不等式的基本性质1(1)
3.1不等式的基本性质(1)(人教A版选修4-5)
用数学式子表示为:
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺 序，而右边部分则是实数的运算性质，合起来 就成为实数的大小顺序与运算性质之间的关系。 这一性质不仅可以用来比较两个实数的大小， 而且是推导不等式的性质、不等式的证明、解 不等式的主要依据。
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 > 2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 • 求差比较大小 若 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
2.
0
基本理论
Ｘ
• 1.实数在数轴上的性质:
• 研究不等式的出发点是实数的大小关系。数 轴上的点与实数1-1对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
Ａ a a<b
Ｂ b x
Ｂ b a>b
Ａ a x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A,B,那么,当点A在点B的左边时,a<b;当点A在点B的右 边时,a>b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质
不等式的四条基本性质是数学中一种重要的概念，它是解决方程的基础，是一门数学的基本知识。
归纳一下，不等式的四条基本性质包括：转置法则、结合率、分配法则、乘法法则。
首先，不等式的转置法则表明当两个不等式之间没有任何改动时，它们保持其相等状态。
例如，对于x>y，则y<x恒成立。
其次，不等式的结合率表明将二元不等式（即只包含两个未知量的不等式）通过乘以一个正实数结合到一起，它不会改变不等式的解的乘法，即任何一个二元不等式的乘法都是它的解的结合率。
例如，若x>0，不论乘以多少正实数都会使x
的大小保持不变，最终仍然>0。
再次，不等式的分配法则表明，当将一个正实常数分别与不等式的两边相乘时，它将被均匀地分配到不等式的两边。
例如，我们如果将2x与3x分别乘以k，那么可以得到(2kx + 3kx)>0，原来的不等式不变，同时常数k也是均匀地分配到不等式的两边。
最后，不等式的乘法法则表明，当将一个变量和一个正实常数相乘时，不等式的大小状态将保持不变。
例如，当我们将一个变量x和c乘起来，x>0时，必然有cx>0，而x<0时，有cx<0，因此这条不等式的大小状态不变。
总的来说，不等式的四条基本性质是探究方程解的根基，由它们可以更进一步地求解数学方程，对学习数学解题技巧再次有所帮助。
不等式的性质(一)
不等式的性质(一）不等式是数学中常见的数值关系表达形式之一。
与等式不同，不等式是用不等于号（>、<、≥、≤）表示的数值关系。
在数学中，不等式的性质是对不等式进行理解和应用的基础。
1. 不等关系的定义不等关系是指一个数与另一个数之间的大小关系。
数学中的不等关系分为两类：•大于关系：用符号“>”表示，表示一个数大于另一个数•小于关系：用符号“<”表示，表示一个数小于另一个数2. 不等式的基本性质2.1. 传递性不等式的传递性是指若 a > b 且 b > c，那么必定有 a > c。
例如，若 2 > 1 且 1 > -1，那么必定有 2 > -1。
2.2. 对称性不等式的对称性是指若 a > b，则必定有 b < a。
例如，若 3 > 2，那么必定有 2 < 3。
2.3. 加法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时加上相同的数，不等式的关系保持不变。
例如，若 2 > 1，则对于任意的正数 x，有 2 + x > 1 + x。
2.4. 减法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时减去相同的数，不等式的关系保持不变。
例如，若 4 > 3，则对于任意的正数 x，有 4 - x > 3 - x。
2.5. 乘法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时乘以相同的正数，不等式的关系保持不变；若在两边同时乘以相同的负数，不等式的关系发生变化，即改变不等号的方向。
例如，若 2 > 1，则对于任意的正数 x，有 2x > x。
2.6. 除法性对于不等式 a > b 和 c > d，若在两边同时除以相同的正数，不等式的关系保持不变；若在两边同时除以相同的负数，不等式的关系发生变化，即改变不等号的方向。
例如，若 4 > 2，则对于任意的正数 x，有 4 / x > 2 / x。
不等式的基本性质1
• 不等式的同向相加性 （逆向相减性）
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a >b,b > c ⇒a > c
a >b,c > 0⇒ac >bc a >b,c < 0⇒ac <bc
a >b,c > d ⇒a +c >b+d a >b,c > d ⇒a −d >b−c
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• 不等式的加法性质 a >b ⇒a+c >b+c • 不等式的乘法性质
不等式的同向相加性（逆向相减性）
6
类比
a >b ⇒a+c >b+d c > d a >b ⇒a−d >b−c c > d
同向相加性
等式中
回顾
特殊值验证
取特殊值
a = b ⇒ a+c =b+d c = d
5 > 3 ⇒ 5+ 4 > 3+ 2 4 > 2 5 > 3 ⇒ 5− 2 > 3− 4 4 > 2
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不等式的基本性质 图解的世界
例题与练习1 例题与练习
7
判断下列命题是否正确，并说明理由
(1 a >b > 0⇒a2 > ab ) (2)a >b ⇒a c2 >b c2 (3 c2 >b c2 ⇒a >b )a a b (4)a > b ⇒ 2 > 2 1 1 c c (5) < ⇒a > b a b
不等式的基本性质
不等式的基本性质考点总体描述：不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用.在中考中多以填空题或选择题的形式出现. ①维度1 不等式基本性质研读不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，即如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c （或a-c ＜b-c ）.不等式基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；如果a<b ，且c>0，那么ac<bc(或cb c a < ) 不等式基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 这三条基本性质是进行不等式变形的主要依据. 如果a<b ，且c<0,，那么ac>bc(或 c b c a > )例1：设a ＞b ，用不等号连结下列各题中的两式：（1）a-3与b-3；（2）2a 与2b ；（3）-a 与-b.思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择变形依据作答.解答过程：（1）因为a ＞b ，两边都减去3，由不等式的基本性质1，得a-3＞b-3；（2）因为a ＞b ，2＞0，由不等式的基本性质2，得2a ＞2b ；（3）因为a ＞b ，-1＜0，由不等式的基本性质3，得-a ＜-b.本例题总结：处理这类问题的一般思路是以不等式的性质作为依据，确定合适的不等号，要特别注意的是不等式基本性质3的应用.关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：例2： 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式：（1）x-2＜3；（2）6x ＞5x-1；（3）-4x ＞4．思路分析：第1步：根据变形要求选用不等式的基本性质；第2步:根据性质变形.解答过程：（1）由不等式的性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x-2+2＜3+2，即x ＜5；（2）由不等式的性质1可知，不等式的两边都减去5x ，不等号的方向不变，所以6x-5x ＞5x-1-5x ，即x ＞-1；（3）由不等式的性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜-1． 本例题总结：运用不等式的基本性质时，注意不等号方向的是否改变．关键字：例题难度：中表现形式：呈现内容说明：1.（2009年柳州）若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是（ ）A. a-1＜b-1B.33b a >C. -a ＜-bD. ac ＜bc 思路分析：第1步：观察已知的不等式与所要研究的对象之间的不同；第2步：对照不等式基本性质，选择合适的变形方式作答.解答过程：在不等式三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变”.由不等式基本性质2，不等式两边同除以3，B 选择项的不等号方向不变；C 选项不等式两边同乘-1，不等号方向要改变；D 选择项c 可取任意实数故不等号方向无法确定；A 选项因为a ＜b ，由不等式基本性质1得a-1＜b-1，故选A.答案：A ．2. 在下列各题横线上填入不等号，使不等式成立．并说明是根据哪一条不等式基本性质．（1）若a-3＜9，则a_____12； （2）若-a ＜10，则a_____-10；（3）若41a ＞-1，则a_____-4； （4）若-32a ＞0，则a_____0． 解析：根据前后两个式子之间的关系，对照不等式的基本性质加以变形.答案：（1）a ＜12，根据不等式基本性质1； （2）a ＞-10，根据不等式基本性质3；（3）a ＞-4，根据不等式基本性质2； （4）a ＜0，根据不等式基本性质3．②维度2 不等式的基本性质与等式的性质对比不等式的基本性质与等式的基本性质有相似之处，也有不同之处，特别是不等式的基本性质3，不等式两边同乘以（或同除以）一个负数，不等号的方向要改变，这一点要尤为引起重视，这一性质的运用，也是本章的难点之一.下面将不等式的基本性质与等式的性质的例1： 若a ＞b ，c ＜0，则下列四个不等式成立的是（ ）．A.ac ＞bcB.cb c a < C.a －c ＜b －c D. a|c|＜a|c| 思路分析：第1步：比较已知不等关系与选项中的不等关系；第2步：确定变形方法是否符合法则. 解答过程：根据不等式的性质1，在不等式a ＞b 的两边同时减去ｃ，不等号的方向不变，故C 错误；根据不等式的性质2，在不等式a ＞b 的两边同时乘以正数|c|，不等号的方向不变，故D 错误；根据不等式的性质3，在不等式a ＞b 的两边同时乘以或除以负数c ，不等号的方向要改变，故A 是错误的；故选B ．本例题总结：本题主要考查不等式的三条基本性质，运用不等式基本性质时，关注不等号方向的“不变”与“改变”是关键．关键字：表现形式：呈现内容说明：例2：已知-2x+3y=3x-2y+1，试比较x 和y 的大小关系.析解：要比较x 和y 的大小关系，只需利用等式变形求出(x-y)的值，再根据其正负判断大小。
高考数学 第十六章 第一节 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式课件 理 苏教版
4．(2013·苏州模拟)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求 |x-y+1|的最大值.
【解析】方法一:∵|x-1|≤1,|y-2|≤1,∴|x-y+1|=|(x-1)-(y2)|≤|x-1|+|y-2|≤1+1=2, (当且仅当x=2,y=1,或x=0,y=3时取等号), 故|x-y+1|的最大值为2. 方法二:∵|x-1|≤1,|y-2|≤1, ∴-1≤x-1≤1且-1≤y-2≤1, 即-1≤x-1≤1且-1≤2-y≤1. 相加可得-2≤x-y+1≤2,即|x-y+1|≤2, 故|x-y+1|的最大值为2.
(4)错误.当数或式小于0时,不等式两边同乘(除)此数或式，
不等号要改变方向.
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
考向 1 不等式性质的简单应用
【典例1】设实数x,y满足3≤xy2≤8 ，4 x2 9，求 x3 的最
y
y4
大值.
【思路点拨】可以从结论开始，设所求的量为参数t，通过消
元法求出参数的取值范围；也可以从已知条件出发，将条件中 的整体设成参数t,s，然后用其表示x,y，从而求 xy的43 取值范 围.
{_x_|_a_x_＋__b_≥_c__ 或__a_x_＋__b_≤_－__c_}
(2) 含两个绝对值的不等式的解集 |x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等 式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的 思想．
不等式的基本性质
不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
注意事项：
(1)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
1.1.1不等式的基本性质
性质 6 开方性质 如果 a>b>0，那么n a > n b(n∈N，n≥2)
【练习】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a>b，则 ac2>bc2； (2)若ca2>cb2，则 a>b； (3)若 a>b，ab≠0，则1a<1b； (4)若 a>b，c>d，则 ac>bd. [自主解答] (1)错误．当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2>0，在ca2>cb2两边同乘以 c2， ∴a>b. (3)错误．a>b⇒1a<1b成立的条件是 ab>0. (4)错误．a>b，c>d⇒ac>bd，当 a，b，c，d 为正数时成立．
即α＋β∈
－π，π 22
，α－β∈
－π2，0
.
2
2
利用性质证明简单不等式
【例 3】 已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b. [精彩点拨] 构造分母关系 → 构造分子关系 → 证明不等式
[自主解答] ∵a>b，∴－a<－b. 又 c>a>b>0， ∴0<1．c－在a<证c－明b本，例∴时c－，1 a连>c续－1用b>到0.不等式的三个性质，一是不等式的 乘法性质：a>b，则－a<－b；二是不等式的加法性质：c>a>b>0，又 －又a∵<－a>bb，>则0，0∴<c－a a<>c－b b；. 三是倒数性质．最后再次用到不等式的 乘法性质．
五、不等式的基本性质的应用
比较大小
【例 1】 设 A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且 x>3，试比较 A 与 B 的
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在数学表达式： ， ， ， ，
， ， b≠4中，
不等式有（有序号表示）
2．不等式的基本性质1
（1）在不等式5＞3的两边同时加上或减去2，在横线上填“＞”或“＜”号
5＋2________3＋2；5－2________3－2
（2）、请你自己写一个不等式，在它的两边同时加上、减去同一个数，看看有什么结果？讨论交流，大胆说出自己的“发现”。
3．用“移项”的方法把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
(1) (2)
四、小结巩固
比较不等式的基本性质1与等式的基本性质1有什么异同。
五、当堂检测
教材P133练习第1、2题。
想一想：移项的理论根据是什么？
自留地
不等式的基本性质1：不等式的两边都（或都）
或，不等号的方向。
三、展示提升
1．用“＞”或“＜”号填空。
（1）已知 ＞ ， （2）已知 ＞ ，
（3）已知 ＜ ， （4）已知 ＜ ，
2．把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
(1)x+6>5(2)3x>2x+2
小结：第2题的求解过程，相当于由x+6>5得x>5－6，由3x>2x+2得3x－2x>2，这就是说，解不等式时也可以“”，即把不等式一边的某一项后移到，而不改变不等号的，这与解一元一次方程中的移项相类似。
钱粮湖镇中学导学案
课题：不等式的基本性质1
学习目标：
1、在具体情景中感受到不等式是刻画现实世界的有效模型。
2、通过操作，分析得出不等式的基本性质1。
重点：不等式的概念和基本性质1。
难点：简单的不等式变形。
学ห้องสมุดไป่ตู้程序
学习内容
学习方式、方法
一、课前反馈
用式子表示下列语句的意思。
1． 是正数。2． 比 大5。
3． 的3倍不小于 。
二、预习交流
预习教材P132—133，各小组收集预习疑难，讨论释疑。
1．不等式的概念：
用不等号“”（或“”、“”、“”）表示关系的式子叫做不等式。
符号“≥”读作“”，也可读作“”；符号“≤”读作“”，也可读作“”。如a≥0表示a＞0或a＝0。形如3≠4，a≠b的式子，也叫不等式。