第十六讲直线方程与简单的线性规划
【高中数学课件】简单的线性规划及实际应用ppt课件
画可行域，平行移动，通过解方程 组解最优解，答最优解与最值
1、二元一次不等式（组）表示的平面区域
例1、画出下列不等式（或组）表示的平面区域
1
x2
3
1 x 2 y 1 0
x 2y1 0
（2）．求不等式|x1||y1|2表示的平面区域 的面积
(1)z=6x+10y， (2)z=2x-y,
(3)z=2x-y，(x,y均为整数)
(4)z=-2x+y,
(5)z= x2 y2
（3）同上，作出直线 L0：6x+10y=0，再将直线 L0 平移，
当 L0 的平行线过 C 点时，可使 z=2x-y 达到最小值 12 5
当 L0 的平行线过 A 点时，可使 z=2x-y 达到最大值 8
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 1
2
1
第二种钢板 1
1
3
天马行空官方博客：/tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
y
16 12
A
8
O
12
28
x
l2
l1
l3
解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，
所用钢板面积为 z m2，则有：
x y 12 天2x马x行3yy空官1257方博客：h，ttpz ://xt.q2qy.c，om作/出tm可x行k域_docin ； QxQ:103,1y8204,1x1, y89；NQQ群：175569632
，得
l1
与
l3
的交点为
A（
9 2
,
15 2
），
简单的线性计划教案
简单的线性计划教案●教学目标（一）教学知识点1.线性计划问题，线性计划的意义.2.线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等大体概念.3.线性计划问题的图解方式.（二）能力训练要求1.了解简单的线性计划问题.2.了解线性计划的意义.3.会用图解法解决简单的线性计划问题.（三）德育渗透目标让学生树立数形结合思想.●教学重点用图解法解决简单的线性计划问题.●教学难点准确求得线性计划问题的最优解.●教学方式讲练结合法教师可结合一些典型例题进行讲解，学生再通过练习来掌握用图解法解决一些较简单的线性计划问题.●教具预备多媒体课件（或幻灯片）内容：讲义P60图7—23记作§ A进程：先别离作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，再找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封锁区域）.再作直线l0:2x+y=0.然后，作一组与直线的平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的转变.●教学进程Ⅰ.课题导入上节课，咱们一路探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，咱们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.Ⅱ.教学新课第一，请同窗们来看如此一个问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 知足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所知足的条件来看，变量x 、y 所知足的每一个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(打出投影片§ A)［师］（结合投影片或借助多媒体课件）从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R .可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )知足2x +y ＞0,即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.（引导学生一路观察此规律）在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以通过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以通过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以：z m ax =2×5+2=12,z m in =2×1+3=3.诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，咱们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性计划问题.例如：咱们适才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性计划问题.那么，知足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部份表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）别离使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做那个问题的最优解.Ⅲ.课堂练习［师］请同窗们结合讲义P 64练习1来掌握图解法解决简单的线性计划问题.（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如图所示：当x =0,y =0时，z =2x +y =0点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线l :2x +y =t ,t ∈R .可知，在通过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以通过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m ax =2×2-1=3.（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在通过不等式组所表示的公共区域内的点时，以通过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以通过点（817,89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817=14. Ⅳ.课时小结通过本节学习，要掌握用图解法解决简单的线性计划问题的大体步骤：1.第一，要按照线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.Ⅴ.课后作业（一）讲义P 65习题（二）1.预习内容：讲义P 61～64.2.预习提纲：如何用线性计划的方式解决一些简单的实际问题.课 题有关概念 复习回顾约束条件 二元一次不等式表示平面区域 线性约束条件目标函数线性目标函数 例题讲解 课时小结线性规划问题 图解法解决线性规划问题的基本步骤 可行域最优解。
简单的线性规划说课
２
将上题中的目标函数改为 z=x2+y2, 求:z 的最大与最 小值。
x+y≤2 x≥0 y≥0
(五)、归纳小结、延伸提高
1、 小结 意义及有关概念
线性 规划
图解法 解题步骤 （ 注意事项：画图 要准确，注意数形结 合思想的应用）
应用（下一课时的内容）
2、 延伸
我们今天学的线性规划问题的图解法，能解决生活中 的一些实际问题（如引例）这也是我们下一节课学习 的内容。
(六)布置作业：
二、 教学方法及手段
首先创设情境，激趣导课。其次设置探究问题， 通过生生互动、自主合作探究学习。然后多项变式 练习,使学生能举一反三融会贯通。教师点拨、启发 引导,师生共同总结升华，同时采用多媒体辅助教学, 直观生动、化抽象为具体,提高课堂效益。
三、 说学法
本节课应着重强调学生自己动手，画符合条件 的区域，画变化中的直线，从几何的角度去理解好 问题。而教师创设疑问，精选范例，变式训练，通 过多媒体的启发点拨，使学生努力想办法解决问题， 这也体现了素质教育中学习能力的培养，达到了教 学目的。
例：设z=2x+y 式中变量x、y满足下列条件： x-4y= -3 3x+5y≤25 x≥1 (1) 指出约束条件及目标函数 (2) 画出可行域 (3) 求z的最大、最小值 [结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在 可行域的顶点处0y,求Z的最大 值和最小值。
（ 2 ）当Ｚ变化时，关于Ｘ、Ｙ的方程Ｙ = － 0.9 Ｘ + Ｚ 表示一组什么曲线？ （3）求z的最小值能否转化为求直线y= －0.9x+z在 y 轴上截距的最小值？
结论：
(1)若Ｚ是常数，Ｚ=0.9X+Y表示一条直线 令Ｘ＝０，则Ｙ＝Ｚ。∴Ｚ是这条直线在Ｙ 轴上的截距。 (2)是一组斜率为－0.9的平行直线。 (3)可以
简单的线性规划教案
简单的线性规划教案教案标题：简单的线性规划教案教学目标：1. 了解线性规划的基本概念和特点。
2. 理解线性规划问题的求解过程。
3. 能够利用线性规划方法解决简单的实际问题。
所需材料：1. 铅笔、纸张、计算器。
2. 多个线性规划问题的案例。
教学步骤：引入阶段：1. 引导学生思考：什么是线性规划？线性规划有哪些应用场景？2. 提出教学目标，并解释线性规划的定义和特点。
探究阶段：3. 解释线性约束条件和目标函数的概念。
4. 利用一个简单的例子说明线性规划问题的形式和表示方法。
5. 引导学生分析并列出问题的线性约束条件和目标函数。
实践阶段：6. 将学生分成小组，每个小组选择一个实际问题，并将其转化为线性规划问题。
7. 指导学生列出问题的线性约束条件和目标函数。
8. 引导学生运用计算器或手动计算，求解其线性规划问题。
9. 学生分享并讨论解决过程和结果。
巩固阶段：10. 提供更多复杂的线性规划问题案例，让学生独立尝试解答，并讨论解决策略和结果。
11. 简要总结线性规划的基本原理和步骤。
拓展阶段：12. 引导学生思考更高级的线性规划问题，如带有整数约束或非线性目标函数的问题。
13. 推荐相关参考书籍和网上学习资源供学生深入学习。
评估方式：1. 在实践阶段，观察学生的合作和参与情况。
2. 收集学生独立解答的线性规划问题的答案，并进行评估。
教学反思：根据学生的反馈和评估结果，适时调整教学步骤和内容，确保学生能够理解和应用线性规划的基本原理。
高二数学课件：《简单的线性规划》
高二数学课件：《简单的线性规划》机遇如风，才智似帆，勤奋为桨，现实是水，欲一帆风顺，须据此努力。
学生掌握寻找整点解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握数形结合的数学思想，尽管侧重于用数研究形，但同时也用形去研究数，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量，收到的效益；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.【课件二】教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足.即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得值和最小值，它们都叫做这个问题的解.。
简单的线性规划
所表示的平面区域的公共部
分。
表示的平面区域
x－y+5=0
Y
x+y=0
O
X
解：不等式ｘ－ｙ＋５＞０表示
直线ｘ－ｙ＋５＝０上及右
x=3
下方的点的集合，ｘ＋ｙ≥０
表示直线ｘ＋ｙ＝０上及右上方的点的集合，ｘ≤３
表示直线ｘ＝３上及左方的点的集合。
巩固练习２：画出下列不等式组表示的平面区域：
y＜x
⑴ x+2y≤4 y≥－２
A(-3,1)
kMA
2 1 1 (3)
1 4
kMC
20 1 (1)
1
B(-2,0)
得 1 <k<1,即 1 b 2 1
4
4 a 1
b
C(-1,0) -2
M(1,2)
b=0 a
a+2b+1=0 a+b+2=0
例:已知实数x,y满足
4x y 10 4x 3y 20 x 0 y 0
1
a
2b
0
b0 o a 2b 1 0
1
2x
4 2a 2b 0 a b 2 0
将不等式组看成关于a,b的二元一次组, 用线性规划画出a,b满足的区域
k b2 a 1
b0 a 2b 1 0 a b 2 0
2.|x|+|y|<2表示正方形之内的区 域.
例3:求证:方程
(x-a)(x-b)+ (x-a)(x-c)
+ (x-c)(x-b)=0 有两个实根,其中一个根大于b,另一个根 小于b.
高中数学简单的线性规划
简单的线性规划【知识要点】1、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般的，二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. (3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负)来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0)所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点． ②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域．（ⅱ）当B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域； 当B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域. 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( A x 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 2．简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等． 约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组． 线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题． 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解． 可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )称为可行解． 可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域． (2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数； ④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解； ⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解． 【例题讲解】例1、(1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为223a x y +=，由题意，得23231a+⨯>，解得a ＜－7．(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0， 所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤.022,1,0y x y x(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．(2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0， 所以⎩⎨⎧<->+0202b a b a ，或⎩⎨⎧>-<+0202b a b a ，点(a ，b )表示的平面区域如图所示．例3、（1）在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是解：作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。
简单的线性规划高二数学 教案
江西省南昌大学附属中学简单的线性规划高二数学胡凌云一、教材在本章节中的地位及作用1．“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对数学知识应用的重视，体现了数学的工具性、应用性．2．本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.3．本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力．二、教学目标1．知识目标：能把实际问题转化为简单的线性规划问题，并能给出解答．2．能力目标：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．3．情感目标：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新．三、教学重点与难点1．教学重点：建立线性规划模型2．教学难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化．四、教学方法与手段1．教学方法为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．教学手段新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学．根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形的动态变化情况．3．学生课前准备坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔五、教学过程设计教学流程图(一)创设情境，新课导入(教师活动)通过多媒体创设情境(学生活动) 思考、并根据分析，尝试用坐标纸作图、解答．引例：某班班长赵彬预算使用不超过50元的资金购买单价分别为6元的笔筒和7元的文具盒作为奖品，根据需要，笔筒至少买3个，文具盒至少买2个，问他最多共买多少个笔筒和文具盒？请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题？设计意图：通过创设情境，自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关，激发学生的学习热情，明确本节课探究目标，同时又复习了线性规划问题的图解法．(二)例题示范，形成技能(教师活动)电脑打出例题，并作分析．(学生活动)思考、并根据分析，尝试解答．例1要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？[分析]本题是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的资源来完成该项任务 （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质.（建模）① 确定变量及目标函数：第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，所用钢板数为z 张，则z =x+y ② 分析约束条件；③ 建立线性规划模型；设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，由题中表格得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x试求满足上述约束条件的x, y ，且使目标函数z ＝x+y 取得最小值(其中x, y 均为正整数)．因此把实际问题转化为线性规划问题.（求解）④ 运用图解法求出最优解；用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.⑤ 回答实际问题的解．解：设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,273,182,152y x y x y x y x z=x+y ，作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线l : x+y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A ，且与原点距离最近，此时z=x+y 取最小值.解方程组215327x y x y +=⎧⎨+=⎩,,得交点A 的坐标（183955,），由于185和395都不是整数，所以可行域内的点(183955, )不是最优解.将直线l 1向可行域内平移，最先到达的整点为B(3,9)和C(4,8)它们是最优解，此时z 取得最小值12. 答：要截得所需规格的三种钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种，第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张，两种方法都最少要截得两种钢板共12张.[说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法”，即打网格，描整点，平移直线l ，找出整点最优解．此法应充分利用非整点最优解的信息，作图要精确．设计意图：把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点，而寻找整点最优解则是例1的难点．为此本环节充分利用计算机辅助教学，投影题目及表格，作可行域，动态演示直线的平移过程等，不仅能够增大教学容量，而且能够使数学知识形象化、直观比，诱发学生在感情上参与；同时，多媒体教学通过对学生各种感官的刺激，以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构，能把课堂结构反映得更集中、典型、精粹，从而大大优化了课堂结构．例2某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品1 t 需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过360 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？[分析] 本题是在资源一定的条件下，怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大． （审题）引导学生弄清各元素之间的关系，抓住问题的本质，整理已知数据列成下表：产品消耗量 资源 甲产品（1t ）乙产品（1t ）资源限额（t ）A 种矿石（t ） 10 4 300B 种矿石（t ） 5 4 200 煤（t ） 4 9 360 利润（元）6001000(建模)(1)确定变量及目标函数：若设生产甲、乙两种产品分别为x t, y t, 利润总额为z 元，则用x ，y 如何表示z ？(2)分析约束条件：z 值随甲、乙两种产品的产量x ，y 变化而变化，但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素? (3)建立线性规划模型：已知变量x,y 满足约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 求x, y 取何值时，目标函数z ＝600x +1000y 取得最大值，（求解）采用图解法求出最优解解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，根据题意可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x 目标函数为：z=600x+1000y . 作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线l :600x+1000y=0, 即直线l :3x+5y=0,把直线向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x =36029≈12.3y=100029≈34.5答：应生产甲产品约12.3 t ，乙产品约34.5 t ，能使利润总额达到最大[说明]对于最优解的近似值，要根据实际问题的具体情形取近似值．按四舍五入取值即x =12.4,y =34.5时，虽然z=41940最大，但此时的x,y 不在可行域内．可以验证点（12.4,34.4）和(12.3,34.5)在可行域内，但当x =12.4,y =34.4时，z =41840；当x =12.3,y =34.5时，z =41880，因此按精确度取舍后的最优解点，可以离M 点“较远”，但必须离l 1距离最小．本例要求精确到0.1 t ，只需把坐标平面以0.1 单位网格化，在格点上找到离l 1距离最小的点，就是符合题意的最优解．设计意图：学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，本环节教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决．用多媒体展示最优解的近似值．引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤：(三)学生互动巩固提高(教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答．巡视学生解答情况，纠正错误．(学生活动)用坐标纸作图、解答．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益?（答案：隔出大房间3间，小房间8间或者只隔出小房间12间就能获得最大收益．）（教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评）设计意图：巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用．(四)概括提炼，总结升华(引导学生从知识和思想方法两方面进行总结)1．本节课你学了哪些知识？2．本节课渗透了什么数学思想方法？(五)布置作业，探究延续1．课本作业：P65，习题7．4第3，5题．2．选做题：P88，第16题3．拓展题：通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例设计意图：强化基本技能训练，巩固课堂内容，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，以便及时矫正．(六)板书设计（略）(七)教学设计说明1．本节课是线性规划第三课时的教学内容，它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划的图解法等知识为基础，体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想.2．学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模，故本设计把“实际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键．3．对于应用问题而言，学生遇到的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情境，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，故将本节课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在同学们面前．以利于他们理解；分析完题意后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法． 4．本节课的设计，力图让学生在教师的指导下，从“懂”到“会”到“悟”，体会钻研的意识，品尝成功的喜悦，从而使学生在积极活跃的思维过程中，数学能力和数学素养得到提高．。
简单的线性规划
2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ （1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把z=2x+3y 变形为233z y x =-+，这是斜率为23-，在y 轴上的截距为3z 的直线。
当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x =-+），这说明，截距3z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。
可以看到，直线233z y x =-+与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z 最大时，z 取得最大值。
因此，问题可以转化为当直线233z y x =-+与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3z最大。
简单的线性规划最新课件
几个结论：
1、线性目标函数的最大（小）值一般 在可行域的顶点处取得，也可能在边界 处取得。
2、求线性目标函数的最优解，要注意 分析线性目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。
简单的线性规划最新课件
在关数据列表如下：
A种原料 B种原料
甲种产品
4
12
乙种产品
1
9
现有库存 10
60
利润 2 1
x
-
5y
3
5x 3y 15
求z=3x+5y的最大值和最小值。
简单的线性规划最新课件
5x+3y=15 y
5
y=x+1
B(3/2,5/2)
1
O1
5
-1
A(-2,-1)
X-5y=3 x
Zma x1;7 Zmi简 n 单的 线1 性规划最1新课件
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解； （4）答：作出答案。
x 4 y 3
设z=2x+y,求满足
3
x
5
y
25
最优解
x 1
任何一个满足
时,求z的最大值和最小值.
不等式组的 （x,y）
线性规 划问题
可行域 所有的 可行解
简单的线性规划最新课件
有关概念
由x，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x， y 的约束条件。关于x，y 的一次不等式或方程组 成的不等式组称为x，y 的线性约束条件。欲达到
1，求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
尽管题目中给出所求直线上的点，但 k 都与三角
形面积的最值有关，这就需要列出含有 k 的面积表达 式，使直线方程与函数的最值结合起来，增加了问题 的综合度与难度，注意极值问题中均值定理的使用特 点,注意斜率 k 本身为负值的条件。
例3 一直线被两条平行直线 L1 : x 2 y 1 0，
点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直 线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
1．（04全国Ⅱ— 8）在坐标平面内，与点 A（1，2）距
离为 1，且与点 B（ 3，1）的距离为 2 的直线共有
直线或 y 轴（C = 0）。
5．解题时要充分利用图形给出的语言，因此，画图
时尽量标准，不可乱画。
6．线性规划的重点是把约束条件的二元一次不等式
组表示成可行域，难点是把目标函数与可行域结 合寻找最优解，所以用图解法解决线性规划问题 时，分析题目的已知条件找出约束条件和目标函 数是关键，可先将题目中的量分类，列出表格， 理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻找约 束条件，就题目所述找到目标函数。
∴ k 3x 2 y 则 3 x 2 y 6 的最大值为 6 。
1．正确理解斜率概念，掌握过两点的直线的
斜率公式是复习好本章内容的关键。
（1）任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条 直线都有斜率。（α = 90°时，斜率不存在） （2）斜率指的是直线对 x 轴的倾斜程度，用 k 表 示，它的值等于倾角的正切值。
解：作出直线 x – y – 1 = 0 和 x – 1 = 0 及点A（4,－1）,
LBA
由于 x – y – 1 = 0 是∠B 的平分线，
∴
LBC 与 LBA
关于 x – y – 1 = 0 对称，A 点（4,－1）关于
x – y – 1 = 0 的对称点 A´´ 应在
A´´（0，3）。 又∵ x = 1，是∠C的平分线
时，目标函数 k
3 x 2 y 的最大值为 ________。
由线性约束条件画出可行域：
欲求 k 3 x 2 y 的最大值。 即求与 3 x 2 y 0 平行且经过可行域的直线的截距的最大值。 直线C为所求直线，A点坐标为（2，6）
3 ∴ L1 ： y 6 ( x 2) 2 2 y 12 3 x 6
解：先画出可行域，如图
3 z x ， 2 2 3 z 求 z 的最大值即求 y x 在 y 轴截距的最大值 2 2
由 z = 3x + 2y 得 y
3 ∴ 当直线 y x 平移过A（1，1）点时截距最大， 2 z 5 其 ， 2 2
∴ z |max 5
解决问题的关键是（1）准确作出可行域；
B点的直线，当△OAB面积最小时直线的方程。
此题已给直线上的点M（2，1），因此，
只要求出斜率 k 即可，此时的 k 应使△OAB的 面积最小，所以可用待定系数法，找出△OAB 的面积与 k 的函数式，求之。
解：设所求直线
2k 1 令 y = 0 ，得 – 1 = kx－2k，x k 2k 1 ∴ A( ,0) k
7．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：
一是给出一定数量的人力、物力资源，问怎样运
用这些资源能使完成的任务量最大，收到效益最 大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使 完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小。
8．当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平
行（ k = ki ）时 ，其最优解可能有无数多个。
（4）当直线与 x 轴平行时，规定 α = 0 ∴ k tan 因此倾角的取值范围是
B
0, 。
2．复习直线的方程时要渗透理解方程的直线与直
线的方程的思想，通过最简单的曲线——直线
来了解曲线与方程的意义。
3．要熟练掌握根据所给条件求直线方程的方法，
但要注意直线的点斜式，斜截式等方程存在的 前提是斜率 k 存在，只有 k 存在，各种形式才 能转换，当 k 不存在时，依据条件只能写成 x = a 的形式。
L2 : x 2 y 3 0 所截，线段中点在直线
x – y – 1 = 0 上，并且过直线与两平行直线 的交角为 45°，求此直线方程。
设 AB 为所求直线，被平行线所截的线段 AB 的 中点为 G，那么 G 点在 x – y – 1 = 0 上，G 也为 x – y – 1 = 0 被平行线所截线段的中点。G 点也应在与两平 行线 L ， L 平行且等距的直线上，抓住这些隐含的 2 1 条件，此题就易于求解了。
1．直线的倾斜角和直线的斜率； 2．直线方程的五种形式； 3．二元一次不等式表示平面区域；
（1）线性约束条件； 4．线性规划的基本知识：
（2）目标函数；
（3）线性目标函数； （4）可行解； （5）可行域； （6）最优解。
1．理解直线的倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公 式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根 据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和
例 1 △ABC中，A（4，－1），∠B，∠C 的平分线
方程分别为 x – y – 1 = 0 和 x – 1 = 0，求 BC 边 所在直线的方程。
求直线方程应确定直线上的点和斜率，此题都未给 出，因此可利用△ABC的图形及角平分线的性质，知 A 点关于∠B 的平分线的对称点 A´ 应在直线 BC上，同样 A 点关于∠C 的平分线的对称点 A´´ 也应在直线BC上， 根据A´，A´´的坐标即可确定直线BC的方程。
则线段AB的垂直平分线的方程为 （ ）
A．4x + 2y = 5 C．x + 2y = 5
B．4x - 2y = 5 D．x - 2y = 5
确定一条直线需要两个条件：点、斜率。由已
知 AB 的中点 M 坐标为 ( 2, 3 )，所求直线的斜率为k，
则 k 1 1 2 ，则线段 AB 中垂线的
LBC 上，从图形中可知
∴ A（4, －1）关于 x = 1 的对称点A´（－2,－1）也在 上，据两点式得 L
BC
: 2x – y + 3 = 0。
LBC
确定直线的两个条件，一个是点，一个是斜率，当
两个条件都未直接给出时要注意利用条件结合图形进行
分析，这是解好题的重要途径。
例 2 求过 M（2，1）点且与 x 轴，y 轴正方向交于A、
令 x = 0 ，得 y – 1 = – 2k，y = 1 – 2k ∴ B（0，1-2k）
LAB的方程为 y – 1 = k ( x – 2 ) 。
由于k<0。 ∴ S OAB
Hale Waihona Puke 1 1 2k 1 (1 2k ) 2 | OA | | OB | (1 2k ) 2 2 k 2k
1 k 2 1 1 1 k 2
1 。 3 1 则所求直线方程为 y 3 x 3
解出 k = – 3 和 k
1 1 4 4 和 y x 3 3 3 3
即 9x + 3y – 13 = 0 和 3x – 9y – 1 = 0。
求直线方程的关键即为找点和斜率，分析问 题时，注意抓住几何条件，扣住图形，如本题找 G 点坐标，就是通过对条件的分析而求得解法， 再利用待定系数法求斜率 k ，使问题得解。
解：设G( x 0 , y 0 )为被 L1 : x 2 y 1 0，L2 : x 2 y 3 0
所截线段的中点，由于 L1 : x 2 y 1 0 在 y 轴上的截 距为 1 。L2 : x 2 y 3 0 在 y 轴上的截距为 3 。 2 2 ∴ 过G点且与 L1 ，L2 平行的直线在 y 轴上的截距为 1。
1 注意两直线垂直，其斜率 k 1 ，设所求直线斜率为 k。 k2
1 则 k 2，又过点（－1，3）。 1 2
所求直线方程为 y – 3 = －2 ( x + 1) ∴ 2x + y – 1 = 0， 选（A）
4．（ 04广东－10）变量 x、y 满足下列条件：
2 x y 12 2 x 9 y 36 2 x 3 y 24 x 0, y 0
则使得z = 3x + 2y 的值最小的（ x，y ）是（ A．（4.5，3） C．（9，2） B．（3，6） D．（6，4）
）
本题考查线性规划的基 本内容，根据约束条件
画出可行域。(如图)
M点的坐标可求出为（3，6） 故直线平移到M点，有最小值。 ∴ 最小的（x,y）为（3，6） ∴选B。
2 x 4 5．（04上海文－7）当 x，y 满足不等式组 y 3 x y 8
（2）弄清目标函数的几何意义，如本题中的 z
3 z 相当于 y x ，在 y 轴上截距的 2 倍， 2 2
求 z 的最大值相当于求截距的最大值。
例 5 某工厂有甲、乙两种产品按计划每天各生产不少
于 15 t，已知生产甲产品 1 t 需煤 9 t，电力4 kw， 劳力 3 个（按工作日计算）；生产乙产品 1t，需 煤 4 t，电力 5 kw，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价12万元 ，但每天用煤量不得 超过 300 t，电力不得超过 200 kw，劳力只有300 个 ，问：每天各生产甲、乙两种产品各多少 t 才 能保证完成生产任务，又能过国家创造最多的财 富。
2
k AB
1 2
3 方程为： y 2( x 2) ， 2 2 y 3 4x 8
∴ 4x - 2y = 5。（选B）