几个方面进行梳理与分析。
二、重点概念1. Banach空间与Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范向量空间，满足了度量空间的完备性和线性空间的结构特点。
Hilbert空间是一个内积空间，具有完备性和正交性的性质，是泛函分析中较为重要的空间。
根据Banach空间和Hilbert空间的特点，可以推导出许多重要的定理和结论。
2. 连续性与可测性在泛函分析中，连续性和可测性是两个重要概念。
连续性是指函数在某个点附近变化不大，可测性是指函数在某个测度空间上的可观测性。
这两个概念在泛函分析中应用广泛，对于理解和证明定理具有重要意义。
3. 紧算子与谱分析紧算子是泛函分析中一个重要的概念，它具有正规性和有界性。
谱分析是研究算子特征值和特征向量的理论，包括有界线性算子、紧算子和自伴算子等。
这些概念在泛函分析的定理与证明中具有重要作用。
三、定理与证明1. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的一大重要定理，它是推广了线性泛函的存在性和唯一性的定理。
定理的证明通常采用分离集和有限子集的方法，通过构造一个满足条件的线性泛函来证明存在性。
这个定理的应用十分广泛，是泛函分析中必须掌握的内容之一。
2. Banach-Steinhaus定理Banach-Steinhaus定理是推广了一致有界原理的定理。
在定理的证明中，一般采用Baire范畴定理和Baire范畴性质来证明。
这个定理的应用范围广泛，例如在泛函分析中的均一化原理和有界线性算子定理中都有应用。
3. 开放映射定理与闭图像定理开放映射定理和闭图像定理都是泛函分析中的重要定理，它们分别给出了开映射和闭图像的条件和性质。
考研泛函分析知识点详解
考研泛函分析知识点详解泛函分析是数学中重要的理论分支之一，广泛应用于各个领域，尤其在工程、物理学和计算机科学等领域具有重要的应用价值。
本文将详细介绍考研泛函分析的知识点，帮助考生更好地备战考试。
一、概述泛函分析是研究无穷维空间上的函数和它们之间的关系的数学理论。
它考察了函数的性质、收敛性、连续性等，并提供了一系列强有力的工具和方法来研究这些问题。
泛函分析在数学分析中扮演着重要的角色，也是许多其他学科的基础。
二、范数空间和内积空间范数空间是指带有范数的线性空间。
范数是对于向量的一种度量，它满足非负性、齐次性和三角不等式。
内积空间是指带有内积的线性空间。
内积是向量之间的一种度量方式，它满足对称性、线性性和正定性。
范数空间和内积空间是泛函分析中的基本概念，它们提供了函数空间的结构和性质。
三、巴拿赫空间巴拿赫空间是一种完备的范数空间，也就是说任何一个柯西序列都能在该空间中收敛。
巴拿赫空间常见的有Hilbert空间和Lp空间。
Hilbert空间是一个内积空间，并且是完备的。
Lp空间是一类以p阶可积函数为元素的空间，其中p是一个实数。
四、线性算子和泛函线性算子是指一个线性映射，它把一个向量空间映射到另一个向量空间。
泛函是一种对向量空间中的向量进行映射的函数。
线性算子和泛函是泛函分析中的重要研究对象，它们有着丰富的性质和应用。
五、连续性和紧性在泛函分析中，连续性是一个重要的性质。
一个线性算子或泛函如果是连续的，就意味着在某种度量下输入的小变动会导致输出的小变动。
紧性是一种强化的连续性，它表示函数空间中有一部分序列具有收敛的子序列。
连续性和紧性在泛函分析中有着广泛的应用。
六、谱理论谱理论是泛函分析中研究线性算子谱的一门学科。
谱是线性算子特征值的推广，用于描述线性算子的性质和行为。
谱分为点谱、连续谱和剩余谱等。
谱理论在泛函分析和偏微分方程等领域具有重要的意义。
七、弱收敛和弱*-收敛弱收敛也称为弱拓扑收敛，是泛函分析中一种弱形式的收敛性。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
数学中的泛函分析原理
数学中的泛函分析原理泛函分析是数学中一个重要的分支，它研究的是函数空间中的向量和算子，并研究它们之间的关系和性质。
在应用数学和理论数学中都有广泛的应用。
本文将介绍泛函分析的基本原理和一些常见的应用。
一、泛函分析概述泛函分析是在无穷维向量空间中研究函数和算子的一门数学学科。
它主要关注函数的空间与函数之间的线性关系和连续性。
泛函分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，并为这些领域提供了强大的工具和理论支持。
二、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中非常重要的概念。
它可以用来描述函数的性质和空间结构。
在泛函分析中，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和L^p空间等。
1. 连续函数空间连续函数空间是指定义在某个区间上的连续函数的集合。
常见的连续函数空间有C[0,1]和C^k[0,1]等。
在连续函数空间中，可以定义范数和内积等结构，从而形成一个向量空间。
2. 可积函数空间可积函数空间是指具有有限或无限积分性质的函数集合。
常见的可积函数空间有L^1[0,1]和L^2[0,1]等。
可积函数空间是泛函分析中非常重要的对象，它与概率论、信号处理和图像处理等领域密切相关。
3. L^p空间L^p空间是泛函分析中非常重要的一类函数空间。
它包括了所有p 次幂可积的函数的集合。
L^p空间具有范数结构，可以用来描述函数的大小和趋势，并且在测度论、偏微分方程和调和分析等领域有重要应用。
三、泛函的定义和性质泛函是定义在函数空间上的映射，它将函数映射到实数或复数。
泛函可以看作是函数的函数，它对函数进行操作并输出一个数值。
泛函的定义和性质在泛函分析中起着关键作用。
1. 线性泛函和非线性泛函线性泛函是指满足线性性质的泛函，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有F(af+bg) = aF(f) + bF(g)。
非线性泛函是不满足线性性质的泛函。
2. 连续性和有界性在泛函分析中，连续性和有界性是泛函的重要性质。
大学泛函分析的基本概念与性质
大学泛函分析的基本概念与性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它的主要研究对象是函数空间及其上的泛函。
本文将介绍大学泛函分析的基本概念和性质，为读者对该领域有一个初步了解和认识。
一、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中的重要研究对象，它由一组满足一定条件的函数构成。
常见的函数空间包括赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间等。
在定义函数空间时，需要给出其元素的性质，比如连续性、可微性等。
函数空间一般具有完备性和线性空间的性质，能够构成一个向量空间。
二、泛函的定义和性质泛函是将函数映射到实数或复数的一种特殊函数。
泛函可以看作是函数空间的“函数”，它对函数进行了某种程度上的“评价”。
泛函可以是线性的、有界的、连续的等。
泛函分析中研究了泛函的一些基本性质，比如泛函的线性性、有界性和连续性等。
三、双共轭空间的定义和性质双共轭空间是泛函分析中一个重要的概念，它描述了函数空间中的函数在泛函作用下所得到的结果。
双共轭空间是原函数空间的“对偶空间”，描述了两个空间之间的关系。
它的定义和性质对于泛函分析的研究具有重要的意义，常常用于描述函数空间中的函数与泛函之间的联系。
四、Hilbert空间的定义和性质Hilbert空间是泛函分析中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。
在Hilbert空间中，我们可以定义范数和内积的概念，并研究它们的性质。
Hilbert空间是泛函分析中一个非常重要的函数空间，常常用于描述物理学中的量子力学问题。
五、紧算子的定义和性质在泛函分析中，紧算子是一类具有特殊性质的线性算子。
紧算子在函数空间中起到了重要的作用，它们具有一些特殊的性质，比如有界性、紧性和可逆性等。
研究和应用紧算子的性质对于泛函分析研究的深入和应用有很大的帮助。
六、弱收敛和弱*收敛的定义和性质弱收敛和弱*收敛是泛函分析中另一个重要概念。
弱收敛是指函数序列在弱拓扑下的收敛性，而弱*收敛是指泛函序列在弱*拓扑下的收敛性。
弱收敛和弱*收敛相对于一般的收敛概念，在泛函分析中具有重要的应用价值，广泛应用于函数空间的理论研究和实际问题的分析。
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们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。
Chp.1 距离线性空间SS1. 选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。
（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。
这种先后关系记作良序集：A的任何非空子集C都必有一个属于C的最先元素。
良序集的超限归纳法：（1）为真，这里是A中最先的元素。
2）对一切,为真，则亦真那么对一切皆真。
选择公理设N={N}是一个非空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f，使得对一切N都有部分有序称元素族X是部分有序的，如果在其中某些元素对（a,b）上有二元关系，它据有性质：例如X中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的C：。
例如在复数域中，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分有序的，实轴、虚轴是完全有序的。
佐恩引理设X非空的部分有序集，如果X的任何完全有序子集都有一个上界在X中，则X必含有极大元。
从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备赋线性空间。
SS2. 线性空间，哈迈尔（Hamel）基线性空间的定义：加法交换、加法结合、有零元，有负元、有单位元等。
线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。
线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M, n∈N。
线性流形的直和：如果M∩N={θ},则以代替M+N如果,则称M与N是代数互补的线性流形。
于是有下述定理：定理2.1 设M,N是线性空间X的线性流形，则当且仅当对每个x∈X都有唯一的表达式x=m+n, m∈M,n∈N.定理2.2 若，则dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性空间，X的子集H称为X的Hamel基，如果（1）H是线性无关的。
（2）H成的线性流形是整个空间。
则有Hamel基和线性无关子集的关系：定理2.3 设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得推论任何非零线性空间必有Hamel基由定理2.3，可有定理2.4 设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形使得，即N是M的代数补。
SS3 距离空间（度量空间），距离线性空间定义了距离（满足正定性、对称性和三角不等式的映射）d(x,y)的空间即为距离空间，记为<X,d> 按距离收敛：设距离空间<X,d>中的点列使得,则称按d(·，·)收敛到x，简记为距离线性空间：设赋有距离d(·,·)的线性空间X满足（1）（2）距离线性空间的例子例1 有界序列空间（m）设X代表所有有界数列的集合，设定义加法和数乘：以及距离：则它是一个线性距离空间例2 收敛序列空间（c）元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。
例3 本质有界可测函数空间定义加法和数乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t), (ax)(t)=ax(t)以及距离：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|例4 所有序列空间（s）元素、加法和数乘定义同例1，距离例5 空间设X代表满足条件的所有数列的集合，加法和数乘同例1，距离为SS4 距离空间中的拓扑，可分空间<X,d>中，球、开集、邻域、闭集、点、部的概念同拓扑。
其中，极限点的概念相当于拓扑学中的聚点，连续函数的定义和拓扑也是一致的。
稠密：设<X,d>是距离空间，S包含于X称为稠密的，如果任给.空间X称为可分的，如果X有一个可数的稠密集。
例5、所有序列空间（s）是可分的；有界序列空间（m），例3是可分的。
SS5 完备距离空间完备性：称<X,d>是完备的，若对任意的柯西序列都收敛。
例C[0,1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。
定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，则它是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间<X,d>，若有完备的距离空间,使X等距于，即有,且T(x)是中的稠密子集，则为X的完备化。
进一步，有定理定理5.1任何距离空间都存在完备化SS6 列紧性列紧：<X,d>中集合M是列紧的，如果M中任何序列都有收敛子列。
闭的列紧集称为自列紧集。
ε-网：对<X,d>中的M,N，ε为给定正数，若对M中的任一点x，必存在N中的一点x'使得d(x,x')<ε，则N是M的ε-网。
完全有界：距离空间X中的集合M是完全有界的，若对人给的ε>0，总存在由有限元组成的M的ε-网。
定理6.1：在距离空间中，列紧性蕴含完全有界性；若更设X完备，则列紧性与完全有界性等价。
定理6.2：在距离空间中，任何完全有界集是可分的。
定理6.3：在距离空间中，紧（紧致）性和自列紧性等价。
等同连续：设F是一族从<X,d>到<Y,ρ>的函数，若任给都有ρ<f(x),f'(x))<ε, 当d(x,x')<δ,则称F是等同连续的。
定理6.4：（阿尔采拉-阿斯科利）是列紧的必须且只需F是一致有界且等同连续的。
定理6.5：（蒙泰尔）设是区域Ω上一致有界的解析函数列，则与任何完全位于Ω的有界区域D（D的闭包在Ω），恒有f的子序列在D上一致收敛。
SS7 赋线性空间满足数三公理的从X到R的映射‖·‖称为数，这样的赋线性空间记为<X,‖·‖>。
赋线性空间X中，‖x‖是x的连续函数。
线性算子设T是从到的函数（映射），若对一切x,y∈X和数a,b都有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，则称T是X到Y的线性算子。
如果还存在常数C>0，使对一切x∈X都有,则T是有界的如上的C的下确界称为T的数，记为‖T‖定理7.1设X,Y是赋线性空间，T是从X到Y的线性算子，则下述等价：（1）T在X某点连续；（2）T在X中所有点连续；（3）T是有界的。
线性算子的值域、满射的线性算子、单射的线性算子，逆算子这些定义是显然的。
其中有界线性算子的逆算子一般未必有界，若有界则称为有界可逆的。
定义在从线性空间X到复数域C的线性算子函数，称为线性泛函。
命题7.2 有限维赋线性空间中点收敛等价于坐标收敛命题7.3 有限维赋线性空间与同维度实数域线性同构且同胚。
Riesz引理：设M是赋线性空间X的真子空间，则对任给的正数且根据这个引理，我们知道任何赋线性空间X，若球B(x,r)是列紧的，则X必是有限维的。
Chp.2 希尔伯特空间SS1积空间定义设X是复线性空间，如果对任给的x,y∈X都恰有一个复数，记为(x,y)，与之对应，并且这个对应有下列四条性质：(1)(2)(3)(4)对任意的x,y∈X和a∈C,则称(x,y)是x与y的积，称X为具有积的及空间。
正交的定义：(x,y)=0进一步可以构建正规正交集，并且向欧几里得空间那样构建二数‖x‖。
定理1.1给出及空间X中的正规正交集{x}，则对任何x∈X.贝塞尔不等式施瓦茨不等式定理1.2每个积空间X按二数称为赋线性空间名义命题1.1 积(x,y)是x,y的二元连续函数，即当x,y有极限时，积也有极限。
命题1.2 设点集M在积空间X中稠密，若有x'∈X使(x,x')=0, 对任意x∈X,则x'=0须知，积空间中向量的数有着异于其它赋线性空间中向量数的独特性质。
命题1.3 平行四边形法则是否每个赋线性空间X都能赋以积(x,y)使得原来的数‖x‖总可以表成为呢？可以证明：X能赋以积的充要条件是X中的数满足平行四边形法则。
例1在空间C[0,1]不是积空间。
只需取x(t)=1,y(t)=t,考虑‖x+y‖和‖x-y‖即可。
（C[0,1]是完备的）定义1.3 若积空间是完备的，则称H为希尔伯特空间例2 空间的全体形成的线性空间，是希尔伯特空间。
例3 空间是希尔伯特空间。
（注意到上两例同时也是线性距离空间）命题1.4 积空间X的完备化是希尔伯特空间。
SS2 正规正交基现设H表示非零希尔伯特空间正规正交基：设S是H中的正规正交集，如果H中没有其他的正规正交集真包含S，则称S为H的正规正交基。
这等价于：命题2.1 设S是H中的正规正交集，则S是H的正规正交基充要条件是H中没有非零元与S中每个元正交。
定理2.1若H可分，则H必有一个可数的正规正交基。
定理2.2每个非零的希尔伯特空间都有正规正交基定理2.3设是H的一个正规正交基，则对任何的x∈X,都有推论每个可分的希尔伯特空间都与l^2同构。
SS3射影定理，弗雷切特-利亚茨表现定理设M是希尔伯特空间H的线性流形，定义，称其为M的正交补，二者的交为{0}，它也是H的子空间。
定理3.1（射影定理）设M是希尔伯特空间H的子空间，则每个x∈X都可以唯一地表成：称这个由x与M唯一确定的y为x在M上的正交射影。
命题3.1 设M是H的线性流形，则.设表示希尔伯特空间H上全体连续线性泛函按逐点定义的加法和数乘形成的线性空间，对,按这个数，它也是完备的赋线性空间，称其为H的共轭空间或对偶空间。
定理3.2 弗雷切特-利亚茨表现定理设使f可表为定义3.1 设φ(x,y)是从H×H到C中的函数，据有性质：(1)(2)则称它是H上的双线性泛函定理3.3设φ(x,y)是H上的有界的共轭双线性泛函，则恰有H上一个有界线性算子A，使得φ(x,y)=(Ax,y)SS4 希尔伯特共轭算子（伴随算子），拉克斯-米尔格拉姆定理希尔伯特共轭算子设H1,H2都是希尔伯特空间，T是从H1到H2的有界线性算子。
称T^*为T的希尔伯特共轭算子，也称伴随算子，即由其定义可见总之，对于这样的一个有界线性算子，总有它的伴随算子使得上式成立，且由其唯一确定。
例1 对于一个矩阵算子，它的共轭转置就是它的希尔伯特共轭算子。
Chp.3 巴拿赫空间上的有界线性算子SS1 有界线性算子算子的数：设X,Y是赋线性空间，以下记从X到Y的全体有界线性算子集合为L(X,Y),而L(X,X)简记为L(X).设A∈L(X,Y)，我们知道A的数为‖A‖=sup‖Ax‖/‖x‖，其中x不为零。
命题1.1 两个L(X,Y)中算子和的数小于数的和，数乘算子的数等于算子数的数乘。
命题1.2 设X是赋线性空间，Y是巴拿赫空间，则L(X,Y)也是巴拿赫空间。
命题1.3 算子积的数小于数的积。
数A强于数B，指A的收敛蕴含了B的收敛；如果互相都强于互相，则称二者是等价的。
算子的逆命题1.5 设X,Y都是赋线性空间，A:X->Y是线性映射，那么A是单射的，且定义在R(A)上的算子A'是连续的，充分必要条件是存在常数m>0使得‖Ax‖≥m‖x‖,对任意的X中的x。