斯托克斯公式的应用
§1-5斯托克斯定律及其应用
§1-5 斯托克斯定律及其应用
z离心分离可以提纯线粒体、染色体、溶酶体以及一些病 毒等亚细胞物质，还可以用超速离心法分离脱氧核糖核酸 等生物大分子。离心分离法已成为生物科学研究的重要手 段。
离心分离：利用高速离心的方法使物质分离的方法
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
图1—14是离心机的原理图，图中O为转轴，B、C为离心
可以写成 G=F+f，
4 πr 3 ρg
3
=
4 πr 3 ρ ' g
3
+
6πηrvt
由此得到
η = 2(ρ − ρ / )gr 2
9vt
（1-20）
通过对vt、r、ρ、ρ/各量的测量，就可以算出粘滞流体 的粘滞系数η。若已知粘滞系数η，根据（1-20）则可测
出小球体的半径。1911年，著名的密里根油滴实验就是用
这一公式测出了油滴的半径，从而求出电子的电荷。这种
方法还可用来做土壤的颗粒分析。
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
密立根
Millikan,RobertAndrews（1868～1953 年）美国物理学家。1910～1917年，应用 带电油滴在电场和重力场中运动的方法， 精确测定单个电子的荷电量，从而确定了 电荷的不连续性这就是著名的密立根油滴 实验。1916年曾验证爱因斯坦的光电效应 公式，并测定普朗克常数。在宇宙射线方 面也做了一些工作。
加速度 ω 2 x 是重力加速度g的几
十万倍，这时重力的作用完全可
以忽略。
C O
x
粒子 ω
图1—14离心机原理图
第一章 流体的运动
§1-5 斯托克斯定律及其应用
斯托克斯定理(流体)：球体在黏性流体中运动的阻力公式
斯托克斯定理（流体）：球体在黏性流体中运动的阻力公式一、引言斯托克斯定理是物理学中关于流体力学的重要定理之一。
它描述了一个球体在黏性流体中运动时所受到的阻力的公式。
本文将介绍斯托克斯定理的基本原理和推导过程，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。
二、斯托克斯定理的基本原理斯托克斯定理是19世纪早期英国物理学家乔治·斯托克斯提出的。
它基于流体力学的基本方程，通过对流体的流动进行数学建模，进而推导出了球体在黏性流体中运动时所受到的阻力公式。
在黏性流体中，流体的流动可以用流体速度场来描述。
设流体速度场为V(r)，其中r为流体中的一个点。
根据流体力学的基本方程，可以得到流体中的速度场满足的方程为：∇·V = 0其中∇为梯度算子。
对于一个运动中的物体，其速度场可由以下公式给出：V(r) = V0 + ω×r其中V0为物体的整体运动速度，ω为物体的角速度，r为物体上的一个点。
接下来，我们考虑一个球体在黏性流体中的运动。
假设球体的半径为R，球心处的速度为V0，球体的角速度为ω。
我们可以将球体分解为无限多个微小的体积元素，每个体积元素的体积为dV。
根据斯托克斯定理，球体所受到的阻力可以通过对每个体积元素的贡献进行累加来得到。
由于流体的黏性，流体中的每个体积元素都会对周围的流体产生粘接力。
粘接力的大小与体积元素的速度梯度成正比。
根据流体力学的基本方程和牛顿第二定律，可以推导出球体所受到的阻力为：F = 6πηRV0其中F为球体所受到的阻力，η为流体的黏性系数，R为球体的半径，V0为球体的速度。
三、斯托克斯定理的应用斯托克斯定理在流体力学的研究中具有广泛的应用。
它可以用于解释流体中物体的运动特性，从而帮助科学家和工程师进行流体力学相关问题的分析和设计。
例如，在船舶设计中，斯托克斯定理可以用来计算船体在水流中的阻力，从而帮助设计师优化船体的形状和尺寸，提高船体的运动性能。
同样，在飞机设计中，斯托克斯定理可以应用于计算飞机在空气中的阻力，从而优化飞机的气动外形，提升飞机的飞行效率。
10-7斯托克斯公式 环流量和旋度
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式的使用条件:
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
斯托克斯公式:
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．
设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则
称为斯托克斯公式。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
stockes公式
stockes公式斯托克斯公式（Stokes' theorem）是向量分析中的重要定理，其在流体力学、电磁学、机械等领域具有广泛应用。
它是高斯定理的推广形式，用于描述一个封闭曲面上的向量场与曲面的边界曲线上的向量场之间的关系。
斯托克斯公式可以通过从微积分和向量微积分的角度进行解释，本文将从数学的角度出发来详细介绍斯托克斯公式。
在数学中，斯托克斯公式是一个用于计算曲面上的向量场的环绕曲线的环量的公式。
设有一个光滑曲面S，边界为曲线C，以及一个向量场F，斯托克斯公式可以写作如下形式：∮C F·dr = ∬S (curl F)·dS其中，C为曲线C的参数方程，r为路径C上的参数，dr为路径的微小位移，F为一个三维向量场，S为曲面S的参数方程，dS为曲面元素的面积，curl F为向量场F的旋度。
在应用斯托克斯公式进行实际计算时，常常需要用到curl F的分量表示。
设向量场F=<P,Q,R>，则向量场F的旋度为：curl F = ∇ × F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∇是nabla算子（也叫向量微分算子），∂/∂x表示对x求偏导数。
斯托克斯公式是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）于19世纪中叶提出的，它的重要性在于它将微积分中的定积分扩展到了曲面的积分，从而可以描述旋量的环量。
斯托克斯公式是高斯定理的推广形式，可以看作是高斯定理的向量形式。
斯托克斯公式在流体力学中的应用非常广泛，特别是在描述旋涡和流线的关系方面起到了重要作用。
在电磁学中，斯托克斯公式被广泛应用于计算电场和磁场的闭合曲线上的环量，从而可以推导出安培定理和法拉第电磁感应定律。
此外，斯托克斯公式还在工程力学、热力学和机械等领域也有着重要的应用。
总而言之，斯托克斯公式是向量分析中的一项核心定理，可以用于描述封闭曲面上的向量场与边界曲线上的向量场之间的关系。
问题讨论 斯托克斯公式的应用 - 网上联合知识导航站
解: 奶油油滴在牛奶中上升时, 克服重力
G=
4 3
Πr3 Θg
和阻力 f
=
6ΠΓrv
的作用,
最后奶
可被忽略, 这时, 阻力可视为只有前一种 1 半
径为 r 的球形物体, 在粘滞系数为 Γ 的流体
中, 以速度 v 运动时, 所受阻力为:
f = 6ΠΓrv …………………………… (1)
这就是斯托克斯公式 1
2 斯托克斯公式的应用实例
例 1, 有一半径为 r, 密度为 Θ的小球, 在
密度为 Θ’(Θ’< Θ)、粘滞系数为 Γ 的静止流
体中下落, 若所受阻力遵从斯托克斯公式, 试
求小球的最大速度 1
解: 最初小球在重力
G=
4 3
Πr3Θg
和浮力
F=
4 3
Πr3Θ’g
的作用下加速
下落, 速度逐渐增加, 阻
力按式 (1) 逐渐增大, 直
油油滴所受的浮力 F =
4 3
Πr3Θ’g
与 G、f
三者
平衡 (图 b) , 奶油匀速上升, 由平衡条件, 得:
F= G+ f
即
4 3
Πr3Θ’g =
4 3
Πr3 Θg
+
6ΠΓrv
故 v =
2= 9
(Θ’Γ
Θ) g r2
代入数据得: v = 1186×10- 7m s
利用 (2) 式, 若 r 为已知, 可测流体的粘
第 6 卷 第 4 期
中 专 物 理 教 学
V o l16 N o 14
1998 年 12 月 PH YS ICS T EA CH IN G IN TH E SECONDA R Y SPEC IAL IZED SCHOOL
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
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第6卷 第4期中 专 物 理 教 学V ol.6N o.4 1998年12月PHYSICS T EACHIN G IN T HE SECO N DA RY SPECIA L IZED SCHO O L Dec.1998问题讨论
斯托克斯公式的应用
玉 花
(内蒙古锡林浩特牧业学校 026000)
斯托克斯公式具有广泛的用途.本文就
两个具体实例来加以讨论:
1 斯托克斯公式
由于流体的粘滞性,固体在流体中运动会
受到两种阻力,一种是由于层流体附着在固体
表面,层流体和邻层流体间的内摩擦力;另一
种是为压强阻力,压强阻力的实质是尾随运动
着的固体后面的流体中,有涡旋产生.固体相
对于流体的速度小时涡旋还未形成,压强阻力
可被忽略,这时,阻力可视为只有前一种.半
径为r的球形物体,在粘滞系数为Z的流体
中,以速度v运动时,所受阻力为:
f=6πZ rv(1)
……………………………
这就是斯托克斯公式.
2 斯托克斯公式的应用实例
例1,有一半径为r,密度为d的小球,在
密度为d’(d’<d)、粘滞系数为Z的静止流
体中下落,若所受阻力遵从斯托克斯公式,试
求小球的最大速度.
解:最初小球在重力
G=4
3πr
3d g和浮力F=
4
3
πr3d’g的作用下加速
下落,速度逐渐增加,阻
力按式(1)逐渐增大,直
到三力平衡(图a)时速度达到最大,小球匀速下落.由平衡条件,得:
F+f=G
即 4
3πr 3d’g+6πZ rv0=4
3πr
3d g
故 v0=
2
9
(d-d’)
Z gr
2(2)
………………
例2,求牛奶加热使奶油分离时,奶油油
滴匀速上升的速度,已知奶油油滴直径d=
2μm,牛奶的粘滞系数Z= 1.1×10-3Pa·s,奶
油的密度为d=0.94×103kg/m3,牛奶的密度
为d’= 1.034×103kg/m3.
解:奶油油滴在牛奶中上升时,克服重力
G=
4
3
πr3d g和阻力f=6πZ rv的作用,最后奶
油油滴所受的浮力F=
4
3πr
3d’g与G、f三者
平衡(图b),奶油匀速上升,由平衡条件,得:
F=G+f
即
4
3πr
3d’g=4
3πr
3d g+6πZ rv
故 v=
2=
9
(d’-d)
Z gr
2
代入数据得:v= 1.86×10-7m/s
利用(2)式,若r为已知,可测流体的粘
滞系数Z,若Z、v、d、d’为已知,可求小球
的半径或质量,用油滴法第一次测电子电量,
就是用这个方法测油滴质量的.
收稿日期:1998-08-19
谈谈“放大镜”的教学
苏振和
(江苏南京市江宁县职教中心 211100)
放大镜角放大率定义为:
M=
T
T0
d
f
(如图1)
·
19
·。