斯托克斯公式及题目
斯托克斯公式
170第七节 斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。
为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积 理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。
利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。
171如果 是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。
因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。
例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解 按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。
斯托克斯公式公式
斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。
这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。
斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。
注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。
例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。
高等数学：斯托克斯公式环流量与旋度
练习题答案
一, 20 π . 三, rotA = i + j . 五,12π .
π 3 二, a . 4
四,0. 六,0.
�
D xy
y
1
3 ∫Γ zdx + xdy + ydz = 2
Dxy
o
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
z )dx + ( z x )dy + ( x y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表面所得的截痕,
向 场A沿 向 曲 Γ 的 流 量 有 闭 线 环 量等 向 场 于 量 A的旋 场通 Γ 所张 曲面 通量.(Γ 的正 通量.( 度 过 的 的 侧 合 手 则 向 ∑的 符 右 法 ) 与
四,小结
斯托克斯公式
cosα cos β cosγ ∫∫ x y z dS = ∑ P Q R
Γ
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z ∑ P Q R
Γ
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n y
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
x
0
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
∑
D xy
1
1
由于∑ 弦都为正, 由于∑的法向量的三个方向余 弦都为正, 再由对称性知: 再由对称性知:
∫∫ dydz + dzdx + dxdy ∑
Dxy 如图
高斯公式与斯托克斯公式——习题
证：因为 cos(r, n) = cos(r, x) cos(n, x) + cos(r, y) cos(n, y) + cos(r, z) cos(n, z) ，而
cos(r, x) = x , cos(r, y) = y , cos(r, z) = z ，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得
S
S
由于曲面 S : x = y( y 2 + z 2 ≤ 1) 上任一点 (x, y, z) 处的法向量 n = (cosα , cos β , cosγ ) 中的
∫∫ cosγ = 0 ，从而由定义知 x 2 y 2dxdy = 0 ，因此，原式=0. S (3) ∫L (z − y)dx + (x − z)dy + ( y − x)dz = ∫∫ (1 + 1)dydz + (1 + 1)dzdx + (1 + 1)dxdy S
3S
其中 cosα , cos β , cosγ 为曲面 S 的外法线方向余弦
证：因为 ∫∫ (x cosα + y cos β + z cosγ )dS = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy
S
S
=
∫∫∫ V
(
∂ ∂x
x
+
∂ ∂y
y
+
∂ ∂z
z)dxdydz
=
3∫∫∫d V
xdydz
1 1− y
dy ( y − z)dz =
1
[
y(1
−
y)
−
1
(1 −
y
2
)]dy
S
8.7斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
思考与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot(grad r) 0
.
提示: grad r x , y , z
rrr
x
(
x r
)
r xxr
r2
z
(
z r
)
r2z2 r3
r 2 x2 r3
,
y
( y) r
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线：
设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方.
带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
例如当是上半球面z= 1 x2 y2的上侧,则＋是 xoy面上的逆时针走向的单位圆周.
则沿场 FF中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz 上的曲线积分
称
为向量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
场
F
沿曲
线
按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
dr
dS
x y z
PQR
r 例1 求下列向量场F沿闭曲线（依逆时针方向）
10-7斯托克斯公式与旋度
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
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n
右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
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一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明： 同平面曲线一样，当曲线积分
6. 纳斯—斯托克斯方程(N—S方程)在所有的惯性系都成立
6 纳斯—斯托克斯方程（N —S 方程）在所有的惯性系都成立首先根据动量定理推导与坐标系选取无关的微分形式的N S -方程：任取一体积为τ的流体如图1所示，设其边界面为S ，根据动量定理，体积τ中流体动量的变化率等于作用在该体积上质量力和面力之和.以F 表示作用在单位质量上的质量力分布函数，而n p 表示作用于单位面积上的面力分布函数.则作用在τ上和S 上的总质量力和面力为ρδτ⎰F及sS δ⎰n p其次，体积τ内的动量是τρδτ⎰v于是，动量定理可写成下列表达式：s dS dt ττρδτρδτδ=+⎰⎰⎰n v F p（1）利用公式d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰aa ，得： d d dt dtττρδτρδτ=⎰⎰vv (2)再利用的是高斯公式得：div sss P s P τδδδτ==⎰⎰⎰n p n（3）其中P 是应力张量.将（2）和（3）式代入（1）式，整理得：(div )0d P dtτρρδτ--=⎰vF 因τ任意，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，即div d P dtρρ=+vF（4）（4）式就是微分形式的动量方程，易见，它与坐标系的选取无关，下面将写出它在曲线坐标下的形式.因为123(,,,)q q q t =v v故312123dq dq dq d dt t q dt q dt q dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v 图1112233112233111()/H dq H dq H dq dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v 312123()ds ds ds t s dt s dt s dt ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v（5）上式中利用到等式：111ds H dq =，222ds H dq =，333ds H dq =现在进一步处理（5）式右端的第二项112233v e v e v e =++v ，根据定义有312123,,ds ds ds v v v dtdtdt===故123123()d v v v dt t s s s ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v v v v （6）又1111223311()v v v e v e v e s s ∂∂=++∂∂v 111223311()v v e v e v e H q ∂=++∂ 33112121231231111111()v e v v v e ee e e v v v H q q q q q q ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂（7）考虑到：11123122332111223111331111e H H e e q H q H q e H e q H q e H e q H q ⎧∂∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （8） 12221122231233113222331111e H e q H q e H H e e q H q H q e H e q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎨∂∂∂⎪⎪∂∂=⎪∂∂⎩ （9）31331132332233312311221111H e e q H q H e e q H q e H H e e q H q H q ⎧∂∂=⎪∂∂⎪⎪∂∂=⎨∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎪∂∂∂⎩ （10） 将上面的（8）式代入（7）中，整理得，331121112111111123111223311221133()()()v v v v v H H v v v H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++-+-∂∂∂∂∂∂∂∂v同理332122221222222123222112211332333()()()v v v v v H v v v H H v v H v e e e s H q H q H q H q H q H q H q ∂∂∂∂∂∂∂∂=-++++-∂∂∂∂∂∂∂∂v将11v s ∂∂v ，22v s ∂∂v ，33v s ∂∂v表达式代入（6）式，得 311211112233[()v v v v v v d dt t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂v v 2213331211221122133121131]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 312222112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2223332122112211233122232]v v v H v v H H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ 333312112233[()v v v v v v H q H q H q ∂∂∂+++∂∂∂2213323311223131232133233]v v H v v H v H v H e H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂ （11） 因为112233v e v e v e =++v 所以312123v v v e e e t t t t∂∂∂∂=++∂∂∂∂v 速度1v 的随体导数31111121123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂3111211112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 同理可得32221222123ds dv v v ds v ds v dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3212222112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 33333312123dv v v v v ds ds ds dt t s dt s dt s dt∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 3333312112233v v v v v v v t H q H q H q ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 所以（11）式可简化为22133311211221122133121131()v v v H dv v v H H v H d e dt dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂=++--∂∂∂∂v22233322122112211233212232()v v v H dv v v H H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 22331332311223311322313323()dv v v H v v H v H v H e dt H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂+++--∂∂∂∂ 至此，我们将d dtv表示成曲线坐标系下的形式了. F 在曲线坐标系下表示成: 112233F e F e F e =++F最后，我们将div P 表示成曲线坐标系下的形式. 应力张量P ：111213212223313233p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，共九个量 可以证明应力张量P 是对称张量，所以也可以将P 写成111231122223312333p p p P p p p p p p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其在曲线坐标面上表示为111112231321212222333311232333P p e p e p e P p e p e p e P p e p e p e=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 由()()()1232313121231231a H H a H H a H H div H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦a 式得：()()()1232313121231231PH H P H H P H H div P H H H q q q ∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦ （12）其中()()()12323123111122313111PH H H H P H H p e p e p e q q q ∂∂∂=+++∂∂∂ ()233111121231231111H H p p p P H H e e e q q q q ∂⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 31223111231111e e eH H p p p q q q ⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭同样把11e q ∂∂、21e q ∂∂、31e q ∂∂用（8）式代替得 ()()123233111121112311112233PH H H H p p p H H P H H e q q q H q H q ∂∂⎛⎫∂∂∂=+++⎪∂∂∂∂∂⎝⎭3112111111232233122133p p p H p H H H e H H e q H q q H q ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-+-⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ （13） 考虑到()()()()2323232311111223131111H H H H H H H H P p e p e p e q q q q ∂∂∂∂=++∂∂∂∂()()231123111112311111H H p H H p p e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()231223121222322111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂()()233123313132333111H H p H H pp e H H e e q q q ∂∂∂+=∂∂∂因此可将（13）式化为：()()1231123311211231122331PH H p H H p p H H H H e q H q H q q ⎡⎤∂∂⎛⎫∂∂=++⎢⎥ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦()1223111232122p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()3123111233133p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦同理：()()23112312223112211P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()223123312231211332p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦()2331222313233p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()()31231123331213311P H H p H H p H H H e q q H q ∂∂⎡⎤∂=-⎢⎥∂∂∂⎣⎦()2312333122322p H H p H H H e q H q ∂⎡⎤∂+-⎢⎥∂∂⎣⎦()331231323312311223p H H p H p H H H e H q H q q ⎡⎤∂⎛⎫∂∂+++⎢⎥ ⎪∂∂∂⎝⎭⎣⎦将以上三式代入（12）式，得()()()1123123131121231231div p H H p H H p H H P H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪=++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3133312112221122133121131p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()1223223123121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩2333312221112121233122232p p H p H H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭()()()3123233133121231231p H H p H H p H H H H H q q q ⎧∂∂∂⎡⎤⎪+++⎨⎢⎥∂∂∂⎪⎣⎦⎩3132331112223131232133233p H p H p H p H e H H q H H q H H q H H q ⎫∂∂∂∂++--⎬∂∂∂∂⎭（14）至此，已将d dtv、F 、div P 全部表示成曲线坐标系下的形式，将其都代入（4）式，并考虑对应项相等原则，有2213331121122122133121311v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭()()()12311311212311231231F H H p H H p H H p H H H q q q ρ⎡⎤∂∂∂=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313331211222122133121311p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂()15a2223332212211211233212232v v v H dv v v H H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()12232231231221231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦233331222111121233122232p p H p H H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15b ）2233133231122311322313323dv v v H v v H v H v H dt H H q H H q H H q H H q ρ⎛⎫∂∂∂∂++-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ ()()()31232331331231231231p H H p H H p H H F H H H q q q ρ∂∂∂⎡⎤=+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦313233111222131232133233p H p H p H p H H H q H H q H H q H H q ∂∂∂∂++--∂∂∂∂（15c ）（15）式就是曲线坐标系下的N S -方程的具体形式.。
斯托克斯公式
z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
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因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
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同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
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情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
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令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y
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d (2 x y ) ( x y )~~~~~~~~~~ (2 2 x y )dx (3 x y 2)dy
C Green公式
ห้องสมุดไป่ตู้
x 2 y 2 1
(3 1)dxdy 2
解法3
用Stokes公式
取 为 x y z 2 上以 C 为边界的有限 部分,其法向量与 z 轴的正向夹角为钝角. D: x 2 y 2 1为 在 xOy 面上的投影,则
另一种形式
cos cos cos dS Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n (cos ,cos ,cos )
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
2
0
解法2 化空间曲线积分为平面曲线积分
记C为C 在xOy平面上的投影，则
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[(2 x y ) y ]dx [ x (2 x y )]dy
C
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
0
x
D xy
1
y
1
1 (1,1,1) n (cos ,cos ,cos ) 3
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
Dxy 如图
y
1
解法１ 将曲线 C 化成参数方程
令x cos , y sin , z 2 x y 2 cos sin : 2 0
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
[2(cos sin ) 3cos 2 sin 2 ] d 2
1 3
3dS
3 d
D xy
Dxy
O
1
x
3 2
例2 计算 ( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz ，
C
x 2 y 2 1, 其中C : 从正 z 轴方向往 x y z 2, （P111-例4） 负 z 轴方向看是顺时针.
x
证明
O
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
P P P P dzdx dxdy ( cos cos )dS y z y z
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cos dS z y y z
第10章 曲线积分与曲面积分
10.1 第一类（对弧长的）曲线积分 10.2 第一类（对面积的）曲面积分 10.3 第二类（对坐标的）曲线积分 10.4 格林公式及其应用 10.5 第二类（对坐标的）曲面积分 10.6 高斯公式 通量与散度 10.7 斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度
(当Σ是 xOy 面上的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,其中 是 平面 x y z 1 被三坐标面所截成的三角形的 整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量 z 之间符合右手规则.
解
按斯托克斯公式, 有
1
利用Stokes公式, 有
i
j y Q
k dS z R
环流量 F dr x P
2. 旋度的定义(rotation)
i
j
k
称向量 x P
y Q
为向量场F的旋度 ( rotF ) . z R
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
z
n
: z f ( x, y)
如图 设 与平行于 z 轴的直线
相交不多于一点, 并且 取上侧,有向曲线 C 为 的 正向边界曲线 在 xOy 面 上的投影，所围区域 D xy .
i 旋度 rotF x P
j y Q
k z R
R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y
Stokes公式的物理解释:
向量场 F 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 F 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy z x x y y z
Pdx Qdy Rdz
.
故结论成立.
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy x P y Q Pdx Qdy Rdz z R
xy
1
根椐格林公式
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx y Dxy C
P P 即 P[ x , y , f ( x , y )]dx dzdx dxdy z y C
2
z
y
cos cos x y y 2 xy
cos 1 ( y z )d S 0 dS 2 z xz
o x
2
二、环(流)量与旋度
1. 环流量的定义:
设向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z )k , 则沿场F中某一封闭的有向曲线上的曲线积分 F dr Pdx Qdy Rdz 称为向量场F 沿曲线按所取方向的环流量 .
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是 以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 ∑的侧符合右手规则, 函数 P (x, y, z )，Q (x, y, z), R(x, y, z) 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数，则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dxdy dzdx y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , z y
空间有向曲线
同理可证
Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , x z
R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , y x
( z y )dx ( x z )dy ( x y )dz
C
dydz
dzdx y xz
dxdy z x y 2dxdy
x z y
D
2dxdy 2 .
练习 为柱面 x 2 y 2 2 y 与平面 y = z 的交线,从 z 轴
小结
斯托克斯公式
cos x P
cos y Q
cos dS z R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
rotF dS F dr
2 y 正向看为顺时针,计算 I d x xy d y xz d z .
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法向量的方向余弦 1 1 , cos cos 0 , cos 2 2 利用斯托克斯公式，得
I