集合问题中常见易错点归类分析答案
集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-2024年高考数学考试易错题
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
集合中的易错问题剖析
ʏ王水建集合作为一种数学语言和工具在数学问题中有着广泛的应用㊂在实施集合语言等价转换过程中,同学们容易忽视集合语言中的特殊情况而出现这样或那样的错误,下面分类剖析㊂易错1:忽视集合中的代表元素的含义例1 若集合A ={(x ,y )|x +y =1},B ={x |x -y =1},则A ɘB =( )㊂A.{(1,0)} B .{1}C .(1,0)D .⌀错解:应选A ㊂剖析:导致错选的原因是没有弄清集合中代表元素的含义㊂集合A 中的元素是实数对(x ,y ),B 中的元素是实数x ,即集合A 为点集,集合B 为数集㊂由题意可得,集合A ={(x ,y )|x +y =1}表示直线x +y =1上的点构成的集合,集合B ={x |x -y =1}表示直线x -y =1上点的横坐标构成的集合,所以A ɘB =⌀㊂应选D ㊂体验:解决集合问题的关键是要抓住集合的代表元素和代表元素的属性㊂解题时要注意区分定义域,值域,点集,如{x |y =x 2+1},{y |y =x 2+1,x ɪR },{(x ,y )|y =x 2+1,x ɪR }表示不同的集合㊂易错2:忽视集合元素的互异性例2 设集合A ={1,4,2x },B =1,x 2{},若B ⊆A ,则x =( )㊂A.0B .0或2C .0或-2D .0或ʃ2错解:应选D ㊂剖析:导致错选的原因是忽略集合元素的互异性㊂当x =2时,集合A 中出现了相同的元素,与集合中元素的互异性矛盾㊂根据题意分x 2=4和x 2=2x 两种情况,进而对方程的根依次检验㊂当x 2=4时,可得x =ʃ2㊂若x =2,则2x =4,不满足集合中元素的互异性;若x =-2,则A ={1,4,-4},B ={1,4},满足题意㊂当x 2=2x 时,x =0或x =2(舍去),则x =0,满足题意㊂故x =0或x =-2㊂应选C ㊂体验:集合中元素具有三个性质,即元素的确定性,元素的互异性,元素的无序性㊂解题时,尤其要关注集合中元素的互异性,避免出错的策略是将求得的值代入到已知集合中进行检验㊂易错3:忽略空集的讨论例3 已知集合A ={x |-2ɤx ɤ5},B ={x |m +1ɤx ɤ2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是㊂错解:由B ⊆A ,可得m +1ȡ-2,2m -1ɤ5,m +1ɤ2m -1,ìîíïïï解得2ɤm ɤ3,所以实数m 的取值范围是{m |2ɤm ɤ3}㊂剖析:上述解法忽略了B 为空集的情况,从而导致漏解㊂要使B ⊆A ,应分集合B =⌀和B ʂ⌀两种情况讨论求解㊂若B =⌀,则m +1>2m -1,解得m <2,此时B ⊆A ;若B ʂ⌀,要使B ⊆A ,需满足m +1ɤ2m -1,m +1ȡ-2,2m -1ɤ5,ìîíïïï解得2ɤm ɤ3㊂综上可得,实数m ɤ3,即实数m 的取值范围是{m |m ɤ3}㊂体验:由集合关系B ⊆A ,A ɘB =B 或A ɣB =A ,求参数取值范围时,不要忘记空集的情况,以避免产生漏解㊂易错4:忽视集合语言转换的等价性例4 已知集合A ={x |a x 2+2x +1=0}为一元集,求a 的值㊂错解:集合A 为一元集,即方程a x 2+2x +1=0有两个相等实根㊂由Δ=4-4a =0,可得a =1㊂43 易错题归类剖析 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.剖析:上述解法忽视了对一元二次方程的二次项系数的讨论㊂当aʂ0时,由Δ=4-4a=0,可得a= 1;当a=0时,可得A=-12{},符合题意㊂故a=1或a=0㊂体验:对集合进行转化时,要特别注意转化的等价性,否则就会产生增解或漏解㊂易错5:忽视集合作为元素的两重性例5设集合AɘB=⌀,集合M={m| m为A的子集},N={n|n为B的子集},那么()㊂A.MɘN=⌀B.MɘN={⌀}C.MɘN=AɘBD.MɘN⫋AɘB错解:由AɘB=⌀,可知集合M,N中不可能有公共元素,则MɘN=⌀㊂应选A㊂剖析:集合{⌀}不是空集,而是含有一个⌀为元素的集合㊂由于集合A,B的子集中均有⌀,即⌀⊆A,⌀⊆B,所以MɘN= {⌀}㊂应选B㊂体验:由⌀是任何集合的子集,可得⌀⊆{⌀};由⌀是集合{⌀}中的一个元素,可得⌀ɪ{⌀};由{⌀}为非空集合,可得⌀⫋{⌀}㊂易错6:新定义集合的属性探究不彻底例6设S为满足下列条件的实数构成的非空集合:①1∉S;②若aɪS,则11-aɪS㊂问集合S中至少有多少个元素㊂试证明你的结论㊂错解:假设0为集合S中的元素,并把它当作条件作进一步分析㊂若0ɪS,则11-0=1ɪS,从而可得11-1ɪS,这是不可能的,所以集合S中至少有一个元素0㊂剖析:上述解法是用特殊情况代替了一般情况,且对集合的本身属性探究不彻底㊂利用给出的两个条件进行推理求解㊂设aɪS,由给出的两个条件知aʂ0,aʂ1㊂由题设知11-aɪS,显然11-aʂ0,11-aʂ1, 11-aʂa(方程a2-a+1=0没有实数根),则a与11-a是两个不同元素㊂又11-11-a=a-1aɪS,显然a-1aʂ0,a-1aʂ1,且a-1aʂa,a-1aʂ11-a,所以a-1a是第三个不同元素㊂综上可知,集合S中至少有3个元素㊂体验:本题是结论开放性问题,题目的特点是结论不确定,集合A的特点是它的元素随着实数a(aʂ0,aʂ1)的变化而变化㊂解题时,要注意在假设存在的条件下进行推理,若由此导出矛盾,则否定假设,否则,给出肯定的结论㊂注意要对集合A中的元素的确定性和互异性加以归纳证明㊂对于集合A,定义一种运算 ⊕ ,使得集合A中的元素间满足条件:如果存在元素eɪA,使得对任意的aɪA,都有e⊕a= a⊕e=a,则称元素e是集合A对运算 ⊕ 的单位元素㊂如A=R,运算 ⊕ 为普通乘法:存在1ɪR,使得对任意的aɪR,都有1ˑa=aˑ1=a,所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素㊂下面给出三个集合及相应的运算 ⊕ :①A=R,运算 ⊕ 为普通减法;②A=R,运算 ⊕ 为普通加法;③A={X| X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算 ⊕ 为求两个集合的交集㊂其中对运算 ⊕ 有单位元素的集合的序号为()㊂A.①②B.①③C.①②③D.②③提示:对三个集合及相应的运算 ⊕ 进行检验即可㊂①A=R,运算 ⊕ 为普通减法,而普通减法不满足交换律,故没有单位元素㊂②A=R,运算 ⊕ 为普通加法,其单位元素为0㊂③A={X|X⊆M}(其中M是任意非空集合),运算 ⊕ 为求两个集合的交集,其单位元素为集合M㊂应选D㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)53易错题归类剖析高一数学2022年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
集合问题中常见易错点归类分析答案
集合问题中常见易错点归类分析答案集合问题中常见易错点归类分析集合问题涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变。
初学时，由于未能真正理解集合的意义、性质、表示法或考虑问题不全，容易出现错解。
本文将常见易错点归纳如下：1.代表元素意义不清致误例1：设集合A={（x。
y）∣x+2y=5}，B={（x。
y）∣x-2y=-3}，求A∩B。
错解：由x+2y=5得x=1，从而A∩B={1，2}。
x-2y=-3分析：上述解法混淆了点集与数集的区别。
集合A、B中元素为点集，所以A∩B={(1，2)}。
例2：设集合A={y∣y=x^2+1，x∈R}，B={x∣y=x+2}，求A∩B。
错解：显然A={y∣y≥1}，B={x∣x≥0}，所以A∩B=B。
分析：错因在于对集合中的代表元素不理解。
集合A中的代表元素是y，从而A={y∣y≥1}，但集合B中的元素为x，所以B={x∣x≥0}，故A∩B=A。
2.忽视集合中元素的互异性致错例5：已知集合A={1，3，a}，B={1，a-a+1}，且A∪B，求a的值。
错解：经过分析知，若a-a+1=3，则a-a-2=0，即a=-1或a=2.分析：错因在于忽视了集合中元素的互异性。
集合B中包含了1和a-a+1，即a-1，所以B={1，a-1}。
因此，A∪B={1，3，a，a-1}，而集合中元素互异，所以a-1≠3，解得a=2.2.集合论中易犯的三种错误在集合论中，常常会犯三种错误，分别是：混淆元素与集合，忽视元素的互异性，忽视空集的特殊性。
首先，混淆元素与集合是集合论中最常见的错误之一。
在集合论中，元素是集合的基本成分，而集合则是由元素组成的整体。
因此，在列举集合时，必须明确元素和集合的区别，不可混淆。
其次，忽视元素的互异性也是一个常见的错误。
在集合中，元素是互异的，即同一个集合中不能有两个相同的元素。
在解题时，必须注意元素的互异性，否则会得到错误的结果。
最后，忽视空集的特殊性也是一个常见的错误。
集合问题中常见错题剖析
集合问题中常见错解剖析一、错误理解代表元素在解决集合问题时，需认清集合中代表元素的形式与集合，否则极易出错.例1、已知{}2,M y y x x R ==∈，{}2(,),N x y y x x R ==∈，则 （ ） A ． M N = B ．M N ⊆ C ．M N ⊇ D ．M N ⋂=∅错解：选A剖析：错解中注意到集合M 、N 中，x 、y 的函数关系式相同，就错误地认为集合M N =，而事实上，集合M 、N 表示不同的含义：集合M 表示函数2y x =的函数值所组成的数集；而集合N 则表示由函数2y x =图像上所有的点所组成的点集.因此正确答案选D.例2、已知{}2,M y y x x R ==∈，{}21,N y y x x R ==+∈，则M N ⋂等于 （ ） A ．M B ．N C ． ∅ D ．R +错解：选C剖析：错解理解为是求两个二次函数图像的交点情况，而事实上，集合M 、N 中代表元素均为y ，则集合M 、N 分别表示函数2y x =，21y x =+的值域.由于{}0M y y =≥，{}1N y y =≥，则M N N ⋂=，因此正确答案选B.评注：中学数学里一般只研究两类集合：数集与点集.因此在读题时一定要认清所研究的集合是数集还是点集，也即要注意其代表元素是实数还是点的坐标.例3、已知集合{},,M a b c =与集合{}N x x M =⊆，则集合M 与集合N 的关系是：（ ）A ． M N =B ．M N ⊆C ．M N ∈D ．N M ⊆错解：选B剖析：错解认为集合M 与集合N 之间的关系是集合之间的包含关系，而事实上，集合N 中的元素是由集合M 中的子集所构成，因此，集合N 与集合M 的关系是元素与集合间的属于关系，因此，正确答案选C.二、忽略集合元素的特性例4、由实数x ，x -，x 所组成的集合中，所含元素最多有 （ ）A ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个错解：选B.剖析：错解是对x ，x -，x 没有仔细分析所致.x =，x =-，因此无论0x ≥或0x <，都最多只有两个元素x 和x -，因此正确答案选A.三、忽略∅的特殊性∅是特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.当题设中隐含有空集时，极易在运算中忽视而导致错解，因此需特别注意.例5、已知2{320}A x x x =-+=，{20}B x ax =-=，且A B A ⋃=，求实数a 的值组成的集合C .错解：由2320x x -+=得1x =或2x =，当1x =时，2a =；当2x =时，1a =剖析：这个结果是不完整的，上述解答中只注意了B 为非空集合，实际上当B =∅时，仍满足A B A ⋃=，即当0a =时，B =∅，符合题意应补上，故正确答案为：{}0,1,2C =. 例6、2{20,}A x x bx x R =-+=∈，2{320,}B x x x x R =-+=∈，且A B B ⋃=，求b 的值.误解：{1,2}B =，因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，故1A ∈或2A ∈，解得：3b =.剖析：错解忽略了A =∅的情况，当280b ∆=-<，即2b -<A B =∅⊆，故正确的答案是：b -<3b =.例.故正确答案选D.。
(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：1．代表元素意义不清致误例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==21y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，所以A I B ＝{(1，2)}例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2}1|{≥=y y B A I例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。
错解：}32{，-==B A分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。
例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A错解：B分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．2 忽视集合中元素的互异性致错例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
集合与常用逻辑用语(3个易错点+10个易错核心题型)(教师版) 2025年高考数学大一轮复习新高考版
易错01 集合与常用逻辑用语（3个易错点错因分析与分类讲解+10个易错核心题型强化训练）易错点1 忽视对空集的讨论而致误【例1】. [湖南师大附中2023第三次月考]已知集合{}14A x x =-<£，()(){}221B x x a x a =---.若A B=ÆI ，则实数a 的取值范围为（）{}.2A a a >{}.2B a a ³{}.12C a a a =³或{}.1D a a ³特别提醒：当两集合的交集为空集时，需考虑其中含参数的集合是否为空集，本题求解的易错之处在于忽略212aa +=，即B =Æ的情况.【解析】因为212aa +>，当1a =时，212a a +=，则B =Æ，满足A B =ÆI ；当1a ¹时，212a a +>，则{}221B x a x a =<<+，因为A B =ÆI ，211a +³，所以24,1,a a ³ìí¹î解得2a ³.综上，实数a 的取值范围为{}12a a a =³或.故选C .【变式】.[江西景德镇乐平中学2022月考]设集合{}37,M x x =-<<{}221,N x t x t t R =-<<+Î.若M N M =U ， 实数t 的取值范围为（ ）().3,A +¥().,3B -¥(].,3C -¥[).3,D +¥特别提醒：要求解的含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集时，应考虑所求集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处在于忽略N =Æ的情况.【解析】由M U M =U 得N MÍ.因为集合{}37M x x =-<<，{}221,N x t x t t R =-<<+Î.当N =Æ时，有221,t t -³+，解得13t £；当N =Æ时，有212,217,23,t t t t +>-ìï+£íï-³-î，解得133t <£.综上，实数t 的取值范围为(],3-¥.故选C .易错点2 忽略集合中元素的互异性而致误【例2】. [湖南邵阳二中2023第五次月考]已知,a b R Î，若{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ，则20222022ab +的值为（）.1A -.0B.1C.1D ±特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互异性.本题的易错之处是忽略检验当1a =时是否满足集合中元素的互异性.【解析】由集合相等可知 0,,1b a a ìüÎíýîþ且0a ¹，则0b a =，所以0b =，所以21a =解得1a =或1a =-.根据集合中元素的互异性可知1a =应舍去，因此1a =-，所以()2022202220222022101a b +=-+=.故选C .【变式】. [福建龙岩一中2022月考]已知,a R b R ÎÎ,若集合{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ，则20212021a b +（）.2A -.1B -.1C.2D 特别提醒：本题是含参数的集合问题，由题意求出参数的值后要注意检验参数的值是否满足集合中元素的互异性，本题的易错之处是忽视检验1a=时是否满足集合中元素的互异性.【解析】因为{}2,,1,,0b a a a b a ìü=+íýîþ，所以201b a a a b a ì=ïï=+íï=ïî，解得0,1b a =ìí=î或01b a =ìí=-î，当1a =时，不满足集合中元素的互异性，故1,0ab =-=，即()2021202120212021101a b +=-+=-.故选B易错点3 没有正确理解充分不必要条件的意义而致误【例3】. [河南驻马店二中2023第二次培优考]已知:120p x x --£，()()():1200q x m x m m +-+£>éùëû.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 .特别提醒：根据充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件求参数，可参考如下结论：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应的集合是p 对应的集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p 对应的集合与q 对应的集合相等.此题易错之处在于误认为[](),210B m m m =-+>是[]3,4A =-的真子集.【解析】由不等式2120xx --£，解得34x -££，设p 对应的集合为A ，则[]3,4A =-.由不等式()()()1200x m x m m +-+£>éùëû，解得()210m x m m -££+>，设q 对应的集合为B ，则[](),210B m m m -+>.因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，则3,214m m -£-ìí+³î（不同时取等号），解得3,m ³，所以实数m 的取值范围是[)3,+¥.【变式】. [湖南名校2022第二次联考]已知“21a x a ££+”是“25x -££”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）[).2,A -+¥[].2,2B -(].2,2C -().2,2D -特别提醒：根据充分不必要条件或必要不充分条件求参数，可参考如下结论，（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）若p 是q 的充要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等此题易错之处在于若“21a x a ££+”是“25x -££”的充分不必要条件，误认为B A Í.【解析】设{}{}21,25A x a x a B x x =££+=-££.若“21a x a ££+”是“25x -££”的充分不必要条件，则A B Ì，则2215a a ³-ìí+³î，等号不同时成立，解得22a -<£，故选C【易错核心题型强化训练】一．元素与集合关系的判断（共1小题）1．（2024•泸县校级开学）设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x Î-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件123451||||||||||3x x x x x ++++……的元素的个数为( )A ．60B ．100C ．120D ．130【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++……”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分别为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况【解答】解：由于||i x 只能取0或1，且“123451||||||||||3x x x x x ++++……”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：235280C ´=；②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：325240C ´=；③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：415210C ´=．\总共方法数是804010130++=． 即元素个数为130．故选：D ．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二．集合的确定性、互异性、无序性（共1小题）2．（2024•扬中市校级开学）设集合{2A =，1a -，22}a a -+，若4A Î，则(a = )A ．3-或1-或2B ．3-或1-C ．3-或2D ．1-或2【分析】分别由14a -=，224a a -+=，求出a 的值，代入观察即可．【解答】解：若14a -=，则3a =-，2214a a \-+=，{2A \=，4，14}；若224a a -+=，则2a =或1a =-，2a =时，11a -=-，{2A \=，1-，4}；1a =-时，12a -=（舍)，故选：C ．【点评】本题考查了集合的确定性，互异性，无序性，本题是一道基础题．三．集合的包含关系判断及应用（共1小题）3．（2024•浦东新区校级模拟）函数()xx Pf x xx MÎì=í-Îî，其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定(){|()f P y y f x ==，}x P Î，(){|()f M y y f x ==，}x M Î．给出下列四个判断，其中正确判断有( )①若P M =ÆI ，则()()f P f M =ÆI ；②若P M ¹ÆI ，则()()f P f M ¹ÆI ；③若P M R =U ，则()()f P f M R =U ；④若P M R ¹U ，则()()f P f M R ¹U ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数y x =与y x =-图象来研究，分析可得答案．【解答】解：由题意知函数()f P 、()f M 的图象如图所示，设2[P x =，)+¥，(M =-¥，1]x ，21||||x x <Q ，2()[()f P f x =，)+¥，1()[()f M f x =，)+¥，则P M =ÆI ．而1()()[()f P f M f x =I ，)+¥¹Æ，故①错误．对于②，若(2P =，4)(3M =，4)，则()(2f P =，4)，()(4f M =-，3)-，则()()f P f M =ÆI ，故②错误．设1[P x =，)+¥，(M =-¥，2]x ，21||||x x <Q ，则P M R =U ．1()[()f P f x =，)+¥，2()[()f M f x =，)+¥，1()()[()f P f M f x =U ，)R +¥¹，故③错误．④由③的判断知，当P M R ¹U ，则()()f P f M R ¹U 是正确的．故④对．故选：A ．【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路．四．并集及其运算（共1小题）4．（2024•浙江学业考试）已知集合{0A =，1，2}，集合{0B =，2，4}，则(A B =U )A ．{0}B ．{2}C ．{0，2，4}D ．{0，1，2，4}【分析】根据并集的概念求解即可．【解答】解：Q 集合{0A =，1，2}，集合{0B =，2，4}，{0A B \=U ，1，2，4}．故选：D ．【点评】本题主要考查并集的概念，属于基础题五．交集及其运算（共4小题）5．（2024•沙依巴克区校级模拟）已知集合{|24}A x x =……，{|3}B x a x a =-<+…，若A B A =I ，则a 取值范围是( )A ．2a >-B ．1a -…C ．1a …D ．2a >【分析】条件A B A =I 可转化为A B Í，即可得不等式组243a a >-ìí+î…，即可解得．【解答】解：A B A =Q I ，A B \Í，\243aa >-ìí+î…，解得，1a …，故选：C ．【点评】本题考查了集合的运算与集合间关系的转化，同时考查了不等式的解法，属于基础题．6．（2024•北京学业考试）已知集合{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则A B I 等于( )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1}D ．{1，2}【分析】要求A B I ，即求由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合．【解答】解：Q 集合{1A =-，0，1}，{1B =，2}，{1}A B \=I ，故选：C ．【点评】本题主要考查集合交集的概念，是简单的基础题．7．（2024•让胡路区校级开学）设全集U R =，集合2{|20}A x x x =--…，{|0}B x lgx =>，则(A B =I )A ．{|12}x x -……B ．{|12}x x <…C ．{|12}x x <<D ．{|1}x x -…【分析】分别解一元二次不等式、对数不等式，化简A ，B ，然后求交集．【解答】解：解220x x --…得12x -……，{|12}A x x =-……，由0lgx >得1x >，故{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<I …．故选：B ．【点评】本题考查不等式的解法，交集的运算，属于基础题．8．（2024•平江县校级开学）已知集合{|2x A y y ==-，[2x Î，3]}，22{|330}B x x x a a =+-->．（1）当4a =时，求A B I ；（2）若命题“x A Δ是命题“x B Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【分析】（1）求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．【解答】解：（1）当4a =时，222{|330}{|3280}{|4B x x x a a x x x x x =+-->=+->=>或7}x <-．{|2x A y y ==-，[2x Î，3]}{|84}y y =--……，则{|87}A B x x =-<-I …．（2）若命题“x A Δ是命题“x B Δ的充分不必要条件，则A B Í，22{|330}{|()(3)0}B x x x a a x x a x a =+-->=-++>．对应方程的两个根为x a =或3x a =--，①若3a a =--，即32a =-，此时3{|}2B x x =¹-，满足A B Í，②若3a a <--，即32a <-，此时{|3B x x a =>--或}}x a <，若满足A B Í，则4a -…或38a ---…，解得4a -…或5a …（舍去），此时342a -<-…．③若3a a >--，即32a >-，此时{|B x x a =>或3}}x a <--，若满足A B Í，则34a ---…或8a -…（舍)，解得312a -<…．综上41a -……．【点评】本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，注意要进行分类讨论．六．交、并、补集的混合运算（共1小题）9．（2024•合江县校级开学）设全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，3，5}，集合{3B =，4}，则()(U A B =I ð )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}【分析】先解出A 的补集，再求出结果即可【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4，5}，集合{1A =，3，5}，所以{2U A =ð，4}，又因为集合{3B =，4}，所以(){4}U A B =I ð，故选：B ．【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．七．充分条件与必要条件（共2小题）10．（2024•东坡区校级开学）设x ，y R Î，下列说法中错误的是( )A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．“0xy =”是“220x y +=”的必要不充分条件C ．“1x >，1y >”是“2x y +>，1xy >”的充要条件D ．“x y >”是“22x y >”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件的概念判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A ，因为21x >的解集为(-¥，1)(1-È，)+¥，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，选项A 正确；对于B ，“0xy =”时，“220x y +=”不一定成立，反之“220x y +=”成立时，“0xy =”一定成立，所以“0xy =”是“220x y +=”的必要不充分条件，选项B 正确；对于C ，“1x >，1y >”时，“2x y +>，1xy >”一定成立，反之“2x y +>，1xy >”成立时，1x >，1y >不一定成立，如12x =，4y =，所以“1x >，1y >”是“2x y +>，1xy >”的充分不必要条件，选项C 错误；对于D ，当1x =，2y =-时，满足“x y >”，但不满足“22x y >”；当2x =-，1y =-时，满足“22x y >”，但不满足“x y >”，所以“x y >”是“22x y >”的既不充分也不必要条件，选项D 正确．故选：C ．【点评】本题考查了充分条件和必要条件的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．11．（2024春•顺德区校级月考）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解答】解：因为数列{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，当{}n a 为递增数列时，公差0d >，令1(1)0n a a n d =+->，解得11a n d >-，1[1ad-表示取整函数，所以存在正整数101[1]a N d=+-，当0n N >时，0n a >，充分性成立；当0n N >时，0n a >，10n a -<，则10n n d a a -=->，必要性成立；是充分必要条件．故选：C ．【点评】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．八．全称量词和全称命题（共1小题）12．（2023秋•昆明期末）已知[0x "Î，2]，p x >；0[0x $Î，2]，0q x >．那么p ，q 的取值范围分别为( )A ．(0,)p Î+¥，(0,)q Î+¥B ．(0,)p Î+¥，(2,)q Î+¥C ．(2,)p Î+¥，(0,)q Î+¥D ．(2,)p Î+¥，(2,)q Î+¥【分析】根据全称命题与特称命题的定义，分别写出p ，q 的取值范围即可．【解答】解：由[0x "Î，2]，p x >；得2p >．由0[0x $Î，2]，0q x >；得0q >．p \，q 的取值范围分别为(2,)+¥和(0,)+¥．故选：C ．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，是基础题．九．存在量词和特称命题（共1小题）13．（2024•开福区校级模拟）若命题“0a $<，1a b a+>”是假命题，则实数b 的取值范围为 [2-，)+¥ ．【分析】将问题转化命题“0a "<，1a b a+…”是真命题，求解即可．【解答】解：因为命题“0a $<，1a b a+>”是假命题，所以命题“0a "<，1a b a+…”是真命题，当0a <时，11(2a a a a +=--+-=--…，当且仅当1a a-=-，即1a =-时等号成立，所以1(2max a a+=-，所以2b -…，所以实数b 的取值范围是[2-，)+¥，故答案为：[2-，)+¥．【点评】本题考查了简易逻辑的应用问题，也考查了转化思想，是基础题．一十．命题的真假判断与应用（共9小题）14．（2024•红谷滩区校级模拟）已知m ，n 表示两条直线，a ，b ，g 表示三个平面，则下列是真命题的有( )个．①若m a g =I ，n b g =I ，//m n ，则//a b ；②若m ，n 相交且都在a ，b 外，//m a ，//m b ，//n a ，//n b ，则//a b ；③若//m a ，//m b ，则//a b ；④//m a ，//n b ，//m n ，则//a b ．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，即可判断；对于②，可由面面平行的判定定理即可判断；对于③，可考虑m 和交线平行，即可判断；对于④，可考虑m 、n 和交线平行，即可判断．【解答】解：对于①，比如三棱柱的三个侧面，两两相交，且侧棱平行，满足条件，但它们不平行，故①错；对于②，若m ，n 相交且都在a ，b 外，//m a ，//m b ，//n b ，//n a ，由面面平行的判定定理可得，设m ，n 相交确定的平面为g ，则有//g a ，//g b ，则有//a b ，故②对；对于③，若//m a ，//m b ，则//a b 或a 、b 相交，由于m 可和交线平行，故③错；对于④，若//m a ，//n b ，//m n ，则//a b 或a 、b 相交，由于m 、n 可和交线平行，故④错．故选：A ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行的判断和性质，以及面面平行的判断和性质，考查空间想象能力，以及推理能力，属于基础题和易错题．15．（2024春•宝山区校级月考）函数()f x xlnx =，正确的命题是( )A ．值域为RB ．在(1,)+¥上是增函数C ．()f x 有两个不同零点D ．过(1,0)点的切线有两条【分析】求出函数()f x xlnx =的定义域和导数，利用导数判断()f x 的单调性，求出最值，再判断选项中的命题是否正确．【解答】解：函数()f x xlnx =，且(0,)x Î+¥；则()1f x lnx ¢=+，令()0f x ¢=，解得1x e=，所以1(0,x e Î时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；1(x eÎ，)+¥时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以1x e=时，()f x 取得最小值为11()f e e =-，所以()f x 的值域为1[e-，)+¥，因此A 错误；又11e <，所以()f x 在(1,)+¥上单调递增，所以B 正确；又1(0,x eÎ时，0lnx <，所以()0f x xlnx =<，所以()f x 在1(0,)e 内没有零点，在1(e，)+¥内有1个零点，因此C 错误；又1x =时0y =，所以(1,0)是函数()f x 图象上的点，且1x =时k f =¢（1）011=+=，所以过该点的切线方程为1y x =-，只有1条，因此D 错误．故选：B ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，也考查了导数的应用以及函数的极值，零点问题，是综合题．16．（2024春•普陀区校级月考）对于全集R 的子集A ，定义函数1()()0()A R x A f x x C A Îì=íÎî为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A ．若A B Í，()()A B f x f x …B ．()1()R A A f x f x =-ðC ．()()()A B ABf x f x f x =×I D ．()()()A B ABf x f x f x =+U 【分析】根据题中特征函数的定义，利用几何的交集、并集、补集运算法则，对A 、B 、C 、D 各项中的运算加以验证，进而求解；【解答】解：:A A B ÍQ ，可得x A Î则x B Î，Q 1()()0()A R x A f x x C A Îì=íÎî，1()()0()B Rx B f x x C B Îì=íÎî，而R C A 中可能有B 的元素，但R C B 中不可能有A 的元素，()()A B f x f x \…，故A 正确；B ：因为1,()0,R U A xC Af x x A Îì=íÎîð，综合()A f x 的表达式，可得1()R A A f f x =-ð，故B 正确；1,1,1,1,:()()()0,()0,()()0,0,A B AB R R R R R x A B x A Bx A x B C f x f x f x x C A B x C A C B x C A x C B ììÎÎÎÎììïï===×=×ííííÎÎÎÎïïîîîîI I I I U ，故C 正确；0,:()()()1,()A B AB U x A B D f x f x f x xC A B ìÎï=¹+íÎïîU U U ，故D 错误；故选：D ．【点评】考查接受新知识，理解运用新知识的能力，交集、并集、补集运算法则，属于中档题；17．（2024•绥中县校级开学）下列命题中是真命题的有( )A ．有A ，B ，C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30B ．一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4【分析】A 中，由分层抽样原理求出样本容量的值；B 中，计算这组数据的平均数、众数、中位数即可；C 中，计算乙组数据的方差，与甲组数据的方差比较即可；D 中，由样本容量、频数和频率的关系，计算即可．【解答】解：对于A ，由分层抽样原理知，样本容量为9183312n ==++，所以选项A 错误；对于B ，数据1，2，3，3，4，5的平均数为1(123345)36x =´+++++=，众数为6，中位数也是3，所以它们的平均数、众数和中位数相同，选项B 正确；对于C ，甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5；它的平均数是1(569105)75x =´++++=，方差为2222221[(57)(67)(97)(107)(57)] 4.45s =´-+-+-+-+-=，这两组数据中较稳定的是乙，所以选项C 错误；对于D ，由题意知样本容量为10，样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频数是4，所以频率为0.4，选项D 正确．故选：BD ．【点评】本题考查样本的数字特征应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．18．（2024春•芝罘区校级月考）如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是( )A ．直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B ．存在点M ，使得1B M AE ^C ．四面体EMAC 的体积为定值D ．当12D M MB =时，平面EAC ^平面MAC【分析】当M 为1BD 的中点时可知A 错误，证明1//BD 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】解：（1）当M 为1BD 的中点时，直线AD 与直线1C M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间坐标系D xyz -，设正方体棱长为1，则(1A ，0，0)，(0E ，0，12，(1B ，1，0)，1(0D ，0，1)，1(1B ，1，1)，\(1AE =-uuu r ，0，1)2，1(0B B =uuur ，0，1)-，1(1BD =-uuuu r ，1-，1)．1(01)BM BD l l =uuuu r uuuu r ……，则11(B M B B BM l =+=-uuuur uuur uuuu r，l -，1)l -，若1B M AE ^，则10B M AE ×=uuuur uuu r ，即1(1)02l l +-=，解得13l =，\当M 为线段1BD 的靠近B 的三等分点时，1B M AE ^，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知1//BD EO ，1//BD \平面ACE ，故E MAC M ACE B ACE V V V ---==，故C 正确；（4）AC BD ^Q ，1AC DD ^，1BD DD D =I ，AC \^平面1BDD ，AC OE \^，AC OM ^，故EOM Ð为二面角E AC M --的平面角，当12D M BM =时，2(3M ，23，13，又1(2O ，12，0)，\1(6OM =uuuu r ，16，1)3，1(2OE =-uuu r ，12-，1)2，\111012126OE OM ×=--+=uuu r uuuu r ，OE MO \^，故平面EAC ^平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．19．（2024春•璧山区校级月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度c 随时间t 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如图所示．则下列结论正确的是( )A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同C ．在2[t ，3]t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同D ．在1[t ，2]t 和2[t ，3]t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-V V 再结合图象，逐一判断项即可．【解答】解：选项A ，在1t 时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A 正确；选项B ，在2t 时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的2()f t ¢不相等，说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B 错误；选项C ，由平均变化率公式知，甲、乙两人在2[t ，3]t 内，血管中药物浓度的平均变化率均为3232()()f t f t t t --，即选项C 正确；选项D ，在1[t ，2]t 和2[t ，3]t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为2121()()f t f t t t --和3232()()f t f t t t --显然不相同，即选项D 不正确．故选：AC ．【点评】本题考查函数的实际应用，判断的关键是理解两个概念：瞬时变化率和平均变化率，考查逻辑推理能力，属于基础题．20．（2024春•沙坪坝区校级月考）设函数()sin()(0)6f x x pw w =->，已知()f x 在[0，]p 有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A ．在(0,)p 上存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=B ．()f x 在(0,)p 有且仅有1个最小值点C ．()f x 在(0,)2p单调递增D ．w 的取值范围是1319[,66【分析】由题意根据()f x 在区间[0，]p 有3个零点画出大致图象，可得区间长度p 介于周期[||T OA +，3||)2T OA +，再用w 表示周期，得w 的范围．【解答】解：画出函数()sin(6f x x pw =-大致图象如图所示，当0x =时1sin()62y p =-=-；又0w >，所以0x >时()f x 在y 轴右侧第一个最大值区间内单调递增，函数在[0，]p 仅有3个零点时，则p 的位置在~C D 之间（包括C ，不包括)D ，令()sin(06f x x p w =-=，则6x k p w p -=得，1()()6x k k z p p w=+×Î，y 轴右侧第一个点横坐标为6p w ，周期2T pw=，所以3662T T p p p w w +<+…，即232662p p p p p w w w w +<+×…，解得131966w <…，所以D 错误；在区间[0，]p 上，函数()f x 达到最大值和最小值，所以存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=，所以A 正确；由大致图象得，()f x 在(0,)p 内有且只有1个最小值点，B 正确；因为w 最小值为136，所以02x p <<时，11(66122x p p p pw -<-<Ï-，)2p ，所以(0,2x pÎ时，函数()f x 不单调递增，所以C 错误．故选：AB ．【点评】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出w 的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键．21．（2024春•沙坪坝区校级月考）已知2()(0)f x ax bx c a =++¹，且关于x 的方程()f x x =无实数根，现有下列说法，其中说法正确的是( )A ．若0a >，则不等式(()f f x )x >对一切x R Î恒成立B ．若0a <，则必然存在实数0x 使不等式00(())f f x x >成立C ．关于x 的方程(())f f x x =一定没有实数根D ．若0a b c ++=，则不等式(()f f x )x <对一切x R Î恒成立【分析】函数[()]f f x 为一个复合函数，把()f x 看作为一个未知数t ，t 的范围就是()f x 的值域；由此入手进行判断，能够得到正确答案．【解答】解：函数[()]f f x 为一个复合函数，可以把方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，t 的范围就是()f x 的值域；对于A ，[()]f f x 可以看作()f t ，而题中()f x x =无实根，方括号里的()f x 看作为一个未知数t ，则外层为一个开口向上的2次函数，且()f x x =无实根，且0a >，所以不等式[()]f f x x >对一切x R Î都成立，A 正确；对于B ，0a <时，由()f x x =无实根知二次函数()y f x x =-开口向下，且与x 轴没有交点，同理，令()t f x =，则二次函数()y f t t =-也开口向下，且与横轴没有交点，所以不等式[()]f f x x <对一切x R Î都成立，B 错误；对于C ，[()]f f x 看为()f t ，而题中()f x x =无实根，所以方程[()]f f x x =无实根，所以C 正确；对于D ，由0a b c ++=知f （1）01=<，又()f x x =无实根，所以0a <，由选项B 知不等式(()f f x )x <对一切x R Î恒成立，D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了函数的定义与性质的应用问题，考查了分析与运算求解能力，是中档题．22．（2024•平罗县校级一模）设函数()3sin()(0,)22f x x ppw j w j =+>-<<的图象关于直线23x p=对称，它的周期是p ，有下列说法：①()f x 的函数图象过点3(0,2；②()f x 在2[,123p p上是减函数；③()f x 的一个对称中心是5(,0)12p；④将()f x 的图象向右平移||j 个单位长度得到函数3sin y x w =的图象．其中正确的序号是 ①③ ．（正确的序号全填上）【分析】由题意求出函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x p=+，再判断题目中的命题是否正确．【解答】解：因为函数()f x 的周期为T p =，所以22Tpw ==，又函数()f x 的图象关于直线23x p =对称，所以由()3sin(2)f x x j =+，可知2232k p p j p ´+=+，解得56k pj p =-，又22ppj -<<，所以1k =时，6pj =；\函数的解析式为：()3sin(26f x x p=+；当0x =时3(0)2f =，()f x 的图象过点3(0,2，①正确；[12x p Î，23p 时，2[63x p p +Î，32p，()f x 是先增后减，②错误；当512x p =时，()0f x =，即函数()f x 的一个对称中心是5(12p，0)，③正确；由6pj =，2w =，将()f x 的图象向右平移6p个单位，得函数3sin[2(3sin(2)666y x x p p p=-+=-的图象，不是函数3sin 2y x =的图象，④错误；综上所述，正确的序号是①③．故答案为：①③．【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性、周期性、对称性以及三角函数解析式的求法应用问题，是基础题．。
集合常见错误分析
集合问题中常见错误分析朝阳区丁益祥特级教师工作室 周明芝解集合问题时，若对集合的基本概念理解不透彻，或思考不全面，常常致错，为此，本文对集合解题时提出几点注意，希望引起重视．1. 注意集合中元素的含义集合中元素是有一定意义的，对此，稍有疏忽就会导致解题失误．例 1. 设{}A x y x y x y N =+=∈(,)|,*46，，{}B x y x y x y N =+=∈(,)|,,*327，则A B =___________．错解：由方程组46,327x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：1,2.x y =⎧⎨=⎩ 故{}A B =12，． 错因分析：导致错误的原因是没有正确理解集合元素的含义，A 、B 中的元素是有序数对，即表示平面直角坐标系中的点，故{}A B =()12，．2. 注意集合中元素的互异性集合中任何两个元素都是不同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素，因此集合中元素是没有重复的，忽视互异性会引出错解．例2．已知集合A a ={}13，，，集合B a a =-+{}112，，如果B A ⊆，求a 的值． 错解：若a a 213-+=，即a a 220--=，则a =-1或a =2；若a a a 21-+=，即a a 2210-+=，则a =1．综上，所求a 的值为-1，1，2．错因分析：当a =1时，A 中有两个相同的元素1，与集合元素的互异性矛盾，因此a =1应舍去，所以满足题意的a 值为-1，2．3. 注意∅的特殊性 ∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，与任何集合的并集等于集合本身，忽视它的特殊性，同样会造成解题错误．例 3. 已知集合{}{}A x axB x x x =+==--=||105602，，若A B ⊆，求由实数a 组成的集合C ．错解：因为{}A aB A B =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭=-⊆178，，，， 所以-=--=1718a a 或，即a a ==-1718或，所以C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1718，． 错因分析：导致错误的原因是漏掉A =∅的情形，当a =0时，A =∅亦满足条件，可得C =-⎧⎨⎩⎫⎬⎭01718，，． 4. 注意取等的可能性例 4. 已知{}{}A x x B y y x a x A =-<<==+∈|,|12，，{}C z z x x A ==∈|,2，且B C C =，求实数a 的取值范围．分析：由已知得：{}|12B y a y a =-<<+，{}|04C z z =≤<，由B C C = 得B C ⊆，又12a a -<+，知B ≠∅，故有10,2 4.a a -≥⎧⎨+≤⎩ 解得12a ≤≤． 注：不要忽略a +=24的情况．5. 注意参数范围的等价性当参数包含于多个元素的表达式时，运算过程中容易扩大参数的取值范围，应注意检验，否则会发生错解．例5. 已知集合{}{}A a aB a a a =-+=-+-31312122，，，，，，且A B ={}-3，求实数a 的值．错解：由{}A B =-3，知33213a a -=--=-或，即01a a ==-或．错因分析：当a =0时，{}{}A B =-=--301311，，，，，，此时{}A B =-31，，与A B {}=-3矛盾，应舍去．6. 注意分类讨论的重要性例 6. 已知集合{}{}A B x x ax b =-=-+=11202，，|，若B ≠∅，且A B A = ，求实数a 和b 的值．分析：因为A B A =，故B A ⊆，又B ≠∅，故B 中含一个或两个元素，通过讨论，可求出：0,1,1,11 1.a a a b b b ===-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-==⎩⎩⎩或或 7. 注意条件隐含性例7. 全集{}22,3,23S a a =+-，{}|21|2A a =-，，{}5S A =ð，求实数a 的值． 错解：因为{}5S A =ð，所以55∈∉S A 且，从而a a 2235+-=． 解得：a a ==-24或．错因分析：导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为S 是全集，所以A S ⊆． 当a a S =-=∈2213时，||，符合题意；当a =-4时，||219a S -=∉，不符合题意，故a =2．注：在解有关含参数的集合题时，需要进行验证结果是否满足题中的条件（包含隐含条件）．高考集合问题常见类型解析湖南省 黄爱民 赵长春集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点.本文结合近年高考集合题， 对其常见类型加以分类解析，供参考。
集合问题中常见易错点归类分析答案
集合问题中常见易错点归类分析有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变•初学时，由于未能真正 理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全， 而造成错解.本文就常见易错点归纳如下：1 •代表元素意义不清致误例 1 设集合 A = ｛( X , y ) I x + 2 y = 5｝, B =｛( X , y ) I x — 2 y =- 3求 AIB 仪=1得丿 从而A I B = {1 , 2}.訶=2分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集,所以 A ", B = {(1 , 2)}例 2 设集合 A = {y I y = x 2 + 1, x R } , B = {x I y =x + 2}，求 错解： 显然A=｛ y I y>l ｝B=｛ x I y>2｝.所以 A P B=B . 分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ,从而A = ｛ yI y> 1｝，但集合B 中的元素为x ,所以B = ｛ x I x > 0｝，故A P B=A .变式：已知集合 A = ｛ y I y = x 2 1｝，集合B = ｛y | x 二y 2｝，求A 〔 B 解：A 二{ y | y = x 21} ={ y | y _ 1} , B 二{y|x 二y 2}=RA B ={y |y _1}、 2 2例3设集合A={x …x-6 = 0},B={x|x …X -6=0}，判断A 与B 的关系。
错解：A 二 B 二｛-2,3｝分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 其中每一个对象叫元素。
元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。
集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故 A 与B 不具包含关系。
例4设B = ｛1,2｝，A = ｛x|x? B ｝，则A 与B 的关系是( )A . A?B B . B? AC . A € BD . B € A 错解：B 分析：选 D. •/ B 的子集为｛1｝，｛2｝，｛1,2｝，?，••• A = ｛x|x ? B ｝ = ｛｛1｝，｛2｝，｛1,2｝，?｝，从集合与集合的角度来看待 A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合 B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来 看待B 与A ，「. B € A.评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错.2忽视集合中元素的互异性致错例 5 已知集合 A=｛ 1，3，a ｝，B=｛ 1， a 2 — a + 1 ｝，且 A =B ，求 a 的值.错解：由「X +2y=5x —2y = —3 APB.错解：经过分析知，若a2—a ^3,则a2 -a-2=0,即a~ -1或a = 2 .若a2 -a • 1 二a,则a2 -2a 7=0,即a =1 .从而a =—1，1，2.132分析当a =1时，A中有两个相同的元素1,与元素的互异性矛盾，应舍去，故—1,2 .2例6 设A={xl x + (b + 2)x + b+1 = 0,b = R},求A中所有元素之和.错解：由x2+(b + 2)x + b+1 = 0得(x+1) (x + b + 1)=0(1)当b = 0时，x i = x2 —1,此时A中的元素之和为一2.(2)当b 厂0时，x i + x2 =—b — 2.分析上述解法错在(1)上，当b = 0时，方程有二重根一1,集合A={—1} ,故元素之和为一1,犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”.因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性” .评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
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３．忽视空集的特殊性致误
例7若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求实数m的值．
A. B.
C. D.
错解： 的补集为 ，故选C。
剖析：本题错误地认为 的补集为 。事实上对于全集 ，由补集的定义有 ，但 ，即为 的定义域。所以只有当 的定义域为R时才有 的补集为 ，否则先求A，再求 。
正解： ，所以 ，而 ，应选A
7、考虑问题不周导致错误
例14 已知集合 只有一个元素，求a的值和这个元素。
例11已知集合A＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣ ＋１≤ｘ≤ ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求 得取值范围．
错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ Ａ．
∴ ＋３≤－５，或 ＋１≥４，解得 ≤－８，或 ≥３．
分析 ：上述解法忽视了等号能否成立，事实上，当 ＝－８时，不符合题意；当 ＝３时，符合题意，故正确结果应为 ＜－８，或 ≥３．
所以当 时，
评注：对于任何集合Ａ，皆有Ａ ＝ ，Ａ∪ ＝Ａ， Ａ． 的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
４．忽视端点值能否取得致误
例6设Ａ＝｛ｘ∣ ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ R｝，求Ａ中所有元素之和．
错解：由 ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０
（１）当ｂ＝０时，ｘ1＝x2－１，此时Ａ中的元素之和为－２．
（２）当ｂ ０时，ｘ1＋x2＝－ｂ－２．
分析上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．
（１） ，此时方程 无解，
（２）
mx＋1＝0的解为－3，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝ ；
（３）
mx＋1＝0的解为2，
由m·2＋1＝0，得m＝－ ；
综上所述， 或 或
例8 已知 ， ，若 ，求ａ的取值范围。
解：
（１） ， ，即
（２） ，方程 有两等根－４
由 得 ，所以无解
（３） ，方程 有两等根０
由 得 ，所以
分析导致错误的原因是没有考虑到隐含条件，因为Ｕ是全集，所以Ａ Ｕ．当 ＝２时，∣２ －１∣＝３ Ｓ，符合题意；当 ＝－４时，∣２ －１∣＝９ Ｓ，不符合题意；故 ＝２．
评注：在解有关含参数的集合时，需要进行验证结果是否满足题设条件，包括隐含条件．
6、忽视补集的含义致错
例13已知全集 ，集合 ，集合 ，则下列关系正确的是（）
（４） ，方程 有两不等根－４，０
由 得 ，所以
综上所述， 或
例9 已知集合 ， ，若 ，求ａ的取值范围。
解：（１） ， 得
（２） ，则
或 得 或
综上所述 或
例１０ 已知集合 ， ，若 ，求ａ的取值范围。
解：（1） ，则 ，符合题意
（2） ，则
综上所述，
变式：已知集合 ， ，若 ，求ａ的取值范围。
解：当 时，
集合问题中常见易错点归类分析
有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：
1．代表元素意义不清致误
例1设集合A＝｛（ ,y）∣ ＋2y＝5｝，B＝｛（ ,y）∣ －2y＝－3｝，求A B ．
评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．
2 忽视集合中元素的互异性致错
例5已知集合A={１，3， }，B={１， － ＋１}, 且A B，求 的值．
错解：经过分析知，若 － 则 即 或 ．若
则 即 ．从而 ＝－１，１，２．
分析当 ＝１时，A中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故 ＝－１，２．
错解：由 得 从而A B＝{1，2}．
分析上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A、B中元素为点集，
所以A B＝{(1，2)}
例2设集合A＝{y∣y＝ ＋1， R }，B＝{x∣y＝ ＋2}，求 Ａ∩Ｂ．
错解：显然Ａ＝｛y∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛ ∣ｙ≥２｝．所以A∩B=B．
分析错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，从而A＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B中的元素为 , 所以B＝{ ∣ ≥0}，故A∩B=A ．
错解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B A，
（１）
mx＋1＝0的解为－3，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝ ；
（２）
mx＋1＝0的解为2，
由m·2＋1＝0，得m＝－ ；
综上所述， 或
分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了 的情况。
正解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∵B A，
变式：已知集合 ，集合 ，求
解： ，
例3设集合 , ，判断A与B的关系。
错解：
分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A中的元素属性是方程，集合B中的元素属性是数，故A与B不具包含关系。
例4设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是( )
评注：在求集合中字母取值范围时，要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号，否则会导致解题结果错误．
５．忽视隐含条件致误
例12设全集Ｕ＝｛２，３， ＋２ －３｝，Ａ＝｛∣２ －１∣，２｝， ＝｛５｝，
求实数 的值．
错解：∵ ＝｛５｝，∴ ５ Ｓ且 ５ Ａ，从而， ＋２ －３＝５，解得 ＝２，或 ＝－４．
A．A⊆BB．B⊆AC．A∈BD．B∈A
错解：B
2}，∅，
∴A＝{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A与B，集合A的元素属性是集合，集合B的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B与Ａ，∴B∈A.
解：（1） ，由 得 ，此时 符合题意