盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想(宋书华)
18盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想(宋书华)
, ,
等式组 x - y + 2 ≥0, 表示的平面区域的面积是
x ≤2, ( )
3 3
]上的面积相等 , 作出函数 y = - sin3 x + 1 ]上的图象 , 所求区域如图 3 所示 , 很快的
π 4 π
A 14 2 B 14 C12 2 D 12
我们发现 , 可将直线 y = 1 上方的一个小拱形移到直 线 y = 1 下方 , 恰好使得下方图形构成一个矩形 , 故 所求区域面积转化为求一个小拱形面积和一个矩 形面积之和 , 由图中数据很快知所求面积为 π +
| x | + | y |中的 y, 方程不变 , 故知曲线关于 x 轴对称 ;
2 2
例 2 ( 05 年湖南卷第 15 题 ) 设函数 f ( x ) 的图 象与直线 x = a, x = b及 x 轴所围成图形的面积称为 函数 f ( x ) 在 [ a, b ]上的面积 , 已知函数 y = sin nx 在
| x | ≤y ≤ | x | + 1,
y ≤3,
积是
1 (答案 : 20 ) 例 3 求曲线 x + y = | x | + | y |所围成的图形
2 2
表示的平面区域的面积为
1 13 应用对称简化求解过程
1 (答案 : 5 )
1 12 巧“ 割补 ” 化难为易
的面积 1 (人教高二上册第 89 页第 9 题 ) 分析 对于以方程形式给出的封闭曲线围成 图形的面积问题 , 一般先从代数角度来研究曲线的 方程 , 通常此类曲线都具有很强的对称性 , 利用图 形的对称性可以简化我们的求解过程 , 达到事半功 倍的效果 ! 解 从方程角度看 , 用 - y 替代方程 x + y =
利用定积分求曲线围成的面积
12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一．复习回顾：当f(x )0时，由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间［a,b］上的连续函数，并且F'(x) = f (x)，则．曲线围成的面积1.设f和g是区间［a,b］上的连续函数且对任意的x［a,b］有f(x )g(x)，则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为：b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。
解：先求出P点坐标。
y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。
2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义：当f(x )0时，积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2．计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ，以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。
f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3：求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。
解：当 f (x )= g (x )时图像的交点，即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解：所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方，如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ]，阴影部分面积可以表示为：例 4 ：求阴影部分的面积。
【初中数学】反比例函数策略三——面积问题与面积法
【初中数学】反比例函数策略三——面积问题与面积法反比例函数策略（三）——面积问题与面积法王桥这一篇文章早都该写了。
因忙于修订《春季攻势》，今天略得小闲，续写《反比例函数策略（三）——面积问题与面积法。
在《沙场秋点兵》曾经有专门一讲，是讲述“反比例函数中的面积问题”的。
而对于“面积法”，更绝非一篇文章能够阐述得了的，只能是“后悔”“有期”了。
今天只谈与反比例函数“自带”的“面积模型”和与反比例函数相关的“面积法”。
一、反比例函数中的“面积模型”反比例函数是“自带”“面积模型”的！常言：“龙生龙，凤生凤”，发比例函数一旦诞生，就“自带”贵族气质——“自带”“面积模型”。
反比例函数就是这么“任性”！（一）反比例函数图像上的坐标矩形与坐标三角形的面积（以下部分内容选自《沙场秋点兵》）1、如图1，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S矩形OBAC=|k|；2、如图2，若反比例函数解析式为y=x/k，则；S△OAB=1/2·|k|。
关于这两个结论的证明，自然不用赘述，关于这两个结论的灵活应用，则更是仪态万千，手头有《沙场秋点兵》的话，上面有许多练习，自己练练。
也可从本公众号找到去年推送的文章——反比例函数中的面积问题》自己打印练习......（二）反比例函数中的三角形与等积梯形1、如图3，若反比例函数解析式为y=k/x，则；S△OAB=S梯形BCDA；2、如图4，若反比例函数解析式为y=k/x，则（1）S△OAB=S梯形CDEA；（2）CD2=EB·EA；这两个结论，其实是前面结论的更进一步，但是，已经有些同学不太好理解了。
其证明如下：1、如图3，易知S△BOC=S△AOD=1/2·|k|，∴S△AOM=S梯形ADCM，∴S△BOM+S△ABM=S梯形ADCM+S△ABM，即S△AOB=S梯形BCDA；2、如图4，易知S△COD=S△BOE=1/2·|k|，∴S△COM=S梯形BEDM，则（1）S△COM+S△梯形ABMC=S梯形BEDM+S梯形ABMC，即S△AOB=S梯形BEDM；（2）易知CD·OD=BE·OE，∴BE:CD=OD:OE=CD:AE，即CD2=EB·EA。
[第50讲]小升初曲线形面积问题解题思路梳理————(曲线形面积问题常用结论与解题思路)
![[第50讲]小升初曲线形面积问题解题思路梳理————(曲线形面积问题常用结论与解题思路)](https://img.taocdn.com/s3/m/8ea7b884240c844768eaee1f.png)
【内容提要】1．基本图形：圆形、扇形2．组合图形：方包圆、圆包方、三角包圆、圆包三角、图形的旋转 3．解题方法：加减法、整体法、割补法、比例法、方程法加减法把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式 整体法把某些数量关系看成一个整体，进行有目的的、有意识的整体处理 割补法把要求的图形通过切割再拼补成规则图形比例法把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解 方程法根据面积的比例关系列方程解题如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。
(π取3)如图，ABCD 是正方形。
阴影部分的面积为_______。
(π取3.14)小升初曲线形面积问题解题思路梳理——（曲线形面积问题常用结论与解题思路）(★★)(★★★)(2008年第六届“走进美妙的数学花园”六年级初赛)如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S 1，空白部分面积为S 2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)如图，矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半径CB ＝4厘米，求阴影部分的面积。
(π取3)⑴如下图①，在以AB 为直径的半圆上取一点，分别以AC 和BC 为直径在△ABC 外作半圆AEC 和BFC 。
已知AC 的长度为4，BC 的长度为3，AB 的长度为5。
试求阴影部分的面积。
⑵如图②，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH 各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积为32平方厘米，问大正方形EFGH 的面积是多少平方厘米？(★★★)(★★★★)(2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)如图，在3×3方格表中，分别以A 、E 、F 为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S 1∶S 2 ＝？正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么 A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米。
曲线面积 极限
曲线面积极限曲线面积是指一个曲线所围成的面积，是微积分学中的一个重要概念。
在微积分学中，曲线面积的计算利用了极限的概念。
这篇文章将对曲线面积和极限的关系进行具体探讨。
曲线面积的计算源自于欧几里得几何学中的面积概念。
在欧几里得几何学中，面积是由平面上的两个相交的直线围成的四边形的面积开始定义的。
随着时间的推移，欧几里得几何学中的面积定义不断被完善和推广。
在微积分学中，面积概念就被推广到曲线面积的计算上。
在微积分学中，曲线面积通常可以通过求解定积分来计算。
如果已经知道曲线的解析式，那么可以通过求解定积分来计算曲线所围成的面积。
但是，对于一些比较复杂的曲线，例如抛物线和椭圆等，定积分的求解是非常困难的。
为了解决这个问题，我们可以利用微积分学中的极限概念来计算曲线面积。
极限是微积分学中一个重要的概念，用于描述某个变化过程中的趋势和极限状态。
在曲线面积的计算中，我们可以将曲线分成多条直线段，然后估算每一条直线段所围成的矩形面积，最后通过将估算出来的矩形面积累加起来来估算整个曲线所围成的面积。
具体来说，我们将曲线分成n个小段，每个小段的长度为Δx。
然后，我们在每一小段的端点处取一个点，将曲线段近似为一条直线段。
这样，每个小段所围成的矩形面积就可以近似为Δx乘以曲线上对应点的函数值。
将所有小段所围成的矩形面积累加起来，就可以得到整个曲线所围成的面积的估计值。
如果我们让n趋近于无穷大，即使得小段长度Δx越来越小，那么通过这种方法得到的估算值就会越来越精确。
最后，我们可以将这个极限值作为曲线实际所围成的面积的近似值，即：S = lim(n→∞)ΣΔx·f(xi)这里，S表示曲线所围成的面积，f(x)是曲线上对应点的函数值，xi表示每个小段的端点。
需要注意的是，这种方法只能用于估算比较简单的曲线面积，例如直线段、抛物线等。
对于复杂的曲线，使用这种方法将会比较困难。
此外，在计算曲线面积时，还需要对小段长度Δx的选取进行一定的考虑，以保证估算出来的面积能够趋近于实际的面积。
封闭形面积的计算公式
封闭形面积的计算公式在数学中，封闭形是指一个具有有限个点的集合，这些点可以用线段连接起来，形成一个封闭的图形。
常见的封闭形包括圆、正方形、长方形、三角形等。
计算封闭形的面积是数学中非常基础的问题，而且也是非常重要的问题，因为面积是描述一个封闭形大小的重要指标。
在本文中，我们将介绍几种常见封闭形的面积计算公式，并且给出一些具体的计算例子。
圆的面积计算公式。
圆是最简单的封闭形之一，其面积计算公式为：\[ S = \pi r^2 \]其中，S表示圆的面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。
例如，如果一个圆的半径为5cm，那么其面积为：\[ S = \pi \times 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \, cm^2 \]正方形的面积计算公式。
正方形是一个四边相等的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = a^2 \]其中，S表示正方形的面积，a表示正方形的边长。
例如，如果一个正方形的边长为6cm，那么其面积为：\[ S = 6^2 = 36 \, cm^2 \]长方形的面积计算公式。
长方形是一个有两对边相等的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = l \times w \]其中，S表示长方形的面积，l表示长方形的长度，w表示长方形的宽度。
例如，如果一个长方形的长度为8cm，宽度为4cm，那么其面积为：\[ S = 8 \times 4 = 32 \, cm^2 \]三角形的面积计算公式。
三角形是一个有三条边的封闭形，其面积计算公式为：\[ S = \frac{1}{2} \times b \times h \]其中，S表示三角形的面积，b表示三角形的底边长，h表示三角形的高。
例如，如果一个三角形的底边长为10cm，高为6cm，那么其面积为：\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30 \, cm^2 \]以上是几种常见封闭形的面积计算公式，这些公式在实际生活中都有着广泛的应用。
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计算方法及技巧
在直角坐标系下平面曲线围成图形面积的定积分计
算方法及技巧
定积分计算方法：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算；
技巧：
1. 将曲线围成的图形分解为多个小的矩形，每个矩形的面积可以用定积分计算，但是要注意，矩形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
2. 将曲线围成的图形分解为多个三角形，每个三角形的面积可以用定积分计算，但是要注意，三角形的边长不能太大，否则会导致计算结果的误差；
3. 将曲线围成的图形分解为多个椭圆，每个椭圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，椭圆的长轴和短轴不能太大，否则会导致计算结果的误差；
4. 将曲线围成的图形分解为多个圆，每个圆的面积可以用定积分计算，但是要注意，圆的半径不能太大，否则会导致计算结果的误差；
5. 将曲线围成的图形分解为多个抛物线，每个抛物线的面积可以用定积分计算，但是要注意，抛物线的顶点不能太大，否则会导致计算结果的误差。
曲面封闭的概念
曲面封闭的概念曲面封闭是一个在几何学中常用的概念，用于描述一个曲面是否能够围成一个封闭的空间。
曲面是一个二维的几何对象，可以被描述为一个在三维空间中的曲线“滚动”而成。
一个曲面可以由多个曲线拼接而成，例如圆形可以被看作是由一个曲线在平面上旋转而成的曲面。
曲面在三维空间中可以有各种形状，如球面、圆柱面、圆锥面等等。
要判断一个曲面是否封闭，需要考虑曲面的形状以及是否将整个空间围成。
一个曲面被称为封闭的，是指它遵循以下两个条件：1. 曲面是一个连通的闭合曲线，这意味着曲面上的任意两点都可以通过曲面上的路径相连。
换句话说，曲面上的点可以通过曲面上的曲线移动而不离开曲面。
2. 曲面将整个空间划分为内部和外部两个部分，这意味着曲面内部的点是曲面的一部分，而曲面外部的点则不是曲面的一部分。
通过这两个条件，我们可以判断一个曲面是否封闭。
例如，球体就是一个封闭的曲面，因为它是一个连通的闭合曲线，并且球体将整个三维空间围成。
另外，立方体也是一个封闭的曲面，因为它是一个连通的闭合曲线，并且立方体将整个空间划分为内部和外部两个部分。
然而，并不是所有的曲面都是封闭的。
例如，圆盘就不是一个封闭的曲面，因为它只是一个平面上的闭合曲线，没有将整个空间围成。
同样，圆锥面也不是一个封闭的曲面，因为它只是一个从一点向外延伸的曲线，也没有将整个空间围成。
封闭的概念在几何学中具有广泛的应用。
它可以用于描述许多几何对象，如曲线、曲面、多面体等。
例如，在计算机图形学中，封闭曲面可以用于表示实体对象，方便进行渲染和模拟。
在流体力学中，封闭曲面可以用于描述流体的流动和压力分布。
总结来说，曲面封闭是一个描述曲面能否围成一个封闭空间的概念。
一个封闭曲面必须同时满足连通的闭合曲线和将整个空间划分为内部和外部两个部分的条件。
曲面封闭的概念在几何学的研究中具有重要意义，并在许多领域中有着广泛的应用。
六年级数学下册小升初曲线形面积问题解题思路梳理(曲线形面积问题常用结论与解题思路)
【内容提要】1．基本图形：圆形、扇形2．组合图形：方包圆、圆包方、三角包圆、圆包三角、图形的旋转3．解题方法：加减法、整体法、割补法、比例法、方程法加减法把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式整体法把某些数量关系看成一个整体，进行有目的的、有意识的整体处理割补法把要求的图形通过切割再拼补成规则图形比例法把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解方程法根据面积的比例关系列方程解题如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积。
(π取3)如图，ABCD是正方形。
阴影部分的面积为_______。
(π取3.14) 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半径CB＝4厘米，求阴影部分的面积。
(π取3)⑴如下图①，在以AB为直径的半圆上取一点，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC。
已知AC的长度为4，BC的长度为3，AB的长度为5。
试求阴影部分的面积。
小升初曲线形面积问题解题思路梳理——曲线形面积问题常用结论与解题思路(★★)(★★★) (★★★) (★★★) (★★★★)⑵如图②，阴影正方形的顶点分别是大正方形EFGH各边的中点，分别以大正方形各边的一半为直径向外做半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，再分别以阴影正方形的各边为直径向外作半圆，形成8个“月牙形”。
这8个“月牙形”的总面积为32平方厘米，问大正方形EFGH的面积是多少平方厘米？如图，在3×3方格表中，分别以A、E、F为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段圆弧与正方形ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比S1∶S2＝？正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π) 图中等边三角形的边长是3厘米，圆形的半径是1厘米。
圈闭叠合面积
圈闭叠合面积圈闭叠合面积是指一个平面图形中，由多个圆或部分圆所围成的封闭区域的总面积。
在几何学中，圈闭叠合面积经常被用于解决各种实际问题，例如计算地理图中的湖泊面积、建筑物的占地面积等。
本文将探讨圈闭叠合面积的计算方法、应用场景以及相关的数学定理。
一、圈闭叠合面积的计算方法计算圈闭叠合面积的方法主要有两种：几何方法和数学方法。
1. 几何方法几何方法是通过几何图形的性质和关系来计算圈闭叠合面积。
常见的几何方法有分割法、面积相减法和面积相加法。
分割法是将圈闭叠合区域分割成多个简单的几何图形，然后计算每个简单图形的面积，再将各个简单图形的面积相加得到总面积。
例如，将一个圆形湖泊分割成多个扇形和三角形，分别计算每个扇形和三角形的面积，最后相加得到湖泊的总面积。
面积相减法是通过将较小的圆或部分圆从较大的圆或部分圆中减去，得到圈闭叠合区域的面积。
例如，一个圆形花坛中有一棵小树，我们可以先计算整个花坛的面积，再计算小树所占的面积，最后将小树的面积从花坛的面积中减去，即可得到花坛中除小树外的部分的面积。
面积相加法是将多个圆或部分圆的面积相加得到总面积。
例如，一个公园中有多个圆形花坛，我们可以先计算每个花坛的面积，再将各个花坛的面积相加得到公园的总面积。
2. 数学方法数学方法是通过数学公式和计算方法来计算圈闭叠合面积。
常见的数学方法有积分法和近似计算法。
积分法是通过积分计算曲线所围成的面积。
例如，一个不规则形状的湖泊，我们可以通过将湖泊的边界曲线表示为函数的形式，然后对该函数进行积分，即可得到湖泊的面积。
近似计算法是通过将圈闭叠合区域分割成多个小块，然后对每个小块的面积进行估算，最后将各个小块的面积相加得到总面积。
这种方法适用于复杂的圈闭叠合区域，可以通过增加小块的数量来提高精确度。
圈闭叠合面积的计算在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 地理学：计算湖泊、河流等地理图中的水域面积，用于研究水资源分布和管理。
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N 注 本题 亦可 以 用积 分思 想 求出 精确 的 区域
面积
S=
Q21
1 x
dx
=
-
1 x2
|
2 1
=
3 4
1
新高考强调数学 思想对数 学的 指导意 义, 考查
内容也必将将数学 思想渗 透在其中, 希望通 过本文
的 分析, 能够 引起 对数 学思想 的重 视, 让 学生 在数 学思想的指引下走 出一条 属于光明 的数学 之路, 在 高考的战场上书写出绚丽的篇章!
( 收稿日期: 20061228)
4 )的图象及 y = - 2与 y = 3 所围成的封闭图形的面
积是
1 (答案: 20 )
11 3 应用对称简化求解过程
例 3 求曲线 x2 + y2 = |x | + |y |所围 成的图形
的面积 1 (人教高二上册第 89页第 9 题 )
分析 对 于以 方 程形 式给 出 的封 闭曲 线 围成
# 复习参考 #
( 2007年第 4期 )
25
盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想
213161 江苏省前黄高级中学 宋书华
近几年 曲线 围成 封 闭图 形面 积 问题 已经 悄然 成为高考中的一个 热点问 题, 而且含 高数背 景的问 题也时有出现, 本文 枚举数例 来阐述 处理此 类问题 的常见数学思想, 以期对读者有所启发!
2
2
图4
一象限与坐标轴所围成的封闭 图形的面积, 记为 S1
由图
4可知 S = S v OAB + S半圆 =
1 2
+
P4 根据 对称性可
知, 曲线 x2 + y2 = |x | + |y |所围 成的图 形的 面积为
4S = P+ 2
类题演练: 求曲线 |x | + |y | = 1所围 成的 图形
我们发现, 可将直线 y = 1 上方的一个小拱形移到直
线 y = 1下方, 恰好使得 下方图 形构 成一个 矩形, 故
所求区域面 积转 化 为求 一个 小拱 形 面积 和一 个矩
形面积之和, 由图中数据很快知所求面积为
P+
2 3
1
图2
图3
类题演练: 由函数 y = log2 x 与函数 y = log2 ( x -
图形的面积问题, 一 般先从 代数角度 来研究 曲线的
方 程, 通 常此 类曲 线都 具有很 强的 对称 性, 利 用图
形的对称性可以简 化我们 的求解过 程, 达到 事半功
倍的效果!
解 从方程角 度看, 用 - y 替 代方 程 x2 + y2 =
|x |+ |y |中的 y, 方程不变, 故知曲线关于 x 轴对称;
1)dx=
(
1 3
cos3x+
x
)
|
4P 3 P 3
=
P+
2 3
1
4 估算思想
例6
利用随机模 拟方法计 算曲 线 y =
1 x
,
x
=
1, x = 2和 y= 0所围成的图形的面积 1
分析 在直角坐 标系中画 出正方 形 ( x = 1, x = 2, y = 0, y = 1所围成的部 分 ), 用随机模 拟的方法可 以得到它的面积的近似值 1
+
1 n
(
nn
1)
2
=
1 n3
[ 12 +
22 +
32 +
,+
(n-
1) 2 ]
=
(n-
1) ( 2n 6n2
1) 1
故
S = lmi n→ ]
(n -
1) ( 2n 6n2
1)
=
1 3
1
3 积分思想
例 5 已 知 函数 f (x ) = x2,
求函数 f ( x )的图象与直线 x = 0, x = 1以 及 x 轴 所围 成 的封 闭 图 形的面积 S1
分析 连续曲线 y = f (x ) \0
在 [ a, b ] 上 的 曲 边 梯 形 面 积 为
图6
S = Qabf (x ) dx1
解
依题意知 S = Q10x2 dx =
1 3
x3
|10 =2的命 题背景 实际 就是积 分思 想!
另解如下
S=
4P
Q3 P 3
(-
sin3x+
图5
这些小区域面积之和的极限即 为所求区域的 面积 1
在微元思想中, 用得最多的 操作思想: / 化 曲为直 0,
从而使问题常规化, 更容易解 决 1初等 几何 中推导
圆的面积公 式以 及球 的 表现 积和 体 积公 式都 是采
用的这种思想 1
解 将区间 [ 0, 1] n 等 分, 过其 n - 1 个 分点分
26
( 2007年第 4期 )
# 复习参考 #
用 - x 替 代方 程 y2 = |x | + 1 中 的 x, 方程亦不变, 故 知曲线关 于 y 轴对称 1从而本题 可以简化 为 研究曲线 x2 + y2 = x + y, 即 ( x -
1 )2 + (y - 1 )2 = ( 2)2 在第
2
解 ( 1 )利用计 算器 (或计 算机 ) 产生 两 组 0到 1 区间 上
的 随 机 数, a 1 = RAND, b =
RAND;
( 2 )进 行平 移 变 换: a = a1
+ 1; (其 中 a, b 分 别 为随 机 点
图7
的横坐标和纵坐标 )
( 3 )数出落在阴影 内的点 数 N 1, 用几何 概型公 式计算阴影部分的面积 1
y[ 3,
1 (答案: 5 )
11 2 巧 / 割补 0化难为易
例 2 ( 05年湖南卷第 15 题 )设函数 f (x )的图
象与直线 x = a, x = b及 x 轴所围成图形 的面积称为
函数 f ( x )在 [ a, b ]上 的面 积, 已知 函数 y = s innx 在
[ 0,
P n
]
上
的
面积
为
2 n
( nI
N*
), 第 ( 2) 问: y =
sin
( 3x - P) + 1 在 [ P3 , 43P] 上的面积为
1
分析 由图象变 换引起的 封闭 图形面 积, 我们
往往通过 / 割 (补 ) 0来实 现不规 则图 形向规 则图形
转化的目的 1
解
依据题设的定义, 可知 y =
sin3x 在 [ 0,
的面积 1 (答案: 2 )
2 微元思想 (极限思想 )
例 4 已 知 函数 f ( x )
= x2, 求函数 f ( x )的图 象与
直线 x = 0, x = 1以及 x 轴所
围成的封闭图形的面积 S1
分析 微 元思 想 就 是
指把所 求区 域 分成 n 个 小
区 域, 当 n 趋向 正无 穷 时,
1 化归思想
11 1 借助线性规划精确画图 例 1 ( 06年浙江卷 )在平面 直角坐 标系中, 不 x + y - 2\ 0,
等式组 x - y + 2\ 0, 表示的平面区域的面积是 x [ 2, ()
A1 4 2 B14 C1 2 2 分析 由 不 等 式 组 所 确 定 的平 面区域, 只需根 据条件画 出 每一 个二 元 一 次 不等 式 所 确 定 的 平 面区 域, 最 后 锁定 可 行 域, 辅以 代数运 算, 即可 很快的求 出 封闭图形的面积 1
D12
图1
解 根据条件画 出满足条 件的 可行域, 即如图 1所示的三角形及其内部 1
x + y - 2= 0,
联立
得点 P ( 2, 4 ), 故 封 闭 图形
x - y + 2= 0,
的面积 S = 4, 应选 B1
类题 演 练: 在 平 面 直 角 坐 标 系 中, 不 等 式 组
|x |[ y [ |x |+ 1, 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积为
别作 x 轴的垂线与 曲线 y = x2 相交, 则所 求封 闭图
形面积可 以 转化 为 n 个 小 区域 的 面 积之 和 (如图
5 ), 当 n 非常 大的 时候, 每个 小区 域 的面 积可 近似
的看作是一个小矩形的面积, 则
SU
1 n
(
1 n
)2
+
1 n
(
2 n
)2 +
1 n
(
3 n
)2
+
,
P 3
]上
的面积为
23, 即如图 2所示的一个小拱形面积为
2 3
1
函数 y = s in( 3x - P) + 1与 函数 y = - sin3x + 1
在 [ P3 , 43P]上的面积相等, 作 出函数 y = - sin3x + 1
在 [ P3 , 43P]上的图象, 所求区域如图 3所示, 很快的