(完整word)高二用导数复习专题

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(完整word版)高二数学导数大题练习题

(完整word 版)高二数学导数大题练习题一、解答题1．已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21ea ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知()2,13,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩，()()ln g x x a =+．(1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数． 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <4．已知()2ex x af x -=．(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围． 5．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若121322x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由.7．设函数()1eln 1x af x a x -=--，其中0a >(1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.8．已知函数()ln (1af x x a x =+-为常数)，且函数()f x 的图象在2x =处的切线斜率小于1.2-(1)求实数a 的取值范围;(2)试判断(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，并说明理由. 9．已知函数()()32131.3f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 10．已知函数()()e x f x x m =+⋅.(1)若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；(2)当0m =时，若对任意的0x ≥，不等式()2e x ax f x ⋅≤恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)1a = (2)答案见解析 (3)证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，再由直线的位置关系可求解；（2）由于()()(1)e 2xf x x a =+-'，令()0f x '=，得1x =-或2ln x a=，通过比较两个值分类讨论得到单调区间；（3）方法一：通过单调性，根据求最值证明；方法二：运用放缩及同构的方法证明. (1)()()(1)e 2x f x x a =+-'，则(0)2f a '=-，由已知(2)1a a -=-，解得1a = (2)()()(1)e 2x f x x a =+-'（ⅰ）当0a ≤时，e 20x a -<，所以()01f x x '>⇒<-，()01f x x '<⇒>-，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；（ⅱ）当0a >时，令e 20x a -=，得2ln x a=， ①02e a <<时，2ln 1a>-，所以()01f x x '>⇒<-或2ln x a >，()012ln af x x <⇒-<<'，则()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；②2e a =时，()1()2(1)e 10x f x x +=+'-≥，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；③2e a >时，2ln 1a<-，所以2ln ()0x a f x >⇒<'或1x >-，2ln ()01f x ax <⇒<<-'，则()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增．综上，0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在(1,)-+∞上单调递减；02e a <<时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，在21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；2e a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；2e a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． (3) 方法一：2()ln 2(0)f x x x x x ≥--->等价于e ln 10(0)x ax x x x --+≥>当21ea ≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 令221()e ln 1,()(1)e x x g x x x x g x x x --⎛⎫=--+=+- ⎝'⎪⎭令21()ex h x x-=-，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增 ∵11(1)10,(2)02h h e=-<=>， ∴存在0(1,2)x ∈，使得()00h x =，即020001e,2ln x x x x -=-=- 当()00,x x ∈时，()0g x '<，则()g x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()0,x +∞上单调递增∴()02min 000000001()e ln 1210x g x g x x x x x x x x -==--+=⋅+--+=∴()0g x ≥，故2()ln 2f x x x x ≥--- 方法二：当21a e≥时，2e ln 1e ln 1(0)x x ax x x x x x x ---+≥--+> 2ln 2()e ln 1e (ln 2)1x x x g x x x x x x -+-=--+=-+--令ln 2t x x =+-，则t R ∈，令()e 1t k t t =--，则()e 1t k t =-'当0t <时，()0k t '<；当0t >时，()0k t '>∴()k t 在区间(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增． ∴()(0)0k t k ≥=，即()0g x ≥ ∴2()ln 2f x x x x ≥---，【关键点点睛】解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用. 2．(1)0a =或4； (2)答案见解析. 【解析】【分析】（1）在1x ≥-有()2000ln 21x x x -=--，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a ，在1x <-上根据已知列方程组求参数a ，即可得结果. （2）讨论a 的范围，利用导数研究()h x 的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数. (1)1x ≥-时()2f x x x =-，原条件等价于200000ln()1210x x x a x x a ⎧-=+⎪⎨-=>⎪+⎩，∴()2000ln 21x x x -=--，令()()2ln 21x x x x ϕ=-+-，则()221021x x x ϕ'=-+>-， ∴()ϕx 为增函数，由()10ϕ=，则()0x ϕ=有唯一解01x =，所以0a =，1x <-时，()000311x ln x a x a ⎧+=+⎪⎨=⎪+⎩，解得：4a =．综上，0a =或4． (2)ⅰ.0a <时0x a +>，则0x a >->，()()()22ln ln h x x x x a x x x x ϕ=--+>--=，而()121x x x ϕ'=--，()2120x x ϕ''=+>，即()x ϕ'为增函数，又()01ϕ'=，当()0,1∈x 时()0ϕ'<x ；当()1,x ∈+∞时()0ϕ'>x ，故()()10x ϕϕ≥=， ∴()0h x >恒成立，故0a <时零点个数为0；ⅱ.0a =时，()2ln h x x x x =--，由①知：仅当1x =时()0h x =，此时零点个数为1．ⅲ.01a <≤时，()()()2ln h x x x x a x a =--+>-，则()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，2102a h a a⎛⎫'-=---< ⎪⎝⎭，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=仅有一解，设为0(,1)2ax ∈-，则在()0,a x -上()0h x '<，在()0,x +∞上()0h x '>，所以()h x 最小值为()0h x ，故()()010h x h ≤<．又2ln 02422a aa a h ⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭，()()22ln 20h a =-+>，故0,2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()0,2x 上()h x 各有一零点，即()h x 有2个零点．ⅳ.14a <<时，(),1a --上()()()()3ln 3ln 4h x x x a x x p x =+-+>+-+=，()()()1103304p x x p x p x '=-=⇒=-⇒≥-=+， ∴()h x 无零点，则[)1,-+∞上()()2ln h x x x x a =--+，()121h x x x a'=--+，()()2120h x x a ''=+>+，∴()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()11101h a'=->+， ∴()0h x '=有唯一解，设为x '，则()()10h x h '≤<，又()()12ln 10h a -=--+>，()()22ln 20h a =-+>，故()1,x '-、(),2x '上，()h x 各有一个零点，即()h x 有2个零点．ⅴ.4a =时，由（1）知：(]4,1--上()h x 有唯一零点：3x =-；在()1,-+∞上()()2ln 4h x x x x =--+，则()1214h x x x '=--+，()2120(4)h x x ''=+>+，所以()h x '为增函数，()11301h a '-=--<-+，()4105h '=>，故1(1,1)x ∃∈-使1()0h x '=，则1(1,)x -上()0h x '<，()h x 递减；1(,)x +∞上()0h x '>，()h x 递增；故1()()h x h x ≥，而1()(1)ln 50h x h <=-<，又(1)2ln30h -=->，(2)2ln 60h =->，故在1(1,)x -、1(),2x 上()h x 各有一个零点，所以()h x 共有3个零点．综上：0a <时()h x 零点个数为0；0a =时()h x 零点个数为1；04a <<时()h x 零点个数为2；4a =时()h x 零点个数为3．【点睛】关键点点睛：（1）根据分段函数的定义域讨论x ，结合函数、方程思想求参数.（2）讨论参数a ，利用二阶导数研究()h x '的单调性，进而判断其符号研究()h x 单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数. 3．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析【解析】【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞(2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．(1)2e - (2)[)1,+∞ 【解析】【分析】（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得a 的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；（2）分离参数得到2(1)e x a x x ≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数a 的取值范围. (1)∵()2ex x af x -=，∴()()()2222e e 2e e x xxx x x a x x a f x ⋅--⋅--'==-， ∵()f x 在3x =处取得极值，()2332330e af -⨯-'=-=，∴3a =，∴()23e x x f x -=，()223(1)(3)e e x xx x x x f x --+-'=-=-，当1x <-时，()’0f x <；当13x 时，()’0f x >；当3x >时，()’0f x <. ∴()f x 在(],1-∞-上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减. 又∵当3x >时，()0f x >，()12e 0f -=-<， ∴()f x 的最小值为2e -. (2)由已知得221(1)e ex x x ax a x x -≤-⇔≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.令2()(1)e x g x x x =--，则()2e (2e )x x g x x x x '=-=-，在1≥x 时，()(2e )0x g x x '=-<，所以函数()g x 在1≥x 时上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，所以a 的取值范围是[)1,+∞． 5．(1)详见解析； (2)详见解析；【解析】【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解；（2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x，当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>，所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点；当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上：当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点；当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.(2)()()21f x f x <，理由见解析【解析】【分析】（1）分离参变量，得到ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题；（2）由（1）可得1ln x x -≥，从而判断()g x 的单调性，确定1213122x x <<<<，再通过构造函数，利用导数判断其单调性，最终推出122x x +<；再次构造函数1ln ()12t tF t t -=-+，判断其单调性，由此推出2211ln ln x x x x -<-，可得结论. (1)()1x f ax ≥+恒成立，即ln 1,(0)x x a x x--≤>恒成立，令ln 1()x x h x x --=，2ln ()xh x x'=，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 递增，故min ()(1)0h x h ==，所以0a ≤. (2)2()121212ln 12(1ln )g x x x x x x x x '=--=--，由（1）知1ln x x -≥，所以在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '≥，所以()g x 在13,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0g =.所以1213122x x <<<<，设()12(1ln )m x x x x =--，()12(22ln )m x x x '=--，设()12(22ln )n x x x =--，则12(21)()x n x x -'=，13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0n x '>，所以()m x '在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(1)0m '=，所以()m x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()()(2)H x g x g x =+-，()()(2)12[22ln (2)ln(2)]H x g x g x x x x x x '''=--=--+--，令()()G x H x '=，()2()12ln 2G x x x '=--，31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0G x '>，所以()H x '在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H ''>=，所以()H x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(1)0H x H >=，所以()()()22220H x g x g x =+->，()()()2212g x g x g x ->-=，而()g x 在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以212x x ->，122x x +<；设1ln ()12t t F t t -=-+，()()()221021t F t t t '--=≤+，所以()F t 单调递减，且(1)0F =，1t >，()0F t <，所以210x F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即221121ln 121x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，即212121ln 2ln x x x x x x -<+-，所以212121ln ln 12x x x x x x -+<-<，所以2121ln ln x x x x -<-，即2211ln ln x x x x -<-.所以()()21f x f x <.【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立时求参数范围问题以及利用导数比较函数值大小问题，综合性较强，难度较大，解答的关键是要合理地构造函数，利用导数判断函数单调性以及确定极值或最值，其中要注意解答问题的思路要清晰明确.7．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x 得到ln 1x x a +=，构造()ln 1x h x x a =+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭、()1e a h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1) 当1a =时，()1e ln 1x f x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e xf x x -'=-，()121e 0x f x x -+'=>'，所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，当01x <<时，0f x，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x ，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.(2)由题意，()11e x a f x x -='-，()1211e 0x a f x a x -=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111x x x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增.当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ，令0f x ，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1x x a +=，令()ln 1x h x x a =+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e e ln e e 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>，所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥：因为()01001e 0x a f x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000eln 11120x a x a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证.【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式.8．(1)(1,)+∞(2)答案见解析【解析】【分析】（1）求导后根据题意解不等式（2）化为相同形式，构造函数根据单调性判断(1) 由22(2)1()(1)x a x f x x x '-++=-，且函数()f x 在2x =处的切线斜率小于12-，知2222(2)11(2)2(21)2a f -++'=<--，解得 1.a > 故a 的取值范围为(1,)+∞(2)由(1)可知(1)ln e a -与(e 1)ln a -均为正数.要比较(1)ln e a -与(e 1)ln a -的大小，可转化为比较ln e e 1-与ln 1a a -的大小. 构造函数ln ()(1)1x x x x ϕ=>-，则211ln ()(1)x x x x ϕ--'=-，再设1()1ln m x x x =--，则21()x m x x -'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减，此时()()10m x m <=，故()0x ϕ'<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1x x x ϕ=-在(1,)+∞上单调递减. 综上可得，当(1,e)a ∈时，(1)lne (e 1)ln a a -<-当e a =时，(1)lne (e 1)ln a a -=-当(e,)a ∈+∞时，(1)lne (e 1)ln a a ->-9．(1)()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减(2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导后判断单调性即可；（2）先变形得到323033x a x x -=++，构造函数，求导后说明单调性即可证明. (1)当1a =时，()()321313f x x x x =-++，2()23f x x x '=--.令()0f x '=，解得1x =-或3x =，当()(),13,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x '>；当(1,3)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增，在(1,3)-上单调递减.(2)()321()2333y f x a x a x x =-=-++，由于2330x x ++>，所以()20f x a -=等价于3230.33x a x x -=++ 设()32333x g x a x x =-++，则()g x '()()222269033x x x x x ++=++，当且仅当0x =或3x =-时，()0g x '=，所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，故()g x 至多有一个零点，从而()2y f x a =-至多有一个零点. 10．(1)(],2-∞- (2)2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出导函数，得到11m --≥，即可求出m 的取值范围；（2）把题意转化为2x ax e ≤，分类讨论：当0x =时，求出R a ∈；当0x >时，转化为2xe a x≤，令2()x e g x x =，利用导数求出min ()g x ，即可求出实数a 的取值范围. (1)因为()()e x f x x m =+⋅，所以()(1)e x f x x m '=++⋅，令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(,1]m -∞--，因为()f x 在(,1]-∞上是减函数，所以11m --≥，即2m ≤-，故m 的取值范围是(],2-∞-；(2)由题知：()e x f x x =⋅，则22e 0,e x x x ax ∀≥⋅≤，即2e x ax ≤，当0x =时，01≤恒成立，则a R ∈，当0x >时，2e x a x≤，令2(e )x g x x =，则2432e e e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅⋅-'==，则当02x <<时，()0g x '<，()g x 递减；当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，故2min e ()(2)4g x g ==，则2e 4a ≤，综上所述，实数a 的取值范围是2e ,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。

(word完整版)高二数学选修22导数12种题型归纳(中等难度),文档

导数题型分类剖析〔中等难度〕一、变化率与导数函数 y f ( x0 ) 在x0到x0+x之间的平均变化率，即 f ' ( x0 ) =lim y= limf (x0x) f ( x0 )，表示x 0x x x 函数 y f (x0 ) 在x0点的斜率。

注意增量的意义。

例 1：假设函数y f ( x) 在区间 (a,b) 内可导，且A ．f' ( x )B．2 f'( x0)例 2：假设f'( x0)3，那么lim f ( xh) f ( xh0hA. 3B．6f ( x0h2 ) f ( x0 )例 3：求lim hh0x0 (a,b) 那么limf ( xh) f (xh)的值为〔〕h0hC．2 f'(x0)D．03h)〕〔C．9D．12二、“隐函数〞的求值将 f ' ( x0 ) 看作一个常数对 f (x0 ) 进行求导，代入x0进行求值。

2例 1： f x x3xf 2 ，那么 f2例 2：函数 f x f cos x sin x ，那么f4的值为.4例 3：函数 f ( x) 在R上满足f ()2f(2x)x2 8x8，那么曲线y f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程x为〔〕A. y2x 1B.y xC.y3x2D. y2x3三、导数的物理应用若是物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时辰t 的瞬时速度 v=s′〔t 〕。

若是物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v 〔 t〕，那么该物体在时辰t 的加速度 a=v′〔 t〕。

例 1：一个物体的运动方程为s 1t t 2其中 s 的单位是米，t的单位是秒，求物体在 3 秒末的瞬时速度。

例 2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶此后停车，假设把这一过程中汽车的行驶行程s 看作时间t 的函数，其图像可能是〔〕s s s sO t O t O t O tA．B．C．D．四、根本导数的求导公式① C0; 〔C为常数〕②x n nx n 1;③ (sin x)cos x ;④ (cos x)sin x ;1;⑧l o g a x 1 log a e.⑤ (e x ) e x ;⑥ (a x)a x ln a ;⑦ln xx x例 1：以下求导运算正确的选项是( )A ． x1 11B ． log 2x=1 C ． 3 x3 xlog 3 e D ． x 2 cosx2xsin xx 2x ln 2x例 2：假设f x x f x f x f xf x， fxf x n N ，那么 fx0 sin ,1 0,2 1,n 1n ,2005五、导数的运算法那么常数乘积： (Cu )' Cu ' . 和差： ( u v)' u ' v ' .乘积： (uv ) 'u ' v uv ' .除法： uu' v uv 'vv 2例 1：〔 1〕函数 yx 3 log 2 x 的导数是〔 2〕函数 x n e 2 x 1 的导数是六、复合函数的求导f [ ( x)] f ( )* (x) ，从最外层的函数开始依次求导。

高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)

为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为(　)
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（）
象大致形状是（）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。

(完整)高二文科数学导数知识点及基本题型,推荐文档

高二文科数学导数一、知识点梳理（1）均匀变化率关于一般的函数yf x，在自变量x从x 1 变化到x 2 的过程中，若设xx 2x 1 ,f f ( x 2 ) f ( x 1) 则函数的均匀变化率为（ 2）导数的观点一般的，定义在区间（ a ， b ）上的函数f ( x) ，x o(a ， b) ，当 x 无穷趋近于 0 时，y f (x o x) f (x o )A ，则称f (x) 在 xx o 处可导，并称 A 为x无穷趋近于一个固定的常数xf ( x) 在 xx o 处的导数，记作 f ' ( x o ) 或 f ' ( x ) | xx o（3 ）导数的几何意义函数 y=f(x)在 x=x 0 处的导数等于在该点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的。

（4 ）基本初等函数的导数公式表及求导法例（默写）（ 5）函数单一性与导数：在某个区间(a ,b)内，假如f ' ( x) 0 ，那么函数y f (x) 在这个区间内；假如 f '(x)0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内．说明：（ 1）特其他，假如f ' ( x) 0 ，那么函数 yf (x) 在这个区间内是常函数．（6）求解函数y f (x) 单一区间的步骤：（7）求可导函数f( x)的极值的步骤 : (1)确立函数的定义区间，求导数 f ′ (x)(2)求方程 f′(x)=0 的根 (3) 用函数的导数为 0的点，按序将函数的定义区间分红若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x) 在这个根处获得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x) 在这个根处无极值（8）函数的最值与导数：一般地，在闭区间a, b上函数y f ( x) 的图像是一条连续不停的曲线，那么函数 y f ( x) 在a, b上必有．二、典型例题x在点 (1，－ 1)处的切线方程为()1、曲线 y＝x－2A ． y＝ x－ 2B． y＝－ 3x＋ 2C． y＝ 2x－ 3D． y＝－ 2x＋ 12、函数y xln x 在区间()(A)(0,1)上单一递减(B)(1,) 上单一递减e e(C)(0,) 上单一递减(D)(0,) 上单一递加( )(23、若函数f x = x x- c在x2处有极大值，则常数 c 的值为_________；4、函数f ( x)x e x的一个单一递加区间是（）(A)1,0(B)2,8(C)1,2(D)0,25、函数 f ( x) x312x 的极值是6 、已知函数y ＝ f( x) 的导函数y ＝ f ′ (x) 的图象如下，则 ()A ．函数 f(x)有 1 个极大值点， 1 个极小值点B．函数 f(x)有 2 个极大值点， 2 个极小值点C．函数 f(x)有 3 个极大值点， 1 个极小值点D．函数 f(x)有 1 个极大值点， 3 个极小值点7、已知 f ( x) ax 3bx 2cx( a 0) 在x 1 时获得极值，且 f (1)1．Ⅰ、试求常数a、b、c 的值；Ⅱ、试判断 x 1 是函数的极小值点仍是极大值点，并说明原因．三、练习1、（基础题）设y＝8x2－lnx，则此函数在区间(0，14)和(12，1) 内分别()A ．单一递加，单一递减B ．单一递加，单一递加C．单一递减，单一递加 D ．单一递减，单一递减2、（基础题）函数 y=x2（ x－3）的减区间是3、（基础题）函数f (x)x33ax b ( a 0) 的极大值为6，极小值为2，（Ⅰ）务实数 a，b 的值.（Ⅱ）求 f ( x) 的单一区间.4、（基础题）已知函数y＝ f(x)＝lnxx.(1)求函数 y＝ f( x)的图象在 x＝1处的切线方程；e(2)求 y＝ f(x)的最大值；(3)设实数 a＞ 0，求函数 F(x) ＝ af(x)在 [a,2a] 上的最小值（选做）5、（基础题）设 f（x） =x3－x2－ 2x+5. 2（1）求 f（ x）的单一区间；（2）当 x∈［ 1， 2］时， f（ x） <m 恒建立，务实数m 的取值范围 .6、（提升题，选做）设函数 f ( x)a2ln x x 2ax ，a0（Ⅰ）求 f ( x) 的单一区间；（Ⅱ）求全部实数 a ，使 e1 f (x)e2对 x[1, e]恒建立．注：e 为自然对数的底数．。

(完整word版)高二数学导数大题练习详细答案

(完整word 版)高二数学导数大题练习详细答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标；(2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围． 3．已知函数()f x 满足()21bf x ax =-，0a ≠，()11f =，()02f '=-． (1)求函数()f x 的表达式； (2)若0a <，数列{}n a 满足123a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，设11n n b a =-，*n N ∈，求数列{}n b 的通项公式．4．已知函数21()ln (1)()22=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是2，12F F 、分别是椭圆C 的左、右焦点，以线段12F F ． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P ，直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，求PAB △面积的最大值．6．已知()2ex x af x -=．(1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围． 7．已知()21e 2x f x k x =-．(1)若函数()f x 有两个极值点，求实数k 的取值范围；(2)证明：当n *∈N 时，()222221123123e 4e 1e n n n -+++⋅⋅⋅+<+．8．设函数()1eln 1x af x a x -=--，其中0a >(1)当1a =时，讨论()f x 单调性；(2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥.9．已知函数()()24e 1xf x x =-+．(1)求()f x 的极值．(2)设()()()f m f n m n =≠，证明：7m n +<．10．已知函数e ()(1)1xf x b x a=+-+(1)当114a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程； (2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解；（2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈，令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值，令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =，所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)证明见解析，()0,3T ；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，利用点斜式写出直线AC ，BC 的方程，由C 在两直线上，即可知直线AB 的方程，进而确定定点.（2）联立抛物线24x y =和圆T ：()2223x y r +-=，由题设及一元二次方程根的个数求参数r 的范围，由122PQMN QM PNS y y +=⋅-结合韦达定理得到PQMN S 关于r 的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，则12AC x k =，22BC xk =，直线AC 为：()1111122x x x y y x x y y -=-⇒=-，同理直线BC 为：222x xy y =-，把(),3C m -代入直线AC ，BC 得：11223232x m y x m y⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， ∴()11,A x y ，()22,B x y 都满足直线方程32xm y -=-，则32xmy =+为直线AB 的方程，故直线l 恒过定点()0,3T ．(2)如图，设圆T 的半径为r ，()11,M x y ，()22,N x y ，()11,Q x y -，()22,P x y -，把24x y =代入圆T ：()2223x y r +-=，整理得22290y y r -+-=，由题意知：关于y 的一元二次方程有两个不等实根，则()21221244902090r y y y y r ⎧∆=-->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，可得223r <．(1212121212122222PQMN QM PNS y y y y y y y y y y y y +=⋅-=-=++-()()()2222222944942198r r r r =+---=+--29r t -=，由223r <得：01t <<，则()()2211PQMN S t t =+-令()()()211f t t t =+-且01t <<，则()()()311f t t t '=--+，故在1(0,)3上()0f t '>，()f t 递增；在1(,1)3上()0f t '<，()f t 递减；所以132()()327f t f ≤=，又(0)1f =，(1)0f =，故f t 的取值范围是320,27⎛⎤⎥⎝⎦，综上，PQMN S 的取值范围是323⎛ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，由圆T ：()2223x y r +-=，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r 的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围. 3．(1)2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)12n nb =. 【解析】【分析】（1）求出导函数，然后列方程组求得,a b ，得函数解析式；（2）由（1）得2()1f x x =+，求出{}n a 的递推关系，从而得出{}n b 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式. (1)由题意22()(1)ab f x ax '=--，所以2(1)11(0)22b f a f ab ⎧==⎪-⎨⎪=-=-⎩'，解得11a b =-⎧⎨=-⎩或212a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2()1f x x =+或1()21f x x =-；(2)0a <，则2()1f x x =+， 11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭22111n n n a a a ==++，11111222n n n n a a a a ++==+，11111(1)2n n a a +-=-， 11n n b a =-，则112n n b b +=，又111112b a =-=，所以{}n b 是等比数列，1111()222n n nb -=⨯=. 4．(1)1a > (2)证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，化简得到()()0001()1212g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >. (1)2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--=+-+=='，①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<．所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ．综上，1a >． (2)令()ln 1,()1'-=-+=-=a a x g x a x x g x x x，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x因为0x 为函数()f x 的零点，故()20001ln (1)022=+-+++=x f x a x a x a ，即20001ln (1)22=-++--x a x a x a ，所以()()220000000011ln 1112222x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+()()0011212=--+x x a ．又因为2(21)1(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222--=-+-+-++=--+a f a a a a a a a a a ，令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令1()ln(21)121m a a a =-+--， 22224(1)()021(21)(21)a m a a a a -'=-=>---恒成立，所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()000112102=--+>g x x x a ，所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立．【点睛】本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212g x x x a =--+大于0，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证.5．(1)22142x y +=；【解析】【分析】(1)2sin60c =，根据离心率可得c a =a 、c ，再利用222b a c =-可求b ，据此可求椭圆C 的标准方程；(2)利用点到直线距离公式求出P 到直线l 的距离d ，联立直线l 与椭圆C 的方程，求出AB ，12PAB S AB d =⋅⋅△，研究PABS 表达式单调性判断最大值即可.(1)由题可知，22sin60c a a c c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨=⎪⎩= ∴2222b a c =-=，22:142x y C ∴+=；(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，2234240x mx m ++-=， ()222Δ1612248480m m m =-⨯-=-+>，∴26m <，即m <1243m xx ∴+=-，212243mx x -=，12AB x x∴=-===， P到直线l：x －y ＋m ＝0的距离为d ==1122PABSAB dm∴=⋅==(m t =∈，则m t =，则PABS t==令()(43,0,g t t t=-+∈，则()(322422g t t t t'=-+=-+，当0t<<()0g t'>，()g t单调递增，t<<()0g t'<，g()t单调递减，故当t=，即m=时，g (t)取最大值，PABS取最大值，∴PABS最大值为：3⎭.6．(1)2e-(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）先求得函数的导函数，然后利用极值的必要条件求得a的值，进而判定导数的正负区间，得到函数的单调性，然后结合左右两端的极限值与极小值，求得函数的最小值；（2）分离参数得到2(1)e xa x x≥--对于任意[)1,x∞∈+恒成立.构造函数，利用导数求得不等号右侧的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数a的取值范围.(1)∵()2e xx af x-=，∴()()()2222e e2eex xxxx x a x x af x⋅--⋅--'==-，∵()f x在3x=处取得极值，()2332330eaf-⨯-'=-=，∴3a=，∴()23e xxf x-=，()223(1)(3)e ex xx x x xf x--+-'=-=-，当1x<-时，()’0f x<；当13x时，()’0f x>；当3x>时，()’0f x<.∴()f x在(],1-∞-上单调递减，在[]1,3-上单调递增，在[)3,+∞上单调递减.又∵当3x>时，()0f x>，()12e0f-=-<，∴()f x的最小值为2e-.(2)由已知得221(1)e ex x x ax a x x -≤-⇔≥--对于任意[)1,x ∞∈+恒成立.令2()(1)e x g x x x =--，则()2e (2e )x x g x x x x '=-=-，在1≥x 时，()(2e )0x g x x '=-<，所以函数()g x 在1≥x 时上单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，所以a 的取值范围是[)1,+∞． 7．(1)1(0,)e(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求解导函数，再构造新函数，求导，判断单调性，求解极值，分类讨论1e k ≥与10e <<k 两种情况；（2）由（1）知，1e ex x ≤，可证2121(1)e (1)n n n n -++≤，由21111(1)(1)1n n n n n <=-+++，可得2111(1)e 1n n n n n -≤-++，从而利用裂项相消法求和可证明()222221123123e 4e 1en nn -+++⋅⋅⋅+<+. (1)由21()e 2x f x k x =-，得()e e ()e x xxxf x k x k '=-=-．设()e x xg x =，则1()ex x g x -'=，当1x <时，()0g x '>，()g x 是增函数；当1x >时，()0g x '<，()g x 是减函数．又(1)0g '=，∴max 1()()(1)eg x g x g ===极大．设1e λ≥，当1ln x λ<-时，11111ln ln ()ln e x x g x e λλλλλ--=<=-<-．由于(0)0g =，所以()g x 在区间(,0)-∞上的值域是(,0)-∞．又0x >时，()0>g x ，所以当0k ≤时，直线y k =与曲线()y g x =有且只有一个交点，即()'f x 只有一个零点，不合题意，舍．当1ek ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数，不合题意，舍．当10e <<k 时，若1x ≤，由（1）可知，直线y k =与曲线()y g x =有一个交点．下面证明若1x >，直线y k =与曲线()y g x =有一个交点．由于()g x 是区间(1,)+∞上的减函数，所以需要证明()g x 在区间(1,)+∞上的值域为1(0,)e，即对21(0,)eλ∀∈，都存在01x >，使得020()g x λ<<．构造函数2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，∴当ln 2x >时，()'()20xh x e =->'，()h x '在区间(ln2,)+∞上是增函数，∴当1x >时，()(1)e 20h x h ''>=->，即()h x 是区间[1,)+∞的增函数，∴1x >时，()(1)e 10h x h >=->，此时2e x x >．设210e λ<<，当21x λ>时，0()e x x g x <=<221x x xλ=<，∴当10e<<k 时，直线y k =与曲线()y g x =有两个交点，即()'f x 有两个零点．设这两零点分别为1x ，212()x x x <，则1201x x <<<，不等式()0f x '>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，不等式()0f x '<的解集为12(,)x x ．所以1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点．综上所述，实数k 的取值范围是1(0,)e． (2)证明：由（1）知，1e ex x ≤，∴对*n N ∀∈，2121(1)e (1)n n n n -++≤．∵211(1)(1)n n n <=++111n n -+， ∴2111(1)1n n n e n n -<-++，∴22222112311111111(1)()()()123e 4e (1)e 2233411n n n n n n -++++<-+-+-++-=-+++，所以，222221123123e 4e (1)e n nn -++++<+．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．(1)()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）首先确定()f x 定义域，再应用二阶导数的符号判断f x 的单调性，进而分区间判断f x 的符号，即可确定()f x 的单调性.（2）求()f x 的二阶导，根据其符号知f x 在()0,+∞上单调递增，令0f x得到ln 1x x a +=，构造()ln 1x h x x a=+-结合其单调性，注意利用导数研究()ln 1x x x ϕ=-+的符号，再用放缩法判断1a h a ⎛⎫⎪+⎝⎭、()1ea h +的符号，即可判断零点0x 的唯一性，进而得到00011ln ln x x a x -==-，结合基本不等式求证()00f x ≥. (1)当1a =时，()1e ln 1xf x x -=--，定义域为()0,+∞，则()11e x f x x -'=-，()121e 0xf x x -+'=>'，所以f x 在()0,+∞上单调递增，又()10f '=，当01x <<时，0f x ，所以()f x 在区间0,1上单调递减；当1x >时，0f x，所以()f x 在区间()1,+∞上单调递增.综上，()f x 在0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. (2)由题意，()11ex af x x -='-，()1211e 0x af x a x-=⋅+'>'，则f x 在()0,+∞上单调递增，至多有一个零点，令()ln 1x x x ϕ=-+，其中1x >，则()111xx x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增. 当()1,x ∈+∞时，()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减，所以()()10x ϕϕ≤=，即ln 10x x -+≤，于是ln 1≤-x x ，令0f x，则e e x a x ⋅=，两边取自然对数可得ln 1xx a+=，令()ln 1x h x x a=+-，则()h x 在()0,+∞上单调递增. 故11ln 1111011111a a a h a a a a a ⎛⎫=+-≤-+-=-<⎪+++++⎝⎭，又()11111e eln ee 10a a a a h a a a++++=+⋅-=+>，所以()h x 在()0,+∞上有唯一零点0x ，则f x 有唯一零点0x ，即()f x 有唯一极值点0x .下证()00f x ≥：因为()01001e0x af x x -'=-=，所以0101e x a x -=，可得00011ln ln x x a x -==-，所以()010000e ln 11120x ax a f x a x x a -=--=+--≥=，当且仅当0x a =时等号成立，综上，()f x 有唯一极值点0x 且()00f x ≥，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用二阶导数研究一阶导数的单调性，根据零点所得的等量关系构造()ln 1x h x x a=+-，结合单调性、零点存在性定理判断f x 零点的唯一性，进而利用基本不等式证明不等式. 9．(1)极小值为71e 12-+，()f x 无极大值； (2)证明见解析﹒ 【解析】【分析】(1)根据f (x )的导数判断f (x )的单调性，根据单调性即可求其极值； (2)由函数单调性指数函数性质可得x ＜72时，f (x )＜1，设m ＜n ，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，由()()1f m f n =<可求742n <<﹒当m ≤3时，易证7m n +<；当732m <<时，构造函数()()()7p m f m f m =--，根据p (m )单调性即可证明7m n +<﹒ (1)()()227e x f x x =-'，由()0f x '=，得72x =．当7,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当7,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．∴()f x 的单调递减区间为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故()f x 的极小值为771e 122f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 无极大值．(2)由(1)可知，()f x 的极值点为72，f (x )在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当x →－∞时，2e 0x →，∴f (x )→1，故当x ＜72时，f (x )＜1.设m n <，则若()()()f m f n m n =≠，则m ＜72，n ＞72，则()()1f m f n =<，则()274e 1142n n n -+<⇒<<． ①当3m ≤时，7m n +<，显然成立．②当732m <<时，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，()()()()214274e 3e m m f m f m m m ---=---．设()()()7p m f m f m =--，则()()()214227e em mp m m -=--'．设()2142e e x xh x -=-，73,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为增函数，则()702h x h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．∵732m <<，∴270m -<，()0p m '>，则()p m 在73,2⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，∴()()()()77()()77022p m p f m f m f n f m p ⎛⎫<⇒--=--<= ⎪⎝⎭，∴()()7f n f m <-．又∵7,42n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，77,42m ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且()f x 在7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴7n m <-，即7m n +<．综上，7m n +<． 10．(1)25y x =+ (2)0b = 【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()'g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值. (1)当114a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=- 又因为(0)5,(0)2f f '==所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-，即25y x =+．(2)当1a =时，令函数()()()2e 11xg x f x b x =-=+--，则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立．又()e 1,x g x b '=+-．当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意；当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得()ln 1x b >-，所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增，所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值．又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点．所以ln(1)0b -=，解得0b =．。

完整word版,高二数学导数及其应用复习讲义有答案

高二数学复习讲义—导数及其应用知识归纳1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim→∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln xxa a a '=;⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x'=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。

高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

(完整word版)导数的基本题型归纳,推荐文档

导数基础题型题型一导数与切线利用两个等量关系解题：①切点处的导数=切线斜率，即()k x f o ='；②切点()o o y x ,代入曲线方程或者代入切线方程.切点坐标（或切点横坐标）是关键例1：曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2例2：已知函数的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是（） A.12 B ．1 C.32 D ．2例3 求曲线132+=x y 过点（1,1）的切线方程练习题：1.已知函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12 D ．12.曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．153.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．－12 D.124.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.5.已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. 求直线l 2的方程；题型二用导数求函数的单调区间①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④划分区间（注意：定义域参与区间的划分）；⑤判断导数在各个区间的正负.例1：求函数c x x x y +-+=33123的单调区间.例2 求函数x a x a x x f )1(ln 21)(2+-+=的单调区间（其中a ＞0）例3：已知函数ax x y +=2在),1[+∞上为增函数，求a 的取值范围.练习题：1.求函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间.2.已知331)(23-++=x ax x x f 在]3,1[上单调递减，求a 的取值范围.题型三求函数极值和最值①求定义域；②求导；③令0)(='x f 求出x 的值；④列表（注意：定义域参与区间的划分）； ⑤确定极值点.；5，求出极值，区间端点的函数值，比较后得出最值例：求函数x x y ln 2-=的极值.例：求函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值.例：已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为（）A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11例：若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值，则实数b 的取值范围是（）A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．),0(∞+D ．)21,0(练习题：1.设函数x xx f ln 2)(+= 则（） A.x=21为f(x)的极大值点 B.x=21为f(x)的极小值点 C.x=2为 f(x)的极大值点 D.x=2为 f(x)的极小值点2. 已知函数x b x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值，则a 与b 满足 . ,题型四、函数与导数图象的关系▲函数看增减，导数看正负例：若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限,则函数f ′(x)的图象是（）练习题：1.下图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,则下面判断正确的是（）A.在区间(-2,1)内f(x)是增函数B.在(1,3)内f(x)是减函数C.在(4,5)内f(x)是增函数D.在x=2时f(x)取到极小值2. f ′(x)是f （x ）的导函数，f ′(x)的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（）A B C D。

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导数复习专题一、知识要点与考点（1）导数的概念及几何意义（切线斜率）；（2）导数的求法：一是熟练常见函数的导数；二是熟练求导法则：和、差、积、商、复合函数求导。

（3）导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；
四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。

（4）八个基本求导公式
)('C ＝；)('n x ＝；(n∈Q) )(sin 'x ＝， )(cos 'x ＝； )('x e ＝， )('x a ＝；)(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝
(5) 导数的四则运算 )('±v u ＝ ])(['x Cf ＝ )('uv ＝，)('v
u ＝ )0(≠v (6) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导，且
x u x u y y '⋅'='.例1.求下列函数的导数
（1）51x y x =
- （2）2sin (12cos )2
x y x =-- (3) 2x y e =
二、考点分析与方法介绍
考点一导数的几何意义
思路点拨：一会求导；二敢设切点；三要列尽方程；四解好方程组；五得解。

例2已知曲线y=.34313+x
（1）求曲线在x=2处的切线方程；
（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.
变式练习1：求过原点与函数y=lnx 相切的直线方程。

变式练习2：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= .
【答案】例1（1）：4x-y-4=0.（2）4x-y-4=0或x-y+2=0. 试一试1：e x y =
；试一试2： 2或41
-
巩固练习：若曲线12
y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
题型与方法：（1）单调区间：一般分为含参数和不含参数问题，含参数的求导后又分导函数能分解与不能分解两类，能分解讨论两根大小；不能分解，讨论判别式。

不含参数的直接求解。

一般思路：一、求函数定义域；二、求导数；三、列方程、并解之；四、定区间号；五、得解。

（2）证明函数单调性。

例3讨论以下函数的单调性
（1）（2010江西理改编））设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>。

当a=1时，求()f x 的
单调区间。

（2）（10山东改编）已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+
-∈，当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.
（3）（2010江苏改编）设函数)(x f 2ln (1)1
b x x x +=+
>+，其中b 为实数。

求函数)(x f 的单调区间。

答案：（1）当()0,x f x '∈>为增区间；当()0,x f x '∈<为减函数。

（2）①0≤a 时、（0、1）减，（1、+∞）增；②210<<a 时，（0、1）和（+∞-,11a ）减，（1,11
-a ）增；③2
1=a 时，（0、+∞）减。

（3）当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增；
当2b >时，
)(x f 在24(1,)2b b +-上递减；)(x f 在24[,)2b b +-+∞上递增。

例4：已知函数32()1,f x x ax x a R =+++∈
（1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()f x 在区间2
1(,)33
--内是减函数，求a 的取值范围。

变式训练3: 若函数f(x)=x 3-ax 2+1在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为（）
A.a≥3
B.a=3
C.a≤3
D.0<a<3
考点三极值、最值与值域
(1)求极值的步骤：① 求导数
)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的解；③ 列表、定区间号，；④得解。

(2)．求最值可分两步进行：
① 求y ＝
)(x f 在(a ,b )内的极值值； ② 将y ＝
)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个
为最小值.
例4:已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=3
2时，y=f(x ）有极值.
（1）求函数f(x 的解析式；
答案：f(x)=x 3+2x 2-4x+5
（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.
答案：最大值为13，最小值为.2795
变式训练4：若函数f(x)=x 3-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（） A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D.b<21
变式训练5：若f(x)=x 3+3ax 2+3(a+2)x+1没有极值，则a 的取值范围为
变式训练6：函数f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1时有极值10，则a 、b 的值为（）
A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11
B.a=-4,b=11
C.a=3,b=-3
D.以上都不正确
答案：变式4： A 变式5：［-1，2］变式6：B
考点四不等式证明与大小比较
思路点拨：主要解决方法是先构造函数，然后利用导数法确定函数的单调性，进而达到解决问题的目的。

例4设55ln 33ln 22ln ,,===
c b a ，试比较大小。

答案：b a c <<
变式训练8：（10安徽理改编）设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。

求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+。

思路点拨：（1）主要考查讨论方程解或函数零点个数，通过导数法确定单调区间和极值，然后画出草图，最后利用数形结合思想使问题得到解决。

（2）三个等价关系：方程的解⇔函数零点⇔函数图象交点。

例5（09陕西卷改编）已知函数3()31,0f x x ax a =--≠，若()f x 在1x =-处取得极值，且方程m x f =)(有三个不同的解，求m 的取值范围。

答案：(3,1)-
1、主要考点：1.定积分求曲边梯形面积：2.与概率相结合，研究几何概型的概率。

例6：（1）求由曲线x x y x x y 42,22
2-=-=所围成的图形的面积。

（2）直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值。

1、（10全国卷1理）已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；答案：),1[+∞-
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .
2.（2010辽宁理）已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ，（I ）讨论函数)(x f 的单调性；
（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，||4)()(|2121x x x f x f -≥-，求a 的取值范围。

答案：（1）略（2）（-∞，-2].
3、已知3x =是函数2()(1)10f x aIn x x x =++-的一个极值点。

（1）求a
（2）求函数()f x 的单调区间
（3）若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围。