高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表
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等差、等比数列基础知识对照表等差数列等比数列定n+1n =d a n 1=q(q ≠0)a -aa n表达式a1、a1 +d、a1+2d、⋯、a1+(n-1)d ⋯a1、a1q、a1q2、⋯、 a1q n-1⋯通公式a n=a1+(n-1)d=kn+b,a n=a m+(n-m)d a n=a1 q n-1 =C·q n,a n =a m·q n-m前n 和公式判定方法等差（比）中性nn (a 1 a n ) n (n 1) dS= 2 na 1 2=n(a k a n k 1 ) an 2 bn2(1)定法(2)通公式法(3)前 n 和公式法A=a b2(1)m+n=q+p a m+a n=a q +a p特： m+n=2p a m+a n=2a p(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等差(3) a nS2n 1b n T2 n 1(4){an±b } 、{ a } 成等差n n(5)数偶数 2n 的等差数列 {a n}S 奇a nS偶 -S 奇 =nd,an 1S 偶(6)数奇数 (2n-1) 的等差数列{a n}na 1 (q 1)Sn=a1 (1 q n )1(q 1)qS n+1=a1+qS n定法G ba G(1)m+n=p+q a ·a =a ·aqm n p特： m+n=2p 2a · a =am np(2)S m,S 2m-S m,S 3m-S2m成等比· b } 、(3){an± b } 、 { a } 、 {ann n n{a n} 成等比b n(4)若数 n 偶数 2nP偶q nP奇(5)若数奇数 2n-1S2n-1 =(2n-1)a n(a n中 )S奇-S偶=a , S奇nnP奇P偶a nS 偶n 1数列求和的方法：公式法、分 法、并 法、 位相减法、倒序相加法、列 法。
例 1：(1) 数列 {a n } 的前 n 和 S n =3n-2n 2(n ∈N * ), 当 n ≥ 2 ，下列不等式中成立的是( )A ． S >na >naB ．S >na >naC ．na >S >naD ．na >S >nan1nnn11nnnn1(2) 已知数列 {a n } 的前 n 和 S n =a n -1(a ≠ 0), {a n } 是()A ．等比数列B ．等比数列C ．等差等比数列D．既不是等差也不是等比数列(3) 已知方程 (x 2-2x+m)(x 2-2x+m)=0 的四个根 成一个首1的等比数列，4|m-n|=( )A ． 1B ．3C ．1D ．3428例 2：已知 S n 是等比数列 {a n } 的前 n 和(1)S 3、 S 9、S 6 成等差数列，求 ：a 2、a 8、 a 5 成等差数列；(2) 求 S 1+S 2+S 3+⋯+S n . 例 3：填空(1) 已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, 且 a 1、 a 3、a 9 成等比数列，a 1 a 3 a 9 =________。
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系
高中数学知识点总结等差数列与等比数列的项数关系等差数列和等比数列是高中数学中重要的概念，它们在各种数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
本文将对等差数列和等比数列的项数关系进行总结。
一、等差数列的项数关系等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 + (n - 1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
1. 等差数列的前n项求和公式等差数列的前n项求和公式是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
2. 等差数列的项数关系对于等差数列，我们常常需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = (an - a1) / d + 1其中，an为第n项，a1为首项，d为公差。
根据等差数列的性质，我们可以通过已知的首项、公差和某一项的值，求解出项数n。
二、等比数列的项数关系等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。
常用的表示方法为an = a1 * r^(n - 1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
1. 等比数列的前n项求和公式等比数列的前n项求和公式也是非常重要的，它可以帮助我们快速计算等比数列的前n项之和。
前n项求和公式为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
2. 等比数列的项数关系对于等比数列，我们需要根据已知条件求出项数n。
项数n的计算方法如下：n = log(an / a1) / log(r) + 1其中，an为第n项，a1为首项，r为公比。
根据等比数列的性质，我们可以通过已知的首项、公比和某一项的值，求解出项数n。
三、应用举例例如，已知等差数列的首项为3，公差为2，我们需要求出第10项的值。
根据等差数列的项数关系公式，我们可以得知：n = (an - a1) / d + 1n = (a1 + (n - 1)d - a1) / d + 1n = (3 + (10 - 1)2 - 3) / 2 + 1n = 10因此，等差数列的第10项的值为 3 + (10 - 1)2 = 21。
高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳
等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。
等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。
—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。
≤d＜3 D.＜d≤36、。
在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。
高中数学必修5数列的递推公式
典型例题解析
例题1
已知等差数列{an}中， a1=2，d=3，求a10。
解析
根据等差数列的通项公 式an=a1+(n-1)d，代 入n=10，a1=2，d=3 ，可得a10=2+(101)×3=29。
例题2
已知等差数列{an}中， a3=7，a7=15，求a5 。
解析
根据等差数列的性质， a5=(a3+a7)/2=(7+15 )/2=11。
递推关系性质
递推关系具有确定性，即对于给 定的初始条件和递推公式，数列 的每一项都是唯一确定的。
递推关系建立
01
等差数列递推关系
等差数列的递推关系为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项 ，d为公差，n为项数。
02
等比数列递推关系
等比数列的递推关系为an=a1×qn-1，其中a1为首项， q为公比，n为项数。
，r是公比。
调和数列
调和数列是每一项都是其前一项 的倒数与1的和的数列。递推公 式为1/a_n = 1/a_(n-1) + 1/b，
其中a_1 = b。
05 递推公式在实际问题中应用
数学问题应用举例
等差数列求和
数列通项公式求解
利用递推公式可以快速求解等差数列 的前n项和，如求1+2+3+...+n的和 。
03
其他类型数列递推关系
对于非等差非等比数列，需要根据具体题目条件建立相 应的递推关系。
初始条件确定
初始条件定义
初始条件是数列中已知的第一项或前 几项，用于启动递推过程。
初始条件确定方法
根据题目给出的条件或已知信息，确 定数列的初始条件。例如，题目中可 能会直接给出首项a1和公差d或公比q 等参数。
高中数学等差数列和等比数列公式
高中数学等差数列和等比数列公
式
数列基础知识归纳
等差数列定义与性质
定义：
an+1-an=d (d为常数)，
an= a1+（n-1）d
等差中项：
x , A , y成等差数列: 2A=x+y
前n项和:
性质：{an}是等差数列
（1）若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ;
（2）数列{a2n-1},{a2n},{a2n+1}仍为等差数列，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,等仍为等差数列，公差为n2d ;
（3）若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d ;
（4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn,Tn,则
（5）{an}为等差数列，则Sn=an2+bn（a,b为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）,Sn的最值可求二次函数
Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、负分界项，即：
当a1>0,d<0,解不等式组:
可得Sn达到最大值时的n值。
当a1<0,d>0,解不等式组:
可得Sn达到最小值时的n值。
（6）项数为偶数2n的等差数列{an},有
（7）项数为偶数2n-1的等差数列{an},有
等比数列定义与性质
性质：{an}是等比数列
(1) 若m+n=p+q,则am•an=ap•aq
(2) Sn , S2n-Sn , S3n-S2n , 等仍为等比数列，公比为qn 注意：
由Sn求an时应注意什么？
n=1时，a1=S1 ;
n≥2时，an=S1-Sn-1
求数列通项公式的常用方法
求差（商）法
叠乘法
等差型递推公式
答案：
等比型递推公式
倒数法。
高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐
数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列的知识点主要包括：
1. 常数数列：数列中的每一项都相等。
2. 等差数列：数列中的每一项与前一项的差是一个常数，称为公差。
3. 等比数列：数列中的每一项与前一项的比是一个常数，称为公比。
4. 通项公式：求解等差数列和等比数列的通项公式，用于求解数列中任意一项的值。
5. 数列的前n项和：求解数列的前n项和，包括等差数列的求和公式和等比数列的求和公式。
6. 递推公式：由已知的几项数值推导出数列中任意一项与前一项之间的关系。
7. 数列的性质：等差数列的性质包括：任意一项等于首项加上它与首项之间的项数的乘积；等比数列的性质包括：任意一项等于首项乘以公比的项数-1次方。
8. 数列的应用：数列作为一种重要的数学模型在实际问题中有广泛的应用，如金融领域中的复利计算、电路中的电流、物理学中的运动等。
这些是高中数学数列部分的主要知识点，掌握这些知识点可以帮助学生解决各种数列相关的问题。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
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且公差为 .
⑨若 ，且 ,
则 （p、q ）.
若 为等比数列,
①当 时，等比数列通项公式
是关于 的带有系数的类指数函数，底数为公比
②若p+q=s+r, p、q、s、r N*,则 .
特别地，
当 时,得 ，
③对任意c>0,c 1,若an恒大于0，则 为等差数列.
④若 、 为两等比数列，
则 , , ,
③由 的定义， = （ ）
①
推广： （m、 ）
特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式．,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性．
， ，
② （ ）
③由 的定义， （ ）
等差
中项
等比
中项
等差中项：
（1）如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项．即： 或
（2）等差中项：数列 是等差数列
等比中项：
(k为非零常数)均为等比数列.
⑤如果 是各项均为正数的等比数列,
则数列 是等差数列.
⑥ 为正项等差自然数列，则 为等比数列.
⑦数列 为等比数列,每隔k(k )项取出一项( )构成公比是 的等比数列
⑧等比数列依次n项之积，构成公比是 的等比数列.即数列 , ,
为公比是 的等比数列.
⑨等比数列依次n项和，是公比为 的等比数列.即 是公比为 的等差数列.
即 当 由 可得 达到最小值时的 值．或求 中正负分界项．
法3：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时， 取最大值（或最小值）．若Sp=Sq则其对称轴为 ．
①当 时，
②当 时，
（ 为常数， ）
前n项
和性质
①前 和项
是关于
的二次函数且常数项为0.
（2）等差中项：数列 是等差数列
（3）通项公式： （ 是常数）
数列 是等差数列
（4）前n项和公式：数列 是等差数列
,（其中A、B是常数）。
等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意n,都有
为等比数列
（2）等比中项： （ 0）
为等比数列
（3）通项公式：
为等比数列
（4）前n项和公式：
为等比数列
证明
方法
等差数列的证明方法：只能依据定义：
等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
如奇数个数成等比，可设为…， …
（公比为 ，中间项用 表示）．
注意隐含条件公比 的正负．
② 为等比数列.
③
④
= .
若|q|<1,则 .
⑤在等比数列 中,
当项数为2n (n )时, ，.
若项数为2n+1(n )时，
⑥ = =
⑦
相关
技巧
等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前 和公式中，涉及到5个元素： 、 、 、 及 ，其中 、 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2．
（3）注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，
一定要考虑到公比 的特殊情况．
（4）解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：转化为关于 和 的方程（组）；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
关于等差、等比两个引申：
模式（其中 为常数， ）； 模式（其中 为常数， ）．
当 时，则有 .
（注：扩充到3项、4项……都可以，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等.）
④ 、 为等差数列，则 ，
都为等差数列.
⑤若 为等差数列，对任意c>0,c 1, 为等比数列.
⑥若 为正项等差自然数列，则 为等差数列.
⑦每隔k(k )项取出一项
( )仍为等差数列.
⑧等差数列依次n项之和仍是等差数列.即
高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表
等差数列
等比数列
定义
一般地,如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d叫公差．
等差数列的单调性：
数列 为等差数列,则
当公差 ，则为递增等差数列，
当公差 ，则为递减等差数列，
当公差 ，则为常数列．
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q，那么这个数列就叫等比数列．这个常数q叫公比．
等比数列的单调性：
数列 为等比数列,则
当 时， ；
当 时，
当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列;
当q<0时,该数列为摆动数列.
判定
方法
等差数列的判定方法
（1）定义法：若 或
(常数 ) 是等差数列．
前n项和公式
① ，即
②
③ ( )是关于 的二次函数且常数项为0.
④求 的最值：
法1：因等差数列前 项和是关于 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列特殊性.
法2：（1）“首正”的递减等差数列中，前 项和的最大值是所有非负项之和，
即当 由 可得 达到最大值时的 值．
（2）“首负”的递增等差数列中，前 项和的最小值是所有非正项之和．
（1）如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等差中项．即： 或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列 是等比数列
主要
性质
若 等差数列：
①当公差 时，等差数列的通项公式
是关于 的一次函数，且斜率为公差 .
② .
③当 时,则有
（m、np、q N*）
特别地，
定义法：若 或
(常数 ) 是等差数列．
等比数列的证明方法：只能依据定义：
若 或
为等比数列
递推
关系
① （ ）
② （ ）
③ （ ）
① பைடு நூலகம் ）
② （ ）
③ （ ）
通项
公式
① =
推广： （m、 ）
特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式．
此公式比等差数列的通项公式更具有一般性．
， ，
② （ ）
是关于 的一次函数，且斜率为公差
② 为等差数列.
③ .
④数列 为等差数列，且公差为原公差的 .
⑤若 则 .
⑥若 且 ,
则 p、q .
⑦ ，n>2m，m、n .
⑧若项数为2n，则 ，
且 ，
若项数为2n-1，则 ，
且 ， ，
（ ， ）.
⑨ 、 为等差数列的前 和分别为 、 ，则 .
①前 项和
系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数
为公比 .
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，
可设为…， …
（公差为 ）；
③偶数个数成等差，
可设为 ,…
（注意；公差为2 ）
（3） ，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当 的情况．
（4）解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于 和 的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．