人教版高中数学复数专题知识点整理和总结
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
高三复数的知识点归纳总结
高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
在复数中，实部为a，虚部为b。
二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。
十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。
在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。
它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。
掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结一、复数的概念1. 定义：在数学中，复数是由一个实数和一个虚数单位i构成的数，表示为a+bi，其中a 和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。
2. 实部和虚部：复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部，其中a和b都是实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
3. 指数形式：re^(iθ)，其中e^(iθ)为指数函数。
三、复数的运算1. 加法与减法：实部相加，虚部相加2. 乘法：根据分配律和虚数单位i的性质计算3. 除法：乘以共轭复数，然后根据除法的定义计算4. 幂运算：通过指数形式进行计算四、复数的性质1. 共轭复数：a+bi的共轭复数是a-bi2. 模：复数a+bi的模是√(a²+b²)3. 幅角：复数a+bi的幅角是θ=tan^(-1)(b/a)五、复数的应用1. 代数方程式：一元二次方程的解2. 三角函数：通过复数的幅角形式可以求解三角函数的和差角公式3. 电路学：用复数解决交流电路中的问题六、复数的解析几何1. 复数的几何意义：复平面上的点2. 复数的模和幅角：向量的模和方向3. 复数的乘法和除法：向量的缩放和旋转七、复数的解1. 一元二次方程的解：通过求根公式得到解2. 复数的根：开方运算的应用总结：复数是数学中的一个重要概念，它由一个实部和一个虚部构成，可以通过代数形式、幅角形式和指数形式进行表示。
复数的运算包括加法、减法、乘法、除法和幂运算，通过这些运算可以得到复数的性质如共轭复数、模和幅角。
复数还具有广泛的应用，包括代数方程式、三角函数和电路学等方面。
此外，复数还可以通过解析几何的方式进行理解，它在平面上对应着一个点，并且具有向量的性质。
复数的解可以用于一元二次方程的求解以及复数的根的求解。
通过学习和掌握复数的知识，可以更好地理解数学中的各种概念和问题，并且对于后续的学习和应用具有重要的意义。
高中数学中的复数运算知识点总结
高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。
复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。
下面将对高中数学中的复数运算进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。
二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。
先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。
四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。
2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。
五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。
2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。
六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。
综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。
同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。
高中数学复数专题学习知识点整理及总结人教版本.docx
专题一复数一．基本知识㈠复数的基本概念⑴ i 叫虚数单位，规定：① i 2=﹣ 1, ②实数的一切运算法则对 i 都成立。
⑵ i 的正整数指数幂的化简i 4n =i4n+1=i4n+2=i4n+3=⑶形如 ab，它的平方等于－，+ i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为 i1其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部 . ①实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数 ②虚数：当时的复数 a + bi 为虚数；③纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i 为纯虚数 .⑷两个复数相等的定义：a+bi=c+di ?a=c 且 b=d ;a+bi=0 ?a=0 且 b=0.强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。
⑸共轭复数： z a bi 的共轭记作 za bi ；⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面； z a bi ，对应点坐标为 p a,b；（象限的复习）⑺复数的模：对于复数 z a bi ，把 z a 2b 2 叫做复数 z 的模；㈡复数的基本运算设 z 1 a 1 b 1i ， z 2 a 2 b 2i（ 1） 加法： z 1 z 2a 1a 2b 1 b 2 i ；（ 2） 减法： z 1 z 2 a 1 a 2 b 1 b 2 i ；（ 3） 乘法： z 1 z 2 a 1a 2b 1b 2a 2b 1 a 1 b 2i 特别 z za 2b 2 。
（4） 除法：c di c di a biac bdadbc iza bi a bia 2b 2=a bi二． 例题分析【例 1】已知 za 1b 4 i ，求（ 1） 当 a, b 为何值时 z 为实数 （ 2） 当 a, b 为何值时 z 为纯虚数 （ 3） 当 a, b 为何值时 z 为虚数（ 4） 当 a, b 满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。
【变式 1】若复数为纯虚数，则实数的值为（）A ．B ．CD ．或（2）（ 2012 北京文 2）在复平面内，复数10i 对应的点的坐标为（ ）3 i（A ） (1,3)（ B ） (3,1) （ C ） ( 1,3) （ D ） (3, 1)【例 2】已知 z 1 3 4i ； z 2 a 3 b 4 i ，求当 a, b 为何值时 z 1=z 2【例 】已知 z1 i ，求z ， z z ；3【变式 1】 复数 z 满足 z2 i，则求 z 的共轭 z1 i－ 3+i (2 ）（ 2012 年新课标全国文2）复数 z ＝2+i 的共轭复数是（ ）（ A ） 2+i（ B ） 2－ i（C ）－ 1+i（ D ）－ 1－i3 i ，则 z ? z =（）【变式 2】（ 2010 年全国卷新课标） 已知复数 z3i) 2(1A.1B.1 42【例4】已知z 12 i ， z 23 2i（ 1） 求 z 1z 2 的值；（ 2） 求 z 1 z 2 的值；（ 3） 求 z 1 z 2 .【变式 1】已知复数 z 满足 z 2 i1 i ，求 z 的模 .【变式 2】若复数 1 ai 2是纯虚数，求复数 1 ai 的模 .【例 5】若复数 za3ia R （i 为虚数单位），1 2i（ 1） 若 z 为实数，求 a 的值（ 2） 当 z 为纯虚，求 a的值 .1. (2012年山东 1) 若复数 z 满足 z(2 i ) 11 7i(i 为虚数单位 ) ，则 z 为 （）(A)3+5i (B)3－ 5i(C) － 3+5i(D) － 3－ 5i2. （ 2013 全国理 2）若复数z 满足3 4i z 43i则 z 的虚部为（）（ A ）4（ B ）4（ C ） 4 45（ D ）53． (2013 北京，文 4) 在复平面内，复数 i(2 － i) 对应的点位于 ( ) ．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D．第四象限1 2i 4.(2013 课标全国Ⅰ，文 2)1 i2 ＝ () ．1 1 i1+ 1i1+ 1i1 1iA ．2B ．2C ．2D ．25． (2013 山东，文 1) 复数 z ＝2i 2(i 为虚数单位 ) ，则 | z | ＝ () ．iA ． 25B ．41 C ． 5 D ． 56.(2014 北京 9) 若 x i i1 2i x R ，则 x.7. （ 2014 年全国文 3）设 z1 i ，则 | z |i1A.1B.2 C.3 D. 22228. （ 2014 山东文 1）已知 a,b R ， i 是虚数单位，若 a i 与 2 bi 互为共轭复数，则(a bi )2（A ） 54i （ B ） 5 4i （ C ） 3 4i （ D ） 3 4i【例 6】（20122的四个命题：其中年全国卷新课标）下面是关于复数 z1i的真命题为（）p1 : z 2 p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为 1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2, p3 (B) p1, p2 (C ) p , p(D ) p , p【变式 1】设a是实数，且a 1 i是实数，求 a 的值..1i2【变式 2】若z y3ix, y R 是实数，则实数xy的值是. 1xi【例 7】复数 z cos3 i sin3 对应的点位于第象限【变式 1】是虚数单位 , 等于 ()A．i B．-iC． 1D．-1【变式 2】已知 =2+i, 则复数 z=（）（ A） -1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i【变式 3】 i 是虚数单位，若，则乘积的值是（ A）－ 15（B）－3（C）3（D）15【例 8】（2012 年天津）复数z7i =（）3i（ A） 2 i（Ｂ） 2 i（Ｃ） 2i（Ｄ） 2 i【变式 4】（ 2007 年天津）已知i是虚数单位，2i3（）1 i Ａ 1 iＢ 1 iＣ 1 iＤ． 1 i【变式 5】 . （ 2011 年天津）已知i是虚数单位，复数13i =（）1i2 i2iC 1 2iD1 2iA B【变式 6】（ 2011 年天津）已知 i 是虚数单位，复数13i（）12i(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1－ i【变式 7】 . （ 2008 年天津）已知i是虚数单位，则i3i1（）i1(A) 1 (B)1(C)i(D)i。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580教学内容
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版57580专题二 复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 二． 例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
高中数学知识点总结及公式大全复数与复平面
高中数学知识点总结及公式大全复数与复平面高中数学知识点总结及公式大全：复数与复平面一、复数的引入与基本概念在高中数学中，复数是一个重要的概念，它是由实数与虚数部分构成的数。
引入复数的概念是为了解决一元二次方程无解的问题。
1.1 复数的定义复数的一般形式为：a + bi，其中a是实部，bi是虚部，i是虚数单位。
1.2 虚数单位虚数单位i定义为：i² = -1，其中i为根号下-1。
1.3 复数的运算复数的运算与实数类似，具体规则如下：- 加法：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- 减法：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i- 乘法：(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- 除法：(a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc - ad)i]/(c² + d²)1.4 共轭复数对于复数a + bi，其共轭复数为a - bi。
二、复数在复平面中的表示与应用2.1 复平面的引入复平面是用来表示复数的平面，复数a + bi可以表示为复平面上的点P(x, y)，其中x为实部a，y为虚部b。
2.2 复平面的坐标表示复平面可以使用直角坐标系和极坐标系进行表示。
- 直角坐标系复平面上的点P(x, y)可以用直角坐标系表示，其中实部a对应x轴，虚部b对应y轴。
- 极坐标系复平面上的点P(x, y)可以使用极坐标表示，其中P的模为r = √(a² +b²)，辐角为θ = arctan(b/a)。
2.3 模的性质与运算复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|。
复数的模具有以下性质：- |a + bi| = √(a² + b²)- |z1 z2| = |z1| |z2|- |z1/z2| = |z1| / |z2|2.4 辐角与复数的乘除复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记作arg(z)。
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【1】复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + b i 为实数
虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）
（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；
【2】复数的基本运算
设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++；
（2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅
【3】复数的化简
c di z a bi
+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b
=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi
+==+进一步建立方程求解 【例4】 若复数
()312a i z a R i +=∈-（i 为虚数单位），
(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.
【变式1】设a 是实数，且112
a i i -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y i z x y R xi
+=∈+是实数，则实数xy 的值是 . 【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限
【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i
+等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
【变式2】已知1i Z ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
【变式3】i 是虚数单位，若
17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73i z i
-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数
131i i
--= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --
【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数
1312i i -+=+（ ） (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i。