七大集合易错点汇集精编版

七大集合易错点展示
一：高度重视容易被忽视的集合元素的三大特点
例１．若{}
322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭
，，，，，且{}25A B =，，试求实数a 的值．
分析：观察可以知道只有集合A 中的32275a a a --+=才有可能使{}25A
B =，，解出实数a 的值后代入集合B 检验，看有没有重复的元素．
解析：∵{}25A B =，，∴由32275a a a --+=，解得 2a =或1a =±．
当1a =时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =；
当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；
当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B =，满足题意．
故2a =为所求．
点评：解这类问题时如果忽视了集合元素的互异性是很容易出错的．
二：紧紧抓住容易被混淆的集合的代表元素．
例２．已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．
分析：集合的代表元素是y ，集合A
B ，表示的是两个函数值域的集合． 解析：2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，22
22(1)33y x x x =--+=-++≤， {}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤，{}13A B y y =-∴≤≤．
点评：本题如搞不清楚集合的代表元素y 的意义，很可能误以为是求的两条抛物线的交点．而
方程组224322
y x x y x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩无解，从而认为A B =∅． 例3 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩
⎨⎧==21y x 从而A B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，
所以A B ＝{(1，2)}
例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．
错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．
分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．
评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．
三：时刻想着容易被遗忘的隐蔽性很强的空集
例4．已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A ，求实数m 的值． 分析：B A 就有B =∅的可能．
解析：由已知，易得 {}32A =-，，B
A ∵，{}3
B =-∴或{}2或∅． 若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =
； 若{}2B =，由210m +=，得12
m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．
13m =∴或12
m =-或0m =． 点评：本题如不把隐蔽的空集找出来参加解题，是很容易漏解的．
四、忽视端点值能否取得致误
• 解决集合的子集、交集、并集、补集关系问题时，要特别注意区间端点的值能否取
到．
• 你会求解下列问题吗？
• 集合A ＝{x |－2≤x <1}．
• (1)若B ＝{x |x >m }，A ⊆B ，则m 的取值范围是______．
• (2)若B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，则m 的取值范围是______．
• 答案：(1)m <－2 (2)m ≥1
例5 已知集合A ＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣a ＋１≤ｘ≤a ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．
错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ⊆Ａ．
∴a ＋３≤－５，或a ＋１≥４，解得a ≤－８，或a ≥３．
分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当a ＝－８时，不符合题意；当a ＝３时，符合题意，故正确结果应为a ＜－８，或a ≥３．
评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
五、忽视补集的含义致错。

例6. 已知全集R I =，集合}0x x |x {M 2<-=，集合
}1x 1|x {N ≤=，则下列关系正确的是（ ）
A. N C M I ≠⊂
B. N C M I ≠⊃
C. N C M I =
D. R N M C I =
错解：}1x 1|x {N ≤=的补集为}1x 1|x {N C I >=，故选C 。

剖析：本题错误地认为}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=。

事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I = ，但}0)x (f |x {}0)x (f |x {>≤ )x (f |x {使=有意义，R x ∈}，即为)x (f 的定义域。

所以只有当)x (f 的定义域为R 时才有}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=，否则先求A ，再求A C I 。

正解：}1x 0x |x {}0x 1x |x {}1x 1|x {N ≥<=≥-=≤=或，所以}1x 0|x {N C I <≤=，而}1x 0|x {M <<=，应选A 。

六、忽视隐含条件致误
例７ 设全集Ｕ＝｛２，３，2a ＋２a －３｝，Ａ＝｛∣２a －１∣，２｝，A C U ＝｛５｝， 求实数a 的值．
错解：∵A C U ＝｛５｝，∴ ５∈Ｓ且 ５∉Ａ，从而，2a ＋２a －３＝５，解得a ＝２，或a ＝－４．
分析 导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ⊆Ｕ．当a ＝２时，∣２a －１∣＝３∈Ｓ，符合题意；当a ＝－４时，∣２a －１∣＝９∉Ｓ，不符合题意；故a ＝２．
评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．
七、混淆相关概念致错。

例4. 已知全集U=R ，集合222a x )1a (x |x {B },R x ,03a 4ax 4x |x {A +--=∈=+-+=
}R x ,0a 2ax 2x |x {C },R x ,02∈=-+=∈=，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。

错解：对于集合A ，当
21a 23a ,0)3a 4(4)a 4(2≥-≤≥+--=∆或得 ①时，A 不是空集。

同理当31
a 1≤≤- ②时，B 不是空集；当0a 2a ≥-≤或 ③时，C 不是空集。

求
得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。

剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集
或C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a +∞---∞∈ 。

感悟与提高
1. 设集合}Z k ,412k y |y {B },Z k ,41k x |x {A ∈-==∈+==，则它们之间的关系是（ ）
A. A=B
B. A ≠⊃B
C. A ≠⊂B
D. B A ⊆
2. 已知集合x |m {A 关于=的不等式
03m x )1m (2x 22<-+-+有解}，若1x 3y -=，且A x ∈，则y 的取值范围是__________。

答案提示：1. 由集合A 得)1k 2(41y B ),1k 4(41x -=+=得由集合。

B 是由奇数的41组
成，A 是由比4的整数倍大1的数的41组成的，所以A ≠⊂B ，选C 。

2. 由A 易得2m 0)3m (4)1m (422<⇒>---。

51231x 3y =-⨯<-=。