双曲线及其标准方程说课课件
2．学法：自主探究 本节课给学生提供以下四种机会： 1．提供观察、思考的机会； 2．提供操作、尝试、合作的机会； 3．提供表达、交流的机会； 4．提供成功的机会．
四、教学过程
1、设置情境、引入新课 2、动手实验，生成概念 3、类比探究，推导方程 4、知识应用，锻炼能力 5、归纳小结，布置作业
四、教学过程 1、设置情境、引入新课
练习
1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线，则m
的取值范围m是__1___2__m_____.
五、小结与作业
1 知识点： （1）双曲线的定义 （与椭圆的区别） （2）标准方程 （两种形式） （3）焦点位置的判断 （与椭圆的区别） （4）a 、b、 c的关系（与椭圆的区别） 2 数学思想： 数形结合、等价转化. 3 数学方法： 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法. 4 作业：课本P55习题第1、2、3题
（1）双曲线形冷却塔外观轮廓 （2）GPS定位系统
四、教学过程
2、动手实验，生成概念
实验1：让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉. 操作方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上
点F1 ，F2处，取拉锁处为M点，把笔尖放在点M处，随着拉链的
拉开或闭拢在纸板上作出一条曲线.
问题1：你能说一说这一条曲线是哪样的点的运动轨迹吗？ 在运动过程中，这一条曲线上的点满足的几何条件是什么？
课题：双曲线及其标准方程
说课流程
教材分析 教学目标分析 教法学法分析 教学过程设计 板书设计
一、教材分析
1、教材的地位与作用
圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些 性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时， 它也是体现数形结合思想的重要素材。《双曲线及其标准方程》 是新课程人教A版选修2-1 第2章《圆锥曲线与方程》中第三节 的内容，是在学生学习了椭圆的基础上，对圆锥曲线的进一步 升华。从知识和思想方法的角度来看，双曲线与椭圆有类似之 处，但与椭圆相比，从知识结构、题目类型、解题方法和数学 思想方面来说，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵 活，能力要求更高。同时它也为进一步学习抛物线，解决更复 杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。
y
求双曲线的方程。 M
F1
o F2
问题4：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点 在y轴上的双曲线的方程是什么？
双曲线的标准方程
标准方程
不
同
图形
点 焦点坐标
共
定义
同 a、b、c的关系
点
焦点位置
问题5：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什 么不同？
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
焦点 a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， c2=a2-b2
4、知识应用，锻炼能力
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在 B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
六、板书设计
2.3.1双曲线及其标准方程
一、定义
三、例题
(文字表述)
(符号表述)二ຫໍສະໝຸດ 标准方程焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：
这就是我对本节课的设计和说明， 希望大家批评指正！
a最大
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
练一练：请说出下列方程所表示的曲线， 并指明它的焦点位置及a、 b 、c的值：
x2 y2
x2 y2
y2 x2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) 1
94
94
94
94
四、教学过程
一、教材分析
2、学情分析
（1）学生的知识储备分析：学生已学习了椭圆的方程，已初 步掌握了求曲线方程的一般方法和步骤.
（2）学生的数学能力分析：学生通过几何图形来发现轨迹上 点的特征的能力较强（数形结合），但计算能力较弱，因 此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。
一、教材分析
3、教学重点和难点 教学重点： 双曲线的定义及其标准方程 教学难点： 双曲线标准方程的推导
能否说，这一条曲线就是平面上到F1 ，F2的距离之差等于定长
的点的轨迹呢？ 实验2：交换拉链的位置，作出另一条曲线.
问题2：你能说一说双曲线是哪一些点的运动轨迹吗？
双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常 数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线.
定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（3） (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 25
（4） x 2 (y 4)2 x 2 (y 4)2 8
四、教学过程
3、类比探究，推导方程
问题3：我们是怎样建立坐标系求椭圆的方程的？ 怎样建立坐标系，求所得双曲线的方程呢？
双曲线的标准方程
已知双曲线的焦距｜F1F2｜＝2c（c＞0），双曲线上的动点M到 两定点F1、F2的距离之差的绝对值为2a，建立合适的坐标系，
二、教学目标
掌握双曲线的定义及标准方程；
1.知识目标： 能根据条件求双曲线的标准方程；
熟悉求曲线方程的一般方法．
2.能力目标： 提高动手能力、合作学习的能力、
运用知识解决问题的能力．
3.情感目标： 激发学生的兴趣；提高审美情趣；
培养勇于探索、敢于创新的精神．
三、教法学法
1．教法： 问题引导式
教师为主导：设置情境、问题诱导
判断正误：
（1）平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差等于常数 的点的轨迹叫做双曲线. （2）平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值 等于常数的点的轨迹一定是双曲线
做一做：已知点P（x,y）满足下列式子，说出它的轨迹.
（1） |(x 5)2 y2 (x 5)2 y2 | 6 （2） (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
四、教学过程
1、设置情境、引入新课 2、动手实验，生成概念 3、类比探究，推导方程 4、知识应用，锻炼能力 5、归纳小结，布置作业
四、教学过程 1、设置情境、引入新课
练习
1、写出适合下列条件的双曲线的标准方程 1.a=4,b=3,焦点在x轴上; 2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)
2.已知方程 x2 y2 1表示双曲线，则m
的取值范围m是__1___2__m_____.
五、小结与作业
1 知识点： （1）双曲线的定义 （与椭圆的区别） （2）标准方程 （两种形式） （3）焦点位置的判断 （与椭圆的区别） （4）a 、b、 c的关系（与椭圆的区别） 2 数学思想： 数形结合、等价转化. 3 数学方法： 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法. 4 作业：课本P55习题第1、2、3题
（1）双曲线形冷却塔外观轮廓 （2）GPS定位系统
四、教学过程
2、动手实验，生成概念
实验1：让学生拿出课前准备好的一条拉链，一块纸板，两枚图钉. 操作方法：在拉链拉开的两段上各选择一点，分别固定在纸板上
点F1 ，F2处，取拉锁处为M点，把笔尖放在点M处，随着拉链的
拉开或闭拢在纸板上作出一条曲线.
问题1：你能说一说这一条曲线是哪样的点的运动轨迹吗？ 在运动过程中，这一条曲线上的点满足的几何条件是什么？
课题：双曲线及其标准方程
说课流程
教材分析 教学目标分析 教法学法分析 教学过程设计 板书设计
一、教材分析
1、教材的地位与作用
圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些 性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时， 它也是体现数形结合思想的重要素材。《双曲线及其标准方程》 是新课程人教A版选修2-1 第2章《圆锥曲线与方程》中第三节 的内容，是在学生学习了椭圆的基础上，对圆锥曲线的进一步 升华。从知识和思想方法的角度来看，双曲线与椭圆有类似之 处，但与椭圆相比，从知识结构、题目类型、解题方法和数学 思想方面来说，双曲线所涉及到的知识更加丰富、方法更加灵 活，能力要求更高。同时它也为进一步学习抛物线，解决更复 杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。
y
求双曲线的方程。 M
F1
o F2
问题4：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点 在y轴上的双曲线的方程是什么？
双曲线的标准方程
标准方程
不
同
图形
点 焦点坐标
共
定义
同 a、b、c的关系
点
焦点位置
问题5：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什 么不同？
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a x2 y2 a2 b2 1(a 0,b 0) y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
焦点 a.b.c的关系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， c2=a2-b2
4、知识应用，锻炼能力
例 1(参考课本 P54 例 ) 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在 B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
六、板书设计
2.3.1双曲线及其标准方程
一、定义
三、例题
(文字表述)
(符号表述)二ຫໍສະໝຸດ 标准方程焦点在x轴上时：焦点在y轴上时：
这就是我对本节课的设计和说明， 希望大家批评指正！
a最大
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b， c2=a2+b2 c最大
练一练：请说出下列方程所表示的曲线， 并指明它的焦点位置及a、 b 、c的值：
x2 y2
x2 y2
y2 x2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) 1
94
94
94
94
四、教学过程
一、教材分析
2、学情分析
（1）学生的知识储备分析：学生已学习了椭圆的方程，已初 步掌握了求曲线方程的一般方法和步骤.
（2）学生的数学能力分析：学生通过几何图形来发现轨迹上 点的特征的能力较强（数形结合），但计算能力较弱，因 此在方程的推导中会遇到障碍，成为本节的难点。
一、教材分析
3、教学重点和难点 教学重点： 双曲线的定义及其标准方程 教学难点： 双曲线标准方程的推导
能否说，这一条曲线就是平面上到F1 ，F2的距离之差等于定长
的点的轨迹呢？ 实验2：交换拉链的位置，作出另一条曲线.
问题2：你能说一说双曲线是哪一些点的运动轨迹吗？
双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常 数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线.
定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
（3） (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 25
（4） x 2 (y 4)2 x 2 (y 4)2 8
四、教学过程
3、类比探究，推导方程
问题3：我们是怎样建立坐标系求椭圆的方程的？ 怎样建立坐标系，求所得双曲线的方程呢？
双曲线的标准方程
已知双曲线的焦距｜F1F2｜＝2c（c＞0），双曲线上的动点M到 两定点F1、F2的距离之差的绝对值为2a，建立合适的坐标系，
二、教学目标
掌握双曲线的定义及标准方程；
1.知识目标： 能根据条件求双曲线的标准方程；
熟悉求曲线方程的一般方法．
2.能力目标： 提高动手能力、合作学习的能力、
运用知识解决问题的能力．
3.情感目标： 激发学生的兴趣；提高审美情趣；
培养勇于探索、敢于创新的精神．
三、教法学法
1．教法： 问题引导式
教师为主导：设置情境、问题诱导
判断正误：
（1）平面内到两个定点 F1、F2 的距离的差等于常数 的点的轨迹叫做双曲线. （2）平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值 等于常数的点的轨迹一定是双曲线
做一做：已知点P（x,y）满足下列式子，说出它的轨迹.
（1） |(x 5)2 y2 (x 5)2 y2 | 6 （2） (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 6
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双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
高中数学《双曲线及其标准方程》课件
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 双曲线标准方程的认识 例 1 若 θ 是第三象限角，则方程 x2＋y2sinθ＝cosθ 表示的曲线是( ) A．焦点在 y 轴上的双曲线 B．焦点在 x 轴上的双曲线 C．焦点在 y 轴上的椭圆 D．焦点在 x 轴上的椭圆
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为xm2＋yn2＝1， 则当 mn<0 时，方程表示双曲线．若nm<>00，， 则方程表示焦点在 x 轴上的双曲 线；若mn><00，， 则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
【跟踪训练 1】 若 k>1，则关于 x，y 的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1 所表示 的曲线是( )
[解] b>0)．
(1)当双曲线的焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，
∵M，N
在双曲线上，∴4－a22722－3
52
2 b2
＝1，
3 a2
－4b22＝1，
解得a12＝－116， b12＝－19
(不符合题意，舍去)．
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2 中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0， ∴∠F1PF2＝90°， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
双曲线及其标准方程
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
3-2-1双曲线及其标准方程 课件(共67张PPT)
【解析】 距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若 F1，F2 表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在左支上．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
互动 2 在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”， 那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动 点的轨迹是什么？
【解析】 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示．
(2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线．
互动 3 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各 条件下点 P 的轨迹是什么图形？
2．关于双曲线应注意的几个问题 (1)双曲线的标准方程与选择的坐标系有关，当且仅当双曲线 的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形 式．
(2)如图，设 M(x，y)为双曲线上任意一点，若 M 点在双曲线 的右支上，则|MF1|＞|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(0＜2a＜|F1F2|)；若 M 在双曲线的左支上，则|MF1|＜|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a，因 此得|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆不同．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a， 可得 （x＋c）2＋y2－ （x－c）2＋y2＝±2a.①
(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为xa22－yb22＝1(a>0，b>0)．② (5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方 程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点(－c， 0)，(c，0)的距离之差的绝对值为 2a，即以方程②的解为坐标的 点都在双曲线上．这样，就把方程②叫作双曲线的标准方程．
双曲线及其标准方程完整版课件
且声速为340m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程。
解：建立平面直角坐标系，使A, B两点在x上，
并且原点与线段AB的中点重合。
设炮弹爆炸点P的坐标为（x, y），则
PA - PB = 340 2 = 680
即2a = 680, a = 340
又 AB = 800，所以2c = 800，
c = 400, b 2 = c 2 - a 2 = 44400
y
思考：
焦点在y轴上的双
曲线的标准方程
2
2
y x
- 2 = 1(a 0, b 0)
2
a b
焦点坐标：F1(0,-c) ， F2(0,c)
2
c =
2
a +
2
b
F2
o
F1
x
双曲线的标准方程
y
y
M
M
F2
x
F1
O
F2
O
x
F1
x2 y2
- 2 = 1(a 0，b 0)
2
a
b
2
2
y
x
- 2 = 1(a 0，b 0)
)
答案:(1)× (2)× (3)×
b
3.过点(1,1),且a = 2的双曲线的标准方程是(
x2
A. 1 -y2=1
B.
2
2
y
C.x2- =1
y2
1
2
x2
-x2=1
D. 1 -y2=1 或
1
2
)
y2
2
1
2
-x2=1
b
解析:∵ = 2,∴b2=2a2.
a
解：建立平面直角坐标系，使A, B两点在x上，
并且原点与线段AB的中点重合。
设炮弹爆炸点P的坐标为（x, y），则
PA - PB = 340 2 = 680
即2a = 680, a = 340
又 AB = 800，所以2c = 800，
c = 400, b 2 = c 2 - a 2 = 44400
y
思考：
焦点在y轴上的双
曲线的标准方程
2
2
y x
- 2 = 1(a 0, b 0)
2
a b
焦点坐标：F1(0,-c) ， F2(0,c)
2
c =
2
a +
2
b
F2
o
F1
x
双曲线的标准方程
y
y
M
M
F2
x
F1
O
F2
O
x
F1
x2 y2
- 2 = 1(a 0，b 0)
2
a
b
2
2
y
x
- 2 = 1(a 0，b 0)
)
答案:(1)× (2)× (3)×
b
3.过点(1,1),且a = 2的双曲线的标准方程是(
x2
A. 1 -y2=1
B.
2
2
y
C.x2- =1
y2
1
2
x2
-x2=1
D. 1 -y2=1 或
1
2
)
y2
2
1
2
-x2=1
b
解析:∵ = 2,∴b2=2a2.
a
双曲线及其标准方程 第1课时(上课课件)
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)，求双曲线的标准方程；
(3)已知方程2＋x2m－m＋y2 1＝1 表示双曲线，求 m 的取值范围．
分析：(1)(2)先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a，b 的方程组求
解．(3)只需 x2 项与 y2 项的系数异号．
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(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种情
况都有可能．
(2)设方程：根据焦点的位置，设其方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)或ay22－bx22 ＝1(a>0，b>0)．焦点位置不定时，可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)解方程：解方程组，将a，b(或m，n或点的坐标)代入所设方程即可 得标准方程．
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在双曲线的定义中，注意三个关键点： (1)在平面内； (2)差的绝对值； (3)存在定值且定值小于两定点间距离． 在这三个条件中，缺少任何一个条件，动点轨迹就不是双曲线．
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1.已知平面上定点 F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－ |MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲 线，则甲是乙的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．（设双曲线的一般方程）
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴
9m＋0＝1， 36m＋9n＝1，
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
双曲线及其标准方程课件
双曲线及其标准方程ppt 课件
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。
欢迎来到本次ppt课件，将带您深入了解双曲线及其标准方程。让我们一起探 索这个有趣而美丽的数学概念！
什么是双曲线？
双曲线是数学中的一种曲线，它的形状类似于一个张开的双金属圆弧。它具有很多独特的特性和 性质。
图形特征
形状
双曲线的主轴长度大于副轴 长度，呈现出独特的开口形 状。
双曲线的图像与性质
焦点与准线
双曲线有两个焦点和两条 准线，这些元素决定了曲 线的位置和形状。
双曲线的离心率
离心率是衡量曲线弯曲程 度的指标，对于双曲线而 言，离心率大于1。
双曲线的对称性
双曲线具有对称性，关于 焦点、顶点、中心和原点 都存在对称性。
双曲线的应用
天文学
双曲线在行星轨道和彗星轨道的描述中发挥着重要作用。
渐近线
双曲线具有两条渐近线，可 以帮助我们更好地理解其形 状和趋势。
顶点
双曲线有两个顶点，它们是 曲线的最近点和最远点。
双曲线的标准方程
1 横轴标准方程
x²/a² - y²/b² = 1
2 纵轴标准方程
y²/a² - x²/b² = 1
3 参数方程
x = a*cos(θ), y = b*sin(θ)
通信技术
双曲线广泛应用于卫星通信和雷达系统中。
工程建模
双曲线在工程建模、电子设计和信号处理等领Leabharlann 具有广泛的应用价值。练习题
1
问题1
找到双曲线的焦点和准线。
问题2
2
计算给定双曲线的离心率。
3
问题3
应用双曲线方程解决实际问题。
结论和要点
1 双曲线是一种独特的数学曲线。
它具有特殊的形状、标准方程和性质。
3.2.1双曲线及其标准方程课件(人教版)(第一课时)课件(人教版)
解：
x2 49
y2 24
1 a12
49, b12
24
c2 a12 b12 25c 5
双曲线焦点坐标为（ 5，0），（5，0)
设双曲线方程为x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
2a | (4 2 5)2 32 (4 2 5)2 32 | 8
a 4,b2 c2 a2 9
0,b 0)
焦点在y轴上：ay22
x2 b2
1(a
0,b
0)
①分母是a2和b2, 但a、b大小关系不定(a>b, a<b, a=b).
②c2=a2+b2(c最大：c>a>0,c>b>0) ③哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁.
三、例题讲授
例1：已知双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0），F2（3，0）， 双曲线上一点P到F1,F2的距离差的绝对值等于4，求双曲线的标准 方程。
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
4.化简整理 (P119,类比椭圆方程的推导)
x2 a2
y2 c2 a2
1
b2 c2 a2
c2 a2 b2
x2 y2
焦点在x轴上
a 2 b2 1 (a 0,b 0)
c a 0 c b 0
探究：建立双曲线的方程
思考：焦点在y轴上的双曲线方程是什么?
双曲线方程为: x2 y2 1 16 9
四、练习：
2.设
P
是双曲线x2－ y2 ＝1 16 20
上一点，F1，F2
分别是双曲线左、右两个焦点，
若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解：由题意得：|| PF2 | | PF1 || 2a | PF2 | 2a | PF1 |