斯托克斯定理
10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
第十章第节斯托克斯公式资料讲解
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
斯托克斯公式
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx y z
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z 空间有向曲线
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
斯托克斯公式
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
根椐格林公式
Dxy
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理证明
斯托克斯定理是一个非常基础且重要的数学定理，它描述了向量
场的环量与曲面积分之间的关系。
经过几百年的研究，许多大师们总
结出了斯托克斯定理的详细证明过程。
斯托克斯定理的证明涉及到大量的向量和微积分知识，具体步骤
如下：
首先，要证明斯托克斯定理，需要建立一个三维空间内的空间曲
线积分公式。
这个公式表明，如果一个向量场在某一段曲线上的积分
被求出，那么这个向量场在曲线所包围的曲面上的面积也能够被计算
出来。
其次，需要对这个空间曲线积分公式进行求导得到对应的曲面积
分公式。
在这一步骤中，需要使用到向量分析中的散度和旋度的概念。
最后，可以将曲面积分公式简化为斯托克斯定理的形式。
斯托克
斯定理表示，如果一个向量场在曲面的边界上的曲线积分被求出，那
么这个向量场在该曲面上的环量也能够被计算出来。
总之，斯托克斯定理证明非常复杂，需要理解和掌握大量的向量
和微积分知识。
但是，斯托克斯定理对于理解向量场的物理现象和建
立数学模型都具有十分重要的作用。
10.7 斯托克斯(Stokes)公式与旋度
4 2
2
j 4 xyz k
( 3 xz )
2
（2） div ( rot F )
(2 z 2 x y ) x
y
( 4 xyz ) z
4 xy 0 4 xy 0
3 斯托克斯公式的向量形式
F ( x , y , z ) dl
C
rot F n
[( y
R
Q z
)i (
P z
R x
)j(
) k ] n dS
0
( y
R
Q z
) dydz (
P z
R x
) dzdx (
P y
) dxdy
例1 求 C
z dx x dy y dz ,
2 3 2
其中 C 是曲面z x 2 y 2
z
1
解 原式
n
1
i x 2y z
1 3
j y x z
k z y x
n dS
0
C
o
1
y
x
{ 2 , 2 , 1} {
1 3
,
1 3
,
} dS
3 dS
3 2
二 旋度（rotation）
1 环量
定义1 设 F ( x , y , z ) { P , Q , R } 是空间中一向量场，
0
dS
(1 cos 2 t ) dt (1 2 cos 2 t cos
斯托克斯公式推导过程
斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。
下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。
2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。
令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。
3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。
在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。
4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。
由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。
因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。
5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。
6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。
即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式解释
斯托克斯公式是矢量微积分中的重要定理，用于计算曲线和曲面之间的场量的积分关系。
该公式是由英国数学家乔治·斯托克斯在19世纪提出的。
斯托克斯公式描述了曲面上的环量与该曲面边界上的场量的积分之间的关系。
换句话说，该公式将曲面上的积分转化为曲线上的积分。
这个定理对于解决许多与电磁学、流体力学和量子力学等领域有关的问题非常有用。
斯托克斯公式的数学表达式如下：
∮_C F⋅dr = ∬_S (curl F)⋅dS
在这个公式中，C代表曲线的边界，F代表一个矢量场，r代表曲线上的位置向量。
S代表曲线所包围的曲面，curl F代表F的旋度，dS代表曲面上的面积元素。
斯托克斯公式的证明基于格林定理和高斯定理，利用了矢量微积分中的基本概念和运算规则。
它建立了曲线和曲面之间的密切联系，为研究各种物理现象提供了强大的工具。
该公式的应用非常广泛。
例如，在电磁学中，斯托克斯公式可以用来计算电场和磁场的环量，从而推导出安培定律和法拉第电磁感应定律。
在流体力学中，斯托克斯公式可以用来分析流体的旋转和涡量分布。
而在量子力学中，斯托克斯公式被用于描述波函数的环绕性质和自旋。
总之，斯托克斯公式是一条非常重要的定理，它揭示了曲线和曲面之间的积分关系。
通过运用斯托克斯公式，我们可以更好地理解和分析各种物理现象，并在科学研究和工程应用中提供准确的计算方法。
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式中
(r) 1 F (r) dV
4π V r r
A(r) 1 F (r)dV
4π V r r
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与 一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的 首要问题。
8. 正交曲面坐标系
z
直角(x, y , z)
式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
divA Ax Ay Az x y z
因此散度可用算符 表示为
divA A
高斯定理
3. 矢量场的环量与旋度 环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲
线的环量，以 表示，即
l A dl
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方
向保持一致，则环量 > 0；若处处相反，则 < 0 。可见，环量
可以用来描述矢量场的旋涡特性。
此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者 说，任何梯度场一定是无旋场。
5. 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以证明该两个标量场
S ,
V
及 满足下列等式
en
V (
2 )dV
S
n
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V ( 2 )dV S ( ) dS
上两式称为标量第一格林定理。
基于上式还可获得下列两式：
(2 2 )dV V
S
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称 为矢量第一格林定理。
基于上式还可获得下式：
V [Q ( P)
P
( Q]dV
[P Q
S
Q
P ] dS
此式称为矢量第二格林定理。
无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题。
Δl P
P
例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
l P
(P) (P)
lim
l P Δl0
Δl
梯度:标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方 向为该点具有最大方向导数的方向。可见，梯度是一个矢量。
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
V divA dV S A dS
或者写为
V Ad V S A dS
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，
根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
x
0
y 式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理 表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。
7. 亥姆霍兹定理
若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连 续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度 给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
F(r) (r) A(r)
x=x0
ex
O
z=z0
ez ey
P0
y=y0
y
x
=0 r=r0
x
z
0
er
P0
e
O e
0
=0
y
z
圆柱(r, , z)
球(r, , )
z = z 0 已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标
ez
e P0
系中可分别表示为
r = r0
er
O
=0
A aer be cez A aer be ce
此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
6. 矢量场的唯一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场 量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟 一地确定。
4. 无散场和无旋场
散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的 矢量场称为无旋场。
两个重要公式：
( A) 0
( ) 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此， 任何旋度场一定是无散场。
右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因
面 S 的通量，以标量 表示，即
S A dS
通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该 闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规 定为闭合面的外法线方向。因此，当闭合面中有源时，矢量通过该闭合 面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通 量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。
(2 2 )dV dS
V
S n
n
上两式称为标量第二格林定理。
设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数， 那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
V [( P) (Q) P Q]dV S P QdS
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。
若引入算符，它在直角坐标系中可表示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可表示为
grad
2. 矢量场的通量与散度
通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲
通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源
的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
第一章 矢量分析
主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理
1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
1. 标量场的方向导数与梯度 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上的变化率。 l
旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋度，则其 方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对 该矢量方向的最大环量强度，即
Adl
rotA
en
lim
ΔS 0
l
max
ΔS
式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写，en 为最大环量强度的方向上 的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋 度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。
由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的
环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 0 的乘
积。即
l B dl 0 I
式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量 可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲 线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究 矢量场的旋度。
直角坐标系中旋度可用矩阵表示为
ex ey ez rotA
x y z Ax Ay Az
或用算符 表示为 rotA A
应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某 点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯 度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是 可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯 度、散度或旋度。
斯托克斯定理
S (rotA) dS l Adl
或者写为
S ( A) dS l A dl
同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积 分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果 已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反 之亦然。
由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等
于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 0 之比，即，
E dS q
S
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电
荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通
量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的