必修五等差数列

所以-20不是这个数列中的项.
P38页例3 （证明等差数列的方法）
5.若数列{an}的通项公式为 an＝10＋lg2n，求证： 数列{an}为等差数列．
【解题关键】利用数列{an}的通项公式写出 an＋1，利用 an＋1 －an 为常数，判断数列{an}为等差数列．
证明：∵an＝10＋lg2n＝10＋nlg 2， ∴an＋1＝10＋(n＋1)lg 2， ∴an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2) ＝lg 2(常数)(n∈N＋)， 所以数列{an}为等差数列．
例2
在等差数列｛an}中，已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d.
a 5 a 1 4d， 【解析】由题意， 得 a 12 a 1 11d，
10 a 1 4d， 即 31 a 11d， 1
代入公式
解之得a1=-2,d=3.
【变式练习】
（2014·重庆高考）在等差数列{an}中，a1＝2， a3＋a5＝10，则 a7＝( B ) A．5 B．8 C．10 D．14
1 (4) 已知d= , a7=8,求a1. 3 1 解：a7=a1+6d, 8=a1+6×( ), 所以a1=10.
3
4.-20 是不是等差数列 0,-3.5,-7 ，…的项？如果 是，是第几项？如果不是，说明理由.
【解析】不是，理由如下：
a1=0,d=-3.5.
47 n ，因为n∈N*， -20=0+(n-1)×(-3.5)， 7
探究： （1）等差数列8，5，2,…的第10项，第30项，第40 项？ （2）已知等差数列的首项为 a1 ，公差为 d ，请根据 等差数列的特点，猜想 a40 ？ a n ？
观察，发现
a2 a1 d , a3 a2 d , a4 a 3 d , ...
迭加法
an an1 d , 上面各式两边分别相加得： an a1 ( n 1)d , an a1 ( n 1)d .
a8 = - 2
例 6、在等差数列 {an } 中若 a1 a2 a5 30 ， a6 a7 a10 80 ， 求 a11 a12 a15 ．
130
例 7、成等差数列的四个数之和为 26，第二数和第三数之积为 40，求这四个数．
a1 + a2 + a3 + a4 = 26 a2 ?a3 40
6.
an＋an＋2 若数列{an}满足：an＋1＝ ， 2 求证：{an}是等差数列．
an＋an＋2 证明 ∵an＋1＝ 2 ⇔2an＋1＝an＋an＋2 ⇔an＋2－an＋1＝an＋1－an
∴an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1(常数)．
∴{an}是等差数列．
拓展探究
在数列{an}中，an＝lg 差数列．
证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b
＝(a2b＋c2b)＋(a2c＋c2a)＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)
＝b(a2＋c2)＋2abc＝b(a2＋c2＋2ac) ＝b(a＋c)2＝b· (a＋c)· (a＋c)＝2· b2(a＋c)．
等差数列的通项公式：
通项公式的变式
an am n m d
【即时练习】
求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项. 【解析】（1）根据题意得： a1=3,d=7-3=4, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15, a10=4×10-1=39.
2.(2015·北京高考改编)已知等差数列{an}满足 a1+a2=10,a4-a3=2. 求{an}的通项公式.
【解析】设等差数列公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2 =10,所以a1=4.
因此,an=4+(n-1)×2=2(n+1).
3.在等差数列｛an｝中， (1) 已知a1=2,d=3,求a10. 解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29. (2) 已知a1=3,an=21,d=2,求n. 解：21=3+(n-1)×2, 所以n=10. (3) 已知a1=12,a6=27,求d. 解：a6=a1+5d,即27=12+5d, 所以d=3.
? a2
a3 = 13
2,5,8,11 或 11,8,5, 2
6. 在等 差数 列 {an} 中， 若
a1 a4 a8 a12 a15 2
a ，求 8 ．
a8 = - 2
7. 在 等 差 数 列 {an } 中 若 a1 a2 a5 30 ，
a6 a7 a10 80 ，
5 【解析】∵an＋1－an＝lg 2n＋1＋1－lg 2n＋1 3 3 ＋ 32n 1 5 1 ＝lg( 2n＋1＋1× )＝lg (为常数)， 5 3 3 ∴数列{an}为等差数列． 5
5 2n＋1，判断该数列是否为等 3
探究： 已知 a，b，c 成等差数列，那么 2 2 2 a (b＋c 列？
探究2 ：等差中项 探究性问题2：
在如下的两个数之间，
插入一个什么数后这三个数 等差中项的 相关知识
就会成为一个等差数列：
（1 ）2 ，
3
，4 ； ，b
（2）-8，
（3 ）a ，
-4 ，0； ？
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成 最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的等差中项.
ab A 2
问题3 0 ，1 ，0 ，1 ， 0，1,…
探究性问题1：
以上数列是否是等差数列？ 若是，公差是多少？
问题4 常数列
a, a, a, a, a,
“从第2项起” 每一项与它的前 一项的差必须是 同一个常数(因 为同一个常数体 现了等差数列的 基本特征）.
探究性问题1
公差d是每一项 （从第2项起） 与它的前一项的 差，不要把被减 数与减数弄颠倒.
【解析】选 B.设公差为 d,因为 a1＝2,所以 a3+a5= 2+2d+2+4d=4+6d=10， 解得 d=1, 所以 a7=a1+6d=8.
当堂检测
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，-3a-5，-10a-1，
则a等于（ A ）
A. 1
【解析】
B. -1
C.
D.
由(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5 )得a=1.
问题1：请你说出这两个数列的后面一项是多少？ 你的依据是什么？
1 提示：9500， 26 ; 等差。 2
问题2：这两个数列的共同特征是什么？ 提示：都是等差数列。
3.问题探究
探究1 ：等差数列的概念
等差数列的定义
问题1 6 ，4 ，2 ，0 ， -2，-4，…
问题2 4，7，10， 13，16， 19,…
例1 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项.
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的
项？如果是，是第几项？
解：(1)由a1 = 8,d = 5 - 8 = -3,n = 20,得 a20 = 8 +(20 - 1) × (-3)= -49.
(2)由a1 = -5,d = -9 - -5 = -4,得这个数列的通项公式为 an = -5 - 4 n - 1 = -4n - 1.由题意知，本题是要回答是否 存在正整数n，使得 - 401 = -4n - 1成立.解这个关于n的方 程，得n = 100，即- 401是这个数列的第100项.
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．
5.等差数列的主要质：
1.等距性(对称性)：a1+an= a2+an-1=…= ak+an-k+1 2.若p+q=m+n，则aP+aq= am+an 3. 公差为d，则
am an d mn
当堂练习
1.等差数列{an}中，若a1+ a4+a7=39， a2+ a5+a8=33， 求 a3+ a6+a9的值。
公差可以是正数,负数， 也可以是0.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公
差，公差通常用字母d表示.
4.等差数列的理解
1.数学表达式:an-an-1=d (n≥2). 2. d为同一个常数，如2，3，5，9，11就 不是等差数列.
都在同一条直线上.
3.取值范围：d∈R.
【即时练习】 下列数列是不是等差数列？如果是，求出公差d. （1）1，4，7,10； （2）1,1.5,2,2.5,3,3.5； （3）15，12，10，8，6，… 【解析】（1）是等差数列，公差d=3； （2）是等差数列，公差d=0.5. （3）不是等差数列，相邻两项的差不相同.
【变式练习】 判断102是不是等差数列2，9，16，…的项？如 果是，第几项，如果不是，说明理由。 【解析】由题意得： a1=2,d=9-2=7 ∴这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7 =7n-5(n≥1)令102=7n-5,得 n=107/7 N ∴102不是这个数列的项。
a a a 12 15 ． 求 11
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课堂小结
你都掌握
1.等差数列的定义
了吗？
2.通项公式及其应用
3.等差数列
一个数列从第2项起，每一项与
定义—— 等差数列 它前一项的差等于同一个常数. 公差—— d=a -a . n+1 n 通项——a =a1+(n-1)d. n 几何意义—— 等差数列各项对应的点