2.2.2 等差数列的性质 课件(人教A版必修5)
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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
第九页，共32页。
4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
等差数列的性质 高中数学必修五课件
巩固练习
3、已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
4. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的
积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
设这三个数分别为a-d ，a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
5. 四个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…
对称项设法的优点：若有n个数构成等差数列．利用对 称项设出这个数列，则其各项和为na．
巩固练习
1. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4
2、
已知 a n 中 a 数 1 3 ， ,a 1 n 列 a 1 n 1 5 (n 2 )则 ,a n __ .
m n p q , a m a n a p a q .
例题分析
例1 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
试ap求 q.
解：设 d,则公 因 apa 差 q为 (p 为 q)d, 所d以 apaqqp1. pq pq 从 a p q a p 而 q q d q ( 1 ) 0 . 所a以 pq0.
二、 例：
例： 已知数列{ a n }的通项公式为 an pnq，其
数学必修5-2-2第2课时等差数列的性质PPT (2)
解析： (1)方法一：根据等差数列的性质 a2＋a14＝a3＋a13＝2a8 1 由 a2＋a8＋a14＝1，得 3a8＝1，解得 a8＝ . 3 2 ∴a3＋a13＝2a8＝3.
方法二：根据等差数列的通项公式，得 a2＋a8＋a14＝(a1＋d)＋(a1＋7d)＋(a1＋13d) ＝3a1＋21d. 1 由题意知 3a1＋21d＝1，即 a1＋7d＝3. 2 ∴a3＋a13＝2a1＋14d＝2(a1＋7d)＝3.
栏目导引
3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2 ＋b2＝100，则a37＋b37等于________．
解析： 设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．
c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100， ∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100. 答案： 100
工具
第二章 数列
栏目导引
等差数列的常用性质 性质1 通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*) 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 性质2 则ak＋al＝am＋an 若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1 a1＋an＝a2＋ 性质3 an－1＝a3＋an－2＝„
为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分 依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化简得d2＝16，于是d＝±4，4分
故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分
工具
第二章 数列
栏目导引
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，
(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．
工具
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距 若 是有穷等差数列， 是有穷等差数列 则与首、 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝…. ＝ ＋ － － (5)数列 n＋b}(λ、b是常数 是公差为 的等差数 数列{λa 是常数)是公差为 数列 、 是常数 是公差为λd的等差数 列．
方法感悟
若数列{a 是公差为 的等差数列，则有： 若数列 n}是公差为 d 的等差数列，则有： an－a1 am－ak (1)d＝ (m、n、k∈N*)． ＝ ＝ 、 、 ∈ ． n－1 m－k － － (2)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an 若 ＋ ＝ ＋ 、 、 、 ∈ ， ＝ap＋aq. m＋n ＋ (3)若 若 ＝k，则 am＋an＝2ak(m、n、k∈N*)． ， 、 、 ∈ ． 2
差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列， ＜ ，所以利润构成的数列是一个递减数列， 即随着n的增大， 的值越来越小， 即随着 的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处 的增大 时 此处 暗含a － 成立 公司将出现亏损． 成立)公司将出现亏损 暗含 n－1≥0成立 公司将出现亏损．
变式训练2 变式训练
体考虑问题． 利用 利用2a 利用a 体考虑问题．(1)利用 4＝a3＋a5，(2)利用 n＝ 利用 am＋(n－m)d. －
解析】 【 解析】 (1)∵a3＋ a4＋a5＝12，∴ 3a4＝ 12，a4 ∵ ， ， ＝4. ∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋ ＋ ＋ ＋ a4＝7a4＝28. (2)在等差数列 n}中，根据 an＝am＋(n－m)d， 在等差数列{a 中 在等差数列 － ， 1 ∴a51＝a11＋40d，∴d＝ (54＋26)＝2. ， ＝ ＋ ＝ 40 ＝－26＋ × ＝－ ＝－20. ∴a14＝a11＋3d＝－ ＋3×2＝－ ＝－
高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
6.等差数列通项公式的变形应用 已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不 一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中 强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每 一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一 等差数列的通项公式
【例1】 已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
新课标人教A版数学必修5全部课件：等差数列性质应(2)
D ）既不充分也不必要条
（ 3） a 1 , a 2 , a 3 , , a 2 n 1 成等差数列，奇数项之 偶数项之和为
( 4 ) 等差数列共
和为 60 ，
和。
45 ，求此数列的项数
.
15 项，第 8 项是 3，求这数列的奇数 ) 设 a n 是等差数列，
, S 100 145 , 求 :
a 1 a 3 a 5 a 99 的值
( 3 ) 一等差数列前 与奇数项和之比为
12 项的和为 354 ，前 12 项中偶数项 32 : 27 求公差 d 的值
( 4 ) 设等差数列的项数 与偶数项之和的比为
a n 9 a n 8 a n q 则前 n 项和 S n
( 4 ) 等差数列 紧接在后面的 再紧接后面
a n 的前
n 项和等于 2， 12 ,
2 n 项的和等于
3 n 项和为 S ，求出 S .
例 2。 （1）项数为奇数 2 n 1的等差数列
d 1 2
( 2 ) 在等差数列中，
2 . 1）如果数列 （
d 1, S 98 137 , 求 a 2 a 4 a 6 a 98 的值
a 1 25 ， b1 75
a n 、b n 都是等差数列，且
a 2 b 2 100 .，求 a 37 b 37 的值 （ 2） a n 2 a n 2 a n 1 ( n N ) 是数列成等差数列的 （ A ）充分非必要条件；（ （ C ）充要条件；（ B ）必要非充分条件； 件。
等差数列性质应用（2）
1 .在等差数列中，有： （1） a1 a n a 2 a n 1 a n r a r 1 ( 2 )若 m n p q , 则 a m a n a p a q （ 3） a n a n k a n k 2 ( 4 )当项数为 2 n 时 , 则 s 奇 s 偶 s 2 n , s 偶 s 奇 nd ( 5 )当项数为 2 n 1时，则 s 奇 s 偶 s 2 n 1 , s 奇 s 偶 a n a中 s 2 n 1 ( 2 n 1 ) a n ( 2 n 1 ) a中 s 偶 na , s 奇 ( n 1) a中
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
第28页，共46页。
【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
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通项公式；
(2)2012年伦敦奥运会是第几届？2050年举行 奥运会吗？
栏目 导引
第二章行奥运会的年份构成的
数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数 列．这个数列的通项公式为an＝1896＋4(n－ 1)＝1892＋4n(n∈N*)． (2)假设an＝2012,由2012＝1892＋4n,得n＝30.
假设an＝2050,则2050＝1892＋4n无正整数解.
即2012年伦敦奥运会是第30届奥运会，2050 年不举行奥运会．
栏目 导引
第二章
数
列
备选例题
1 1．若数列{an}满足 － ＝d(n∈N*，d 为常 an＋1 an
1 数)，则称数列{an}为调和数列．记数列 为 xn
1
调和数列，且 x1＋x2＋…＋x20＝200，则 x5＋ x16＝________.
8、{an}是等差数列，则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9, 仍成等差数列
栏目 导引
第二章
数
列
栏目 导引
故a5＋a8＝a3＋a10＝3.
(2)由a1＋a15＝a4＋a12，
得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.
答案：(1)3 (2)－4
栏目 导引
第二章
数
列
题型二
求解等差数列问题的设元技巧
例2 已知成等差数列的四个数之和为26，第 二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.
【解】 设此四数依次为 a－3d，a－d，a＋d， a＋3d.
1． (1) 数列 {an} 中， a3 、 a10 是方程 x2 － 3x－ 5
＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝
________；
(2) 在等差数列 {an} 中，已知 a1 － a4 － a8 － a12
＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
栏目 导引
第二章
数
列
解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，
栏目 导引
第二章
数
列
解析：由调和数列的定义可得 xn ＋ 1 － xn ＝ d, 即 {xn} 是等差数列， x1 ＋ x2 ＋…＋ x20 ＝ 10(x1 ＋x20)＝200，∴x1＋x20＝20，∴x5＋x16＝x1 ＋x20＝20. 答案：20
栏目 导引
第二章
数
列
2．已知五个数成等差数列，它们的和为 5， 85 平方和为 ，求这 5 个数． 9 解：设第三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数分别
为 a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5， 2 2 2 2 2 85 a－2d ＋a－d ＋a ＋a＋d ＋a＋2d ＝ 9 ，
栏目 导引
第二章
数
列
5a＝5， ∴ 2 2 85 5a ＋10d ＝ 9 . 2 ∴a＝1，d＝± . 3 2 1 1 5 7 d＝ 时，这 5 个数分别是－ ， ，1， ， ； 3 3 3 3 3 2 7 5 1 1 d＝－ 时，这 5 个数分别是 ， ，1， ，－ . 3 3 3 3 3 1 1 5 7 7 5 综上，5 个数分别为－ ， ，1， ， 或 ， ， 3 3 3 3 3 3 1 1 1， ，－ . 3 3
等差数列为________．
解析：设这三个数分别为a－d，a，a＋d， 则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3. 而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2. ∴所求数列为1,3,5或5,3,1.
答案：1,3,5或5,3,1
栏目 导引
第二章
数
列
题型三
等差数列的实际应用
．第一届现代奥运会于 1896年在希腊雅典举 例 3 例 3 行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不 能举行，届数照算． (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的
栏目 导引
第二章
数
列
想一想
若am＋an＝ap＋aq,则一定有m＋n＝p＋q吗？ 提示：不一定．若 {an} 是常数列，不一定有
m＋n＝p＋q.
做一做 等差数列 {an} 中，若 a10＝ 20 ， d ＝ 2 ，则 a6 ＝ ________. 解析：a6＝a10－4d＝20－8＝12.
答案：12
栏目 导引
第二章
数
列
(2)若{an}为等差数列，则
(n－m) an＝am＋_______________ d(m，n∈N*)．
(3)若{an}为等差数列,且m＋n＝p＋q(m，n， ap＋aq 特别地： p，q∈N*)，则am＋an＝_________.
am＋an 当p＝q时，_____________ ＝2ap.
法二：因为 a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d， 64 a1＝ 15 a1＋14d＝8 所以 ，解得 . 4 a1＋59d＝20 d＝ 15 64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. 15 15
【答案】
(1)74
(2)24
栏目 导引
第二章
数
列
变式训练
栏目 导引
第二章
数
列
归纳小结 等差数列的常用性质 若数列{an}是公差为d的等差数列
1、d>0， {an}是递增数列；
d<0， {an}是递减数列； d=0， {an}是常数列 2、d=(an-a1)/(n-1)=(am-an)/(m-n) 3、若m+n=p+q则am+an=ap+aq 4、m+n=2k，则am+an=2ak
复习：
1、等差数列的定义式； d=an-an-1 2、等差数列的通项公式。 an=a1 +(n-1)d 3、中项公式 a+b=2A
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2．2.2 等差数列的性质
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新知初探·思维启动
等差数列的性质
(1) 若 {an} 是公差为 d 的等差数列，则下列数 列： ① {c ＋ an}(c为任一常数 ) 是公差为 _____ d 的等 差数列； cd 的等 ② {c· an}(c为任一常数)是公差为_______ 差数列．
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典题例证·技法归纳
题型探究 题型一 等差数列性质的运用
例1 (1)在等差数列{an}中,a3＋a7＝37，则 a2＋a4＋a6＋a8＝________；
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，
则a75＝________.
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【解析】
(1)由等差数列的性质知
4a＝26 由题设知 ， a－da＋d＝40
解之得 3 d＝2
13 a＝ 2
或 3 d＝－2
13 a＝ 2
.
故这个数列为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
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变式训练
2 ．一个等差数列由三个数构成，这三个数 之和为 9 ，平方和为 35 ，则这三个数构成的
a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74. (2)法一：因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 其公差为d，a15为首项，
则a60为其第四项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4. 所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.
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5、{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离 的两 项之和都相等，且等于首末两项之和 即a1+an=a2+an-1=…=ai+ai-1=…
6、数列{kan+b}(k、b是常数)是公差为kd的 等差数列，{bn}也成等差数列，则{an+bn}， {kan+bn} (k为非零常数)也是等差数列 7、下标成等差数列且公差为m的项 ak,ak+m,ak+2m, …组成公差为md的等差数列