5.3转动中的功和能
3.3 刚体定轴转动中的功和能
3.3 刚体定轴转动中的功和能1刚体定轴转动的动能定理①刚体的转动动能∑=iki k E E 221i i ki v m E ∆=()221ωi i r m ∆=∑∆=i i i r m 2221ω2221ω⎪⎭⎫ ⎝⎛∆=∑i i i r m 221ωJ =②外力矩的功设外力F 在转动平面内αcos d r F=()⎪⎭⎫⎝⎛-=απθ2sin d i r F θd M =r F A d d ⋅=⎰⎰==21d d θθθM A A 刚体在外力作用下有 的角位移时，外力F 做元功θd 刚体在外力作用下角位置从 到 时，外力的总功 1θ2θθαπd 2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i Fr③刚体定轴转动的动能定理⎰=21d d d θθθωt J 21222121ωωJ J -=力矩的功=刚体定轴转动动能的增量⎰⎰==2121d d θθθθθβθJ M A ⎰⎰==2121d d d d ωωθθωωωθJ t J 转盘抽奖如果想让转盘嗖嗖的转起来，你就要多推几圈，也就是要多做些功。
2刚体定轴转动的重力势能刚体的重力势能∑=ii p p E E mhm mgiii ∑∆=cmgh =∑∆=iii gh m im ∆ih Cc h 质心的高度3、刚体定轴转动的机械能守恒定律在重力场中，定轴转动的刚体的机械能包括刚体重力势能和定轴转动动能当只有保守力（重力）做功时，系统的机械能守恒pk E E E+=不变即ch 海盗船摆到最高点时势能最大， 动能为零；最低点时，势能为零，动能最大 。
c mgh J =221ω解：均匀杆在竖直平面内、在重力场中做定轴转动，只有重力作功， 例 已知均匀杆长l 、质量m ，在竖直面内绕过o 点的垂直轴转动；求：杆由水平静止自由摆动到与水平方向夹角为θ 时的角速度。
,01=k E 01=p E 令 2221ωo k J E =c p mgh E -=2θsin 2lmg -=231ml J o =0sin 2212=-θωl mg J o lg θωsin 3=解法1：机械能守恒 OωCmgCch 2/l θ2211p k p k E E E E +=+21d cos 220-=⎰ωααθo J l mg 解法2：g m r M ⨯=ααπcos 2)2sin(2l mg l mg M =-=221sin 2ωθO J l mg =l g θωsin 3=O θωC mg C αr απ-2。
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
刚体力学ppt课件
20 30 30 15 20 30
21(m)
yc
mi yi mi
20 10 30 0 20 30
4(m)
12
例2 试求非均匀棒的质心位置。设棒长为L，棒的单位
长度质量与x的函数关系为 x 2，式中β为常数。
解 坐标轴如图所示。在棒x
处取一线元dx ,其质量元
L
为dm dx x 2dx
解： 利用转动惯量可迭加性
O
I I细杆 I圆盘
ml
∴
I
1 ml 2 3
1 2
mR
2
ml
R2
185 96
ml
2
mR
该系统的质心位置=？
先计算细杆的质心(杆的中点)和园盘的质心(盘心)，
然后再求两者组成的系统质心位置。
30
例7 如图，四个质点安装在质量忽略不计的轻质圆形框架上，求： （1）此系统对通过圆心并垂直纸面轴的转动惯量；（2）绕通过此 系统质心并垂直纸面轴的转动惯量。(练习四、4)
I r2 dm
线分布
dm λdx,
λ m, L
I r2dx
面分布 体分布
dm σdS, σ m , S
I r2σdS
dm ρdV,
ρ m, V
I r2ρdV
其中：、、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。 21
例1 求一质量为m，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。(1)轴 通过棒的中心并与棒垂直。(2)轴通过棒的一端并与棒垂 直。
1
1）刚体运动的描述(刚体运动学)。 2）刚体的质心运动。 3）刚体定轴转动的转动定律。 4）角动量守恒定律。 5）刚体定轴转动的功和能
2
6-1 刚体的运动 (刚体运动的描述)
刚体定轴转动的功和能
《大学物理》练习题 刚体定轴转动的功和能班级 ___________ 学号 __________ 姓名 _________ 成绩 ________基本要求：（1） 掌握力矩的功、转动动能、动能定理、含刚体的机械能守恒定律及应用内容提要： 1. 力矩的功：⎰=θMd A2 转动动能：刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。
221ωJ E k =3 刚体定轴转动的动能定理：合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量21222121ωωJ J A -=若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.常量=+=C mgh J E 221ω一、选择题1. 如图所示, 一匀质细杆可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内自由转动. 杆长 l = (5/3)m,今使杆从与竖直方向成60°角的位置由静止释放(g 取10m/s 2), 则杆的最大角速度为 [ ] (A) 3rad/s.(B) rad/s (C) 9 rad/s.60° 图(D)3rad/s.2.一人站在旋转平台的中央,两臂侧平举,整个系统以2rad/s 的角速度旋转，转动惯量为.如果将双臂收回则系统的转动惯量变为.此时系统的转动动能与原来的转动动能之比E k / E k0为[ ] (A)2.(B) 2. (C) 3. (D) 3.3.如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴旋转，初始状态为静止悬挂。
现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 [ ] (A) 只有机械能守恒.(B) 只有动量守恒.(C) 只有对转轴O 的角动量守恒. (D) 机械能、动量角和动量均守恒. 二.填空题1.一匀质细杆AB,长为l ,质量为m . A 端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆 时,杆的角速度为 .2.将一质量为m 的小球, 系于轻绳的一端, 绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住, 先使小球以角速度1在桌面上做半径为r 1的园周运动, 然后缓慢将绳下拉, 使半径缩小为r 2, 在此过程中小球的动能增量是 .○· O 图三.计算题1.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相撞，设碰撞时间极短，已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v 1和v 2，如图所示. 求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间 (以知棒绕O 点的转动惯量J=m 1l 2/3).2.一长l=0.4m 的均匀木棒，质量M=1.0kg ，可绕水平轴O 在竖直内转动，开始时棒自然地竖直悬垂，今有质量m=8g 的子弹以s m v 200 地速率从A 点射入棒中，假定A 点与O 点的距离为43l ，求：（1）、棒开始运动时的角速度； （2）、棒的最大偏转角。
高中物理公式：功和能(功是能量转化的量度)
高中物理公式：功和能(功是能量转化的量度)W合=mvt2/2-mvo2/2或W合=ΔEK{W合:外力对物体做的总功，ΔEK:动能变化ΔEK=(mvt2/2-mvo2/2)｝机械能守恒定律：ΔE=0或EK1+EP1=EK2+EP2也可以是mv12/2+mgh1=mv22/2+mgh2重力做功与重力势能的变化(重力做功等于物体重力势能增量的负值)WG=-ΔEP注:功率大小表示做功快慢，做功多少表示能量转化多少;O0≤α＜90O做正功;90O＜α≤180O做负功;α=90o不做功(力的方向与位移(速度)方向垂直时该力不做功);重力(弹力、电场力、分子力)做正功，则重力(弹性、电、分子)势能减少重力做功和电场力做功均与路径无关(见2、3两式);(5)机械能守恒成立条件：除重力(弹力)外其它力不做功，只是动能和势能之间的转化;(6)能的其它单位换算:1kWh(度)=3.6*106J，1eV=1.60*10-19J;*(7)弹簧弹性势能E=kx2/2，与劲度系数和形变量有关。
质点的运动(1)——直线运动理解口诀：1.物体模型用质点，忽略形状和大小；地球公转当质点，地球自转要大小。
物体位置的变化，准确描述用位移，运动快慢S比t，a用Δv与t比。
2.运用一般公式法，平均速度是简法，中间时刻速度法，初速为零比例法，再加几何图像法，求解运动好方法。
自由落体是实例，初速为零a等g.竖直上抛知初速，上升最高心有数，飞行时间上下回，整个过程匀减速。
匀变速直线运动平均速度V平＝s/t(定义式)2.有用推论Vt2-V02＝2as3.中间时刻速度Vt/2＝V平＝(Vt+V0)/2(分析纸带常用)末速度Vt＝V0+at；5.中间位置速度Vs/2＝[(V02+Vt2)/2]1/26.位移s＝V平t＝V0t+at2/2加速度a＝(Vt-V0)/t｛以V0为正方向，a与V0同向(加速)a＞0；反向则a＜0｝实验用推论Δs＝aT2｛Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差｝(分析纸带常用逐差法求加速度)主要物理量及单位:初速度(V0):m/s；加速度(a):m/s2；末速度(Vt):m/s；时间(t)秒(s)；位移(s):米(m)；路程:米；速度单位换算：1m/s=3.6km/h。
高中物理精品课件：功和能
2.判断机械能是否守恒的方法 (1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的 代数和始终为零. (2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化， 即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒. (3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势 能变化，机械能不守恒.
√B.人对小球做功
1 2
mv02
D.小球的机械能守恒
例2 (多选)如图4所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为
质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射
的过程中，木块沿桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff， 那么在这一过程中，下列说法正确的是
√A.木块的机械能增量为Ffx
高处由静止开始以加速度 a＝13g 竖直下落到地面.在此过程中
√A.物体的动能增加了13mgh
B.物体的重力势能减少了13mgh C.物体的机械能减少了13mgh
D.物体的机械能保持不变
例3 (多选)(2019·白水中学高一下学期期末)如图5所示，质量为m的物体
(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运
√D.克服摩擦力做功 1 mgR 2 图4
例4 (2019·江苏启东中学高一月考)某人用球拍以初速度v0竖直向上击出
一个质量为m的小球，小球在运动过程中受到阻力的大小恒为Ff，能达到
的最大高度为h，重力加速度为g，则小球从击出到落回击出点的过程中
A.人对小球做功mgh
√C.小球的机械能减小了2Ffh
√C.在真空中水平抛出的石块
D.物体以 45g的加速度竖直向上做匀减速运动
3.(2019·上饶市玉山一中高一下期中)关于机械能守恒的叙述，下列说法 正确的是 A.做匀速圆周运动的物体，机械能一定守恒
第5章 刚体定轴转动1
z
Li
Liz ri pi
Liz
pi
Liz ri pi mi ri vi mi ri2
轴向总角动量：
ri O riR
Lz
i
Liz
i
mi ri
2
OR
r 注意： i 为质元到转轴的垂直距离。
2
I C I1 ml 2
1 2 ml 12
例: 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。
解: 在环上任取一小线元dl 其质量
J
m dm dl 2R
R 2 dm
O
R dm
m
0 2
R
2 R
0
m dl 2R
均匀圆环的 转动惯量： J mR 2
求得。所以
v v r sin r sin900 r 78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s 2
an 2 r 6.16 103 m / s 2
t 边缘上该点的加速度 a a n a其中 a t的方向与 n 向相反， a的方向指向轮心， a 的大小为
第五章 刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用
§5-5 角动量守恒
§5-6 转动中的功和能
§5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化； 理想模型； 特殊的质点系；
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
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对于一有限过程
Ek
合外力矩对绕定轴转动刚体所作的功等于刚体转 动动能的增量（定轴转动的动能定理）
A
1 2
J 22
1 2
J 12
说明：
力的空间累积效应
A
1 2
mv22
1 2
mv12
力的功,动能,动能定理.
力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理.
例题1 一长为 l ，质量为m 的均匀细长杆O A ，可绕通过其一端 点O的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点A过最低点时 的速率为v0，杆对通过端点O而垂直于杆长的轴的转动惯量 J=(1/3)ml2 ，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆 摆动时A点升高的最大高度。
(质点动量矩定理的微分形式) (质点动量矩定理的积分形式)
质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量
3、质点的动矩量守恒定律
t2
M
t1
dt
L2
L1
0
0
L
r mv
常矢量
质点的动量矩守恒。
质点的动量矩守恒定律：当质点所受对参考点O的合 力矩为零时，质点对该参考点O的动量矩为一恒矢量。
5.3 转动中的功和能
一. 转动动能 设系统包括有 N 个质量元
z
取 ,其动能为 刚体的总动能
O
P
•
各质量元速度不同， 但角速度相同
结论：绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的 转动惯量与其角速度平方乘积的一半。
二. 力矩的功 力的累积过程——力矩的空间累积效应
• 功的定义
dA Md
力矩作功的微分形式
解得
h v02 3g
五、刚体的机械能 刚体重力势能
刚体的机械能
质心的势能
一个不太大的刚体的
重力势能和它的全部
M M外＋M重
质量集中在质心时所 具有的势能一样。
（ M 0
外＋M
重）d
Ek
Ek 0
0 M重d (Ep Ep0 )
M外 0
刚体的机械能守恒
推广：对含有刚体和质点复杂系统，若外力不做功，且内力都
是保守力，则系统机械能守恒。
例题2 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg·m2，半径为7cm，
物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k =200N/m的弹簧相连，若 绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计，求：(1)当 绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；(2) 物体速度达到最大值的位置及最大速率。
动量守恒；
动量不守恒； 动量不守恒；
角动量守恒；
角动量守恒； 角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 . 机械能守恒 .
例1 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置
时, 有一只小虫以速率 v0垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离
点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆 端点爬行?
x mg 0.245 m k
0 1 kx2 1 J ( v )2 1 mv 2 mgx 2 2R 2
v
2mgx kx2 J R2 m
1.3m/s
5.4 对定轴的角动量守恒
一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒定律 1. 质点的动量矩(对O点)
其大小
O
S
特例：质点作圆周运动
2. 质点的动量矩定理
• 对一有限过程
O
.
P
( 积分形式 ） 若 M = C
讨论 (1) 合力矩的功 (2) 力矩的功就是力的功（力作的功在刚体转动中的
特殊表示形式）。 (3) 内力矩作功之和为零。
A r2 F dr r1
三、力矩的功率
P dA M d M dt dt
P F v
四. 转动动能定理 —— 力矩功的效果
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
mv0
l 4
1 12
ml
2
m(
l 4
)2
12 v0
7l
12 v0
7l
由角动量定理
M dL d(J) dJ
dt dt
dt
即
mgr cos d ( 1 ml2 mr2 ) 2mr dr
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12v0 t)
dt 2
24 v0
7l
例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到 跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板
是匀质的,长度为l,质量为 m',跷板可绕中部支撑点C 在竖
直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?
有许多现象都可以 用动量矩守恒来说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律
电荷守恒定律
能量守ห้องสมุดไป่ตู้定律
质量守恒定律
角动量守恒定律
宇称守恒定律等
关于系统守恒的讨论
子细 弹绳 击质 入量 沙不 袋计
o
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
锥
摆
T
m oR
p
v
以子弹和沙袋为系统 以子弹和杆为系统 圆锥摆系统
2、刚体定轴转动的动量矩守恒定律
当M 0 时, L J 恒量 动量矩守恒定律
对于一质点系，如果它受到对于某一固定轴的合力
矩为零，则它对这一固定轴的角动量保持不变。
讨论
J 不变, 不变.
➢ 守恒条件：M＝0 J 减小, 增大; J 增大, 减小.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中 M in M ex L 常量
解：(1)设物体下落最大距离为h，开始时物体所在位置为
重力势能零点，则根据机械能守恒：
0 1 kh2 mgh 2
h 2mg 0.49 m k
k
T2
T1
(2)加速度为零时速度最大 ，设这时物体的速率为 v, m
下落的距离为 x,则 T1 mg,T2 kx,且 T1 T2。
mg kx
根据机械能守恒 :
二、刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
1、刚体定轴转动的动量矩
刚体上任一质点对 Z 轴的动 量矩都具有相同的方向
LZ miviri miri2 JZ
i
i
LZ JZ (所有质元的动量矩之和)
O •
由转动定律
动量矩定理 微分形式
（动量矩定理积分形式）
转轴给定时,作用于刚体的冲量矩等于角动量的增量。
解：作用于杆的力有重力及轴对杆的支承力N，且N 过o点。
重力矩为 mg l sin .
N
2
o
dA mg l sin d
A
m
mg
l
2 sin
d
0
2
mg
l 2
(1
cosm
)
m c
把h
l
(1
cos
m
)代入上式得A
1 2
mgh
由转动动能定理得
mg
h
v0
A
1 2
mgh
0
1 2
J02
1 2
J
v02 l2