2013-8-1积分应用

2 cos u 1 du, 之全长 1 2 cos 3 u du
1 解： 由 2 cos u 1 0 cos u u [ 2 k , 2 k ] 2 3 3
u

4
,
3
则 t [ , ]。 3 3

1 由 1 2 cos u 0 cos u 3 2 1 1 u [2k arccos 3 , 2k 2 arccos 3 ] 2 2
A 到 P 之间的弧长： s
0
t
1 sinh x dx
2
0 coshx dx
t
sinht
s 2 sinh 2 t cosh 2 t 1 y 2 OA2
即
y 2 s 2 OA 2 .
x 十一、求曲线 y
4 4
t
t
解： 因 y ax bx c 过 ( 0， 0)、 (1， 2) 点， 则有 c 0, a b 2.
2
y
所以抛物线 y ax 2 ( 2 a ) x 与 x 轴交点为 o a2 x 0, x a a2 3 1 ( a 2 ) 2 于是，面积 A a [ax ( 2 a ) x ]dx 0 6 a2 1 ( a 2) 2 ( a 4) 0 唯一驻点 a 4 令 A(a ) 3 6 a 由于目标函数可微，实际问题有最小值， 所以，
（2） V 2
y
12
0 0
12
2
x ( 3 x 2 )d x 24
o
D 2
x
2
( 3 x ) 3 x 2 d x 24
或
V
0
( 3 x ) 2 d y 12 24
（3）V
0
2
1 3 3 y ydx 4 2 2
0
2
9 x 4dx
2 cos t 1 1 2 cos 3 t dt 2 cos t sin t dt
2
arccos 1
3
3

2
1 3
十二、求曲线
a sin
3
3
(a 0) 之全长。
解：

0 3
y
o o x
s
0
3
2 2 d
a sin
2

0
3
o
t 2t
V 2 ( sin t 2 sin 2 t ) 2 sin t (4 cos t 1)
令 V 0
1 9 V (arccos ) , 4 4
x
1 得唯一驻点 t 0 arccos 4 V (0) 0,
V ( ) 2 , 2

1 9 比较得最大值为： V (arccos ) . 4 4
x

a 4 时面积最小， 此时， b 6, c 0.
十、悬链线 y co意一 点，A 到 P 之间弧长为 s， 证明：
y 2 s 2 OA 2
解： 易知点 A ( 0 ,1 ) 则
设 P 点为 ( t , cosh t )
y cosht , OA 1。
练习一
一、解下列各题
（1）双纽线 2 a 2 cos 2 所围区域绕 x 轴旋转生成之旋转 体的体积为 V = （

0
）
( A) 4 4 ( a 2 cos 2 sin 2 )(a cos 2 cos ) d ; ( B ) 2 4 (a 2 cos 2 sin 2 )(a cos 2 cos ) d ;
0

(C ) 4 ( a 2 cos 2 sin 2 )(a cos 2 cos ) d ;
4
0
( D ) 2 (a 2 cos 2 sin 2 )(a cos 2 cos ) d .
4
0
分析： 设双纽线在直角坐标系下的 方程为 y y( x ) 。 V 2 y dx
2 0 a


4
O
x
a
在第一象限内由双纽线方程可得 y a cos 2 sin x a cos 2 cos V 2 y dx 2 (a 2 cos 2 sin 2 )(a cos 2 cos )d
2 0 4
a
0
所以选项（D）正确。
72 3 5
sin x 十五、设 0 t , 求区域 D {( x , y ) 0 y , t x 2t } 2 x 绕 y 轴旋转所得旋转体体积 的最大值。

解： V ( t )
t
2t
sin x 2 x dx x
2t
y
2
t
sin x d x 2 (cos t cos 2t )
1 y x0 ( x x0 ) 2 x0 x0 )。 所以 T 点的坐标为 (0, 2
R A 1 T A2 O
P
y
x
A3
Q
x
R点坐标为 (0, x0 ) ，Q 点坐标为 ( x0 ,0)。
x0 1 1 3 2 ) x0 x0 A1 ( x0 2 2 4 A3
x0
0
y P
y x
2 x dx x 3
3 2 0
1 3 2 A2 x0 x0 A1 A3 x0 12 1 1 2 A1 : A2 : A3 : : 3 : 1 : 8 4 12 3
R A 1 T A2 O
A3
Q x
2 七、已知抛物线 y ax bx c 过 ( 0, 0), (1, 2) 两点，且 a 0 ， 求 a , b , c 使抛物线与 x 轴围成图形的面积最小.
u

4
1 1 则 t [arccos 3 , 2 arccos 3 ] 2 2
故
1 1 t [ , ] [arccos 3 , 2 arccos 3 ] 3 3 2 2

1 即 t [arccos 3 , ] 2 3
s
arccos 1
3
3

3
d
3 a 2
1 十三、求曲线 y 1 x 与 x 轴所围成之区域绕直线 y 3 旋转一周产生立体之体积.
2
y
解：
V1 2
2 3

1 32 ( 1 0 3
y ) 1 y dy
1 3
o
x
V2 2

1 2 2 ( y 3
1 ) 1 y dy 3
V V1 V2
四、P为曲线 y
x 上任一点，曲线过P点的切线交 y 轴于T，
P点在x 轴和 y 轴上的垂足分别是 Q 和 R。证明：长方形OQPR
被曲线和切线分成三块区域的面积之比与 P 点位置无关。 证明：如图，设点P 的坐标为 ( x0 , x0 )。 y
y
1 2 x
所以过 P 点的切线方程为
8 ( 8 6 7 3 9) 405
十四、由曲线 y 3 x 2，直线 x 2 及 x 轴围成图形记为 D .
（1）求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体 积； （2）求 D 绕直线 x 3 旋转所得旋转体体积； （3）求以 D 为底且每个与 x 轴垂直的截面均为 等边三角形的立体体积 。 解： （1） V y 2