从格林公式到斯托克斯公式
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
《高数》斯托克斯(stokees)公式
20
斯托克斯公式①的物理意义:
(rot A)n d S A d s 为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
例4.
求电场强度 E
q r3
r
的旋度 .
i jk
解:
rot E
x
y
z
(0, 0, 0) (除原点外)
作业:P183: 1-(1)(3), 2-(1), 3-(2),4-(1)
22
五、积分学四大公式比较
Newton-Leibnitz公式
b df dx f ( x) b
a dx
a
Green公式 Gauss公式
D
(
Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy;
D
ab
D
D
1 x
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
y 1
7
解 按斯托克斯公式, 有
z 1
n
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy
o
1 x
y 1
由于的法向量的三个方向余弦都为正，
再由对称性知：
y
zdx xdy ydz
1
dydz dzdx dxdy
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
dS Pdx Qdy Rdz
R
2. Stokes 公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线 积分之间的关系.
10.Stokes 公式
u( x , y , z ) = ∫
x
( x , y ,z )
( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y
z M
M0
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx + ∫ Q( x , y , z0 )dy
x0
+ ∫ R( x , y , z )dz
其中n = {cosα , cos β , cos γ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当∑是 xoy 面的平面闭区域时) 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二,简单的应用
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cos α cos β cos γ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
应用上述定理, 应用上述定理,并仿照以前的证明方法可得到
定理
是空间一维单连域, 设 G 是空间一维单连域, P , Q , R 在 G 内具有 连续的一阶偏导数, 连续的一阶偏导数,则 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内是某一函数 u( x , y , z )的全微分的充要条件 P Q Q R R P , , = = = 在 G 内恒成立 y x z y x z
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
格林公式与斯托克斯公式
格林公式与斯托克斯公式格林公式与斯托克斯公式是微积分中重要的定理，用于计算曲线积分与面积积分。
本文将介绍这两个公式，并且给出一些例子来帮助读者理解其应用。
首先，我们来介绍格林公式。
格林公式是数学家格林于19世纪初提出的，用于计算平面上的曲线积分。
设D是一个有边界C的有向平面区域，f(x, y)是D中的一个向量场，f(x, y)={M(x, y), N(x, y)}。
如果f(x, y)在D中有连续的偏导数，则有以下格林公式：∮C Mdx + Ndy = ∬D (dN/dx - dM/dy)dA其中∮代表曲线的环绕，∬代表对D中的面积进行积分，Mdx + Ndy代表曲线C上的微小位移。
dN/dx和dM/dy分别代表f(x, y)对x和y求导后的结果，dA代表面元的面积。
通过格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。
这个公式的一个重要应用是计算闭合路径上的环量。
环量是一个向量场沿着闭合路径上的积分，它可以衡量向量场的旋转情况。
格林公式的应用使得计算环量变得更加简单。
下面我们来看一个格林公式的例子。
考虑一个向量场f(x, y)={x^2, y^2}，我们要计算环量，即∮C x^2dx + y^2dy。
通过格林公式，我们可以将这个曲线积分转化为面积积分。
计算左边的曲线积分，我们得到：∮C x^2dx + y^2dy = ∬D (2y - 2x)dA其中D是曲线C所包围的面积。
我们可以利用二重积分的方法计算右边的面积积分。
假设D的边界是一条简单闭曲线，我们可以使用极坐标进行计算：∬D (2y - 2x)dA = ∫∫ (2r sinθ - 2r cosθ)rdrdθ通过计算，我们最终得到的结果是0.这意味着对于这个向量场来说，环量为0，即这个向量场没有旋转。
接下来我们来介绍斯托克斯公式。
斯托克斯公式是19世纪中叶由物理学家斯托克斯提出的，用于计算空间中的曲线积分与面积积分。
设S是一个有边界C的有向曲面，f(x, y, z)是S中的一个向量场，f(x, y, z)={P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)}。
第五节各种积分之间的联系
是Σ在( x, y, z)处
y
的法向量的方向余弦.
o
x
解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧， 1构成封闭曲面， 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
定理. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
第五节 各种积分之间的联系
一、格林公式 二、高斯公式 三、斯托克斯公式
一、格林公式
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
格林公式
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一阶连
2
Dxy
R( x, y, z)dxdy 0.
3
于是 R( x, y, z)dxdy
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy,
Dxy
R z
dv
R(
x,
y
,
z
)dxdy.
P
同理
x
dv
P
(
x,
y,
z
)dydz,
Q y
dv
Q(
x,
y,
z)dzdx,
z
z Dxy z1 ( x, y)
{R[ x, y, z2( x, y)] R[ x, y, z1( x, y)]}dxdy.
第10.5节 格林、高斯、斯托克斯公式
L2 : y 2 ( x)
L4 L3
P 因为 连续, 所以由对坐标的 y o 曲线积分及二重积分的 计算法有
L1 : y 1 ( x )
a
b x
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
Pdx Pdx Pdx Pdx Pdx
D xy D xy
D xy
R( x , y, z ( x , y )) R( x , y, z ( x , y )) dxdy
2 1
z 2 : z z2 ( x , y )
dxdy
D xy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
R dz z
o
3
y
R d . z
(
P Q R )d , x y z
(10.5.4)
其中 ( x , y , z ), ( x , y , z )和 ( x , y , z )为曲面 在点( x , y , z )处的法向量关于 x轴、 y轴和 z轴的方向角 . 在定理 10.5.2中, 若 是 的整个边界曲面的内侧 , 则
1
y
L
1 0 2 xdy ydx a C 1 2 1 ( 1)dxdy a D
2
C
o
D1
x
2 2 a 2 2 . a
( D2 : x 2 y 2 a 2 )
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.5 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式
（10.5.1）
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
格林公式高斯公式斯托克斯公式
格林公式高斯公式斯托克斯公式
（原创实用版）
目录
1.引言：介绍格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
2.格林公式：详细解释格林公式的概念、公式形式和应用领域
3.高斯公式：详细解释高斯公式的概念、公式形式和应用领域
4.斯托克斯公式：详细解释斯托克斯公式的概念、公式形式和应用领域
5.结论：总结三种公式的特点和重要性
正文
在数学和物理学中，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是三种非常重要的公式。
它们各自有着独特的概念、公式形式和应用领域。
格林公式，又称为高斯公式，是向量分析中的一种重要公式。
它描述了向量场的旋度与散度之间的关系。
格林公式的公式形式为：×A = μ
^(-1) * ×(μA)，其中 A 表示向量场，μ表示磁导率。
格林公式在电磁学、流体力学等领域有着广泛的应用。
高斯公式，又称为高斯定理，是向量分析中的另一种重要公式。
它描述了向量场的散度与通过其表面积的通量之间的关系。
高斯公式的公式形式为：A = μ_0 * ×E，其中 A 表示向量场，μ_0 表示真空磁导率，E 表示电场强度。
高斯公式在电场、重力场等领域有着广泛的应用。
斯托克斯公式，又称为斯托克斯定理，是向量分析中的一种基本公式。
它描述了向量场的旋度与通过其表面积的通量之间的关系。
斯托克斯公式的公式形式为：×A = -A/t，其中 A 表示向量场，t 表示时间。
斯托克斯公式在流体力学、热力学等领域有着广泛的应用。
总之，格林公式、高斯公式和斯托克斯公式在数学和物理学中都有着
重要的地位。
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Γ
∑ 鄣ｙ 鄣ｚ
鄣ｚ 鄣ｘ
＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（２）
鄣ｘ 鄣ｙ
二元函数积分学中，格林公式描述了 ｘＯ ｙ 平面中闭域
Ｄ 上的二重积分和沿 Ｄ 的边界曲线 Ｌ 的曲线积分之间的关
系，即
乙 蓦 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＝ （鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ，
１
Ｄ 鄣ｘ 鄣ｙ
（３）
其中 Ｌ 是 Ｄ 的正向边界． 当∑是 ｘＯ ｙ 面上的平面闭区
→
→
→
→
Ｇ Ａ ＋Ａ Ｂ ＋ＢＣ ＋ＣＧ
乙 乙 ＝
Ｐｄｘ＋
Ｑ ｄｙ．
→→
→→
Ｇ Ａ ＋ＢＣ
Ａ Ｂ ＋ＣＧ
在 Ｇ Ｃ Ｄ Ｅ 面上应用格林公式（６）可得
（８）
蓦 乙 （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ＝
Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ
Ｇ ＣＤ Ｅ 鄣ｙ 鄣ｚ
→→→→
Ｇ Ｃ ＋ＣＤ ＋Ｄ Ｅ ＋ＥＧ
乙 乙 ＝
Ｑ ｄｙ＋
Ｒ ｄｚ．
示，不失一般性，设 △∑为三个和坐标平面平行的面 Ｇ Ａ Ｂ Ｃ 、
Ｇ Ｃ Ｄ Ｅ 和 Ｇ Ｅ ＦＡ 之和，其正侧如图所示，则其边界有向闭曲
线为Ａ乙Ｂ Ｃ乙 Ｄ Ｅ Ｆ乙Ａ ．在 Ｇ Ａ Ｂ Ｃ 面上应用格林公式（３）可得
蓦 乙 （鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｄｘｄｙ＝
Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ
Ｇ Ａ ＢＣ 鄣ｘ 鄣ｙ
在文献［２］中，我们从对坐标的曲面积分的物理意义即 流体流量问题出发，推测出了高斯公式，类似可以从对坐标 的曲线积分的物理意义即变力沿曲线做功问题推测出斯托 克斯公式． 本文结合矢量分析中有关场论的内容，对斯托 克斯公式进一步系统分析，指出其和格林公式建立在矢量 场基础之上的形式上的统一性，并且应用格林公式，给出斯 托克斯公式的不同于［２］的又一推证方法． 本文旨在对多角 度描述斯托克斯公式做一尝试． 2 斯托克斯公式和格林公式的统一
蓐 蓦 Ａ軑·τ軆ｄｌ＝ ｒｏｔＡ軑·ｎ軋ｄｓ，
（１）
Γ
∑
其中τ軆为 Γ 的单位切向量，ｎ軋为∑的单位法向量，
ｒｏｔＡ軑＝（鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）軆ｉ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）軆ｊ＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋 鄣ｙ 鄣ｚ 鄣ｚ 鄣ｘ 鄣ｘ 鄣ｙ
为矢量场Ａ軑的旋度．（１）式的坐标形式为
蓐 蓦 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ
摘 要：本文首先利用矢量分析方法, 给出斯托克斯公式和格林公式建立在矢量场之上的形式上的统一性. 然后，应用 格林公式，给出斯托克斯公式的推证方法.旨在促进对斯托克斯公式的理解和运用，展现数学知识之间的联系，提供分析问题 的合理方法.
关键词：斯 托 克 斯 公 式 ；格 林 公 式 ；矢 量 分 析 中图分类号：Ｏ １７２．２ 文献标识码：A 文章编号：1673- 260X（2012）08- 0001- 02
Ｌ
Ｌ
Ｌ
（５）
τ軆 为 Ｌ 的单位切向量．结合（２）、（３）、（４）和（５）易得格林
公式的矢量形式也是（１）式．
本部分最后，给出闭域 Ｄ 分别在 ｙＯ ｚ 平面和 ｘＯ ｚ 平面
上时的格林公式如下
蓐 蓦 Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）ｄｙｄｚ，
Ｌ
Ｄ 鄣ｙ 鄣ｚ
（６）
蓐 蓦 Ｐｄｘ＋Ｒ ｄｚ＝ （鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ．
1 引言 斯托克斯（Ｓｔｏｋｅｓ）公式是格林（Ｇ ｒｅｅｎ）公式的推广，该公
式把空间曲面上的曲面积分与其边界闭曲线上的曲线积分 联系起来，对进行曲面积分和曲线积分的简化计算的重要 性是毋容置疑的．全面、深刻地理解斯托克斯公式，无疑对于 熟练掌握和灵活运用它是至关重要的．
多数教科书中，对斯托克斯公式采用传统严密的内容 安排模式—首先陈述公式成立的条件及公式本身，然后给 出证明，最后辅以例题展示公式的应用，其证明方法是将曲 面积分转化为投影平面上的二重积分，然后应用格林公式 将二重积分转换为曲线积分［１］．笔者在多年的教学中发现，斯 托克斯公式对大多初学者来说是一个难点．因而，如何多角 度描述斯托克斯公式，以促进对公式本身的理解和运用，展 现数学知识之间的联系，提供分析问题的合理方法，是一个 值得探讨的问题．
域时，斯托克斯公式就变成格林公式，所以格林公式是斯托
克斯公式的特殊情况［１］．这启示我们将这两个公式从形式上
统一起来．
设三维空间向量场是由Ａ軑（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）軆ｉ＋Ｑ （ｘ，ｙ，ｚ）軆ｊ给出
基 金 项 目 ：中 国 矿 业 大 学 (北 京 )课 程 建 设 与 教 改 项 目 (K100701)
－１－
的特殊的平面向量场，由于 Ｒ （ｘ，ｙ，ｚ）＝０，所以，
ｒｏｔＡ軑＝（鄣Ｒ － 鄣Ｑ ）軆ｉ＋（鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）軆ｊ＋（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋 鄣ｙ 鄣ｚ 鄣ｚ 鄣ｘ 鄣ｘ 鄣ｙ
＝（鄣Ｑ － 鄣Ｐ ）ｋ軋， 鄣ｘ 鄣ｙ
又注意到此时
（４）
蓐 蓐 蓐 Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＝ Ｐｄｘ＋Ｑ ｄｙ＋Ｒ ｄｚ＝ Ａ軑·τ軆ｄｌ，
Ｌ
Ｄ 鄣ｚ 鄣ｘ
（７）
3 斯托克斯公式的推证
鉴于格林公式是斯托克斯公式的特殊情况及两者在矢
量形式上的统一性，又注意到曲线积分关于路径及曲面积
分关于曲面的可加性，在本部分，我们用格林公式推测斯托
克斯公式．
由于（２）式右端的积分值和曲面微元的形状无关，将曲
面∑分割成若干（很多）个微小的曲面，记为 △∑，如图 １ 所
第 28 卷 第 8 期（下） 2012 年 8 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Journal of Chifeng University（Natural Science Edition）
Vol. 28 No. 8 Aug. 2012
从格林公式到斯托克斯公式
苏新卫
（中国矿业大学（北京）理学院 数学系，北京 100083）
→→
→→
Ｇ Ｃ ＋Ｄ Ｅ
ＣＤ ＋ＥＧ
在 Ｇ Ｅ ＦＡ 面上应用格林公式（７）可得
（９）
蓦 乙 （鄣Ｐ － 鄣Ｒ ）ｄｘｄｚ＝
Ｐｄｘ＋Ｒ ｄｚ
Ｇ ＥＦＡ 鄣ｚ 鄣ｘ
设三维空间向量场由Ａ軑（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）軆ｉ＋Ｑ （ｘ，ｙ，ｚ）軆ｊ＋Ｒ （ｘ，ｙ，ｚ）
ｋ軋给出，Γ 是场中分段光滑的有向闭曲线，∑是场中以 Γ 为边 界的分片光滑的有向曲面，∑的正侧与 Γ 的正向符合右手 规则，Ｐ、Ｑ 、Ｒ 在包含∑的闭域内具有一阶连续偏导数．在 《矢量分析与场论》［３］中，斯托克斯公式有如下的矢量形式