第2章数理统计基础习题解答

( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X 8 )
2.5)___ ； 样 本 容
； 样 本 观 测 值 为 ___(3.1, 2.6, 2.8, 3.3, 2.9, 3.2, 2.4, 量
n = ____8___ ； 样 本 均 值 的 观 测 值
； 样 本 方 差 的 观 测 值
x=
1 8 1 xi = ( 3.1 + 2.6 + L + 2.5 ) = 2.8500 ∑ 8 i =1 8 1 8 2 ( xi − x ) =0.1114 ∑ 7 i =1
E( X ) =
E( X ) = λ
和方差 D ( X ) =
D( X ) / n = λ / n
.
4
19．设总体 X
N (1, 4) ， ( X 1 , X 2 , X 3 ) 是来自 X 的样本，其中 S 2 为样本方差，则
2 E ( X 12 ) E ( X 2 ) E ( X 32 ) = 125
6.26
；查表
1 1 = = 0.193 F0.05 (4,5) 5.19
.
； 若 Fα (6,3) = 14.73 ， 查 表 得
α=
0.025
三．应用计算题 27. 设总体 X ~ U [ a , b] ，求样本均值的期望和方差. 解：设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自总体 X ~ U [ a, b] 的样本，则 由 E ( X ) = ( a + b) / 2 知， E ( X ) = E ( X ) = ( a + b) / 2 由 D ( X ) = (b − a ) / 12 知， D ( X ) = D ( X ) / n = (b − a ) / 12n
2
∑( X
i =1
n
i
− 2)
2
32 服
从的分布是
χ 2 ( n)
.
23. 设样本 X 1 , X 2 , K , X n1 来自总体 X
N ( µ1 , σ 12 ) ，样本均值和样本方差分别为：
2 N (µ2 ,σ 2 )，
X=
1 n1 1 n1 −1 2 X ， S = 又设样本 Y1 , Y2 , L , Yn2 来自总体 Y ( X i − X )2 ， ∑ ∑ i 1 n1 i =1 n1 − 1 i =1 1 n2
2
.
17．设 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 为总体 X ~ N ( µ , σ ) 的一个样本，则 E ( X i ) =
µ
；
D( X i ) =
σ2
； E ( X i2 ) =
σ 2 + µ2
.
18. 设总体服从参数为 λ 的泊松分布 X ~ P (λ ) ，求样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 均值的期望
第 2 章数理统计基础习题解答
一．选择题 1. 设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 为总体 X 的样本，则不成立的是( B ).
A. 每个 X i
(i = 1,2, L , n) 与 X 有相同的分布． (i = 1,2, L , n) 是确定的数．
B. 每个 X i
C. ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是 n 维随机变量．
s2 =
； 样 本 二 阶 原 点 矩 的 观 测 值 为
b2 =
1 8 2 ∑ xi = 65.7600 8 = 8.2200 8 i =1
.
15. 设总体 X ~ B (1, p ) ，其中未知参数 0 < p < 1 , ( X 1 , X 2 , L , X n ) 是 X 的样本，则
P( X 1 = x1 , X 2 = x2 ,L , X n = xn ) =
2
8.
设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自正态总体 X ~ N ( µ , σ ) 的简单随机样本， X 为样本均
2
值，记 S12 =
1 n 1 n 1 n 2 2 2 2 ， ， X − X S = X − X S = ( ) ( ) ∑ i ∑ i ∑ ( X i − µ )2 ， 2 3 n − 1 i =1 n i =1 n − 1 i =1
C. xi , i = 1, 2, L , n 与 X 有相同的分布．
D. xi , i = 1, 2, L , n 与 X 有相同的数学特征．
3. 已知总体 X 服从 [0, λ ] 上的均匀分布( λ 未知) X 1 , X 2 , L X n 为 X 的样本， 则( C A.
).
1 n λ X i − 是一个统计量． ∑ n i =1 2
B.
1 n ∑ X i − E ( X ) 是一个统计量． n i =1 1 n ∑ X i − D( X ) 是一个统计量． n i =1
C. X 1 + X 2 是一个统计量．
D.
1
4. 是(
设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自总体 X 的样本， X 为样本平均值，则下述结论不成立的
E ( S 2 ) = D( X ) = p(1 − p) .
29．在天平上重复称一重量为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且都服从正态分布
N (a,0.2 2 ) ．若以 X n 表示 n 次称量结果的算术平均值，要使 P{| X n − a |< 0.1} ≥ 0.95 ，求
2 2
28. 设 X 1 , ⋅⋅⋅, X n 为总体 X ~ B (1, p ) 的一个样本，求 E X 和 D X ，并求样本方差(Fra bibliotek)( )
S2 =
1 n ( X i − X ) 2 的数学期望. ∑ n − 1 i =1
解：由性质可知， E X = E ( X ) = p
( )
D ( X )= D ( X ) / n = p (1 − p ) / n
样本均值和样本方差分别为： Y =
2 S12 σ 2 立，则 2 ⋅ 2 服从 S2 σ 1
∑ Yi ， S22 =
i =1
n2
1 n2 ∑ (Yi − Y )2 ，且两个样本相互独 n2 − 1 i =1
F (n1 − 1, n2 − 1)
分布.
查表得 z0.0495 = 24. 设 zα 为标准正态分布的上侧分位数， 查表得 α =
从
⎛ σ2 ⎞ N ⎜ µ, ⎟ n ⎠ ⎝
分布.
21. 设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自正态总体 X 从
N ( µ , σ 2 ) 的样本，则 Z =
n(X − µ)
σ
服
N (0,1)
分布.
则 22． 设总体 X ~ N (2,3 ) ，X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅, X n 为 X 的一个简单样本，
1.65
； 若 zα = 2.31 ，
0.0104
.
25. 设 tα (n) 为 t 分 布 的 上 侧 分 位 数 ， 则 查 表 得 t0.025 (5) =
2.5706
；若
tα (6) = 3.7074 ，查表得 α =
0.005
.
5
26. 设 Fα ( m, n) 为 F 分布的上侧分位数，则查表得 F0.05 (5, 4) = 得 F0.95 (5, 4) =
p i=1
∑ xi
n
n − xi (1 − p ) ∑ i =1
n
.
16 ． 设 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 为 总 体 X 的 一 个 样 本 ， 则 样 本 的
r
阶原点矩为
1 n r ∑ Xi n i =1
；样本的 r 阶中心矩为
1 n ( X i − X )r ∑ n i =1
A. 正态分布．
B. 自由度为 n 的 t 分布．
C.
D. F 分布．
12. 设 ( X 1 , L , X n ) 及 (Y1 , L , Ym ) 分别取自两个相互独立的正态总体 N ( µ1 , σ 2 ) 及
S12 N ( µ 2 , σ ) 的两个样本，其样本方差分别为 S 及 S ，则统计量 F = 2 服从 F 分布的自 S2
).
1 n 1 n 2 ， X S = ∑ ( X i − X )2 ，则以下结论中错误的是( B ∑ i n i =1 n − 1 i =1
B. ( X − µ ) / σ ~ N (0,1) ．
A. X 与 S 2 独立．
C. ( n − 1) S 2 / σ 2 ~
χ 2 (n − 1) ．
D. n ( X − µ ) / S ~ t ( n − 1) ．
C ).
A. X 与
∑(X
i =1
n
n
i
− X ) 2 独立．
B. 当 i ≠ j 时， X i 与 X j 独立．
C.
∑X
i =1
n
i
与
∑X
i =1
2 i
独立．
D. 当 i ≠ j 时， X i 与 X j 独立．
2
5. 样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 取自概率密度为 p ( x ) 的总体,则有( A
2 S4 =
1 n ( X i − µ ) 2 ，则服从自由度为 n − 1 的 t 分布的随机变量是( A ). ∑ n i =1
A.
X −µ ． S1 n
B.
X −µ S2 / n
．
C.
X −µ ． S3 n − 1
D.
X −µ ． S4 n
9. 设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是来自正态总体 X