6-4一阶电路的全响应及阶跃响应剖析

第6章 一阶电路
讲授 板书

1、理解一阶电路的全响应和阶跃响应概念和物理意义。
2、掌握一阶电路的全响和阶跃响应的计算方法

一阶电路的全响的计算方法
一阶电路的阶跃响的计算方法、求解初始值的方法
1. 组织教学 5分钟
3. 讲授新课 70分钟
2. 复习旧课 5分钟

基尔霍夫定律
4. 巩固新课 5分钟
5. 布置作业 5分钟
一、学时：2
二、班级：06电气工程（本）/06数控技术（本）
三、教学内容：

[讲授新课]：
§6.4 一阶电路的全响应

一阶电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作
用时电路中产生的响应。
1.全响应
以图 6.19 所示的 RC 串联电路为例：

图 6.19 图 6.20
电路微分方程为：
方程的解为： uC(t)=uC＇+ uC＂
令微分方程的导数为零得稳态解：uC＂=US

暂态解 ， 其中τ= RC
因此
由初始值定常数A，设电容原本充有电压：uC(0－)= uC(0+)=U0
代入上述方程得：uC(0+)= A + US = U0
解得：A = U0 - US

所以电路的全响应为：
2. 全响应的两种分解方式
（1）上式的第一项是电路的稳态解，第二项是电路的暂态解，因此一阶电路的
全响应可以看成是稳态解加暂态解，即：全响应 = 强制分量 ( 稳态解 )+ 自由分
量 ( 暂态解 )
（2）把上式改写成：
显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输入解，因此一阶电路的全
响应也可以看成是零状态解加零输入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
此种分解方式便于叠加计算，如图 6.21 所示。

图 6.21
3. 三要素法分析一阶电路

一阶电路的数学模型是一阶微分方程 ：
其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为 ：
t= 0+ 时有 ：
则积分常数：

代入方程得：
注意直流激励时 ：
以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的初值 f（0+），稳态值
f
（￥）及时间常数τ的三个要素的问题。求解方法为：
f
（0+）：用 t → ￥ 的稳态电路求解；
f
（￥）： 用 0+ 等效电路求解；

时间常数τ：求出等效电阻，则电容电路有τ=RC ，电感电路有:τ= L/R。
例6-13 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压
u
C

并画出波形图。

例 6-13 图（a）
解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法，

电容电压的初始值为：
稳态值为：

时间常数为：
代入三要素公式：
所以：

图（ b ）
电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
例6-15 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关由1扳到2，求换路后的电容电压
uC(t
)。
例 6-15 图（a）
解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法，

三要素为：

由于含有受控源所以应用图（b）电路求等效电阻：

则时间常数为：
代入三要素公式得：

图（ b ）
例6-16 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。

例 6-16 图
解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，
电容电路的三要素为：
电感电路的三要素为：
代入三要素公式得：
因此：
§6.5 一阶电路的阶跃响应

1.单位阶跃函数
1）单位阶跃函数的定义
单位阶跃函数是一种奇异函数，如图6.22 所示。函数在 t=0 时发生了阶跃。
可定义为：

图 6.22
任一时刻 t0 起始的阶跃函数如图 6.23 所示，也称为延迟的单位阶跃函数，
可定义为：
图 6.23
2）单位阶跃函数的作用
（1）可以用来描述图 6.24 所示的开关动作，如图6.25所示，表示 t=0 时把
电路接到直流电源。

图 6.24
图 6.25
（2）可以用来起始一个任意函数，即：

图 6.26 为单位阶跃函数起始一个正弦函数

图 6.26
（3）可以用来延迟一个函数，如图 6.27 所示。

图 6.27
（4）可以用来表示复杂的信号，如图 6.28 所示函数可以写为：

图 6.28
2.一阶电路的阶跃响应

阶跃响应是指激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。以图6.29
所示RC 电路受直流阶跃激励为例加以说明。

图 6.29 图 6.30 图 6.31
根据阶跃函数的性质得： ，

所以阶跃响应为：
响应的波形如图 6.30 和图 6.31 所示。

注意： （初值为零） 和 （初值可以不为零）的
区别。
若上述激励在t = t0 时加入，如图6.32所示，则响应从t = t0 开始。即：

图 6.32
注意： 上式为延迟的阶跃响应，不要写为

例6-18 用阶跃函数表示图示函数 f（t）。

例 6 — 18 （ a ） （ b ）
例 6 — 18 （ c ）
解：（a）
（b）
（c）
例6-20 求图（a）所示电路中电流iC(t），已知电压源波形如图（b）所示。
例 6 — 20 （ a ）
（ b ）
解：把电路等效为图（c）中的左图，

（ c ）
时间常数为：

等效电路的阶跃响应为：
图（b）所示电压源波形可以用阶跃函数表示为：
即：电源可以看成是阶跃激励和延迟的阶跃激励的叠加，因此等效电路可以用
图（c）中右边两分电路图表示。由齐次性和叠加性得实际响应为：

上式用分段函数可表示为：
响应的波形如图（d）所示。
图（ d ）
四、预习内容 向量法
五、作业

6.4 全响应 求解步骤： 6.5 阶跃响应 例 15.2
例 15.3