专题：勾股定理与面积问题 含答案
勾股定理练习题(答案)
勾股定理练习题(答案)勾股定理练题1.基础达标：下列说法正确的是：A。
若a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²；B。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²；C。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²；D。
若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²．2.Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是：A。
a+b=cB。
a+b>cC。
a+b<cD。
a²+b²=c²3.如果Rt△的两直角边长分别为k²-1，2k（k>1），那么它的斜边长是：A。
2kB。
k+1C。
k²-1D。
k²+14.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a²-b²)(a²+b²-c²)=0，则它的形状为：A。
直角三角形B。
等腰三角形C。
等腰直角三角形D。
等腰三角形或直角三角形5.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为：A。
121B。
120C。
90D。
不能确定6.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为：A。
42B。
32C。
42或32D。
37或337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为：A。
d²+S+2dB。
d²-S-dC。
2d²+S+2dD。
2d²+S+d8.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP 的长为：A。
3B。
4C。
5D。
79.若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为：A。
17B。
3C。
17或3D。
以上都不对10.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足(a-6)²+b-8+c-10=0，则三角形的形状是：A。
勾股定理及应用 练习题(带答案
勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。
初二数学：勾股定理专题知识点与同步练习(含答案)
勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．一、勾股定理已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为A．5 B C或5 D二、勾股定理的证明勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若AC b =，BC a =．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明222a b c +=；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求()2a b +的值．三、勾股定理点的应用利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m ，高8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m /s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？习题1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =5，b =12，则c 的长为 A ．119 B ．13 C ．18D ．1692．如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1，2k （k >1），那么它的斜边长是 A ．2kB ．k +1C ．k 2-1D ．k 2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A ．4米B ．8米C ．9米D ．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m 处折断，树顶端落在离树底部4 m 处，则树折断之前高A ．5 mB ．7 mC ．8 mD ．10 m5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________； （2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ； （2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积； （3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ； （5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：22222()AB AC BD AD +=+．13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm ，高为18 cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A ．50 cmB ．40 cmC ．30 cmD ．20 cm15．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A ．22B ．32C ．62D ．8216．如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =60°，则AB 的长为A ．12米B ．3米C ．6米D ．317．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
数学数学勾股定理试题含答案
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
专题10 勾股定理有关的计算（含答案）
第三章 勾股定理专题10 勾股定理有关的计算知识解读勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理几种表达式：在ABC Rt ∆中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b .c ，则222b a c +=，222b c a -=,222a c b -=；22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=.勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。
应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边.培优学案典例示范一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想 例1直角三角形的两直角边长的比是4:3，斜边长是25，则它的两直角边长分别是 . 【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为x 3和x 4，然后根据勾股定理列出关于x 的方程。
【技巧点评】根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。
跟踪训练1.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，30=∠A ，6=b ，则c = ，a = . 二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解例2在ABC ∆中，13=AB ，15=AC ，BC 边上的高12=AD ，求BC 的长.【提示】本题已知条件的三条线段AB ，AC 和AD ，都是从点A 出发的，需要分两种情况讨论。
【解答】【技巧点评】几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。
跟踪训练2. 已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为 .三、等腰三角形底边上的高例3 如图3-10-1，在ABC ∆中，10==AC AB ，8=BC ，AD 是BC 边上的中线，求AD 的长. 【提示】由于AD 是BC 边上的中线，可知BC AD ⊥，于是由10==AC AB ，8=BC ，利用勾股定理即求.【解答】图3-10-1等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。
专题07：勾股定理(简答题专练)(解析版)
专题07：勾股定理（简答题专练）一、解答题1．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．【答案】224cm ．【分析】连接AC ，勾股定理计算222234AD CD ++ABC 是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可．【解答】解：连接AC∵AD DC ⊥∴∠ADC=90°，在Rt △ADC 中，根据勾股定理，得 222234AD CD +=+=5，在△ABC 中，∴22222251213AC BC AB +=+==，△ABC 是直角三角形，∴=-ABC ACD ABCD S S S 四边形 =51234-22⨯⨯ =242m （）．【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到△ABC 是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=25，若AC ⊥BC ，求证：AD ∥BC ．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：在ABC 中，根据勾股定理求出2AC 的值，再在ACD △中根据勾股定理的逆定理，判断出AC ⊥CD ，再根据平行线的判定即可求解．试题解析：证明：在ABC 中AC BC ⊥，根据勾股定理：222225316AC AB BC =-=-=， ∵在ACD △中，22216203636AC AD CD ，，+=+== 222AC AD CD ∴+=，∴根据勾股定理的逆定理，ACD △为直角三角形，AC CD ∴⊥，∴AD ∥BC ．3．一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？【答案】24【分析】连接AC ，利用勾股定理解出直角三角形ABC 的斜边，通过三角形ACD 的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．【解答】连接AC ，∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，∴AC=5，∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，∴木板的面积为：S△ACD-S△ABC=12×5×12-12×3×4=24．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键．4．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．【答案】等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管3.6米．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得DO=12CD=0.8m，再在Rt△BDO中利用勾股定理计算出BD的长，即可算出答案．【解答】由题意得：BO⊥CD，∵△BCD是等腰三角形，∴DO＝12CD＝0.8m，在Rt△BDO中，∵BD2＝DO2+BO2，∴BD220.80.61（米），∴BC＝1米，∴等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管：1+1+1.6＝3.6（米）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理计算出BD的长．5．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4m ，又往北走1.5m ，遇到障碍后又往西走2m ，再转向北走4.5m 处往东一拐，仅走0.5m 就到达了B ．问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？【答案】132 【解析】试题分析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，可以计算出AC 、BC 的长度，在直角△ABC 中根据勾股定理即可计算AB ．试题解析：过点B 作BC ⊥AD 于C ，所以AC=4﹣2+0．5=2．5m ，BC=4．5+1．5=6m ，在直角△ABC 中，AB 为斜边，则22225136()22AB BC AC =+=+=m, 答：机器人从点A 到点B 之间的距离是132m ． 考点：勾股定理． 6．如图所示，在四边形ABCD 中，AB=25，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD 的面积.【答案】四边形ABCD 的面积是6.【分析】连接BD，根据勾股定理可计算出BD的长度，再由勾股定理逆定理可判断出△ABD为直角三角形，分别计算出△ABD和△BCD的面积，求和即可.【解答】连接BD，∵∠C=90°，∴△BCD为直角三角形，∴BD2=BC2+CD2=22+12=（5）2，BD＞0，∴BD=5，在△ABD中，∵AB2+BD2=20+5=25，AD2=52=25，∴AB2+BD2=AD2，∴△ABD为直角三角形，且∠ABD=90°，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12×25×5+12×2×1=6．∴四边形ABCD的面积是6.【点评】本题关键在于利用勾股定理逆定理判定出直角三角形，从而求出三角形的面积.7．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C 到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt △CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，在Rt △ACH 中，根据勾股定理列方程求得x 即可．【解答】（1）∵2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ，∴Rt △CHB 是直角三角形，即CH ⊥BH ，∴CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，∵在Rt △ACH ，∴222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5，∴原来的路线AC 的长为2.5米．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键． 8．观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a ,b ,c.根据你发现的规律,请写出:(1)当a=19时,求b ,c 的值;(2)当a=2n+1时,求b ,c 的值;(3)用(2)的结论判断15,111,112,是否为一组勾股数,并说明理由.【答案】(1) b=180.c=181；(2) b=2n 2+2n ,c=2n 2+2n+1；(3) 不是,理由见解析【解析】试题分析：（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b ，c 的值．（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b 、c 的值．（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是． 试题解析：解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c ﹣b =1．∵a =19，a 2+b 2=c 2，∴192+b 2=（b +1）2，∴b =180，∴c =181；（2）通过观察知c ﹣b =1，∵（2n +1）2+b 2=c 2，∴c 2﹣b 2=（2n +1）2，（b +c ）（c ﹣b ）=（2n +1）2，∴b +c =（2n +1）2，又c =b +1，∴2b +1=（2n +1）2，∴b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1；（3）由（2）知，2n +1，2n 2+2n ，2n 2+2n +1为一组勾股数，当n =7时，2n +1=15，112﹣111=1，但2n 2+2n =112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．点睛：此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力．9．已知：如图，一块R t△ABC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为．（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为．（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.【答案】（1）32m；（2）（5m；（3）80 3m【分析】（1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出△ABD的周长；（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．【解答】：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴226()DC AD AC m=-=则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD-BC=10-6=4（m），故2245(m)AD AC DC=+=则△ABD的周长为：5（5m；故答案为（5m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=7 3∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2780610() 33m ⎛⎫++=⎪⎝⎭【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．10．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．【答案】（1）③，忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）见解析【分析】（1）上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a2-b2，没有考虑a2-b2是否为0；（2）正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形．【解答】解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ；在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE ＝12cm ，△ABE 的面积S ＝60cm 2．(1)求出AB 边的长；(2)你能求出∠C 的度数吗？请试一试．【答案】(1)AB ＝10；(2)∠C ＝90°．【分析】(1)由S △ABE ＝60，求得AB ＝10；(2)根据勾股定理的逆定理得出△ABC 为直角三角形，从而得到∠C 的度数．【解答】(1)∵DE ＝12，S △ABE ＝12DE•AB ＝60， ∴AB ＝10；(2)∵AC ＝8，BC ＝6，62+82＝102，∴AC 2+BC 2＝AB 2，由勾股定理逆定理得∠C ＝90°．【点评】本题考查了利用三角形的面积公式和勾股定理的逆定理求解，解题关键在于掌握运算法则 12．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.【解答】延长ED 至G ，使DG DE =，连结BG 、FG ，AD BD =，ADE BDG ∠=∠，ADE BDG ∴∆≅∆，AE BG ∴=，A DBG ∠=∠，AC BG ∴，180C FBG ∴∠+∠=︒，90FBG ∴∠=︒，222BG BF GF ∴+=，又ED FD ⊥，ED GD =，EF GF ∴=，222AE BF EF ∴+=.【点评】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.13．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C 处，已知AB ＝4米，BC ＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．【答案】19米【分析】首先构造直角三角形，进而求出BD 的长，进而求出AC 的长，即可得出答案．【解答】解：如图所示：延长AB ，过点C 作CD ⊥AB 延长线于点D ，由题意可得：BC ＝13m ，DC ＝12m ，故BD 221312-5（m ），即AD ＝9m ， 则()222291215AC AD CD m =+=+=，故AC +AB ＝15+4＝19（m ），答：树原来的高度19米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出BD的长是解题关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．【答案】（1）5；（2）详见解析．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长；（2）利用勾股定理逆定理即可证明△BCD是直角三角形．【解答】（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC22AB AC-22-5；1312（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形．【点评】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．掌握定理是解题关键．15．如图，公路PQ和公路MN交于点P，且∠NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP＝2米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．【答案】受影响的时间为12秒.【解析】试题分析：过点A作AB⊥DP于点B，则AB是点A到道路MN的最短距离，结合已知条件求出AB的长度为80米，由80<100可知，学校要受影响；再以点A为圆心，100米为半径作圆A交MN于点C和点D，连接AD、CD，利用已知条件求出CD的长，用CD的长度除以10，可得受影响的时间.试题解析：作AB⊥DP于B，则AB为A到道路的最短距离，在Rt△APB中，∵∠NPQ=45°，∴∠PAB=∠NPQ=45°，∴BA=BP，∴BA2+BP2=AP2=(802)2，∴BA=BP=80，∵80小于100，∴有影响；以点A为圆心，100米为半径作圆A交MN于点C和点D，连接AD、CD，∴在Rt△ABD中，BD=22-=（米），1008060∵AC=AD，AB⊥CD，∴CB=BD=60，∴受影响的时间为：（60×2）÷10=12秒.16．到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图，若AD平分∠CAB，则AD上的点E为△ABC的准内心．应用：（1）如图AD为等边三角形ABC的高，准内心P在高AD上，且PD＝12AB，则∠BPC的度数为度．（2）如图已知直角△ABC中斜边AB＝5，BC＝3，准内心P在BC边上，求CP的长．【答案】（1）90；（2）4 3【分析】（1）根据等边三角形性质和已知推出PD＝BD＝DC，即可得出答案；（2）过P作PD⊥AB，在Rt△BDP中根据勾股定理得出方程，求出即可．【解答】解：（1）∵AD为等边三角形ABC的高，∴BD＝12AB，CD＝BD，∵PD＝12AB，∴BD＝DP＝CD，∴∠BPC＝90°，故答案为：90；（2）由勾股定理易知AC＝4，过P作PD⊥AB于D，根据题意知PC＝PD，AD＝AC＝4，设CP＝x，在直角△BDP中BP＝3﹣x，DP＝x，BD＝1由勾股定理得CP＝x＝43．【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键．17．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB ⊥AB 于点B （如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB 上建一个土特产收购站E,使得C,D 两村庄到收购站E 的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E 到A 站的距离.【答案】收购站E 到A 站的距离为22km【解答】分析：连接CD ,并作线段CD 的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA 长. 点睛：如图,连接CD ,并作线段CD 的垂直平分线,与AB 相交于点E ,点E 即为所建土特产收购站的地点.连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE =(50-x ) km ,在Rt △ADE 中,222DE DA AE =+,∴222DE 20x =+ ,在Rt △BCE 中,222CE CB BE =+ ,∴()222CE 1050x =+-,又DE=CE , ∴ ()2222201050x x +=+- ,解得x =22 .∴收购站E 到A 站的距离为22km.点睛：勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.18．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a ，b ，斜边为c ）．用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a 2+b 2=c 2．【答案】见解析【分析】图（2）的面积由直接求与间接求两种方法求出，两者相等整理即可得证．【解答】证明：由图（2）可得：21111()()2222a b a b ab c ab ++=++， 整理得：2222222a ab b abc +++=， 整理得：a 2+b 2=c 2．【点评】此题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．19．如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：222AD AC BD =+.【答案】见解析【分析】连接AM 得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【解答】证明：连接MA ，∵MD ⊥AB ，∴AD 2=AM 2-MD 2，BM 2=BD 2+MD 2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点评】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．20．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积．【答案】图中半圆的面积是169π8cm2.【分析】先根据勾股定理求出AO,FO的长，再根据半圆面积计算公式计算半圆面积即可. 【解答】解：如图，∵在直角△ABO中，∠B＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，∴AO22BO AB+ 5 cm.则在直角△AFO中，由勾股定理，得到FO22AO AF+13 cm，∴图中半圆的面积＝12π×2FO⎛⎫⎪⎝⎭2＝12π×169π169π88=(cm2)．答：图中半圆的面积是169π8cm2.【点评】此题重点考察学生对勾股定理的实际应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.21．线段a、b、c且满足|a18（b﹣2）250c-．求：（1）a、b、c的值；（2）以线段a、b、c能否围成直角三角形．【答案】线段a、b、c能围成直角三角形【解析】试题分析：（1）根据非负数的性质，让其分别等于0即可求出a、b、c的值；（2）根据（1）的结果，分别求a2，b2，c2，然后根据勾股定理逆定理可证明.试题解析：（1）∵|a18（b﹣2）250c-=0，∴a18，b﹣2=0，c50，即a=32，b=42，c=52；（2）∵a2+b2=（32）2+（42）2=50，c2=（52）2=50，∴a2+b2=c2，∴线段a、b、c能围成直角三角形．点睛：此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是求出a、b、c的关系式a2+b2=c2.22．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．【答案】(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=12BM列方程求解可得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=12BN列方程求解可得．【解答】解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，∴BM＝AB－AM＝30－x，根据题意得30－x＝2x，解得x＝10，答：经过10秒，△BMN为等边三角形；(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，①当∠BNM＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BMN ＝30°，∴BN ＝12BM ，即2x ＝12(30－x)， 解得x ＝6；②当∠BMN ＝90°时，∵∠B ＝60°，∴∠BNM ＝30°，∴BM ＝12BN ，即30－x ＝12×2x ， 解得x ＝15，答：经过6秒或15秒，△BMN 是直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.23．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，点D 是斜边AB 的中点，作DE AB ⊥，交直线AC 于点E .（1）若30A ∠=︒，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若1CE =，求BC 的长.【答案】（1）2CE =；（2）()230612x y x =-<≤；（3）满足条件的BC 的长为263【分析】（1）连接BE ，点D 是AB 中点且DE ⊥AB ，BE=AE ，利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE 的长；（2）连接BE ，则AE=BE=6-y ，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2，即x 2+y 2=（6-y ）2，整理即可得出y 关于x的函数解析式()230612x y x =-<≤； （3）此题有两种情况：①是当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-，解得x 即可；②是当点E 在AC 延长线上时，AE=BE=7，由勾股定理得BC 2+CE 2=BE 2即x 2+12=72．解得x 即可．【解答】（1）如图，连接BE ，∵点D 是AB 中点且DE AB ⊥，∴BE AE =，∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=90°-∠A=60°，30ABE A ∠=∠=︒∴30CBE ABC ABE ∠=∠-∠=︒， ∴1122CE BE AE ==， ∵6AC =，AC=AE+CE,∴2CE =，（2）连接BE ，则6AE BE y ==-，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即()2226x y y +=-， 解得()230612x y x =-<≤ （3）①当点E 在线段AC 上时，由（2）得21312x =-， 解得6x =②当点E 在AC 延长线上时，7AE BE ==，在Rt BCE ∆中，由勾股定理得222BC CE BE +=，即22217x +=. 解得43x （负值已舍）综上所述，满足条件的BC 的长为26，43.【点评】此题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形,二次函数的应用.（1）中熟练掌握线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键；（2）中能利用勾股定理建立x ，y 的等式是解题关键；（3）中能分类讨论是解题关键.24．如图所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，求1234S S S S +++的值.【答案】12344S S S S +++=.【分析】先利用三角形的全等，得出中间斜放的正方形与相邻的两个正方形的边长刚好可以组成一个直角三角形，从而根据勾股定理可以得出，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】如图，因为四边形ACEF 是正方形，所以AC CE =，90ACE ∠=︒.所以1290∠+∠=︒.又因为2390∠+∠=︒，所以13∠=∠.在△ABC 与△CDE 中，因为13∠=∠，ABC CDE ∠=∠，AC CE =，所以()ABC CDE AAS ∆≅∆.所以BC DE =.在Rt ABC ∆中，根据勾股定理，得222AB BC AC +=，所以222AB DE AC +=，即12=1ACEF S S S +=正方形.同理343S S +=.所以1234134S S S S +++=+=.【点评】本题考查勾股定理以及三角形全等的性质与判定，解决本题的关键是能利用三角形全等得出相邻两个三角形以及斜三角形之间的关系（它们的边长可以组成一个直角三角形）.25．（1）如图1，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．【答案】（1）①BC ＝DC +EC ，理由见解析；②证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可;(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可.【解答】（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∴BC＝DC+BD＝DC+EC，；故答案为：BC＝DC+EC；②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2所示：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．【点评】本題是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.。
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略(解析版)
解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】【考点二结合乘法公式巧求面积或长度】【考点三巧妙割补求面积】【考点四“勾股树”及其拓展类型求面积】【考点五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】【考点六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】【考点七实际问题中的方程思想】【典型例题】【类型一三角形中，利用面积求斜边上的高】1(2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习)若一个直角三角形的两条直角边长分别是5cm 和12cm ，则斜边上的高为多少()A.8013B.13C.6D.6013【答案】D【分析】设斜边上的高为hcm ，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出h 的值，可得答案．【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为5cm ，12cm ，∴斜边长为122+52=13cm ，∴直角三角形的面积为12×12×5=12×13·h ，解得：h =6013cm ，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．【变式训练】1(2023春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末)如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A 、B 、C 都在格点上，则AC 边上的高为()A.5B.322 C.355D.32【答案】C【分析】根据图形，可以求出△ABC的面积，然后即可求出AC边上的高．【详解】解：△ABC的面积：2×2-12×1×2-12×1×1-12×1×2=32，AC=22+12=5，设AC边上的高为x，由题意得：1 2×5⋅x=32，x=355，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积、三角形面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答．2(2023春·辽宁朝阳·八年级校考期中)如果一个等腰三角形的腰长为13，底边长为24，那么它底边上的高为()A.12B.24C.6D.5【答案】D【分析】根据题意画出图形，如图，根据等腰三角形的性质求出BD，再用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示根据题意得，AB=AC=13，BC=24，AD⊥BC．∴BD=12BC=12，在Rt△ADB中，根据勾股定理得，AD2+BD2=AB2，∴AD=AB2-BD2=132-122=5，即：底边上的高为5，故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，正确作出图形、熟练掌握等腰三角形的性质是关键．3(2022·全国·八年级课时练习)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为．【答案】455##455【解析】【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用面积差可得三角形ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：由勾股定理得：AC =22+42=25，∵S △ABC =3×4-12×1×2-12×3×2-12×2×4=4，∴12AC •BD =4，∴12×25BD =4，∴BD =455，故答案为：455．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．4(2023春·安徽合肥·八年级校考期末)如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC 是格点图形，求△ABC 中AB 边上的高．【答案】△ABC 中AB 边上的高为95【分析】如图所述，过点A 作AD ⊥BC 的延长于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，可得AD ,BC ,BD 的长，在Rt △ABD 中，可求出AB 的长，根据S △ABC =12BC ·AD =12AB ·CE ，即三角形的等面积法即可求解．【详解】解：如图所述，过点A 作AD ⊥BC 的延长于点D ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，∵△ABC是格点图形，每个小正方形的边长为单位1，∴AD=3，BC=3，BD=4，∴在Rt△ABD中，AB=AD2+BD2=32+42=5，∵S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，∴CE=BC·ADAB =3×35=95，∴△ABC中AB边上的高为95．【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60．(1)求BC的长．(2)求斜边AB边上的高．【答案】(1)BC=6(2)斜边AB边上的高是4.8【分析】(1)根据在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，可以计算出AB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长；(2)根据等面积法，可以求得斜边AB边上的高．【详解】(1)解：(1)∵在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△ABE=60，∴AB⋅DE2=60，即AB×122=60，解得AB=10，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∴BC=AB2-AC2=102-82=6；(2)解：作CF⊥AB于点F，∵AB=10,AC=8,BC=6，AC∙CB2=AB∙CF2，∴8×62=10×CF2，解得CF=4.8，即斜边AB边上的高是4.8．【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6(2023秋·全国·八年级专题练习)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=4，CD是斜边AB上高．(1)求△ABC的面积；(2)求斜边AB；(3)求高CD ．【答案】(1)△ABC 的面积为6(2)斜边AB 为5(3)高CD 的长为125【分析】(1)根据三角面积公式底乘高除以2求出即可．(2)根据勾股定理求出AB ．(3)根据等面积法求出高CD ．【详解】(1)△ABC 的面积=12×AC ×BC =12×3×4=6．故△ABC 的面积是6；(2)在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，CB =4，∴AB =32+42=5；(3)∵12×AC ×BC =12×CD ×AB ，∴12×3×4=12×5×CD ，解得CD =125．故高CD 的长为125．【点睛】此题考查了求三角形面积、勾股定理，解题的关键是熟悉三角形面积公式、勾股定理．【类型二结合乘法公式巧求面积或长度】1已知在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a +b =10cm ,c =8cm ，则Rt △ABC 的面积为()A.9cm 2B.18cm 2C.24cm 2D.36cm 2【答案】A【分析】根据题意可知，Rt △ABC 的面积为ab ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可【详解】解：∵Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∴a 2+b 2=c 2∵a +b =10cm ,c =8cm∴2ab =a +b 2-a 2+b 2 =a +b 2-c 2=100-64=36∴S △ABC =12ab =9cm 2故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．【变式训练】1在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD =4,AB =410,AC =5，则△ABC 的面积为()A.18B.24C.18或24D.18或30【答案】D【解析】【分析】由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．【详解】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB2-AD2=12，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=AC2-AD2=52-42=3，分两种情况：①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，则△ABC的面积=12BC×AD=12×15×4=30；②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，则△ABC的面积=12BC×AD=12×9×4=18；综上所述，△ABC的面积为30或18，故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．2直角△ABC三边长分别是x，x+1和5，则△ABC的面积为．【答案】6或30【解析】【分析】根据ΔABC是直角三角形，则在ΔABC中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．【详解】解：ΔABC是直角三角形，则在ΔABC中即可运用勾股定理，不确定x+1与5哪一个大，所以讨论：(1)若x+1<5，则存在x2+x+12=52，解得x=3，SΔABC=12×3×4=6；(2)若x+1>5，则x+12-x2=52，解得x=12SΔABC=12×5×12=30．ΔABC的面积为6或30．故答案为：6或30．【点睛】本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论x+1与5的大小是解题的关键．【类型三巧妙割补求面积】1(2023春·河南许昌·八年级校考期中)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，AD=13，CD=5．(1)求证：△ACD是直角三角形；(2)求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)183+30【分析】(1)根据30°角的直角三角形的性质得到AC=2AB=12，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；(2)根据勾股定理得到BC=63，再利用三角形的面积公式即可得到结论．【详解】(1)证明：∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴AC=2AB=12，在△ACD中，AC=12，AD=13，CD=5，∵52+122=132，即AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形；(2)解：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AC=12，∴BC=AC2-AB2=122-62=63，∴S△ABC=12BC⋅AB=12×63×6=183，又∵S△ACD=12AC⋅CD=12×5×12=30，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=183+30．∴四边形ABCD为183+30．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30°角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式训练】1(2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中)如图所示，是一块地的平面图，其中AD=4米，CD=3米，AB=13米，BC=12米，∠ADC=90°，求这块地的面积.【答案】24平方米【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC=AD2+CD2=5米，根据AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°，根据直角三角形的面积公式求出结果即可．【详解】解：如图，连接AC，如图所示：∵∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，∴AC=AD2+CD2=5米，∵AB=13米，BC=12米，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴这块地的面积为：S△ABC-S△ACD=12AC⋅BC-12AD⋅CD=12×5×12-12×3×4=24(平方米)．【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．如果一个三角形的三条边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形为直角三角形．2(2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末)已知a，b，c是△ABC的三边，且a=23，b=36，c= 66．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)求△ABC的面积．【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由见解析(2)92【分析】(1)根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；(2)根据三角形的面积公式进行计算即可求解．【详解】(1)解：△ABC是直角三角形．理由：∵a2=232=12，b2=362=54，c2=662=66，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角；(2)解：△ABC的面积=12×23×36=92．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．3(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)四边形草地ABCD中，已知AB=3m，BC=4m，CD=12m，DA=13m，且∠ABC为直角．(1)求这个四边形草地的面积；(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？【答案】(1)36m2(2)清理完这块草地杂草需要720元钱【分析】(1)连接AC，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理逆定理得出∠ACD=90°，最后根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD即可求解；(2)根据每平方米需要人工费20元，即可解答．【详解】(1)解：连接AC，∵AB=3m，BC=4m，∠ABC为直角，∴AC=AB2+BC2=32+42=5m，∵CD=12m，DA=13m，∴AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴∠ACD=90°，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36m2．(2)解：20×36=720(元)，答：清理完这块草地杂草需要720元钱．【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．4(2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习)计算：如图，每个小正方形的边长都为1．(1)求线段CD与BC的长；(2)求四边形ABCD的面积；(3)求证：∠BCD=90°．【答案】(1)BC=25，CD=5(2)292(3)见解析【分析】(1)根据勾股定理解答即可；(2)运用分割法解答即可；(3)连接BD，根据勾股定理的逆定理解答即可．【详解】(1)∵每个小正方形的边长都为1，∴BC=22+42=25，CD=22+12=5(2)S四边形ABCD =5×5-12×1×5-12×1×4-1×1-12×1×2-12×2×4=25-52-2-1-1-4=292(3)连接BD，∴BD=32+42=5，∵BC2+CD2=252+52=25，BD2=52=25，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且BD为斜边，∴∠BCD=90°．【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．【类型四“勾股树”及其拓展类型求面积】1(2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是()A.20B.26C.30D.52【答案】B【分析】根据正方形的面积公式并结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积即可．【详解】解：如图：根据勾股定理的几何意义，可得：S E=S F+S G=S A+S B+S C+S D=6+10+4+6=26故选B．【点睛】本题考查勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．【变式训练】1(2023·广西柳州·校考一模)如图，∠BDE=90°，正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，则以BD为直径的半圆的面积是()A.16πB.8πC.4πD.2π【答案】B【分析】利用勾股定理求出BD，再求半圆的面积即可．【详解】解：∵正方形BEGC和正方形AFED的面积分别是289和225，∴BE2=289,DE2=225，∵∠BDE=90°，∴BD=BE2-DE2=289-225=8，∴以BD为直径的半圆的面积为：12×822×π=8π；故选B．【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1,S2,S3且S1=4,S2=8，则S3=；以Rt△ABC的三边向外作等边三角形，其面积分别为S1,S2,S3，则S1,S2,S3三者之间的关系为．【答案】12；s1+s2=s3【分析】首先根据正方形面积公式得到三个正方形的面积与Rt△ABC的三边关系，然后根据勾股定理找到Rt△ABC的三边之间的关系，并由此得到三个正方形的面积关系，最后算出S3的值；第二空同理根据正三角形面积公式与勾股定理，得到S1，S2，S3三者之间的关系，完成解答．【详解】解：∵AC、BC、AB都是正方形的边长，∴S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，又∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S3=4+8=12，又∵Rt△ABC三边向外作等边三角形，其面积为S1，S2，S3，∴S1=12×AC×AC×32=34×AC2，同理可得：S2=34×BC2，S3=34×AB2，∵△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3．故答案是：12，S1+S2=S3．【点睛】本题考查勾股定理和正方形、正三角形的计算，解题的关键在于灵活运用勾股定理．3(2023春·八年级课时练习)已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，(1)如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据(2)中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；(3)若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．【答案】(1)S1+S2=S3，证明见解析(2)S1+S2=S3(3)24【分析】(1)由扇形的面积公式可知S1=18πAC2，S2=18πBC2，S3=18πAB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3；(2)根据(1)中的求解即可得出答案；(3)利用(2)中的结论进行求解．【详解】(1)解：①∵S1+S2=18πa2+18πb2，S3=18πc2根据勾股定理可知：a2+b2=c2，∴S1+S2=S3；(2)解：由(1)知，同理根据根据勾股定理：a2+b2=c2，从而可得S1+S2=S3；(3)解：由(2)知S阴影=S1+S2-S3-S△ABC=S△ABC=12×6×8=24．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．4(2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S 1，S 2，S 3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S 1+S 2=S 3的有个．②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，也满足S 1+S 2=S 3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S 1，S 2，S 3的数量关系．(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，则a 2+b 2+c 2+d 2=．【答案】(1)①3；②满足，证明见解析(2)m 2【分析】(1)设两直角边分别为x ，y ，斜边为z ，用x ，y ，z 分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据x 2+y 2=z 2，求解S 1，S 2，S 3之间的关系，进而可得结果；②根据a 2+b 2=c 2，S 1+S 2=πa2 22+πb 222+ab2-πc 222=ab 2，S 3=ab 2，可得S 1+S 2=S 3；(2)由题意知，S A =a 2，S B =b 2，S C =c 2，S D =d 2，S A +S B +S C +S D =S M =m 2，代入求解即可．【详解】(1)①解：设两直角边分别为x ，y ，斜边为z ，则图2中，S 1=x 2，S 2=y 2，S 3=z 2，∵x 2+y 2=z 2，∴S 1+S 2=S 3，故图2符合题意；图3中，S 1=πx2 22=πx28，S 2=πy2 22=πy 28，S 3=πz 2 22=πz 28，∵πx 28+πy 28=πx 2+y 2 8=πz 28，∴S 1+S 2=S 3，故图3符合题意；图4中，S 1=12x ⋅x ⋅sin60°=3x 24，S 2=12y ⋅y ⋅sin60°=3y 24，S 3=12z ⋅z ⋅sin60°=3z 24，∵3x 24+3y 24=3x 2+y 2 4=3z 24，∴S 1+S 2=S 3，故图4符合题意；∴这3个图形中面积关系满足S 1+S 2=S 3的有3个，故答案为：3；②解：满足，证明如下：由题意知a 2+b 2=c 2，S 1+S 2=πa 2 22+πb 222+ab2-πc 222=ab 2，S 3=ab2，∴S 1+S 2=S 3；(2)解：由题意知，S A =a 2，S B =b 2，S C =c 2，S D =d 2，S A +S B +S C +S D =S M =m 2，∴a 2+b 2+c 2+d 2=m 2，故答案为：m 2．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．【类型五几何图形中的方程思想-折叠问题(利用等边建立方程)】1(2023春·河南许昌·八年级统考期中)已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则CE 的长是()A.54B.74C.154D.254【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE =BE ，设AE =x ，则BE =x ，CE =8-x ，再Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出CE 的长度．【详解】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE =BE ，设AE =x ，则BE =x ，CE =8-x ，∵在Rt △BCE 中，CE 2=BE 2-BC 2，即8-x 2=x 2-62，解得，x =74，∴CE =74．故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．【变式训练】1(2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习)如图，有一块直角三角形纸片，∠C =90°，AC =4，BC =3，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则BD 的长为()A.34B.1.5C.53D.3【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB =5，由折叠的性质可得AB =AE =5，DB =DE ，求得CE =1，设DB =DE =x ，则CD =3-x ，根据勾股定理可得12+3-x 2=x 2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C =90°，AC =4，BC =3，∴AB =32+42=5，由折叠的性质得，AB =AE =5，DB =DE ，∴CE =1，设DB =DE =x ，则CD =3-x ，在Rt △CED 中，12+3-x 2=x 2，解得x =53，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2(2023春·山东菏泽·八年级统考期中)如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =6，将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段CN 的长为．【答案】103/313【分析】由折叠的性质可得DN =CN ，根据勾股定理可求DN 的长，即可求CN 的长．【详解】解：∵D 是AB 中点，AB =4，∴AD =BD =2，∵将△ABC 折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，∴DN =CN ，∴BN =BC -CN =6-DN ，在Rt △DBN 中，DN 2=BN 2+DB 2，∴CN 2=(6-CN )2+22，∴CN =103，故答案为：103．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．3(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠A =30°,BC =2，点D 是AC 的中点，点E 是斜边AB 上一动点，沿DE 所在直线把△ADE 翻折到△A DE 的位置，A D 交AB 于点F ．若△BA F 为直角三角形，则AE 的长为．【答案】1或65【分析】分∠BFA =90°和∠BA F =90°两种情形分类讨论，当∠BFA =90°时，根据∠C =90°,∠A =30°,BC =2，点D 是AC 的中点，算出AD =CD =3,根据∠BFA =90°以及翻折性质得出EA =ED ,∠DEA =120°,即可解答；当∠BA F =90°时，作EH ⊥BA 交AB 的延长线于H ，设AE =x ，在Rt △EHA 和Rt △BEH 中用勾股定理即可解答．【详解】解：如图，当∠BFA =90°时，在Rt △ABC 中，∵∠A =30°,BC =2∴AB =2BC =4,AC =23,∵AD =CD ,∴AD =CD =3,∵∠AFD =90°,∴∠ADF =60°,∴∠EDA =∠EDF =30°,∴∠A =∠EDA =30°,∴EA =ED ,∠DEA =120°,AE =AD 3=33=1.如图，当∠BA F =90°时，作EH ⊥BA交AB 的延长线于H ，设AE =x ，∵∠DA E =30°,∴∠EA H =60°,在Rt △EHA 中，A H =12A E =12x ,EH =3A H =32x ,BE =4-x ,在Rt △BEH 中，∵EH 2+BH 2=BE 2,∴32x 2+2+12x 2=(4-x )2,解得x =65，综上所述，满足条件的AE 的值为1或65，故答案为：1或65．【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．4(2022秋·河北张家口·八年级统考期中)在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在AC 、AB 边上(不与端点重合)．将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置．(1)如图①，当A 与点B 重合且BC =3,AB =5．①直接写出AC 的长；②求△BCD 的面积．(2)当∠A =37°．①A 与点E 在直线AC 的异侧时．如图②，直接写出∠A EB -∠A DC 的大小；②A 与点E 在直线AC 的同侧时，且△A DE 的一边与BC 平行，直接写出∠ADE 的度数．【答案】(1)①4；②2116(2)①74°；②∠ADE 的度数分别为45°，26.5°【分析】(1)①直接根据勾股定理即可求出AC 的长；②设CD =x ，则AD =BD =4-x ，根据勾股定理求出x 的值，再根据三角形面积公式即可求解；(2)①根据三角形的外角定理可得∠A EB =∠A +∠AFE ，∠AFE =∠A +∠A DF ，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当A D ∥BC 时，当A E ∥BC 时，即可进行解答．【详解】(1)解：①在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AC =AB 2-BC 2=52-32=4，②设CD =x ，则AD =4-x ，∵将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置，∴AD =BD =4-x ，在Rt △BCD 中，由勾股定理得，32+x 2=4-x 2，解得：x =78∴S △BCD =12×3×78=2116．(2)解：①∵将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在A 的位置，∠A =37°，∴∠A =37°，∴∠A EB =∠A +∠AFE =37°+∠AFE ，∵∠AFE =∠A +∠A DF =37°+∠A DF ，∴∠A EB =37°+∠AFE =37°+37°+∠A DF =74°+∠A DF ，∴∠A EB -∠A DC =74°；②当A D∥BC时，如图：∵A D∥BC，∠C=90°，∴∠ADA =90°，∵△ADE由△A DE折叠所得，∴∠ADE=1∠ADA =45°；2当A E∥BC时，如图：∵∠A=37°，∠C=90°，∴∠B=90°-37°=53°，∵△ADE由△A DE折叠所得，∴∠A=∠A =37°，∵AE ∥BC，∴∠B=∠A EB=53°，∴∠AMA =180°-∠A -∠A EB=90°，即AB⊥A D，∴∠ADA =90°-∠A=53°，∠ADA =26.5°．∴∠ADE=12综上：∠ADE的度数分别为45°，26.5°．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．【类型六几何图形中的方程思想-公边问题(利用公边建立方程)】1如图，在△ABC中，AB=10，BC=9，AC=17，则BC边上的高为．【答案】8【解析】【分析】作AD⊥BC交BC的延长于点D，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2，根据AB2-DB2=AC2-DC2列出方程即可求解．【详解】如图，作AD⊥BC交BC的延长于点D，则AD即为BC边上的高，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2，∴AB2-DB2=AC2-DC2，∵AB=10，BC=9，AC=17，∴102-DB2=172-DB+92，解得DB=6，∴AD=AB2-DB2=102-62=8故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．【变式训练】1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，BD=5，则AC=．【答案】6【分析】作DE⊥AB，如图，根据角平分线的性质可得DE=CD=3，勾股定理求出BE，证明Rt△ACD≅Rt△AED HL，推出AC=AE，设AC=AE=x，根据勾股定理列出方程即可求出AC．【详解】解：作DE⊥AB于点E，如图，∵在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，CD=3，∴DE=CD=3，∴BE=52-32=4，∵DC=DE,AD=AD，∴Rt△ACD≅Rt△AED HL，∴AC=AE，设AC=AE=x，则AB=4+x,BC=3+5=8，在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得：AC2+BC2=AB2，即x2+82=x+42，解得：x=6，即AC=6；故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．2如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠B=∠D=90°，AC=AE，BC=DE，延长BC，DE交于点M．(1)求证：点A在∠M的平分线上；(2)若AC ∥DM ，AB =12，BM =18，求BC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接AM ，证明Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )，可得AB =AD ，根据角平分线的判定即可解决问题；(2)证明CM =AC ，设BC =x ，所以CM =AC =18-x ，根据勾股定理即可解决问题．【详解】(1)证明：如图，连接AM ，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，∵∠B =∠D =90°，AC =AE ，BC =DE ，∴Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )，∴AB =AD ，∵AB ⊥BM ，AD ⊥DM ，∴MA 平分∠BMD ，∴点A 在∠BMD 的平分线上；(2)解：∵AC ∥DM ，∴∠CAM =∠AMD ，∴∠AMB =∠CAM ，∴CM =AC ，设BC =x ，∴CM =AC =18-x ，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，∴122+x 2=(18-x )2，∴x =5．∴BC =5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到Rt △ABC ≅Rt △ADE (HL )．【类型七实际问题中的方程思想】1(2022·全国·八年级)明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA 悬挂于O 点，静止时竖直下垂，A 点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC =1尺)．将它往前推进两步(EB ⊥OC 于点E ，且EB =10尺)，踏板升高到点B 位置，此时踏板离地五尺(BD =CE =5尺)，则秋千绳索(OA 或OB )长尺．【答案】292【解析】【分析】设OB =OA =x (尺)，在Rt △OBE 中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB =OA =x (尺)，在Rt △OBE 中，OB =x ，OE =x -4，BE =10，∴x 2=102+(x -4)2，∴x =292，∴OA 或OB 的长度为292(尺)．故答案为：292．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【变式训练】1(2022·全国·八年级课时练习)如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺=10寸)，则AB 的长是()A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，根据勾股定理解答即可得到结论．【详解】解：取AB 的中点O ，过D 作DE ⊥AB 于E ，如图2所示：由题意得：OA =OB =AD =BC ，设OA =OB =AD =BC =r 寸，则AB =2r (寸)，DE =10寸，OE =12CD =1寸，∴AE =(r -1)寸，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，即(r -1)2+102=r 2，解得：r =50.5，∴2r =101(寸)，∴AB =101寸，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．2(2022·河南·金明中小学八年级期中)《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高短2尺；斜放，门对角线长恰好是竿长的2倍．问门高、门宽各为多少？【答案】门高为7尺，门宽为1尺．【解析】【分析】设竿的长度为x 尺，则门高为(x +2)尺，门宽为(x -4)尺，利用勾股定理，即可得出关于x 的方程，解之即可得出x 的值即可得出结论．【详解】解：设竿的长度为x 尺，则门高为(x +2)尺，门宽为(x -4)尺，依题意得：2x 2=x +2 2+x -42化简得：4x =20，解得：x =5．∴x +2=7,x -4=1,答：门高为7尺，门宽为1尺．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3(2022·重庆市求精中学校八年级期中)在一条东西走向的河的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB =AC ，由于某种原由C 到A 的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A 、H 、B 在一条直线上)，并新修一条路CH ，测得CB =1.5千米，CH =1.2千米，HB =0.9千米．(1)问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)CH 是从村庄C 到河边的最近路；理由见解析；(2)原来的路线AC 的长为1.25千米．【解析】【分析】(1)根据勾股定理的逆定理证明△CHB 是直角三角形即可；(2)设AC =x 千米，在Rt △ACH 中，由已知得AC =x ，AH =x -0.9，CH =1.2，再根据勾股定理解答即可．(1)解：是，理由是：在△CHB 中，∵CH 2+BH 2=1.22+0.92=2.25，BC 2=2.25，∴CH2+BH2=BC2，∴△CHB是直角三角形，∴CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解这个方程，得x=1.25，答：原来的路线AC的长为1.25千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答．4(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD ．某家装厂设计的折叠床是AB=4cm，BC=8cm，(1)此时CD为 cm；(2)折叠时，当AB⊥BC′时，四边形ABC′D′的面积为cm2．【答案】 16 1619+16【解析】【分析】(1)根据题意表示出各线段的长，进而利用勾股定理计算出DC的长即可；(2)根据题意作出示意图，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，由勾股定理求得AC'，设D'M=x，通过勾股定理列出方程，求得x，进而求结果．【详解】解：(1)∵AB=4cm，BC=8cm，设DC=y，则C″D″=y，由图形可得：BC″=BC=8cm，则AC″=8-4=4，AD=AD″=4+y，又AC2+DC2=AD2，即(12)2+y2=(4+y)2，解得：y=16，∴CD=16cm，故答案为：16；(2)根据题意作出示意图如下，连接AC'，过点A作AM⊥C'D'于M，∵∠ABC'=90°，∴AC=AB2+C′B2=42+82=45，由(1)知，AD'=AD=20，C'D'=CD=16，设C'M=x，则202-(16+x )2=AM 2=(45)2-x 2，解得，x =2，∴AM =(45)2-22=219，∴S 四边形ABC D =S ΔABC +S ΔAD C=12AB ∙BC +12D C ∙AM=12×4×8+12×16×219=1619+16(cm 2)故答案为．1619+16．【点睛】本题主要考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，列出方程．。
《勾股定理》专题复习(含答案)
第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆 孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，， 若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180—60=120，由勾股定理得: AB 2=902+1202=22500,所以AB=150（mm ）（2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边,求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理,得:4532C E C E ===，4532A E A E ===,44332A C A C ==,445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A 3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C 3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=． 即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力． 专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2:1：1,a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =; （C)222c a =； (D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4,x,则x 的可能值有（ ） （A ）1个； （B ）2个； (C ）3个； (D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7。
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专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
◆类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高线的长为( ) A.8013cm B ．13cm C.132cm D.6013
cm 2．(2017·乐山中考)点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是________．
◆类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＋b ＝12cm ，c ＝10cm ，则Rt △ABC 的面积是( ) A ．48cm 2 B ．24cm 2 C ．16cm 2 D ．11cm 2
4．若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长是( ) A ．7cm B ．10cm C ．(5＋37)cm D ．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若(a ＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
◆类型三 巧妙利用割补法求面积 6．如图，已知AB ＝5，BC ＝12，CD ＝13，DA ＝10，AB ⊥BC ，求四边形ABCD 的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】
◆类型四利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A ，B，C，D的面积之和为________cm2.
9．在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是将图①放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，AB＝3，AC＝4，则D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ 的面积为________．
参考答案与解析
1．D
2.
3
5
5 解析：如图，连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h .∵S △ABC ＝3×3－12×2×1－12×2×1－12×3×3－1＝9－1－1－92－1＝32，AB ＝12＋22＝5，∴
1
2×5h ＝32，∴h ＝355.故答案为35
5
.
3．D 4.D 5.C 6．解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AD 交AD 于点E .∵AB ⊥BC ，∴∠CBA ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13.∵CD ＝13，∴AC ＝CD .∵CE ⊥AD ，∴AE ＝12AD ＝1
2
×10＝5.在Rt △ACE 中，由勾股定理得CE ＝AC 2－AE 2＝132－52＝12.∴S 四边形
ABCD ＝S △ABC ＋S △CAD ＝
12AB ·BC ＋12AD ·CE ＝12×5×12＋1
2
×10×12＝90. 7．解：延长AD ，BC 交于点E .∵∠B ＝90°，∠A ＝60°，∴∠E ＝30°.∴AE ＝2AB ＝8.在Rt △ABE 中，由勾股定理得BE ＝AE 2－AB 2＝82－42＝4 3.∵∠ADC ＝90°，∴∠CDE ＝
90°，∴CE ＝2CD ＝4.在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE ＝CE 2－DC 2＝42－22＝2 3.∴S
四边形ABCD ＝S △ABE －S △CDE ＝12AB ·BE －12CD ·DE ＝12×4×43－1
2×2×23＝6 3. 8．81
9．110 解析：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，易证四边形AOLP 是矩形，OK ＝BE ＝3.∵∠CBF ＝90°，∴∠ABC ＋∠OBF ＝90°.又∵∠ABC ＋∠ACB ＝90°，∴∠OBF ＝∠ACB .在△ACB 和△OBF 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠BAC ＝∠FOB ，∠ACB ＝∠OBF ，BC ＝FB ，∴△ACB ≌△OBF (AAS)．同
理：△ACB ≌△PGC ≌△LFG ≌△OBF ，∴KO ＝OF ＝LG ＝3，FL ＝PG ＝PM ＝4，∴KL ＝3
＋3＋4＝10，LM ＝3＋4＋4＝11，∴S 矩形KLMJ ＝KL ·ML ＝10×11＝110.。