光谱学第二章-13

Bik h
h2 g i 2 Aki ( v) 2 2 2 c m Uk v
Bki ( v ) h gi 1 8m 2 U k v 2
现利用这些关系定辐射跃迁速率：
Rik 4

0
J d h
0
i
h
（阈值频率）
1320Biblioteka 3-6-18第二章 微观过程和统计平衡
§2.2 辐射跃迁速率 对类氢离子：
若 h
kT
64 4 me10 Z4 2.815 1025 Z 4 (n) 6 5 n5 3 n5 3 3 3ch (40 )
2h 3 J B e xp( h / kT ) c2
d
，黑体辐射场：
7.87 109 Z 4 E1 (a ) n5
7.87 109 Z 4 kT h 0 / kT e n5 h 0
复合辐射过程： R
ki

0
[ Aki ( v) 4Bki ( v)J ]ne ( v)vdv
h g 2 i m Uk


0
n ( v) 2h 3 [ 2 J ] e 2 vdv c v
LTE
2 h 3 / c 2 h / kT B (T ) e 1
反过来，对一闭合腔体，物质与辐射达热平衡。对腔体 内任意小气体元：
发射 j d , 吸收 k J d
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§2.2 辐射跃迁速率
平衡时，发射=吸收（对任意气体元及任一频率处均成 立），则：
j 1 N j A ji h 4
单位时间、单位质量发射至单位立体角的能量
诱导发射（感应跃迁），与感应吸收一样，正比于强度， 通常把它当作负吸收处理：
k ( N i Bij N j B ji )h
单位时间、单位质量的吸收能量
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第二章 微观过程和统计平衡
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§2.2 辐射跃迁速率
)
Einstein关 系

N i Bij h (1
N j gi Ni g j
)

N i Bij h [1 e xp( h / kT )]
诱导发射修正因子，在可见波段，典型值~0.9
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§2.2 辐射跃迁速率
对mm波、设点波段，诱导发射重要（h kT）
h2 2 k N i Bij kT
T 推广至NLTE， Tex ，由爱因斯坦关系：
g j Aji c 2 h k N i gi 8k Tex
在紫外和光学波段恒星天文中，常把Einstein系数换成 振子强度 f
吸收系数可写为： k N i （略受激辐射） 对整条谱线频率范围积分（从线心到线翼，窄的频率范围）
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§2.2 辐射跃迁速率
可得：
Aki 8h 3 c2 Bki 2 gi Bki ( v ) h Bik ( v ) 8m 2 v 2 U k
这些关系反应原子结构的特征，与外部环境无关，所以 对NLTE也成立。通常，把 Bik 换成光致电离截面 ：
ij
ij
A ji (8h 3 / c 2 ) B ji Bij gj gi B ji
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§2.2 辐射跃迁速率
所以辐射跃迁速率：
Rij 4Bij J R ji A ji 4B ji J
二．吸收系数、发射系数 以Einstein系数表达吸收系数、发射系数：
e 2 k d N i Bij h N i 40me c f
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§2.2 辐射跃迁速率
g j Aji 40 me c 3 1 g j Aji 21 1 f 1.347 10 2 2 2 2 8 e gi gi
理论或实验定Einstein系数或振子强度 对氢或类氢离子，Kramer公式：
f ( n j , ni ) 32 1 1 3 5 3 3 [ 1 1 ]3 n j ni ni2 n 2 j
主量子数 n、原子序数 Z ，类氢离子能：
E 2.180 10
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Z2 n2 1 1 2] 2 ni n j
§2.1 介绍 上一章我们介绍了若LTE假设不成立，则源函数、激发 和电离不能由Plack函数、Boltzmann公式和Saha公式给 出，必须用能级统计平衡方程定相关能级上的布局数， 以确定源函数、吸收系数和发射系数。
能级 i →能级 j 的跃迁速率：一个粒子单位时间从能级 i 到能级 j 的跃迁数。跃迁可通过辐射 ( Rij ) 或碰撞 (Cij )过程 产生，所以单位时间、单位体积从 i j 跃迁数：
d 1
0
完全再分布： 2013-6-18 第二章 微观过程和统计平衡
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§2.2 辐射跃迁速率
j 1 N j A ji h 4 k ( N i Bij N j B ji )h
N j A ji h / 4 j S k ( N i Bij N j B ji )h A ji / 4B ji Einstein关 系 2h 3 / c 2 N i Bij Ni g j 1 1 N j B ji N j gi
2
d di
另以谱线强度 S ( i , j ) 描述：
S ( i , j ) d i
2
求和对上、下能级简并度进行
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§2.2 辐射跃迁速率
1 64 4 Aji 3 S (i , j ) 3 g j 3hc 40
从初态某一量子态至终 态所有量子态
LTE下，存在以下一些关系： 1. Planck辐射公式：
2h 3 1 I B (T ) c 2 e h / kT 1 m 3 / 2 mv 2 / 2 kT dne ne 4v 2 ( ) e dv 2kT
2. Maxwell速度分布公式： 3. Saha公式：
N i ( Rij Cij )
如果所有能级上布居是稳定的，则：
N (R
ji i ij
Cij ) N j ( R ji C ji )
i j
i
对每一能级 i ，都有一类似方程，使 N N 2013-6-18 第二章 微观过程和统计平衡
i
1
§2.1 介绍
辐射过程： 自发跃迁： j i h
N k N e 2U1 2kT 3 / 2 m 3 / kT ( ) e N atom U0 m h3
Ni g i e Ei / kT , 其中U 0 gi e Ei / kT N atom U 0 i
4. Boltzmann分布：
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第二章 微观过程和统计平衡
A 对大n j，ji n 3 。具共同低能级 j 的一系列谱线如Lyman系列， 最小跃迁举最大的振子强度或 跃迁几率（Lyα） 1

E ij h
3.290 1015 Z 2 [
9 4
由Kramer公式：
1 1 2 ni2 A ji 8.033 10 Z [ 2 2 ] 2 f ni n j n j 1.575 1010 Z 4 1 1 1 n3 n5 [ 2 2] i j ni n j 1
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第二章 微观过程和统计平衡
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§2.2 辐射跃迁速率
四．辐射跃迁概率——连续过程（光致电离、复合辐射）
Bij Bik ( ) :
单位时间处辐射场 J中一个原子被光致电 离的几率为 Bik 4J d
Aji A（自发复合系数） : ki
因复合正比于入射碰撞电子流量（单位时间、单位面 积入射 v v dv 电子数）ne ( v)vdv
j k J , 又J B , j / k S B (T )
Einstein关系虽是在LTE下所得到，但跃迁几率是原子固 有物理量，与外界物理条件无关。故可推广到任意一般 非平衡态：
k N i Bij h (1
Boltzmann
N j B ji N i Bij
§2.2 辐射跃迁速率 光致电离方程：
1 h m v 2 i 2
（ν和v相对应） LTE下，对每一频率及对应速度处光致电离和复合平衡：
4Bik ( )J N i d [ Aki ( v) 4J Bki ( v)]ne ( v) N k vdv
hd mvdv

Einstein关系
Maxwell分布 2013-6-18
m 3 / 2 h3 g i 4N e ( ) 2kT 2m 3 U k
2h 3 [ 2 J ] e ( h i ) / kT d 0 c h
单位时间每个离子复合辐射几率为： Aki ( v)vne ( v)dv
B ji B（诱导复合系数） : ki
单位时间在辐射场 J 中一个离子诱导复合产生 d 的发射几率为 Bki vne ( v)dv 4J 2013-6-18 11 第二章 微观过程和统计平衡
诱导发射（感应吸收） j h i h h ：
光致电离（复合辐射） atom h ion electron ：
i 碰撞过程： 碰撞激发（退激发）： Eb j E f
Eb E f Eij
碰撞电离（三体复合） atom e ion e e ：
偶极近似下量子微扰论计算：