4-2离散参数马尔可夫链(2)-状态的分类
第三章 马尔可夫链
第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程，它具有如下特征：随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关，而与‘过去’曾处于什么状态无关。
马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 （1） 时间和状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。
（2） 时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。
（3） 时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章介绍马尔可夫链定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列，其状态空间为},,,{210 i i i I =，如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ，有},,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++}{11n n n n i X i X P ===++则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。
若将时刻n 称为‘现在’，将时刻n+1称为‘将来’，而把0，1，2，……，n-1称为‘过去’。
定义中的等式便可通俗解释为：在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下，‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关，这一特性常称为马尔可夫的无后效性。
例1．一个n 级数字传输系统，每一级的输入和输出信号只取0或1两个值，每一级的输出是下一级的输入；并假定当一级输入为0时，其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时，其输出为1和0的概率分别为p 和1-p （见图）令Xn 表示第n 级输出，则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。
例2．从1，2，……，N 数字中任取一个数，记为X0；再从1，2，……，X0数字中任取一个数，记为X1；再从1，2，……，X1中任取一个数，记为X2；依此类推，在1，2，……，Xn-1中任取一个数，记为Xn 。
可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
事实上，{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1，2，……，N}，对任意正整数n ，取n+1个状态I i i i i n ,,,,210 ,由题意可知故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
马尔可夫链模型讲解
马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
2012第四章马尔可夫链
随机过程第四章：马尔可夫链第四章：马尔可夫链4.1 马尔可夫链定义4.2 一步转移概率及多步转移概率4.3 初始概率及绝对概率4.4 遍历的马尔可夫链及平稳分布4.5 马尔可夫链状态分类4.6 状态空间的分解时间、状态都是离散的马尔可夫过程，称为马尔可夫链。
时间连续、状态离散的马尔可夫过程，称为连续时间的马尔可夫链。
时间、状态都是连续的马尔可夫过程，就是马尔可夫过程。
例如：天气预报…质点的随机游动…赌博输光问题…生死链…4.1 马尔可夫链定义例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信号，且传递需要经过若干级。
因为系统中有噪声，各级将造成错误，若某级输入0，1信号后，其输出不产生错误的概率为p，产生错误的概率为1-p，则该级的输入输出状态构成了一个两个状态的马氏链。
例题4-1:设马尔可夫链{X n ,n∈T}有状态空间I={0,1}，其一步转移概率矩阵为求和两步转移概率矩阵P (2) 。
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11100100p p p p P }0|0{2==+m m X X P设质点在数轴上移动，每次移动一格，向右移动的概率为p，向左移动的概率为q=1-p，这种运动称为无限制随机游动。
以X n 表示时刻n质点所处的位置，则{X n ,n∈T}是一个齐次马尔可夫链，求一步和k步转移概率。
,1,1, 1 0 (j i-1,i+1) i i i i i j P p P q p P +−⎧=⎪==−⎨⎪=≠⎩解：一步转移概率为：...........................q 0 p 0 0......0 q 0 p 0......0 0 q 0 p...........................P ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠例题4-2：无限制随机游动质点在数轴上移动，规律同上例。
当质点一旦达到X n =0时，X n+1就停留该0状态，这种状态称为吸收态。
{X n ,n∈T}是一个齐次马尔可夫链，求一步转移概率。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链
n
n
P{Tij l, X n j | X 0 i} P{Tij l | X 0 i}P{X n j | Tij l, X 0 i}
l 1
l 1
n
fij (l)P{X n j | X 0 i, X1 j, X l1 j, X l j} l 1
n
n
fij (l)P{X n j | X l j} fij (l)Pjj (n l)
p
j
jl
n
m
p
j
i
mpii
n
pij
l
pii
n
定理8 若 i j ，则 （1）i与j同为常返或同为非常返； （2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返； （3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。
遍历性与平稳分布
1 遍历性
定义1 设齐次马氏链 {X (n), n 0}的状态空间为E，若对一切 i, j E ，存在 不依赖于i的极限
显然有
fij () P{Tij } 1 fij
（i 不能到达 j 的概率）
0 fij (n) fij 1
fjj 表示从 j 出发迟早返回 j 的概率
定理4： 对任何状态 i, j G, n 1, 有
n
pij n fij lp jj n l i 1
证明：
pij (n) P{X n j | X 0 i} P{Tij n, X n j | X 0 i}
则称马尔可夫链具有遍历性。并 p j称为状态j的稳态概率。
定理9
对于一有限状态的马氏链，如 m 0,对一切i, j I, pij m 0
则 此链具有遍历性。且 p j p1, p2,p3, , pN
是
离散时间马氏链 -回复
离散时间马氏链-回复离散时间马尔可夫链（Discrete-Time Markov Chain）是一种随机过程，它的状态在离散的时间步长内发生变化。
这种变化是由一个概率转移矩阵来描述的，该矩阵表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
本文将逐步介绍离散时间马尔可夫链的基本概念、性质以及其在实际中的应用。
一、基本概念1. 马尔可夫链：马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它满足无后效性，即当前状态只与前一状态有关，而与其他历史状态无关。
2. 状态空间：马尔可夫链的状态空间是所有可能状态的集合。
3. 转移概率：在马尔可夫链中，从一个状态转移到另一个状态的概率称为转移概率。
4. 初始分布：马尔可夫链的初始状态分布通常用一个向量来表示，这个向量的每个元素对应于状态空间中的一个状态，其值表示开始时处于该状态的概率。
5. 转移矩阵：马尔可夫链的转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、性质1. 无后效性：马尔可夫链最重要的特性就是无后效性，也称为马尔可夫性质。
这意味着系统未来的状态只与当前状态有关，而不依赖于过去的任何状态。
2. 平稳分布：如果一个马尔可夫链在经过足够长时间后，无论初始状态如何，其状态分布都会收敛到一个固定的分布，那么这个分布就称为平稳分布。
3. 回顾性和展望性：回顾性是指系统的当前状态可以完全由过去的状态决定；展望性则是指系统的未来状态只与当前状态有关。
三、应用1. 信息检索：在信息检索中，马尔可夫链可以用来预测用户下一个可能的查询词，从而提高搜索结果的相关性。
2. 自然语言处理：马尔可夫链模型被广泛应用于自然语言处理任务，如词性标注、命名实体识别等。
3. 生物信息学：马尔可夫链模型在生物信息学中有多种应用，如蛋白质序列分析、基因结构预测等。
4. 经济学和金融学：马尔可夫链模型也被用于经济学和金融学领域，如股票价格预测、经济周期分析等。
四、总结离散时间马尔可夫链是一种重要的随机过程模型，其无后效性的特性使得它在许多领域都有广泛的应用。
马尔可夫链是状态离散时间
马尔可夫链是状态离散时间1.引言1.1 概述马尔可夫链，又被称为马尔可夫过程，是一种离散时间的随机过程。
它的独特之处在于其未来状态的概率只与当前状态有关，与其过去状态无关。
这种特性使马尔可夫链成为研究系统状态演变和预测的重要数学工具。
马尔可夫链的应用广泛，涉及到许多领域。
例如，在自然语言处理中，马尔可夫链被用来建模文本语言的演化规律和预测下一个单词的出现概率。
在金融领域，马尔可夫链被用来分析股票价格的变化和预测市场趋势。
在生物学中，马尔可夫链被应用于研究DNA序列的特征和分析蛋白质结构。
通过理解和应用马尔可夫链，我们可以更好地理解和预测系统的演变过程。
它为我们提供了一种数学模型，用于描述和解决许多现实世界中的问题。
马尔可夫链不仅具有理论意义，更有着广泛的实际应用，为众多领域的研究人员提供了有力的工具和方法。
本文将全面探讨马尔可夫链的定义、特点以及其在各个领域中的应用。
通过对其重要性的总结，我们可以更好地认识到马尔可夫链在研究和理解系统状态演变方面的价值。
并且，我们还将展望马尔可夫链未来的发展趋势，以期在更多领域中发挥更大的作用。
1.2 文章结构文章结构是指文章的框架和组织方式，它对于阐述主题和向读者传达清晰的信息非常重要。
本文主要介绍马尔可夫链及其应用领域，为了使读者更好地理解和掌握马尔可夫链的知识，本文将按照以下结构来展开讨论：第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的三个方面。
在概述部分，将简要介绍马尔可夫链的基本概念和特点，引起读者的兴趣；在文章结构部分，给出全文的大致框架和组织方式，让读者对文章内容有整体的了解；在目的部分，明确本文的目标，即介绍马尔可夫链的定义、特点和应用领域，以便读者清楚知道本文的主要内容和意图。
第二部分是正文，主要包括马尔可夫链的定义和特点以及其应用领域两部分。
在马尔可夫链的定义和特点部分，将详细介绍马尔可夫链的基本定义、状态转移概率和马尔可夫性质，并解释它们的意义和特点；在马尔可夫链的应用领域部分，将列举并详细阐述马尔可夫链在自然语言处理、金融市场预测、排队系统等领域的具体应用案例，以及它们在实际应用中的作用和效果。
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得
1 要证 Pi i ( s) 令s 1 得 1 Fi i ( s)
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p
n 0
(n) ii
1 1 fii
卢
常返状态的解释
令
1, X ( n) j; Y ( n) 0, X ( n) j .
(n) n ii
Fi i ( s) fi (in ) s n
n 0
(0) 1 fii(0) 0 , n 1 规定 pii
由 p
(n) ii
f
v 0
n
(v) ii
p
( n v ) ii
n (n) n ( v ) ( n v ) n Pii (s) 1 pii s 1 fi i pi i s n 1 n 1 v 1
存在N，使得 tN t N 1
d,
, nN } 存在M，对于一切的n M , 有
nd k nk ,
k 1
N
k为正整数
p
( nd ) ii
[ p
k 1
N
( nk ) k ii
] 0
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首达概率
定义1 对i , j E 及 n 2，记
归纳法。 设n mt r,0 r t
(n ) ( n k ) 当m 0时，对于k n t, fii( k ) 0, pii 0 pii n
( mt r ) 当m N 1时，pii 0, 则
k 1
( Nt r ) pii
Nt r
k 1
是系统从状态“i” 出发经过有限步转移后最终到 达状态“j” 的概率.
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n 1
( n) f ij
系统从状态“i” 出发 经过n步转移后首次到 达状态“j” 的概率
一、状态类型分类
定义4.7 对状态i∈E, 最终返回概率为fii， 若 fii=1，称状态i 是常返的； 若 fii<1，称状态 i 是非常返的(或滑过的；瞬时状态 ).
v ) n v (v) v ( n v ) n v 1 fi (iv ) s v pi( n s 1 f s p i i i i s i n 1 v 1 v 1 n v
n
1 fi (iv ) s v p (jmj) s m 1 Fi i (s) Pi i ( s)
( n) f ij ˆ PX ( n) j , X ( k ) j , k 1,2,, n 1 X (0) i,
(1 ) f ij
ˆ PX (1) j X (0) i
称为首达概率.
称
f ij
f ij P{ 存在n 1, 使X ( n) j X (0) i },
m 1 n
马氏性
P X ( n) j X ( m) j
( m) ij
f
m 1
n
(m) P X (n) j X (m) j f ij p jj ( n m ). m 1
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n
引理
卢
( n) ( n) 引理4.2：GCD{n : n 1, P 0} GCD { n : n 1, f 0} ii ii
( n) f =1 表示系统从状态 i 出发必定要返回状态 i. 注 定义4.8 设j是常返的, 称 j n1 nf jj ii
称 为状态 j 的平均返回时间； j 定义4.9 对常返状态i∈E, 平均返回时间为μi， 若μi<+∞,称状态i 是正常返的； 若μi=+∞，称状态i 为零常返的. 称非周期正常返的状态为遍历状态.
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卢
引理：如i 的周期为d，则存在一个整数M , 对于 一切的n M 有p
tk GCD{n1, d GCD{n1 ,
( nd ) ii
0
( n) 证明： 设{n : n 1, pii 0} {n1, , nk }
, nk }
则
t1 t2
d 1,
( Nt r k ) (( N l ) t r ) f ii( k ) pii fij(lt ) pii 0
N
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l 1
卢
二、常返态和非常返态的判别
定理4.5 状态i∈E是常返状态, 当且仅当 从定义出发判别状态类型十分困难 ,常返态判别准则 可通过不同类 (n) Pii ; 型状态所具有性质来区别它们.
( n) 证：令 d GCD{n : n pii 0}，t GCD{n : n fii( n) 0}
( n) 由pii fii( n)，知d t
下面证明d t
( n) ii
只须证明t是 {n : n p 0}的公约数
( n) 即证若t|n,则pii 0。
8 7 6
9 1 5ຫໍສະໝຸດ 2 3 4解放军电子技术学院
卢
§4.2 齐次马氏链状态的分类
定义 对i∈E, 若正整数集
n n 1, Pii (n) 0
非空, 则定义其最大公约数(GCD)为状态i 的周期 记为
d ( i ) GCDn n 1, Pii n 0
若d(i)=1,称状态i 是非周期的.
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定理 对i , j E 及 n 1， 任意步转移概率与 首达概率有关系式
( n) Pij
f ij ( m ) P jj ( n m )
m 1
n
证 P ( n) PX ( n) j X (0) i ij
P X (m) j , X (k ) j , 1 k m 1, X 0 i
n 1
状态i∈E是非常返状态
p
n 0
(n) ii
1 1 fii
(n) jj
P 推论1 状态j 是非常返的，当且仅当 n 1
推论2
;
lim Pjj n 0. 若状态j 是非常返的，则 n
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令 Pi i ( s) p s
n 0