斯托克斯定理(20200919185134)
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
斯托克斯公式
三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性
斯托克斯定理
斯托克斯定理斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是矢量分析中经典的定理之一，它将曲面积分与闭合曲线积分联系起来，是高等数学中微分形式和外微分运算的重要应用之一。
斯托克斯定理在物理学、工程学和应用数学中有广泛的应用。
斯托克斯定理由苏格兰数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）于1854年提出，它建立了一个曲面与其边界线的关系。
斯托克斯定理的数学表述如下：设曲面S是一个光滑的有界曲面，其边界线为闭合曲线C，若F为一个光滑的向量场，则有以下等式成立：∬SrotF·dS = ∮C F·dr其中，rotF表示F的旋度，dS表示曲面S上小面元的面积，dr 表示C上小线段的长度元。
此式表明了曲面S上向量场F的旋度与该向量场沿曲线C的环路积分之间的关系。
斯托克斯定理的几何意义可以理解为：向量场在某个有边界的曲面上的旋度，与该向量场沿边界曲线的环路积分之间有一种平衡关系。
这种平衡关系可以用数学符号来表示，而斯托克斯定理就是这种关系的数学表达。
斯托克斯定理的应用非常广泛，可以用来求解许多具体问题。
例如，在电磁学中，斯托克斯定理可以将电流通过闭合曲面的总数转换为磁场穿过该曲面的通量，从而简化了计算的过程。
在流体力学中，斯托克斯定理可以用来研究旋转流体的流动速度和压强分布等问题。
在天体物理学中，斯托克斯定理可以用来分析星系的演化过程和宇宙的结构等。
斯托克斯定理的证明可以通过对曲面S进行分割，将其分割成无数个小面元，然后分别对每个小面元进行积分，最后将这些小面元的贡献相加即可。
证明过程相对复杂，需要运用到高等数学中的很多概念和技巧。
证明过程中，可以使用换元法、极限法、矢量代数等多种方法来推导。
斯托克斯定理在矢量分析和微分形式的研究中起着关键的作用，它不仅能够将曲面积分和闭合曲线积分联系起来，还可以将二维问题推广到三维空间中。
通过斯托克斯定理，我们可以更加深入地理解矢量场的性质和特点，并且可以将矢量场的问题转化为边界上积分问题，使得计算更加简洁、方便。
斯托克斯定理
目录
CONTENTS
• 斯托克斯定理的概述 • 斯托克斯定理的证明 • 斯托克斯定理的影响 • 斯托克斯定理的实际应用 • 斯托克斯定理的推广和展望 • 参考文献
01 斯托克斯定理的概述
定理的背景
流体力学的发展
斯托克斯定理是流体力学领域的一个重要定理， 它的提出和发展与流体力学的研究密切相关。
推动实验研究
斯托克斯定理的发现，激发了人们对 粘性流体运动规律的实验研究，推动 了流体力学实验技术的发展。
对工程学的影响
优化流体机械设计
斯托克斯定理在流体机械设计中具有 重要应用，帮助工程师更好地理解流 体机械内部流体的运动规律，优化了 流体机械的设计。
提高工程安全
通过对斯托克斯定理的应用，工程师 可以更加准确地预测流体机械的运行 状态，提高了工程的安全性。
描述流体运动规律
斯托克斯定理在流体力学中应用广泛，用于描述粘性流体在重力作用下的运动规律，如 泥石流、河流流动等。
预测流体行为
通过斯托克斯定理，可以预测流体在管道、渠道、容器等不同形状和边界条件下的流动 状态，为流体工程设计和优化提供依据。
优化流体机械性能
在流体机械中，如泵、涡轮机等，斯托克斯定理用于分析流体机械内部流体的运动规律， 优化机械性能和提高效率。
生物医学领域
在生物医学研究中，斯托克斯定理用于描述细胞和微生物在流体中 的运动行为，有助于了解生物体内的生理和病理过程。
02 斯托克斯定理的证明
证明的思路
01
引入辅助线
为了证明斯托克斯定理，需要引 入一些辅助线，这些辅助线可以 帮助简化证明过程。
02
03
利用向量运算
证明等式
斯托克斯定理涉及到向量运算， 通过向量运算可以推导出定理的 结论。
斯托克斯公式简析
斯托克斯公式简析斯托克斯公式是微积分中的一个重要定理，它在数学分析及其应用中扮演着不可或缺的角色。
该公式不仅在数学理论中占有核心地位，还在物理学、工程学等多种科学领域中广泛应用。
在深入了解斯托克斯公式之前，我们需要回顾一些相关的基本概念。
一、背景知识向量场与标量场在微积分中，我们讨论两类重要的场：向量场和标量场。
向量场是指在空间中的每一个点都对应一个向量，常用于描述物理现象如速度场、电场等。
而标量场则是每个点对应一个数值，例如温度、压力等。
曲线积分与曲面积分曲线积分是一种沿着曲线计算的积分，常用于求某一方向的总量。
而曲面积分则是在一个曲面上计算的积分，通常用来计算流过某个曲面的总量。
这两者是斯托克斯公式建立的基础。
常见的微分形式在理解斯托克斯公式之前，了解微分形式尤为重要。
简而言之，微分形式可以视为一种推广的函数，用于描述更复杂的流动和饱和度。
二、斯托克斯公式的内容斯托克斯公式提供了一种连接曲线积分与曲面积分之间关系的重要工具。
其数学表达式如下：[ _C d = _S () d ]其中：(C) 是一条光滑的封闭曲线；(S) 是被曲线 (C) 所围成的一片光滑表面；() 是定义在某个区域内的光滑向量场；(d) 是沿着曲线 (C) 的微小位移；(d) 是沿着表面 (S) 的微小面积元素；() 表示向量场 () 的旋度。
这个公式表明，一个向量场沿着曲线的环路积分等于该向量场在被曲线围成的表面上的旋度的面积积分。
三、公式推导为了更深入理解斯托克斯公式，我们可以从基本概念出发进行推导。
首先来看两个重要的概念：旋度和散度。
旋度是描述一个向量场局部旋转趋势的量，而散度则反映了一个点源或汇聚程度。
我们可以通过以下步骤来推导斯托克斯公式：选择适当的小区域将封闭曲线 (C) 划分为许多个小段，并将相应的小面积 (S) 划分成多个微小部分。
这样我们就可以利用局部性来看待问题。
应用格林定理在平面上，格林定理给出了平面区域和它外围边界之间的关系。
Stocks公式
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分.
则
z
n
1 n {1,1,1} 3
o
y
x
高等数学（下）
1 即 cos cos cos , 3
1 1 1 3 3 3 ds x y z 2 2 2 2 2 2 y z z x x y
故有结论成立.
高等数学（下）
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
另一种形式
其中n {cos , cos , cos }
高等数学（下）
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
x
即有
3 zdx xdy ydz 2
高等数学（下）
例 2 计算曲线积分
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
解
取∑：x＋y＋z ＝ 1，上侧
stokes 定律
stokes 定律Stokes定律是描述物体在粘性流体中受到阻力的现象的物理定律。
该定律由爱尔兰物理学家喬治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）在19世纪提出，并被广泛应用于流体力学、物理学和工程学中的许多领域。
Stokes定律可以用来计算细小颗粒在粘性流体中的终端速度、阻力力和沉降速度。
斯托克斯定律是基于牛顿第二定律和粘性流体力学的基本原理推导而来的。
根据斯托克斯定律，当一个小球体以低速在粘性流体中运动时，粘性阻力的大小与小球体直径、流体粘度和小球体在流体中的速度有关。
斯托克斯定律的数学表达式如下：F = 6πηrv其中，F是小球受到的阻力力，η是流体的粘度，r是小球的半径，v是小球在流体中的速度。
该公式说明了阻力力和速度成正比，半径的平方成正比，而粘度是反比的。
Stokes定律的应用非常广泛。
在生物领域中，它可以用于计算细胞、微生物和蛋白质在体内或培养基中的运动行为。
例如，通过测量细胞在流体中沉降的速度，可以推导出细胞的大小和形状。
在药物研发中，斯托克斯定律也被用于计算药物微粒在注射液中的沉降速度，以便优化药物输送系统。
在工程学中，斯托克斯定律常常用于设计流体阻力实验和流场模拟。
根据斯托克斯定律，可以计算出在给定流速下，圆柱体或球体受到的阻力大小，以及此阻力对流动的影响。
这对于设计管道、船舶和空气动力学航空器等流体力学设备和系统至关重要。
此外，斯托克斯定律还被用于研究颗粒输运、颗粒沉降和空气净化等领域。
在环境科学中，斯托克斯定律可以用来计算大气颗粒在空气中移动的速度，从而评估空气中的污染物扩散过程。
在沉降池和污水处理系统中，斯托克斯定律可用于估算悬浮颗粒的沉降速度，以此来改善水处理过程。
综上所述，Stokes定律是研究物体在粘性流体中受到阻力的重要定律。
它在流体力学、物理学和工程学中都有广泛的应用，用于计算粒子的终端速度、阻力力和沉降速度。
Stokes定律的应用领域包括生物学、医学、工程学和环境科学等，为这些领域的研究和实践提供了基础。
斯托克斯公式的使用条件
斯托克斯定理:斯托克斯定理（英文：Stokes' theorem）是微分几何中关于微分形式的积分的一个命题，它一般化了向量微积分的几个定理，以斯托克斯爵士命名。
当封闭周线内有涡束时，则沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的涡通量之和，这就是斯托克斯定理。
斯托克斯定理表明，沿封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为周界的任意曲面的涡通量。
斯托克斯粘滞公式:斯托克斯公式具有广泛的用途．本文就两个具体实例来加以讨论：1斯托克斯公式由于流体的粘滞性，固体在流体中运动会受到两种阻力，一种是由于层流体附着在固体表面，层流体和邻层流体间的内摩擦力；另一种是为压强阻力，压强阻力的实质是尾随运动着的固体后面的流体中，有涡旋产生．固体相对于流体的速度小时涡旋还未形成，压强阻力可被忽略，这时，阻力可视为只有前一种．公式应用条件：层流液体，无限宽广无限深度，物理下沉速度稳定时较小，雷诺数Re<0.1中文名称：斯托克斯粘滞公式英文名称：Stokes viscocity formula定义及摘要：斯托克斯粘滞公式斯托克斯公式（数学公式）:斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程（英文名：Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
粘性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。
Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。
Saint-Venant在1845年，Stokes在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。