分式求值的方法与技巧
分式求值的技巧点拨
在分式运算中．常遇到求值问Array题，这类问题题型多样．技巧性强．若根据题目中分式的结构特点．采用适当方法．则可巧妙获解．冀麟垮角髓努法求值熊一，妒1仞，已知石2—5x+l=0．求菇4+三的值．菇4解：由石2—5x+1=0知搿≠O．由此得菇+土=5．．．矿+当=(矿+吉)2—2=忙÷)2_22】2_28意黧曩=527．棼矛筹、．。
i，彩，j≯瓤I；每触∥％_≯?拶麟黟用因式分解撩隶僮嘎倒2先化简，，求值：(—E_m--2n_r n m nini一旦m芝詈)善n等．其中矾；’一二+。
一，旷，一l，、11=l…I～v丐一2‘、／丐+2÷，．．√解：原式=【嚣一百I笔满]：等。
‘f1n＼m n＼_r，l—n m～凡717,一1：!二翌．堡堡r n—n n—．1·．·，终=———!——一=一订一芝，疗=—二—!——一=一订+2，、／3—2‘、／34-2．·．m r ／,=(一V 3—2)(一X ／3+2)=一l ，删一i t '／,。
=-(一x,r 3—2)一(一、／3+2)=一4．’’，．·．原式三一竺：。
一土．，、、：'’“‘A“因式分解法是一种重要的数学方法j “躲决很多数学闻题都要甩●h_X 到它：尤其是在分式化简和分式的四则运算巾运用较多．阂此，希望’桫同学们对因式分解的各种方法熟练掌握．洛哆尊整体熊冬滞搴值紫+御了已知吉一i1_3，求专÷筹Z1．aO的值．二do8一一D解：由一1一_1：+3变荛得口一b ：一3ab ，代入所求式得：nD．原式：6兰!堡二垒i ±兰堂：二垒堂±兰尘。
～．一3ab 一2ab3，一=一．‘．．黛支≥喜篙姜簇篙焉篇篆勰霎裟釜_p 先把条件进行化筒荐采用上述方法求值。
．-盎，，．札。
瓢j ．。
、、_。
：j ‘鸿、巧襻参数{辅助毒翔数》求值冀+佣4已知实数扎Y 满足髫：，，=1：2，pl nl 3x-y ．——．，名+’，叶解：设{=‘号-一k ，则龙=矗，，，=2k ，故原式=警≠等=÷．o 4+在解答有关禽有比例式的题目时，设参数(辅助珠知数)求髌起jo 一种常用的方法，r j，，。
沪教版七年级数学下册解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧
解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b的值为( ) A .12 B ．－12C ．2D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b 的值．◆类型二 巧妙变形，构造代入3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1的值是( ) A .12 B ．2 C .13D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b)的值．◆类型三 参数辅助，多元归一6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．7．已知a ＋b a －b ＝32，求分式a 2－b 2ab 的值．◆类型四 打破常规，倒数代入8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 22x 4－3x 2＋2的值．9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc的值．参考答案与解析1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ）＝－12. 2．解：⎝⎛⎭⎫1＋2b 2a 2－b 2⎝⎛⎭⎫1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12. 4．19 解析：已知等式两边同时平方得⎝⎛⎭⎫x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1a ＋1c ＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a ⎝⎛⎭⎫1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c＋1b )－1＋c ⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b)(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629. 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得⎩⎨⎧a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2＝1.9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c＝16.（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧分式化简求值解题技巧一、整体代入对于一些分式表达式，可以先将其中的变量整体代入，然后再求值。
比如：已知a+2b=2006，求3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b)的值。
可以先将a替换为2006-2b，然后化简得到：3a²+12ab+12b² ÷ (2a+4b) = 3(2006-2b)² + 12b(2006-2b) + 12b² ÷ (2(2006-2b)+4b)再进行进一步化简求解。
练一练：1.已知x+y=3，求(2x+3y) ÷ (x-y)的值。
2.已知112x-3xy+2y ÷ xy-x-2y = 5，求xy ÷ (x+2y)的值。
3.若a+b=3ab，求(1+2b²) ÷ (2a-b)的值。
二、构造代入有些分式表达式可以通过构造代入的方式来求解。
比如：已知x-5 ÷ (x-2) = 2001，求(x-2)³ - (x-1)² + 1的值。
可以构造一个分式，使得它的分母为(x-2)，分子为(x-2)³-(x-1)²+1，然后将其化简，得到：x-2)³-(x-1)²+1 ÷ (x-2) = (x-5) + 4(x-2) + 9再进行进一步化简求解。
练一练：4.若ab=1，求a ÷ (b+c) + b ÷ (c+a) + c ÷ (a+b)的值。
5.已知xy+yz+zx ÷ xyz = 2，求(x+y)² ÷ z²的值。
三、参数辅助，多元归一有些分式表达式可以通过引入参数或多元归一的方式来求解。
比如：已知a+b+c=1，求a(1-b) ÷ (b+c) + b(1-c) ÷ (c+a) + c(1-a) ÷(a+b)的值。
分式运算的常见应用技巧
∴不等式组的解集为－1<x<1，即整数x＝0，
则A＝－
1. 3
技巧10 整体法求值 12．【中考·齐齐哈尔】先化简，再求值：
1－ 2 x
x2－4 x＋4 － x＋4 ，
x 2－4
x＋2
其中x2＋2x－15＝0.
解：原式＝ x－2 x
( x－2)2 － x＋4 ( x＋2)( x－2) x＋2
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从 左向右下降，y随着x的增大而减小．
＝
x－x 2·xx＋ －22
－
x＋4 x＋2
＝
x＋2－ x＋4 x x＋2
∵x2＋2x－15＝0，
( x＋2)2－x( x＋4)
＝
x( x＋2)
＝
4 x2＋2x ,
∴x2＋2x＝15. ∴原式＝ 4 .
15
点拨： 本题考查了分式的化简求值，解题关键是掌
握分式的基本运算．先按照分式计算的顺序(先算 乘除，再算加减)化简分式．再根据题目的需要， 灵活运用条件x2＋2x－15＝0转化整体代入求值．
图). 它也是一条经过原点和第二、第四象限的直线.
感悟新知
知识点 1 正比例函数的图象
知1－讲
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
分式求值方法经典归纳
分式求值方法经典归纳分式是数学中常见的一种运算形式，其计算方法有很多种。
本文将介绍一种经典归纳的方法来求解分式的值。
一、基础概念在介绍具体的求值方法之前，先来回顾一下有关分式的基础概念：1.分子和分母：一个分式由一个比例组成，其中分子表示分式的上部分，分母表示分式的下部分。
2.真分式和假分式：如果分数的分子小于分母，则称这个分数为真分式；如果分数的分子大于等于分母，则称这个分数为假分式。
3.通分：当两个分数的分母相同时，我们称它们的分数为同分母的分数。
为了方便比较同分母的分数的大小，我们可以对它们进行通分，即将它们的分母变为相同的数。
4.约分：当一个分数的分子和分母都能被一个相同的数整除时，我们可以约去这个相同的数，使得分数的值不变。
这个过程称为约分。
二、分式求值方法对于分式的求值，我们可以通过以下步骤来进行计算：步骤一：将分数进行通分，即将两个分数的分母变为相同的数。
步骤二：将分数的分子和分母进行运算，得到一个新的分数。
步骤三：对新的分数进行约分，得到最简分数。
步骤四：对最简分数的分子和分母进行运算，得到最终的结果。
接下来，我们通过几个例题来说明这个过程：例题一：求分式的值计算分式 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$ 的值。
解：首先，对于两个分数，我们可以将它们的分母进行通分，将它们的分子和分母进行运算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} =\frac{5}{4}$然后，对于新的分数 $\frac{5}{4}$ ，我们可以对其进行约分，得到最简分数：$\frac{5}{4} = \frac{1}{\frac{4}{5}}$最后，对最简分数的分子和分母进行运算，得到结果为$\frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}$。
所以，原分式的值为 $\frac{5}{4}$。
例题二：求分式的值计算分式 $\frac{2}{3} - \frac{1}{5}$ 的值。
专题07 分式的化简与求值
专题07 分式的化简与求值阅读与思考给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧: 1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等．例题与求解【例l 】 已知2310a a -+=，则代数式361a a +的值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：目前不能求出a 的值，但可以求出13a a+=，需要对所求代数式变形含“1a a +”．【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =，75832a =，356124234567a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944（五城市联赛试题）解题思路：引入参数k ，把17a a 用k 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．【例3】 3(0)x y z a a ++=≠．求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-． （宣州竞赛试题） 解题思路：观察发现，所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式，而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值． （上海市竞赛试题）解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++，求证：,,a b c 中至少有两个互为相反数．解题思路：,,a b c 中至少有两个互为相反数，即要证明()()()0a b b c c a +++=．（北京市竞赛试题）【例6】 已知,,a b c 为正整数，满足如下两个条件：①32;a b c ++= ②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=．求证：以,,a b c 为三边长可以构成一个直角三角形．解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．（全国初中数学联赛试题）能力训练1．若a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d-+-+-+的值是 ．（“希望杯”邀请赛试题）2．已知2131xx x =-+，则24291x x x =-+ ． （广东竞赛试题）3．若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =，则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 ．（“缙云杯”竞赛试题）4．已知232325x xy y x xy y +-=--，则11x y -= ．5．如果111,1a b b c+=+=，那么1c a +=（ ）． A ．1 B ．2 C ．12 D ．14（“新世纪杯”竞赛试题）6．设有理数,,a b c 都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．不能确定7．已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则22222223657x y z x y z++++的值为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．不能确定8．已知211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值为（ ） A ．1 B ．313m + C ．2132m - D ．2131m + 9．设0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值．10．已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等，求证2221x y z =． （天津市竞赛试题）11．设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++， 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++．（n 为自然数）（波兰竞赛试题）12．三角形三边长分别为,,a b c ．（1）若a a b cb c b c a ++=+-，求证：这个三角形是等腰三角形； （2）若1111a b c a b c-+=-+，判断这个三角形的形状并证明．13．已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值． （“华杯赛”试题）14．解下列方程（组）： （1）18272938x x x x x x x x +++++=+++++； （江苏省竞赛试题） （2）596841922119968x x x x x x x x ----+=+----； （“五羊杯”竞赛试题）（3）111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩．（北京市竞赛试题）B 级1．设,,a b c 满足0a b c ++=，0abc >，若a b c x a b c=++， 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++，则23x y xy ++= ．2．若0abc ≠，且a b b c c a c a b+++==，则()()()a b b c c a abc +++= ． 3．设,,a b c 均为非零数，且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+，则a b c ++= ．4．已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++，则222x y z y z x z y x+++++的值为 ． 5．设,,a b c 是三个互不相同的正数，已知a c c bb a b a-==+，那么有（ ）． A ．32b c = B ．32a b = C ．2b c = D ．2a b =6．如果0a b c ++=，1114a b c ++=-，那么222111a b c++的值为（ ）．A ．3B ．8C ．16D ．207．已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）．A ．1996B ．1997C ．1998D ．199998．若615325x y x y y x y x -==-，则222245623x xy y x xy y-+-+的值为（ ）． A ．92 B ．94C ．5D ．6 （全国初中数学联赛试题）9．已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=． （1）求证：3333a b c abc ++=； （2）求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值． （北京市竞赛试题）10．已知2410a a ++=，且42321322a ma a ma a++=++．求m 的值． （北京市竞赛试题）11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的q 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的x 倍， 求证：21p q x pq ++=-．(10)pq -≠（天津市竞赛试题）12．设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===，当3A B C ++=-时，求证：2002200220023AB C ++=．（天津市竞赛试题）13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？（江苏省竞赛试题）。
专题04分式的运算与化简求值篇(原卷版+解析)
专题04 分式的运算与化简求值1.因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++；②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22；完全平方公式：()2222bababa±=+±。
③十字相乘法：在cbxx++2中，若()均为整数，且nmbnmmnc=+=，则：()()nxmxcbxx++=++2。
2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==CCBCABCACBA3.约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4.分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I：对分子分母因式分解；II：约掉公因式；III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5.分式的加减运算：具体步骤：I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II：将分式通分成同分母；III：分母不变，分子相加减。
6.分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
1．（2022•西藏）计算：224222---⋅+a a a a a a ．2．（2022•兰州）计算：()x x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211．3．（2022•大连）计算：x x x x x x x 1422444222--+÷+--．4．（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-a ab b a a b a 2222．5．（2022•常德）化简：212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-a a a a a ．6．（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中x ＝3．7．（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+-21129622a a a a a ，其中a ＝4．8．（2022•资阳）先化简，再求值．111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ，其中a ＝﹣3．9．（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．10．（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++-+÷+--x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2．11．（2022•锦州）先化简，再求值：212112--÷⎪⎭⎫⎝⎛-++x x x x ，其中13-=x ．12．（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-÷--1111231322x x x x x x ，其中12+-=x ．13．（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++÷-2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1．14．（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1．15．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212；（2）先化简，再求值：y x y x y x y x x y x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3，其中x ＝1，y ＝100．专题04 分式的运算与化简求值7. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
分式章节涉及的12个技巧 7个概念 5种方法 4种思想全梳理
专题一 分式的意义及性质的4种题型题型1：分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m 中，不是分式的式子有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式．选C2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个． 解析：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，∴共可构成6个分式．题型2：分式有无意义的条件3．若代数式1a －4在实数范围内有意义，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＝4B ．a >4C ．a <4D ．a ≠4解析：D4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 解析：±15．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围．解析：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． ∵(x －3)2≥0，∴当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．题型3：分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是解析：x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∵分式的值为正数，∴x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠17．已知分式a －1a 2－b2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．解析：∵分式a －1a 2－b2的值为0，∴a －1＝0且a 2－b 2≠0，解得a ＝1且b ≠±1.题型4：分式的基本性质及其应用 8．下列各式正确的是( ) A.a b ＝a 2b 2B.a b ＝ab a ＋bC.a b ＝a ＋c b ＋cD.a b ＝abb2 解析：选D9．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6从左到右的变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2B ．x ＝－2C ．x ＜－2D ．x ≠－2解析：选B10．已知 x 4＝y 6＝z7≠0，求 x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z 的值．解析：设x 4＝y 6＝z7＝k (k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7∴x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝372211．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z|x ＋y|的值解析：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正当x ，y ，z 为两正一负时，设x ＞0，y ＞0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1＋1－1＝1当x ，y ，z 为两负一正时，设x ＞0，y ＜0，z ＜0，原式＝x |－x|＋y |－y|＋z|－z|＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1专题二 分式8种运算技巧技巧1：约分计算法 1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.解析：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 小结：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．技巧2：整体通分法 2．计算：a －2＋4a ＋2.解析：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2.小结：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．技巧3：顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.解析：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1） ＝8x 7x 8－1. 小结：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．计算：(3m －2n )＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n )2＋2n －3m3m －2n －1.解析：设3m －2n ＝x ， 则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－xx －1＝x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x（x ＋1）（x －1） ＝4n －6m（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）.技巧5：裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.解析：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100 ＝100a （a ＋100）小结：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式积的分式相加减，常用1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．技巧6：整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abcab ＋bc ＋ac 的值．解析：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180.易知abc ≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031.7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．解析：由xx 2－3x ＋1＝－1，知x ≠0，所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x＝2.所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17.技巧8：消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．解析：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.解得x ＝3z ，y ＝2z . 因为xyz ≠0，所以z ≠0.所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 22×9z 2－3×4z 2－10z 2＝－13.小结：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专题三 分式方程解求字母的值或范围4大技巧技巧1：利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．解析：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.经检验，x ＝3是该方程的解． 将x ＝3代入2x ＋4＝mx ，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝⎛⎭⎫672－2×67＝－4849.技巧2：利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．解析：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m . ∵分式方程有解， ∴x ＝4－m 不能为增根． ∴4－m ≠3.解得m ≠1.∴当m ≠1时，原分式方程有解．技巧3：利用分式方程有增根求字母的值 3．如果解关于x 的分式方程m x －2－2x 2－x＝1时出现增根，那么m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．4D ．－4解析：D4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0， 所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3. 当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6； 当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m ＝12. 综上所述，原方程的增根是x ＝3或x ＝－3. 当x ＝3时，m ＝6； 当x ＝－3时，m ＝12.小结：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．技巧4： 利用分式方程无解求字母的值5．若关于x 的分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a ＝________.解析：1或－16．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m3－x无解，求m 的值．解析：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形： (1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；(2)若整式方程根是原方程增根，4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3解综上所述，m 的值为－3或1.7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x ＝1.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值； (2)若方程有增根，求a 的值； (3)若方程无解，求a 的值．解析：原方程去分母并整理，得(3－a )x ＝10. (1)因为原方程的增根为x ＝2， 所以(3－a )×2＝10.解得a ＝－2. (2)因为原分式方程有增根， 所以x (x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a )x ＝10的解， 所以原分式方程的增根为x ＝2. 所以(3－a )×2＝10. 解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a )x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a ≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a ＝－2. 综上所述，a 的值为3或－2.小结：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．专题四 5种分式求值方法方法1： 直接代入法求值 1．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.解析：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，3a ＋1＝35＋1＝12.方法2：活用公式求值2．已知实数x 满足x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．解析：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0， ∴x ＋1x＝5.∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23. ∴x 4＋1x4＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527. 小结：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．解析：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9， 所以（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）＝122＋99×12＝1712.方法3：整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z ≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．解析：因为x ＋y ＋z ≠0，所以等式的两边同时乘x ＋y ＋z ，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z .所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.小结：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．方法4：巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x 的值．解析：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x －1)2＝0.∴2x ＝1. ∴2x ＋12x ＝1＋11＝2.方法5：设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．解析：设x 2＝y 3＝z4＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k .所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz ＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）22k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k＝27k 226k 2＝2726.专题五 热门考点整合应用考点1：三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．式子A B一定是分式(A ，B 为整式) 解析：B2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m >1 C ．m ≤1 D ．m <1解析：∵x 2－2x ＋m ＝x 2－2x ＋1＋m －1＝(x －1)2＋m －1，∴当m －1>0，即m >1时，式子1x 2－2x ＋m总有意义，选B概念2 分式方程34．某服装店用10 000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14 700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为( ) A.10 000x －10＝14 700（1＋40%）xB.10 000x ＋10＝14 700（1＋40%）xC.10 000（1－40%）x－10＝14 700x D.10 000（1－40%）x＋10＝14 700x 解析：B4．下列关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x＝4；⑥x a ＝35－x ，其中分式方程有 ．(填序号) 解析：②④⑤概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( ) A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝3解析：B6．已知关于x 的方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值． 解析：方程两边同乘x 2－1，得2(x －1)＋k (x ＋1)＝6.整理得(2＋k )x ＋k －8＝0.∵原分式方程有增根x ＝1，∴2＋k ＋k －8＝0.解得k ＝3.7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解，求m 的值． 解析：方程两边都乘x (x －3)，得(2m ＋x )x －x (x －3)＝2(x －3)，即(2m ＋1)x ＝－6.①(1)当2m ＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m ＝－0.5；(2)当2m ＋1≠0时，要使关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x 无解， 则x ＝0或x －3＝0，即x ＝0或x ＝3.把x ＝0代入①，m 的值不存在；把x ＝3代入①，得3(2m ＋1)＝－6，解得m ＝－1.5.∴m 的值是－0.5或－1.5.考点2：一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y . 解析：(1)原式＝12x －30y 15x ＋40y ；(2)原式＝5x ＋15y 25x －y.考点3：一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝⎛⎭⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎡⎦⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23. 解析：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2＝2a a ＋b . 当a ＝－12，b ＝23时，2a a ＋b ＝2×⎝⎛⎭⎫－12－12＋23＝－6.考点4：一个解法——分式方程的解法10．小明解方程1x －x －2x＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解析：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……①去括号，得1－x －2＝1.……②合并同类项，得－x －1＝1.……③移项，得－x ＝2.……④解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥解析：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ；步骤②括号前面是“－”，去括号时，没有变号；步骤⑥前没有检验．正确的解答过程如下：解析：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ，去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3，解得x ＝32. 经检验x ＝32是原分式方程的解．考点5：一个应用——分式方程的应用11．近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A ，B 两种设备．每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．(1)求A 种、B 种设备每台各多少万元？(2)根据单位实际情况，需购进A ，B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？解析：(1)设每台A 种设备x 万元，则每台B 种设备(x ＋0.7)万元，根据题意，得3x ＝7.2x ＋0.7. 解得x ＝0.5.经检验，x ＝0.5是原方程的解且符合题意．∴x ＋0.7＝1.2.答：每台A 种设备0.5万元，每台B 种设备1.2万元．(2)设购买A 种设备m 台，则购买B 种设备(20－m )台，根据题意，得0.5m ＋1.2(20－m )≤15.解得m ≥907. ∵m 为整数，∴m ≥13.答：A 种设备至少要购买13台．考点6：四种思想思想1 数形结合思想12．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．(第12题)解析：由题意，得2x ＋23x －5＝4. 去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.小结：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．思想2 整体思想13．已知实数a 满足a 2＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值． 解析：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3） ＝4（a ＋1）（a ＋3） ＝4a 2＋4a ＋3. 由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故4a 2＋4a ＋3＝411. 小结：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z ≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值． 解析：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4z ，y ＝3z. 所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z 22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320. 小结：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b. 解析：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2a a ＋b小结：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.
'.
分式专题三---分式求值的方法与技巧
一．求值。
1．已知224xBxAxxx，求A，B的值。
2．已知:22)2(2)2(3xBxAxx，则A= 、B=
3．若212112xBxAxxx恒成立，则A＋B＝_______________。
二．将条件式变形后代入求值。
1．已知432zyx，zyxzyx22求的值．
（提示：已知连比，常设比值k为参数，这种解题方法叫参数法）
2.
.
'.
二、将求值变形代入求值．
1．已知31xx，的值求1242xxx．
2．已知的值求babababa,0622．
3.已知0132aa，求142aa的值。
4． 已知yxyxyxyxyx2232,311则分式的值为__________．
5．已知231xx，求分式221xx的值．
6．已知ba43，则222232bababa＝_______________。
.
'.
7.（2007赤峰）已知114ab，则3227aabbabab ．
8．已知311ba，则babababa23的值是_________.
9．如果a+a1=3，则221aa__________.
10
．已知1a - 1b =3，求分式2a+3ab-2ba-ab-b 的值.
11．若ab=2,a+b=-1,则ba11 的值为
12．若0152xx，则xxxx1122＝_______________。
.
'.
13.已知02322yxyx（x≠0，y≠0），求xyyxxyyx22的值。
三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．
14．已知a2＋2a－1＝0，求分式24)44122(22aaaaaaaa的值．
注意：本例是将条件式化为“122aa”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做
整体代入．
15．已知abc＝1，则111ccacbbcbaaba的值为________．
16．已知)11()11()11(,0cbaacbbaccba求的值．
.
'.
17．若.1,11,11的值求babaccb
18．若7ba，12ab，则abba22＝_______________。
19．若baab111，则baab＝_______________。
20．如果n222108为完全平方数，则n＝_______________。
21．已知0199752xx，则代数式211223xxx的值是多少？
.
'.
22．已知：A=xy-x
2
，B=xyyxyx222，C=yxx2，若A÷B=C×D，求D．
.111 ,12,1002,1001.1000 23222的值求且已知cbaacbabcbcaabcxcxbxa
24．已知accbba111，且cba，你能否求出222cba的值？请说出理由
25.（2008四川省达州市）符号“abcd”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abadbccd，
请你根据上述规定求出下列等式中x的值． 2111111xx
26．已知bababaabba则且,0622的值为（ ）
.
'.
27．3213213232yxyxxyxy 28．143)1(2111x
29．已知01342xxx，先化简后求xxx3932的值．
30．化简求值43326512222aaaaaaaa，其中a＝－3．