第3章 平面任意力系
3第三章平面任意力系
固定端（插入端）约束
说明: ①认为Fi 这群力在同一平面内; ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③FA方向不定可用正交分力FAx, Fay 表示; ④ FAy, FAx, MA为固定端约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限
制转动。
11
MO
§3-2 平面一般力系的简化结果 合力矩定理 y 简化结果：主矢 F ' R ，主矩 M O 。
∴ 力的直线方程为：
MO
x
FR '
x
O
x
670.1 x 232.9 y 2355 0
2355 当 y 0, x 3.5 m 670 .1
18
FR
§3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F' 0 R MO 0
为力平衡，没有移动效应。 为力偶平衡，没有转动效应。
P
45
0
M A (F i ) 0 :
FC sin45 AC P AB 0
B
FAy
FAx
y
A
C
FAx 20.01kN ,
FAy 10.0kN
FC
x
FC 28.3kN
或： M C ( F i ) 0 : FAy AC P CB 0
22
o
例：求横梁A、Ｂ处的约束力。已知 M Pa, q, 解：1）AB杆 q M B A 2）受力分析
主矩MO 方向：方向规定 +
Fiy tg 方向： tg FRx Fix
1
FRy
1
大小： M O M O ( Fi ) , (与简化中心有关),（因主矩等于各力对简化中心取矩 的代数和）
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
工程力学-平面任意力系
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
第三章-平面任意力系
第三章 平面任意力系[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。
设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有0=∑iA M ，0=∑iB M ，且0=∑iy F ，0≠∑ix F 。
已知a OA =，求B 点在x 轴上的位置。
解：因为0==∑iA A M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心A 。
又因为0==∑iB B M M ，但0≠∑ix F ，即0≠R F ，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：R F 是原力系的合力，合力R F 的作用线通过简化中心B 。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力R F 的作用线同时能过A 、B 两点。
又因为0==∑iy Ry F F ，所以合力R F 与y 轴垂直。
即AB 与y 垂直。
由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： αcos ab =[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内)中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为m kN M A ⋅=12，m kN M B ⋅=15，A 、B 两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：)(212R O O O F M M M +=)(R B A B F M M M +=)()(Ry B Rx B A B F M F M M M ++=依题意0=Rx F ，故有：)(Ry B A B F M M M +=)24(1215-⨯+=Ry F 32=Ry F )(5.1kN F Ry = kN F F Ry R 5.1==)(85.112m F M a R A ===故C 点的水平坐标为：m x 6-=。
3平面任意力系
A、B、C 三点不共线。 三点不共线。
运用平衡条件求解未知力的步骤为： 运用平衡条件求解未知力的步骤为： 1、合理确定研究对象并画该研究对象的受 力图； 力图； 2、由平衡条件建立平衡方程； 由平衡条件建立平衡方程； 3、由平衡方程求解未知力。 由平衡方程求解未知力。 实际计算时，通常规定与坐标轴正向一 实际计算时， 致的力为正。即水平力向右为正， 致的力为正。即水平力向右为正，垂直力向 上为正。 上为正。
合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点的 矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的 代数和。 代数和。
mo (F) = ∑mo (F ) i
y
mo (F) = mo (Fx ) + mo (Fy )
mo (Fx ) = −yFx
y
O
Fy
A x
B
F
F x
x
mo (Fy ) = xF y
在长方形平板的O 例题 3-1 在长方形平板的 、A、B、C 点上分别作 用着有四个力： 用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如 ， ， （ 图），试求以上四个力构成的力系对点 的简化结果， ），试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果， 试求以上四个力构成的力系对点 以及该力系的最后的合成结果。 以及该力系的最后的合成结果。
§3–2 平面任意力系的平衡方程及其应用
伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 P=2200N，吊车 、E 连同吊起重物各重 ，吊车D QD=QE=4000N。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b 。有关尺寸为： ， ， = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链 对臂 ， ° 试求铰链A 对臂AB 的水 平和垂直反力，以及拉索BF 的拉力。 的拉力。 平和垂直反力，以及拉索 y
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
第三章 平面任意力系和平面平行力系
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
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第3章 平面任意力系一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1．某平面力系向两A 、B 点简化，主矩都为零，则此力系一定平衡。
( × ) 2．力沿其作用线移动不改变力对点之矩的效果。
( √ ) 3．力系简化的最后结果为一力偶时，主矩与简化中心无关。
( √ ) 4．用截面法解桁架问题时，只需截断所求部分杆件。
( √ ) 5．判断结构是否静定，其根据是所有的未知量能否只通过列平衡方程全部求出。
( √ ) 6．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R 'F =0，而主矩0O M ≠，则原力系简化的结果为一个合力偶，合力偶矩等于主矩，此时主矩与简化中心位置无关。
( √ ) 7．平面任意力系向任一点简化后，若主矢R'F ≠0，而主矩O M =0，则原力系简化的结果为一个合力，且合力通过简化中心。
( √ )8．在一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可以得到一个合力和一个合力偶矩。
( × )9．已知作用于刚体上所有力在某一坐标轴上投影的代数和等于零，则这些力的合力为零，刚体处于平衡。
( × )10．平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对任何一点的主矩都等于零。
( √ )11．桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力以后几何形状可以发生改变。
( × ) 二、填空题1．在简化一已知平面任意力系时，选取不同的简化中心，主矢相同主矩不相同。
2．一般情况下，对于由n 个物体所组成的物体系统可以列出 3n 独立平衡方程。
3．主矢与简化中心位置无关，而主矩与简化中心位置有关。
4．在平面任意力系中，合力对任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和，即R ()()O OM M =∑F F ，称之为合力矩定理。
5．若物体系中所有未知量数目不超过独立方程个数，则所有未知量可由平衡方程解出，这类问题称为静定问题；反之则为静不定问题。
6．如果从桁架中任意消除一根杆件，桁架就会活动变形，称这种桁架为静定桁架；反之则为超静定桁架。
7．在平面静定桁架中，杆件的数目m 与节点的数目n 之间的关系是m=2n -3。
8．计算平面静定桁架杆件内力的两种基本方法是节点法和截面法。
三、选择题1．如图3.18所示平面力系向A 点简化得主矢R A 'F 和主矩A M ，向B 点简化得主矢R B 'F 和主矩B M 。
以下四种说法，哪一个是正确的？( D )(A) R R A B ''=F F ，A B M M = (B) R R A B ''≠F F ，A B M M = (C) R R A B ''≠F F ，A B M M ≠ (D) R R A B ''=F F ，A B M M ≠图3.182．如图3.19所示平面内一力系13F F =，24F F =，此力系简化的最后结果为( C )。
(A) 作用线过点B 的合力 (B) 一个力偶(C) 作用线过点O 的合力 (D) 力系平衡3．如图3.20所示刚体在一个平面任意力系作用下处于平衡，以下四组平衡方程中哪一组是不独立的( B )。
(A)0xF =∑，0F ξ=∑，()0AM =∑F(B) ()0O M =∑F ，()0AM =∑F ，()0BM =∑F (C) ()0OM =∑F ，()0CM =∑F ，0yF =∑ (D) 0x F =∑，0y F =∑，()0OM =∑F图3.19 图3.204．如图3.21所示的四种结构中，各杆重忽略不计，其中哪一种结构是静定的( c )。
(b)(c)(a)图3.215．如图3.22所示的四种结构中，梁、直角刚架和T 形刚杆的自重均忽略不计，其中哪一种结构是静不定的。
( b )6．平面任意力系向一点简化得到一个力和一个力偶，这个力作用在( D )。
(A) x 轴上 (B) y 轴上 (C) 坐标系原点 (D) 简化中心(d)(c)(b)(a)图3.227．重量为W 的均匀杆EF 放在光滑的水平面上，在两端沿其轴线方向作用拉力P 和Q 如图3.23所示，且P Q >。
如将杆在A 、B 、C 三个截面处均分四段，则在A 、B 、C 三处截面的张力的关系为( B )。
(A) A B C S S S == (B) C B A S S S <<(C) A B C S S S <<(D) C A B S S S <<图3.238．如图3.24所示三种受力情况，关于对支座A 、B 约束反力大小正确的答案是( B )。
(A) 三种情况相同，4A B F F F ==(B) 三种情况相同，2A B F F F == (C) 三种情况相同，A B F F F == (D) 三种情况不相同(b) (a)(c)图3.249．矩形ABCD 平板受力图如图3.25所示。
(A)、(B)、(C)、(D)为其四组平衡方程，其中只有( B )组是独立的方程。
(A) ()0()00A B x M M F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑F F(B) ()0()00A D x M M F ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑F F(C) ()0()0()0B E CM M M ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∑∑∑F F F(D) ()0()0()0()0A B CD M M M M ⎧=⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∑∑∑∑F F F F10．某平面平行力系，已知1234510N 4N 8N 10N F F F F F =====，，，，受力情况如图3.26所示，尺寸单位为cm ，试问此力系简化的结果是否与简化中心的位置有关？ ( A )(A) 无关 (B) 有关(C) 若简化中心在Ox 轴上，则与简化中心无关 (D) 若简化中心在Oy 轴上，则与简化中心无关yAB CE DxF FxDDy F A FM图3.25 图3.26四、计算题3-1 重物悬挂如图3.27所示，已知G =1.8kN ，其他重量不计。
求铰链A 的约束反力和杆BC 所受的力。
解：选AB 和滑轮D 组成的系统为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有∑=0xF045cos o =--D B Ax F F F∑=0yF 045sin o=-+G F F BAy∑=0)(F AM 03.01.06.045sin o=⨯-⨯+⨯G F F DB图3.27其中：kN 8.1==G F D 联立求解，可得：N 2400=Ax F ，N 1200=Ay F ，N 5.848=B F3-2 求如图3.28所示平面力系的合成结果，长度单位为m 。
解：平面力系向简化中心O 点简化，有N 054500400'=⨯-==∑xiRx F F N 053500100200'=⨯---==∑yiRyFF主矢为N 02'2''=+=Ry Rx R F F F主矩为m N 2606.25350021008.0400)(⋅=⨯⨯+⨯-⨯-==∑i O O F MM3-3求如图3.29(a)、(b)所示平行分布力的合力和对于点A 之矩。
(b)(a)q图3.29解：（a ）平行分布力的合力为：qa F R =' ( ← )对于点A 之矩的矩为221qa M A =( ) （b ）平行分布力的合力为：ql F R 21'=( ↓ ) 对于点A 之矩的矩为图3.28231ql M A =() 3-4静定多跨梁的荷载及尺寸如图3.30(a)、(b)所示，长度单位为m ，求支座约束反力。
(a)20kN /m(b)图3.3020kN /mC20kN /mC解：(a) 分别选整体和杆BC 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有整体：∑=0xF 030sin o=-CAxF F∑=0y F 062030cos o=⨯-+CAy F F∑=0)(F A M 0662040930cos o=⨯⨯--⨯+CA F M杆BC ： ∑=0)(F B M 03620630cos o=⨯⨯-⨯CF联立求解，可得：kN 320=Ax F ，N 60k F Ay =，m kN 220⋅=A M ，kN 340=C F(b) 分别选整体和杆CD 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有整体：∑=0xF 0=AxF∑=0y F 045.25=⨯--++DyBy Ay F F F∑=0)(F A M 05445.21582=-⨯⨯-⨯-⨯+⨯DyBy F F2.5kN/mDyDy杆CD ： ∑=0)(F C M05125.24=-⨯⨯-⨯Cy F联立求解，可得：0=Ax F ，N 5.2k F Ay -=，kN 15=By F ，kN 5.2=Dy F3-5 均质圆柱体O 重为P ，半径为r ，放在墙与板BC 之间，如图3.31所示，板长BC =L ，其与墙AC 的夹角为α，板的B 端用水平细绳BA 拉住，C 端与墙面间为光滑铰链。
不计板与绳子自重，问α角多大时，绳子AB 的拉力为最小。
解：分别选圆柱体O 和板BC 为研究对象，受力分析如图所示。
分别列平衡方程，有圆柱体O ：∑=0yF0sin 2=-P F N α解得：αsin 2PF N =板BC ：∑=0)(F C M0cos 2tan/'2=⨯+⨯-ααL F r F B N其中：2'2N N F F =-，解得αααααcos )cos 1(Pr2tancos sin -=⨯=L L r P F B引入αααcos )cos 1()(-=f ，下面求)(αf 的最大值。
由于0sin cos 2sin )('=+-=ααααf ，有21cos =α，即o 60=α，此时，)(αf 有极大值，而B F 有极小值，其值为L F B Pr 4min =。
3-6 求图3.32所示悬臂梁的固定端的约束反力。
已知2M qa =。
解：选悬臂梁AB 为研究对象，受力分析如图所示。
列平衡方程，有图3.31 2N图3.32q F M∑=0xF 0=AxF∑=0y F 02=⨯-a q F Ay∑=0)(F A M 02=⨯⨯-+a a q M M A其中2M qa =。
联立求解，可得：0=Ax F ，qa F Ay 2=，2qa M A =3-7 如图3.33(a)、(b)所示承重架，不计各杆与滑轮的重量。
A 、B 、C 、D 处均为铰接。
已知AB =BC =AD =250mm ，滑轮半径R =100mm ，重物重W =1000N 。
求铰链A 、D 处的约束反力。
(b)(a)图3.33解：(a) 分别选整体和BD 杆为研究对象，受力分析如图所示。