加菲尔德勾股定理
证明勾股定理多种常用方法
勾股定理是数学原理，那该怎么证明呢?证明的过程是怎样的呢?下⾯就是百分⽹店铺给⼤家整理的如何证明勾股定理内容，希望⼤家喜欢。
证明勾股定理的⽅法⼀ 最早对勾股定理进⾏证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了⼀幅“勾股圆⽅图”，⽤形数结合得到⽅法，给出了勾股定理的详细证明。
在这幅“勾股圆⽅图”中，以弦为边长玫秸?叫蜛BDE是由4个相等的直⾓三⾓形再加上中间的那个⼩正⽅形组成的。
每个直⾓三⾓形的⾯积为ab/2;中间懂得⼩正⽅形边长为b-a，则⾯积为(b-a)2。
于是便可得如下的式⼦： 4×(ab/2)+(b-a)2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 稍后⼀点的刘徽在证明勾股定理时也是⽤以形证数的⽅法，刘徽⽤了“出⼊相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正⽅形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正⽅形的空⽩区域内(⼊)，结果刚好填满，完全⽤图解法就解决了问题。
再给出两种 1。
做直⾓三⾓形的⾼，然后⽤相似三⾓形⽐例做出。
2。
把直⾓三⾓形内接于圆。
然后扩张做出⼀矩形。
最后⽤⼀下托勒密定 证明勾股定理的⽅法⼆ 勾股定理：在Rt△ABC中，AB⊥AC，则：AB^2+AC^2=BC^2。
该定理有不同的证明⽅法，现⽤⼀种⽅法证明如下：如图作4个与Rt△ABC全等的三⾓形。
不失⼀般性地设AB>AC。
很明显，4个直⾓三⾓形的⾯积+⼩正⽅形的⾯积=⼤正⽅形的⾯积。
∴4(AB×AC/2)+(AB-AC)^2=BC^2，∴2AB×AC+AB^2-2AB×AC+AC^2=BC^2，∴AB^2+AC^2=BC^2。
特别地，当AB=AC时，看成⼩正⽅形的⾯积为0，得：2AB×AC=BC^2，改写⼀下就有：AB×AC+AB×AC=BC^2，得：AB^2+AC^2=BC^2。
[说明：当Ac>AB 时，将上述证明过程中的字母B、C调换⼀下就可以了。
勾股定理的论文1【范本模板】
摘要：勾股定理是几何学中一颗光彩熠熠的明珠，充满着魅力。
它被世人称为“几何学的基石”，是人类最伟大的十个科学发现之一.它是我们全人类共同的财富,不论是古埃及人,古巴比伦，亦或是我们中国人最早发现了它，显然不是任何一个民族的私有财产。
勾股定理在高等数学和其他学科中有着极为广泛的应用.总之,在勾股定理的探索上,我们走向了数学科学的殿堂。
关键词：勾股定理,应用Abstract：Pythagorean theorem in geometry is a gleaming pearl， full of charm. It is the world known as ”the cornerstone of geometry, ”is humanity's greatest scientific discoveries of the ten. It is our common wealth of mankind， whether ancient Egyptian， Babylonian, or we Chinese people have first discovered it, is clearly not the private property of any nation。
Pythagorean theorem in higher mathematics and other disciplines has a very wide range of applications。
In short, the exploration of the Pythagorean theorem, we went to the temple of Mathematical Sciences.Key words:Pythagoras Theorem，application目录1 引言 (4)2 内容 (4)3 证明 (4)3.1 赵爽弦图法 (5)3。
勾股定理定义以及证明
∴ S矩形ADNM S矩形MNEB S正方形ACHK S正方形CBFG
S S S 即 正方形ADEB
正方形ACHK
正方形CBFG
E 也就是a2 b2 c2
返回
方法二：加菲尔德“总统证明法”
谁说总统就是在国家领导，每天忙于外交的工作，然而有一个人他在 1876年4月1日，在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一 证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念 他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总 统”证法。我们不要说自己忙忙于时间去做，任何事情，他就是我们的
B C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑴ ⑵正方形A、B、C的 的面积有什么关系？
面积各为多少？
SA+SB=SC
C Aa c
b B 图甲
图甲 图乙 A的面积 4 9 B的面积 4 16 C的面积 8 25
A 图乙 a
Bb c C
SA+SB=SC
2.观察图乙，小方格 的边长为1. ⑵正方形A、B、C的
∴ S矩形ADNM 2S△ADC
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等
F
高（即平行线AK和BH间的距离），
∴ S正方形ACHK 2S△ABK
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，
∴△ADC≌△ABK．
B
由此可得S矩形ADNM S正方形ACHK
同理可证 S矩形MNEB S正方形CBFG
dec是一个等腰直角三角形图形面积图形是相同的方法不一样返回赵爽三国时期吴国数学家在为周髀算经作注解时创制了一幅勾股圆方图也称为弦图这是我国对勾股定理最早的证明是我国古代数学成就
五年级思维--几何--勾股定理与弦图((思维拓展专项练习))学生版
课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2勾股定理与弦图点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
勾股定理及其证明——费马大定理
勾股定理及其证明——费马大定理
费马在《算术》这本书里写出了一条美妙的结论：
已经知道根据勾股定理，任意三角形的两条直角边长a，b和斜边长c都是含三个未知数的方程a2+b2=c2的一组解，而每一组勾股数都是这个方程的正整数解。
什么是勾股定理？
西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话:
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。
这就是著名的勾股定理。
等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：
斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的证明
美国第二十任总统加菲尔德曾经给过一个证法：
他用了两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形。
后来人们为了纪念他对勾股定理直观，简洁，易懂明了的证明，就把这一证发称为总统证法。
勾股定理特殊证明方法
勾股定理特殊证明方法
勾股定理的常见三种证明方法：赵爽“弦图”验证法，欧几里得证明勾股定理，面积割补验证法。
1、赵爽“弦图”验证法：
验证：大正方形可以看成边长为c的正方形，也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为(a-b)，S大正方形=ab4 +，同时也有=，所以ab4+=，整理得+=。
2、欧几里得证明勾股定理：
证明：设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。
其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF 和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。
分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
因为C、A和G在同一直线.上，所以正方形BAGF=2△FBC,因此四边形
BDLK=BAGF=。
同理可证，四边形CKLE=ACIH=。
把这两个结果相加，+ =BDBK+KLKC由于BD=KL，BDBK+KLKC=BD
(BK+KC)=BDBC
由于CBDE是个正方形，因此+=，即+=。
3、面积割补验证法：
因为=，而=+4ab，S正方形MNOP=++4ab
所以+=。
勾股定理的证明方法还包括加菲尔德证法、加菲尔德证法变式、青朱出入图证法、毕达哥拉斯证法、华蘅芳证法、百牛定理证法、商高定理证法、商高证法、刘徽证法、绉元智证法等等。
勾股定理
勾股定理训练一、解答题（共11小题；共143分）1. 加菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用下图证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现在请你尝试他的证明过程（∠B和∠D为直角）．2. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，在△ABD中，BD=12，AD=13，求△ABD的面积．3. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．Ⅰ当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为三角形．Ⅱ猜想：当a2+b2c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2c2时，△ABC为钝角三角形．Ⅲ当a=2，b=4时，判断△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围．4. 如图，一根电线杆在离地面5 m处断裂，电线杆顶部落在离电线杆底部12 m处．求电线杆折断之前有多高．5. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均在格点上，试判断△ABC是否为直角三角形?为什么?6. 如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=90∘，∠CBD=90∘，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．7. 如图所示的一块地，AD＝8 m，CD＝6 m，∠ADC=90∘，AB＝26 m，BC＝24 m．求这块地的面积．8. 求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积．9. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2c2−b2c2=a4−b4，Ⅰ请判断△ABC的形状．10. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港一个半小时后相距多远?11. 问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．Ⅰ请你将△ABC的面积直接填写在横线上．Ⅱ若△ABC三边的长分别为2+16n2、2+4n2、22+n2 m>0,n>0,且m≠n 运用构图法可求出这三角形的面积为．答案第一部分1. △ABC，△ACE，△CDE的面积和等于梯形ABDE的面积．2. ∵∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+CB2，∴AB=5．∵BD=12，AD=13，∴AD2=BD2+AB2，∴∠ABD=90∘，∴S△ABD=1×AB×BD=30．2答：△ABD的面积为30．3. （1）锐角；钝角（2）>；<（3）①当16≤c2<20时，△ABC是锐角三角形；②当c2=20时，△ABC是直角三角形；③当20<c2<36时，△ABC是钝角三角形．4. 因为AC2+BC2=AB2，所以AB= BC2+AC2=25+144=13．AB+BC=13+5=18．答：电线杆折断前高18 m．5. 由勾股定理可得AC=2+12=5；BC=42+22=20；AB=32+42=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．6. ∵∠BAD=90∘，AD=4，AB=3，∴BD= AD2+AB2=42+32=5．∵∠CBD=90∘，BC=12，∴CD2=BD2+BC2=52+122=169，即正方形DCEF的面积为169．7. 连接AC，则△ADC为直角三角形.因为AD=8，CD=6，所以AC=10 .在△ABC中，AC=10，BC=24，AB=26 .因为102+242=262，所以△ABC是直角三角形.S=S△ABC−S△ADC=12⋅AC⋅BC−12⋅AD⋅CD=12×10×24−12×8×6=120−24=96.所以这块地的面积为96 m2．8. 由题意可知：另一条直角边长为172−152=8（cm）.∴角三角形的面积=12×15×8=60 cm2 .9. ∵a2c2−b2c2=a4−b4，∴c2a2−b2=a2+b2a2−b2，∴c2=a2+b2或a2−b2=0 .当c2=a2+b2时，△ABC为直角三角形；当a2−b2=0，即a=b时，△ABC为等腰三角形．∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．10. 轮船离开港一个半小时以后，AC=12×1.5=18，AB=16×1.5=24 . ∵△ABC为直角三角形，由勾股定理，得AC2+BA2=BC2．∴BC2=182+242 .∴BC2=900 .∴BC=30．答：它们离开港一个半小时后相距30海里．11. （1）3.5【解析】如图：S△ABC=3×3−1×3×1−1×2×1−1×3×2=3.5（2）5mn 【解析】如图：S△ABC=4n⋅3m−1⋅4n⋅m−1⋅2n⋅2m−1⋅2n⋅3m=5mn。
五年级奥数几何专项九 勾股定理与弦图(二)
专项九勾股定理与弦图（二）课前预习华盛顿的傍晚亲爱的小朋友们：“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。
他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
具体方法如下：两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。
即（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2化简整理得a2＋b2＝c2点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总统思考的思考
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。
由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。
只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。
于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。
”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。
”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。
”证法。
例1：如图所示，这是美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形，是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
例2：如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为____________.
例3：（2010•望城县模拟）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=__________.
例4：如图1，等腰直角△ABC的直角顶点B在直线l上，A、C在直线l的同侧．过A、C作直线l的垂线段AD、CE，垂足为D、E．
（1）请证明AD+CE=DE．
（2）如图2，平面直角坐标系内的线段GH的两个端点的坐标为G（3，3），H（0，1）．将线段GH绕点H顺时针旋转90°得到线段KH．求点K的坐标．（3）平面直角坐标系内有两点P（a，b）、M（-2，1），将点P绕点M逆时针旋转90°得到点Q，请你直接写出点Q的坐标．
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
∴△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，DB=EC，又DE=DB+BE，
∴DE=AD+CE；
（2）解：过G、H作y轴的垂线段GG′、KK′，垂足为G′、K′，∵G（3，3），H（0，1），
∴GG′=3，G′O=3，HO=1，
∴G′H=3-1=2，
根据（1）同理可得KK′=G′H=2，K′H=GG′=3，
∴K′O=K′H-HO=3-1=2，
∵点K在第四象限∴点K的坐标为（2，-2）；
（3）点Q的坐标为（-1-b，3+a）．
例5: 如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）
拓展延伸
1、如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC 外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
2、（山东菏泽2012）如图，一次函数2y=23
x -+的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆,90BAC ︒∠=.求过B 、C 两点直线的解析式.
备用
1. 直角三角形ABC 的直角顶点C 置于直线l 上，AC=BC ，现过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，
（1）请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程； （2）若BE=3，DE=5，求出AD 的长．
解：（1）△ACD ≌△CBE ．理由如下：
∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， 又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB ．
在△ACD 与△CBE 中，∠ADC ＝∠CEB ，∠ACD ＝∠CBE ， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）；
x y
O A B
C
（2）∵△ACD ≌△CBE ， ∴CD=BE=3，AD=CE ， 又∵CE=CD+DE=3+5=8， ∴AD=8．
2、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
16．下列图①、②、③中阴影分别三所作正多形；图④中阴影分别三直径所作半圆根据勾股定理可知：分别以条正方形面积之和等于以斜正方形面积（如图②） （1）类似结论，于图②结论，于图①、③、④是否立？如果立，请选择中一个图形证明
（2）根据（1）结论，你能提出一般性结论吗？写出你结论并给予证明
A
D
E
B
C
第2题图。