第四章 连续时间马尔科夫链
连续时间马尔可夫链定义
为连续时间马氏链的齐次转移矩阵 其中
p00 (t ) p10 (t ) P(t ) pi j (t ) p20 (t ) ...
pij (t ) 0
p01 (t ) p11 (t ) p21 (t ) ...
p02 (t ) p12 (t ) p22 (t ) ...
0
6 4 10 例：Q 2.5 2.5 0 1 1 2
2.5 1
4
6
1
2 1
状态流图
8
4 Q矩阵P(t)
依据K氏微分方程，可以从Q矩阵求得P(t), P(0)=I. 例：考察E＝{0,1}的连续时间马氏链X，设t极小
p01 (t ) t o(t ) p10 (t ) t o(t )
lim j '(t ) lim i (t ) qij
t t i
写成矩阵形式： Q 0
12
4 平稳概率例题
一个连续时间的马氏链E={0,1,2},其状态强度转移矩阵和状 态转移图为 1 1 0 平衡方程： Q 2 3 1 0 1 1 ( 0 , 1, 2 ) Q 0 列出方程组
k
初值： i (0) pi
为求瞬时概率分布函数的方程组
10
5 平稳分布
定义 j (t ) j ( j E ) 存在，且 j 1 ，则{ }称为齐次 若lim t j j 马尔可夫链的平稳分布 如何判别连续马尔可夫链的平稳分布必定存在？
转移概率矩阵是标准的 不可约的齐次马氏链，则极限存在，且与初始分布无关 正常返的齐次马氏链，则此极限值为平稳分布，且全部大 于0
11
第四章 马尔可夫链
股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义：状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法：根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景：广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强： 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型， 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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汇报人：儿
特点：隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的，需要通过训练数据来估计。
应用：隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法：隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类：利 用马尔可夫链 对文本进行分 类，如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义：马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性：状态转移具有无记忆性，即下一个状态只与当前状态有关，与过去状态无关
转移矩阵：描述状态转移概率的矩阵
稳态分布：在长期状态下，马尔可夫链将趋于一个稳态分布，该分布描述
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马尔可夫链
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第四章 马尔可夫链
一步转移概率
定义4.2 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移概率， 简称转移概率，其中i,jI。 定义4.3 若对任意的i,jI，马尔可夫链{Xn,nT } 的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链是 齐次的，并记pij(n)为pij。
如果d>1，就称i为周期的， 如果d=1，就称i为非周期的。
引理4.1 如果i的周期为d，则存在正整数M，对一切 ( nd ) n≥M ，有 p ii 0。
例4.6
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}，转移概率如 下图所示。
1 1
8
9
1
1 3
2
1
7
1
1 6
1
3
1
5
2 3
4
1
从状态1出发再返回状态1的可能步数为T={4,6,8,10, }，T的最大公约数为2，从而状态1的周期为2。
P{ X n j | X n1 i}P{ X n1 i} pi (n 1) pij
iI iI iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质
P{ X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in
证明： (1) p j (n) P{ X n j} P{ X 0 i , X n j}
P{ X n j | X 0 i}P{ X 0 i}
iI ( p i p ijn ) iI iI
(2) p j (n) P{ X n j} P{ X n1 i , X n j}
连续时间马尔科夫链
∑
r∈E \EK
pi,r (h) . h
(4.35)
∑ p ( t + h ) − p ( t ) i,j i,j lim ± − qi,r pr,j (t) h→0+ h ≤ qi − lim ≤ qi − ∑
r∈EK \{i} r∈EK
h→0+
pi,r (h) h
∑
r ∈E
, pi,j (t) , ,
.
0<h<t Kolmogorov
, .
t−h
t,
4.69 设 qj < ∞ 且 limh→0+ pr,j (h)/h = qr,j 关于 r ∈ E \ {j } 一致成立, 则 p′ i,j (t) = ∑
r∈E
pi,r (t)qr,j ,
∀i, j ∈ E, t ≥ 0.
qqijlimh0pijh?pij0h?????????????iij?1?i??iij?iij10i?j2kolmogorovpijtj?1pij?1t?i?ipijt?j1pij1t
草稿 不要打印
4.7
, .
4.7.1
4.62 设随机过程 {Xt : t ≥ 0} 的状态空间 E 是至多可数集, 若对任何整数 n ≥ 1, 参数 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn < tn+1 以及状态 i0 , i1 , · · ·, in+1 ∈ E , 有 P {Xtn+1 = in+1 |Xt0 = i0 , · · · , Xtn = in } = P {Xtn+1 = in+1 |Xtn = in }, 则称 {Xt : t ≥ 0} 为连续时间马尔可夫链. (4.28) , P {Xt+s = j |Xs = i}, s i, t s, t ≥ 0, i, j ∈ E. j , (4.28)
马尔可夫链
例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}， 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
第6讲 第4章马尔科夫链
P=
2 1/3 1/3 1/3 0 0
3
0
1/3 1/3 1/3
0
1
2
345源自4 0 0 1/3 1/3 1/3
5 0 0 0 0 1
.
称状态 5 为吸收态。 吸收态是位于对角线上的概率1所对应的状态。 吸收态也是马尔科夫链研究的一个问题。 ---- 但是本教材对此不作过多讨论
.
例4.3 无限制随机游动
质点在数轴的整点上做随机游动，每次移动一格，向 右移动概率为p，向左移动概率为q（p+q=1）， X n 表 示质点在n时所处的位置，则 Xn 是一齐次马尔科夫链， 写出一步和k步转移概率。
解 状态空间I={0,±1,±2,…}
pi,i1 p,
pi,i1 q,
M M M M L
L
0
p
L
P L q 0 p
L
q
0
p
L
MMMM
.
例4. 生灭链
某种生物群体在n时刻的数量为 X n ，n时刻有 量时，到n+1时刻增加到 i 1 个数量的概率为
i 个数
bi ，
减少到 i 1 个数量的概率为 ai ，保持数量不变的概
率为 ri 1 ai bi 。 a0 0
则 Xn ,n 0 是齐次马尔科夫链。
状态空间I={0, 1，2,…}
P X 0 i0 P X n1 i1 | X 0 i0 L P X nm im | X 0 i0 ,L X nm1 im1
在甲获得1分的情况下, 再赛2局比赛结束的概率： p(1 r) .
.
注1：为方便，我们也可把这5个状态依次用序号表示。
比如 p23表示：甲现处于第二个状态，一步后变为第3
随机过程Ch5-连续时间的马尔科夫链
连续时间马尔可夫链I 马尔可夫链543210 1 2 3 4 5 T25.1 连续时间马尔可夫链定义5.1 设随机过程{X(t)，t 0}，状态空间I={0,1,2,}，若对任意0t1<t2<<t n+1 及非负整数i1,i2, ,i n+1 I，有P{X(t n+1)=i n+1|X(t1)=i1, X(t2)=i2,, X(t n)=i n}=P{X(t n+1)=i n+1|X(t n)=i n}，则称{X(t)，t 0}为连续时间马尔可夫链。
转移概率：在s时刻处于状态i，经过时间t后转移到状态j的概率p ij(s,t)= P{X(s+t)=j|X(s)=i} 35.1 连续时间马尔可夫链定义5.2 齐次转移概率p ij(s,t)=p ij(t)(与起始时刻s无关，只与时间间隔t有关) •转移概率矩阵P(t)=(p ij(t)) ，i,j I，t 0，称为齐次马尔科夫过程性质：若i为过程在状态转移之前停留在状态i的时间，则对s, t0有P{ s t | s} P{ t}i(1)i i(2)i 服从指数分布45.1 连续时间马尔可夫链证(1) 事实上i i i its s+ti{ s} {X(u) i,0 u s | X(0) i} i{ s t} {X(u) i,0 u s,iX(v) i, s v s t | X(0) i}55.1 连续时间马尔可夫链P{ s t | s} P{X (u) i,0 u s,i iX (v) i,s v s t | X (u) i,0 u s} P{X (v) i,s v s t | X (u) i,0 u s}条件概率P{X (v) i,s v s t | X (s) i}马尔可夫性P{X (u) i,0 u t | X (0) i}齐次性P{ t}i65.1 连续时间马尔可夫链(2)设i的分布函数为F(x), (x0),则生存函数G(x)=1-F(x)P{ t} P{ s t | s }i i iP {isP { t,i s}Ps}iP { s t}t}P{ s}P {iiiG (s t) G(s)G (t)7 由此可推出G(x)为指数函数，G(x)=e -x,则F(x)=1-G(x)=1-e -x为指数分布函数。
第四章 马尔可夫链
第四章 马尔可夫链随机过程在不同时刻下的状态之间一般具有某种关系，马尔可夫（Markov ）过程就是描述一类状态之间具有某种特殊统计联系的随机过程.Markov 过程在近代物理学、生物学、管理科学、信息处理与数字计算方法等领域都有重要的应用.按其状态和时间参数是连续的或离散的，它可分为三类：（1）时间、状态都是离散的Markov 过程，称为Markov 链；（2）时间连续、状态离散的Markov 过程，称为连续时间的Markov 链；（3）时间、状态都连续的Markov 过程.本章主要讨论Markov 链，有关连续时间的Markov 链的相关理论将在下章讨论.4.1 马尔可夫链的概念和例子独立随机试验模型最直接的推广就是Markov 链模型，早在1906年俄国数学家Markov 对它进行研究而得名，以后Kolmogorov 、Feller 、Doob 等数学家发展了这一理论.4.1 .1 Markov 链的定义假设Markov 过程{,}n X n T ∈的参数集T 是离散时间集合，即{0,1,2,}T =，相应n X 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态集012{,,,}I i i i =.定义 4.1 设有一随机过程{,}n X n T ∈，若对于任意整数n T ∈和任意011,,,n i i i I +∈，条件概率满足11001111{|,,,}{|}n n n n n n n n P X i X i X i X i P X i X i ++++=======则称{,}n X n T ∈为离散时间的Markov 链，简称Markov 链（Markov chains ）或马氏链.从定义可以看出：Markov 链具有Markov 性（即无后效性），如果把时刻n 看作现在，那么，1n +是将来的时刻，而0,1,2,,1n -是过去的时刻.Markov 性表示在确切知道系统现在状态的条件下，系统将来的状况与过去的状况无关，而且Markov 链的统计特征完全由条件概率11{|}n n n n P X i X i ++==所决定. 因此，如何确定这个条件概率，是研究Markov 链理论和应用中十分重要的问题之一. 4.1.2 转移概率定义 4.2 称条件概率1(){|}ij n n p n P X j X i +=== （4.1）为Markov 链{,}n X n T ∈在时刻n 的一步转移概率，其中,i j I ∈，简称转移概率（transition probability ）.一般地，转移概率()ij p n 不仅仅与状态,i j 有关，而且与时刻n 有关，如果()ij p n 不依赖时刻n 时，则称Markov 链具有平稳转移概率.定义 4.3 若对任意,i j I ∈，Markov 链{,}n X n T ∈的转移概率()ij p n 与n 无关，则称Markov 链是齐次的（或称时齐的）（time homogeneous -），并记()ij p n 为ij p . 下面只讨论齐次Markov 链，并且通常将“齐次”两字省去.定义 4.4 设P 表示一步转移概率ij p 所组成的矩阵，且状态空间{1,2,}I =，则1112121222...........................n n p p p P p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为系统状态的一步转移概率矩阵（transition probability matrix ），它具有性质： （1）0,,ij p i j I ≥∈； （2）1,ijj Ipi I ∈=∈∑.（2）式说明一步转移概率矩阵中任一行元素之和为1，通常称满足性质（1）（2）的矩阵为随机矩阵.定义 4.5 称条件概率(){|},n ij m n m p P X j X i +=== ,,0,1i j I m n ∈≥≥ （4.2）为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移概率，并称()()()n n ij P p =为Markov 链{,}n X n T ∈的n 步转移矩阵.其中()()0,1n n ij ij j Ip p ∈≥=∑，即()n P 也是一个随机矩阵.特别地，当1n =时，(1)ij ij p p =，此时，一步转移矩阵(1)P P =.我们还规定(0)0,1,iji jpi j ≠⎧=⎨=⎩Markov 链n 步转移概率满足重要的Chapman Kolmogorov -方程（简称C K -方程）。
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状态i持续时间τ 状态i
i
0
s
s+t
时间轴
P{ i s t | i s} P{ i t}
3
一个连续时间的马尔可夫链，每当它进入状态i，具有如下性质：
1、在转移到另一状态之前处于状态i的时间服从参数为vi的指数分布； 2、当过程离开状态i时，接着以概率pij进入状态j， pij 1
6
无穷小转移概率矩阵
引理 设齐次马尔可夫过程满足正则性条件，则对于任意固定的i,j∈I， pij(t)是t的一致连续函数。 定理 设pij(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率且满足正则性条件，则下列极限存在： 1. 2.
1 pii (t ) vi qii t 0 t lim
P (t ) e
Qt
j 0
(Qt ) j j!
11
定理 齐次马尔可夫过程在t时刻处于状态j∈I的绝对概率pj(t)满足下列方程
pj (t ) p j (t )q jj
p (t )q
k k j
kj
定义 设pij(t)为连续时间马尔可夫链的转移概率，若存在时刻t1和t2，使得
t 0
lim
pij (t ) t
qij , i j
推论：对有限齐次马氏过程，有 qii qij
j i
7
若连续时间齐次马尔可夫链是具有有限状态空间I={1,2, …,n}，则其转 移速率可构成以下形式的矩阵
q00 q 10 Q qn 0 q01 q11 qn1 q0 n q1n qnn
pij (t1 ) 0, p ji (t2 ) 0
则称状态i和j是互通的。若所有状态都是互通的，则称此马尔可夫链 为不可约的。
12
转移概率pij(t)在t→∞时的性质及其平稳分布关系
定理 设连续时间的马尔可夫链是不可约的，则有下列性质： 1. 若它是正常返的，则极限 tlim pij (t ) 存在且等于πj＞0，j∈I。这里πj是 方程组 j q jj k qkj
i ij
p j (t ) pj
p p (t ) (t ) p (t ) p
iI i iI
ij
( )
5.
P{X (t1 ) i1 ,, X (t n ) in }
p p
i iI
ii1 (t1 ) pi1i2
(t 2 t1 ) pin1in (t n t n1 )
j i
当vi=∞时，称状态i为瞬时状态； 当vi＝0时，称状态i为吸收状态。 一个连续时间马尔可夫链是按照一个离散时间的马尔可夫链从一个状态 转移到另一个状态，但在转移到下一个状态之前，它在各个状态停留的 时间服从指数分布，此外在状态i过程停留的时间与下一个到达的状态 必须是相互独立的随机变量。
4
第四章：连续时间的马尔可夫链
连续时间马尔可夫链定义 无穷小转移概率矩阵 Kolmogorov向前方程与向后方程 连续时间马尔可夫链的应用
1
定义： 设随机过程{X(t),t≥0}，状态空间I={in, n≥0}，若对任意0≤t1<t2<… <tn＋1及i1,i2,…,in+1∈I，有
P{ X (t n 1 ) in 1 | X (t1 ) i1 , X (t 2 ) i2 ,, X (t n ) in } P{ X (t n 1 ) in 1 | X (t n ) in }
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定理： 齐次马尔可夫过程的转移概率具有下列性质：
1、pij (t ) 0
2、 pij (t ) 1
jI
3、pij (t s) pik (t ) pkj (s)
kI
正则性条件
1, i j lim pij (t ) t 0 0, i j
5
定义
对于任一t≥0，记 p j (t ) P{ X (t ) j},
p
k j
ik (t )qkj
pij (t )q jj
利用Kolmogorov向后方程或向前方程及下述初始条件，可以解得pij(t)
pii (0) 1 pij (0) 0; j i
10
Kolmogorov向后和向前方程所求得的解pij(t)是相同的
在实际应用中，当固定最后所处状态j，研究pij(t)时（i=0,1, …），采 用向后方程较方便； 当固定状态i，研究pij(t)时（j=0,1, …），采用向前方程较方便； Kolmogorov向后和向前方程的矩阵表达形式为 P(t ) Q P(t) P(t ) P(t )Q 连续时间马尔可夫链的转移概率的求解问题就是矩阵微分方程的求解 问题，其转移概率由其转移速率矩阵Q决定。 若Q是一个有限维矩阵，则上述矩阵方程的解为
其状态空间为I {0,1, 2,}，i为出生率，i为死亡率。
若i =i，i i，称{ X (t ), t 0}为线性生灭过程。
若i =0，称{ X (t ), t 0}为纯生过程。
若i =0，称{ X (t ), t 0}为纯灭过程。
15
例题（理发店问题）：一个理发店有两位理发师，两个等待座位，顾客的 到达率为每小时5个，理发师一小时可给两个人理发。假定顾客到达为泊 松分布，理发师的服务时间为指数分布，用X(t)表示理发店内的顾客数， 则X(t)为生灭过程。
t
13
例题 考虑两个状态的连续时间马尔可夫链，在转移到状态1之前在状态0停留的 时间是参数为λ的指数变量，而在回到状态0之前它停留在状态1的时间是 参数为的指数分布，求该马尔可夫链的平稳分布。
例题：机器维修问题1
设例题5.2中状态0代表某机器正常工作，状态1代表机器出故障。状态转 移概率与例题5.2相同，即在h时间内，及其从正常工作变为出故障的概率 为p01(h)=λ h+o(h)；在h时间内，机器从有故障变为经修复后正常工作的 概率为p10(h)=h+o(h)，试求在t=0时正常工作的机器，在t=5时为正常工 作的概率。
例题（M/M/1排队系统）：顾客到达为参数为λ的泊松过程，系统内只有一 个服务台，每个顾客的服务时间为的指数分布且与顾客到达时间相互独 立。用X(t)表示系统t时刻的顾客数，则X(t)为生灭过程，求 1）求平稳分布； 2）系统的平均队长； 3）平均等待的顾客数；
16
例题（机器维修问题2）设有m台机床，s个维修工，s m，机床或是工作， 或是损坏等待修理。机床损坏后，空着的维修工立即修理，若维修工不空， 则机床按先坏先修队列排队等待修理。假定每台机床从工作到损坏的时间 服从参数为λ的指数分布；每台修理的机床修理好的时间为参数为μ的指数 分布。用X(t)表示时刻t损坏的机床台数，则{X(t)，t 0}是状态空间 E={0,1,2， m}的时间连续的生灭过程。
p j p j (0) P{ X (0) j},
jI
分别称{pj(t),j∈I}和{pj,j∈I}为齐次马尔可夫过程的绝对概率分布和初始概 率分布。 定理 齐次马尔可夫过程的绝对概率及有限维概率分布具有下列性质： 1. 2. 3. 4.
p j (t ) 0
p
jI
j
(t ) 1
14
生灭过程
设马氏链{ X (t ), t 0}具有转移概率 pii 1 ( h) i h 0(h), i 0 pii 1 ( h) i h 0( h), i 0, 0 0 p ( h) 1 ( ) h 0( h) i i ii pij ( h) 0( h), i j 2 称{ X (t ), t 0}为生灭过程。
9
定理（ Kolmogorov向后方程） 假设
q
k i
ik
qii ，则对一切i,j及t≥0，有
pij (t )
q
k i
ik
pkj (t ) qii pij (t )
定理（ Kolmogorov向前方程） 在适当的正则条件下，则对一切i,j及t≥0，有
pij (t )
则称{X(t),t≥0}为连续时间马尔可夫链。 上式中条件概率的一般表现形式为 定义： 若pij(s,t)的转移概率与s无关，则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐 次的转移概率，此时转移概率简记为 其转移概率矩阵简记为 P(t ) ( pij (t ))
2
在0时刻马尔可夫链进入状态i，而且在接下来的s个单位时间中过程未离 开状态i，问在随后的t个单位时间中过程仍不离开状态i的概率是多少？
jI
k j
j
1
的唯一非负解，此时称{πj,j∈I}是该过程的平稳分布，并且有
lim pij (t ) lim p j ( t ) j
t t
2. 若它是零常返的或非常返的，则
t
lim pij (t ) lim p j (t ) 0, i, j I
17
Q矩阵的每一行元素之和为0，对角线元素为负或0，其余qij≥0
8
例题：证明泊松过程为连续时间齐次马尔可夫链，并求其pij、qij 。 例题：一个城市划分成两个区域A和B，各区被指定一辆消防车1和2负责。 当接到报警电话时，不论其来自A区还是B区，只要有一辆消防车空闲就 会被服务；当两辆车都忙时，呼叫被拒绝。假设两区的报警电话都是泊松 分布（参数为λ j ，j=A，B ），两辆车服务于不同区的时间为独立的指数 分布（参数为μ ij ，i=1，2 ，j=A，B ），则两辆消防车的状态为连续时间 齐次马尔可夫链。