斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
10.Stokes 公式
u( x , y , z ) = ∫
x
( x , y ,z )
( x 0 , y0 , z 0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y
z M
M0
u( x , y , z ) = ∫ P ( x , y0 , z0 )dx + ∫ Q( x , y , z0 )dy
x0
+ ∫ R( x , y , z )dz
其中n = {cosα , cos β , cos γ }
Stokes公式的实质: Stokes公式的实质: 公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系. 上的曲线积分之间的关系.
(当∑是 xoy 面的平面闭区域时) 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
二,简单的应用
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
..
故有结论成立. 故有结论成立
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∫∫ x y z = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R 另一种形式
cos α cos β cos γ ∫∫ x y z ds = ∫Γ Pdx + Qdy + Rdz ∑ P Q R
应用上述定理, 应用上述定理,并仿照以前的证明方法可得到
定理
是空间一维单连域, 设 G 是空间一维单连域, P , Q , R 在 G 内具有 连续的一阶偏导数, 连续的一阶偏导数,则 Pdx + Qdy + Rdz 在 G 内是某一函数 u( x , y , z )的全微分的充要条件 P Q Q R R P , , = = = 在 G 内恒成立 y x z y x z
圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围是
圆球的斯托克斯阻力公式是描述圆球在流体中受到的阻力的公式，它可用于计算小尺寸球体在低雷诺数流体中的阻力。
本文将从多个角度探讨圆球的斯托克斯阻力公式的适用范围，以便更好地理解和应用这一公式。
一、斯托克斯阻力公式的基本原理斯托克斯阻力是指当圆球在流体中做匀速直线运动时所受到的阻力。
根据斯托克斯定律，圆球所受阻力与其半径、流体粘度和速度有关。
斯托克斯阻力公式可以用数学形式表示为：\[F = 6\pi \eta rv\]其中，F为圆球所受阻力，η为流体的粘度，r为球的半径，v为球的速度。
根据该公式可以看出，当球的半径较小，速度较慢，流体粘度较大时，斯托克斯阻力对球的影响较大。
二、适用范围斯托克斯阻力公式适用于小尺寸的圆球在低雷诺数流体中的阻力计算。
具体而言，斯托克斯阻力公式适用于以下情况：1. 小尺寸圆球：当圆球的半径很小，通常小于0.1mm时，斯托克斯阻力公式适用。
因为在这种情况下，球的速度较慢，流体粘度对阻力的影响较大，可以忽略惯性力。
2. 低雷诺数流体：斯托克斯阻力公式适用于雷诺数很小的流体中，通常小于1。
在低雷诺数下，惯性力相对较小，流体作用于球体的粘滞力起主导作用，因此斯托克斯阻力公式适用。
三、适用范围的限制然而，斯托克斯阻力公式也存在一定的适用范围限制。
在以下情况下，斯托克斯阻力公式可能不适用：1. 大尺寸圆球：当圆球的半径较大时，斯托克斯阻力公式不再适用。
因为此时球的速度可能较快，惯性力不可忽略，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力的影响。
2. 高雷诺数流体：斯托克斯阻力公式不适用于雷诺数较大的流体中。
在高雷诺数下，惯性力将影响流体的运动状态，而斯托克斯阻力公式忽略了惯性力对阻力的影响。
3. 非牛顿流体：斯托克斯阻力公式不适用于非牛顿流体。
在非牛顿流体中，流体粘度随剪切速率的变化，斯托克斯阻力公式中假设流体粘度为常数的条件不成立。
四、如何判断是否适用斯托克斯阻力公式在实际应用中，若需要判断斯托克斯阻力公式是否适用，可以按照以下步骤进行：1. 计算雷诺数：首先计算流体中的圆球的雷诺数，若雷诺数小于1，则可初步判断斯托克斯阻力公式可能适用。
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
第十章 Stokes 公式
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式
高考数学知识点解析斯托克斯公式与格林公式高考数学知识点解析：斯托克斯公式与格林公式在高考数学的众多知识点中，斯托克斯公式与格林公式是较为复杂但又十分重要的内容。
理解和掌握这两个公式，对于解决一些涉及曲线积分和曲面积分的问题具有关键作用。
首先，我们来认识一下格林公式。
格林公式建立了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的曲线积分之间的关系。
如果我们有一个闭区域 D 及其边界曲线 L，函数 P(x,y) 和 Q(x,y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，那么格林公式可以表示为：∮L Pdx ＋ Qdy ＝∬D （∂Q/∂x∂P/∂y)dxdy 。
为了更好地理解格林公式，我们来看一个简单的例子。
假设有一个平面区域是由一个半径为 r 的圆所围成的，我们要计算沿这个圆边界的曲线积分。
如果我们设P(x,y) ＝y ，Q(x,y) ＝x ，那么根据格林公式，曲线积分就可以转化为对这个圆区域的二重积分。
通过计算这个二重积分，就能得到曲线积分的结果。
那么，格林公式有什么用呢？它可以帮助我们简化曲线积分的计算。
有时候，直接计算曲线积分可能会比较困难，但通过格林公式将其转化为二重积分，可能会让计算变得更加简便。
接下来，我们再来看斯托克斯公式。
斯托克斯公式是格林公式在三维空间中的推广。
它建立了空间曲面上的曲面积分与沿着曲面边界的曲线积分之间的关系。
如果有一个有向曲面 S ，其边界曲线为Γ ，函数 P(x,y,z) 、Q(x,y,z) 和 R(x,y,z) 具有一阶连续偏导数，那么斯托克斯公式可以表示为：∮Γ Pdx ＋ Qdy ＋ Rdz ＝∬S （curlF)·ndS ，其中curlF 表示向量场 F ＝（P, Q, R) 的旋度，n 是曲面 S 的法向量。
同样，通过一个例子来帮助理解斯托克斯公式。
假设我们有一个半球面，要计算沿其边界圆的曲线积分。
运用斯托克斯公式，将曲线积分转化为对半球面的曲面积分，然后通过计算曲面积分来得到曲线积分的结果。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯公式的使用条件:
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。
斯托克斯公式:
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。
设是具有边界曲线的有向曲面，的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线称为有向曲面的正向边界曲线．
设为空间的一条分段光滑的有向曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手法则．函数在曲面(连同边界)上具有连续的一阶偏导数，则
称为斯托克斯公式。
第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a
C
[(1
b) a
y
b]dx
[b
(1
b) a
x]dy
D
2(1
b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2
x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2
y2 a2
1
dydz dydz ab （椭圆面积）
D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2
Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
斯托克斯公式的使用条件
条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时
斯托克斯公式建立了沿曲面S 的曲面积分内与沿S的边界曲线L 的曲线积分之间容的联系.
对曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下规定：设人站在曲面S 上的指定一侧，沿边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。
扩展资料
纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用
纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。
在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。
由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。
例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。