集合与命题的常见错误归纳分析

集合与命题的常见错误归纳分析
B03151101 陈慧
高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建立在集合的基础上的。

这部分知识点的掌握都比较重要。

但实际上同学们这部分有些知识都掌握得并不是很好，甚至是一些贯穿整个集合于命题知识的内容，这些问题我们不可以忽视。

我在教育实习期间，帮老师批改作业，与同学积极交流，及时总结一些常见错题，得到一些一手资料，现给出相关归纳分析。

1. 错误点：关于集合小范围可推出大范围问题
这个问题的出错率相当之高，而且贯穿于整个命题学习过程中，尤其是在学习命题推出关系的时候，对这个问题掌握的好坏程度直接影响了做题的正确性。

例1. 判断命题“若2<a ，则2<a ”的真假。

错解：由2<a ，可得22<<-a ,因为a 在小于2的同时必须大于2-，所以不可以直接推出2<a 。

故此命题为假命题。

分析：之所以学生会犯这类错误，就是不明白我们从小范围可以直接推出大范围。

因为满足小范围的事物必定在大范围里也是成立的，比如说“他是一个男人”一定可以推出“他是一个人”，因为“男人”这个小范围一定包含在“人”这个大范围当中。

解决问题的方法：必须经常强调“从小范围可以推出大范围”这句话以加深同学印象，当然更要说明为什么这句话成立了。

如分析中的这个形象的例子就可以常常告诫同学要记住以记住“从小范围可以推出大范围”这句话。

正解：由2<a ，可得22<<-a ，因为a 满足22<<-a 这个小范围，所以也一定可以推出a 满足2<a 这个大范围。

所以命题为真。

2. 错误点：命题的否定形式常常思考得不够透彻，或者不知道否定形式的写法是怎么样的
例2. 写出命题“男生爱踢足球”的否命题。

错解：男生不爱踢足球。

分析：思维过于直观，认为对命题的否定就是对命题中谓语“爱”的否定“不爱”就可以了。

解决问题方法：从否命题的定义以及些否命题的步骤走下手，先把命题写成“如果……
那么……”的形式，然后分别对条件和结论写否定形式就是命题的否定形式了。

正解：Step1：命题改写成“如果一个人是男生，那么这个人爱踢足球”；
Step2：分别否定条件和结论：“如果一个人不是男生（是女生），那么这个人不爱踢足球”。

故否命题为：“女生不爱踢足球。

”
例3. 写出命题“已知a 、b 、c 是实数，如果0<ac ，那么)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的否命题。

错解：已知a 、b 、c 是实数，如果0>ac ，那么)0(02≠≠++a c bx ax
分析：这种错误解答包括两方面。

一是没搞清楚“<”的否定形式到底是“>”还是“≥”；二是没有搞清楚该命题的结论表达的含义：“)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的否定是对“有实数根”的否定，不是对方程“02
=++c bx ax ”这个等式成不成立的否定。

解决问题方法：一必须弄清楚很多题目的否定形式是怎么样的，如“=”否定形式为“≠”，“至少”否定形式为“全都不”等等。

二必须分析清楚“)0(02≠=++a c bx ax 有实数根”的含义，知道对它的否定是对哪部分的否定。

正解：已知a 、b 、c 是实数，如果0≥ac ，那么)0(02≠=++a c bx ax 没有实数根。

3. 错误点：被题目似乎正确的面目所蒙蔽，没看到实质上的东西，结果致使功亏一篑 例
4. 判断命题α：“在ABC ∆中，222AB AC BC +=”与命题β ：“A
B C ∆是直角
三角形”是否为等价命题，并说明理由。

错解：由题意，在ABC ∆中，2
22AB AC BC +=，则A B C ∆为直角三角形；而ABC
∆是直角三角形，则由勾股定理可知222AB AC BC +=。

即αββα⇒⇒,。

故α、β为等价命题。

分析：思考的方式是正确的——从等价命题的定义出发，证明αββα⇒⇒,即可。

但是具体过程中忽略了从αβ⇒时，没有考虑应用勾股定理是哪个角为直角的问题。

解决问题办法：强调做题要思考全面，理解清楚题意，避免调入出题者制造的仙境之中。

如此题中要注意哪个角为直角的问题。

正解：由题意，在ABC ∆中，2
22AB AC BC +=，则A B C ∆为直角三角形；而ABC
∆
是直角三角形，可知222）
（直角边）（直角边斜边ηγ+=，但本题并为指出哪个角为直角，所以无法写出具体的式子。

4. 错误点：对文氏图表示法的意义模糊
例5. 已知I 是全集，若M 、P 、S 是I 的3个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A 、S P M ⋂⋂)(）；
B 、S P M ⋃⋂)(；
C 、的补集S P M ⋂⋂)(；
D 、S P M ⋃⋂)(
错解：A 。

分析：本题的错误只有一个原因造成，就是对集合的基础知识掌握得不牢固。

只要对文氏图法表示了解，那么本题就很容易得出结果。

解决问题方法：强调在集合中非常有用的一个工具——文氏图法。

以及关于文氏图法中的一些意义也要十分清楚。

由于是选择题，本题还可以依次排除错误选项，得到正确答案。

正解：C 因为首先看到所讨论区域是真包含于P M ⋂的，则依此可以排除选项B 、D 。

而所讨论的区域并不包含S 中的任何区域，故A 选项也可排除。

这样只剩下C 了，并且我们可以验证C 的确是正确的。

5. 错误点：做题思路原则上正确，但具体问题分析得不够全面
例6. 若集合{}
Q y x y x a a M ∈+==、,2，则下列结论正确的是：（ ）
A 、Q M ⊆；
B 、Q M =；
C 、Q M ≠⊃；
D 、M Q ≠⊃ 错解：A 。

分析：做错的同学是这样想的：与M 中元素a 相关的数只有x 、y ，而题目中给出了x 、Q y ∈，因此a 也应该是有理数范围内的。

解决问题方法：做这类题还是有一个基本方法可依据的。

分析M 中元素a 的构成，本题a 有两部分组成——x 和y 2，在一部分一部分讨论它们的性质，依此判断a 的性质。

正解：C 因为Q x ∈，且Q y ∈，而2为无理数，y 2就是无理数，再加上有理数x ，最后得到的结果仍然是无理数。

6. 错误点：欠缺分类讨论思想，只是看表象做题
例7. 已知全集R U =，集合{}1--≤=a x x A ，集合{}
2+>=a x x B ，集合{}40≥<=x x x C 或，若B A ⋃的补集C ⊆,求实数a 的取值范围。

错解：因{}1--≤=a x x A ，{}2+>=a x x B ，则{}21+>--≤=⋃a x a x x B A 或，故{}21+<≤--=⋃a x a x B A 的补集，根据B A ⋃的补集C ⊆，{}
40≥<=x x x C 或，得：02<+a 或41≥--a ，即2-<a 或5-≤a ，即2-<a 。

分析：本题错误的原因是因为考虑问题不全面，从题目给出的表面实形式就直接计算下来，而不去讨论其他情况。

解决问题方法：强调分析题意和分类讨论思想。

正解：分两种情况讨论：
（1）若B A ⋃的补集=φ，则R B A =⋃，因此12--≤+a a ，2/3-<a ；
（2）当12--≥+a a 时，{}21+<≤--=⋃a x a x B A 的补集，根据B A ⋃的补集C ⊆，{}
40≥<=x x x C 或，得：02<+a 或41≥--a ，即2-<a 或5-≤a ，即2-<a 。

因此本题a de 取值范围是{}2/3-<a a
[教师点评] 本文总结了学生有关集合与命题方面的若干常见错误，对课堂教学有一定的参考价值。

作者能够思考、归纳、分析学生的解题错误，体现了一名实习生的良好素质。