必修五 等差数列
2.2.2 等差数列(二)课件-河南省兰考县第三高级中学人教版高中数学必修五
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
解：设这三个数分别为a1，a2，a3 则依题意有 a1+a2+a3=12 ∵a1+a3=2a2，故3a2=12
∴a2=4
aa11a3
a3
12
8
解得 aa13
2 6
或
a1 a3
6 2
∴这三个数为2，4，6或6，4，2
例4、三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积也为12，求此三数.
（3）已知 a2+a14=10，能求出a16吗？
练习：
1、已知在等差数列an 中， a1 a3 6, a7 18,
则 a10 ___2__7_____.
2、已知在数列an 中，
an
0, a1
1 ，若数列{ 1
1
an
}
恰好成公差为 3 的等差数列，则 an __3_n___2___.
3、在等差数列{an}中， a2 a3 a4 a12 a14 2 ，
规律二：
在等差数列an中，若m, n, p, q N ,
则当m n p q时，总有am an a p aq
特别地，若m n 2 p，则am an 2ap
练习：在等差数列{an}中，
（1）已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 ；10 （2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8； 15
数列{an}是等差数列
an=pn+q(p、q是常数)
➢判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an an1 d, n 2 (或an1 an d, n N*)
人教A版数学必修五《等差数列》教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校人教A版数学《等差数列》一、教材的地位与作用本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教A版）第二章数列第二节等差数列第一课时．数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数也为今后学习等比数列提供了联想、类比的思想方法。
教学目标：⑴知识与技能目标理解等差数列、等差中项的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题灵活运用。
⑵过程与方法目标通过对等差数通项公式的推导培养学生的观察力和归纳推理能力并通过对等差数列通项公式的变形培养学生思维的深刻性和灵活性。
⑶情态与价值目标通过对等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力，积极思维、追求新知的创新意识。
2、重点难点：重点：理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数之间的联系。
难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
二、教法与学法：教法：探究、启发式以及讲练结合的教学模式，教师为主导，设置情境、问题诱导，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师引导下发现和解决问题。
学法：在引导分析时，给学生提供观察、思考的机会，让学生尝试去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
三、教学过程：1、复习上一节课的内容：数列的概念，会求简单数列的通公式。
（出示幻灯片2，提问学生回答）2、问题引入：观察下列数列，找出它们的共同点：（1）5，5，5，5，5，5（2）4，5，6，7，8，9，10（3）2，0，-2，-4，-6（出示幻灯片3，让学生合作学习，共同讨论这些数列有哪些共同的特点，然后提问学生有怎样的讨论结果，对回答不正确的同学，再指定另一同学给予指正，至到学生能找到等数列的共同特点）。
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程，由此可以求得 a1
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
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TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
人教版高中数学必修五 2.2 等差数列
知识2：等差中项 问题导思：
如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么它们之间有怎样的 数量关系？ 答：因为 A－a＝b－A，所以 a＋b＝2A.
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．它 们之间的关系式是 a＋b＝2A .
4．已知等差数列{an}：－1,2,5,8，…，求公差 d 和 a10. 解：∵a1＝－1， ∴d＝a2－a1＝2－(－1)＝3， ∴a10＝a1＋(10－1)×d＝－1＋9×3＝26.
变式训练 3：《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，
下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为( )
A．1 升
B.6676升
C.4474升
D.3373升
【解析】设所构成数列为{an}，且其首项为 a1，公差为 d， 依题意得aa17＋＋aa28＋＋aa39＋＝a44，＝3， 即43aa11＋＋62d1＝d＝3，4，
2．等差数列的通项公式可以解决以下三类问题： (1)已知 an，a1，n，d 中的任意三个量，可求出第四个量； (2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的 任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项； (3)若已知{an}的通项公式是关于 n 的一次函数或常数函 数，则可判断{an}是等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×5＝5n－4， ∴a80＝5×80－4＝396.
(2)a1＝a2－d＝12＋2＝14， ∴an＝14＋(n－1)×(－2)＝－20， ∴n＝18.
类型3：等差数列的实际应用问题 例 3：梯子的最高一级宽 33 cm，最低一级宽 110 cm，中间还有 10 级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．
2014年人教A版必修五课件 2.2 等差数列
(1) 是等差数列, 首项为 0, 公差为 1.
(2) 是等差数列, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ项为 1, 公差为 2.
(3) 是等差数列, 首项为 4, 公差为-2.
(4) 是等差数列, 公差为0.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如 果是, 首项是多少? 公差是多少? (1) 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 6 8 (2) 1, 0, -1; (3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2. 解: (1) 不是等差数列, 1 - 1 = -1, 4 2 4 1 - 1 1 - 1, 1-1=- 1 , 6 4 4 2 6 4 12 ∴数列不是等差数列.
数列(4)中的这个差是 -2.
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 d 表示，即
a2-a1 = a3-a2 = a4-a3 = … = an-an-1 =d. 在数列 {an} 中，若 an-an-1=d (d为常数，n≥2),则 {an} 是等差数列。
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如 果是, 首项是多少? 公差是多少? (1) 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 6 8 (2) 1, 0, -1; (3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2. 解: (2) 是等差数列,
∵ 0-1 = (-1)-0 = -1, ∴数列是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如 果是, 首项是多少? 公差是多少? (1) 1 , 1 , 1 , 1 , 2 4 6 8 (2) 1, 0, -1; (3) 通项公式为an=2n+1; (4) an+1=an+2. 解: (3) 是等差数列,
《等差数列》的教学设计(最新整理)
《等差数列》的教学设计一．设计思想数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。
基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。
在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。
这正是新课程所倡导的数学理念。
本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。
二．教材分析高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。
研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。
在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。
同时也是培养学生数学能力的良好题材。
等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
三．学情分析学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
人教版2017高中数学(必修五)第2章《数列》第二章 2.3(二) PPT课件
d d 2 (2)因为 Sn＝2n ＋a1－2 n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn 有 最小 值；当 d＜0 时，Sn 有 最大 值；且 n 取最接近对称轴的 自然数时，Sn 取到最值.
答案
知识点二
数列中an与Sn的关系
知识梳理
自主学习
知识点一
等差数列前n项和及其最值
2.等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，当 a1＞0，d＜0 时，Sn 有最大值，使 Sn 取到最值
an≥0， 的 n 可由不等式组 确定； an＋1≤0
答案
当 a1＜0，d＞0 时，Sn 有 最小 值，使 Sn 取到最值的 n 可由不等式组
解析答案
1
2
3
4
5
3.已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最 6或7 小值的正整数n的值是_____. 解析 由 |a5| ＝ |a9| 且 d ＞ 0 得 a5 ＜ 0 ， a9 ＞ 0 ，且 a5 ＋ a9 ＝ 0⇒2a1 ＋ 12d ＝
0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 项和Tn.
已知等差数列{an}中，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n
解析答案
题型四
例4 1 ＋S . n
裂项相消法求和
1 1 等差数列{an}中， a1＝3， 公差 d＝2， Sn 为前 n 项和， 求S ＋S ＋… 1 2
反思与感悟
解析答案
解析答案
解析答案
知识点三 而求和.
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 常见的拆项方法： 11 1 1 ( － ) (1) ＝ k n n ＋k ； nn＋k 1 1 ( n ＋ k － n ) (2) ＝k ； n＋k＋ n 1 1 1 ( － ) 1 (3) ＝ 2 2n－1 2n＋1 . 2n－12n＋1
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2.2 等差数列
第1课时 等差数列
课时过关·能力提升
1已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为 ( ).
A.2 B.3 C.-2 D.-3
解析:a1=3-2×1=1,a2=3-2×2=-1,
故公差d=a2-a1=-1-1=-2.
答案:C
2数列{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,若an=2 005,则n的值为( ).
A.667 B.668 C.669 D.670
解析:由an=a1+(n-1)d得2 005=1+3(n-1),故n=669.
答案:C
3已知数列{an}为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于( ).
A.-2 B.- C. D.2
解析:由题意,得
解得d=-.
答案:B
4已知数列{an}为等差数列,且a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( ).
A.40 B.42 C.43 D.45
解析:设公差为d,则a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d=13,解得d=3,所以
a4+a5+a6=(a1+3d)+(a1+4d)+(a1+5d)=3a1+12d=42.
答案:B
5已知在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于( ).
A.30 B.45 C.90 D.186
解析:设数列{an}的公差为d,则
解得
∴
an=3+3(n-1)=3n,bn=a2n=6n,
∴
b15=6×15=90.
答案:C
6在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为( ).
A.24 B.22 C.20 D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴
a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,
∴5a8=120.∴
a8=24.
∴
2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
答案:A
7等差数列1,-3,-7,…的通项公式为 ,a20= .
解析:∵d=-3-1=-4,a1=1,
∴
an=1-4(n-1)=-4n+5.
∴
a20=-80+5=-75.
答案:an=-4n+5 -75
8已知在数列{an}中,a1=1,a2=,且(n≥2),则an= .
解析:∵,
∴
数列是等差数列,公差d=.
∴
+(n-1)d=1+(n-1)=.
∴
an=.
答案:
9数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a= .
解析:∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数.
∴
[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数.
∴2a=0,∴
a=0.
答案:0
★10已知数列{an}满足+4,且a1=1,an>0,则an= .
解析:由+4,得=4,
∴
数列{}是公差为4的等差数列.
∴
+4(n-1)=4n-3.
∵
an>0,
∴
an=.
答案:
11在等差数列{an}中,
(1)已知a5=-1,a8=2,求首项a1与公差d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
解:(1)由题意知
解得
(2)∵
∴
an=1+2(n-1)=2n-1.
∴
a9=2×9-1=17.
12夏季高山上的温度从山脚起,每升高100米,降低0.7 ℃.已知山顶处的温度
是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,问此山顶相对于山脚处的高度是多少米?
解:∵每升高100米温度降低0.7 ℃,
∴
该处温度的变化是一个等差数列问题.
山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8,
∴
26+(n-1)×(-0.7)=14.8.解得n=17.
故此山顶相对于山脚处的高度为(17-1)×100=1 600(米).
★13数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)是否存在实数λ,使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;
若不存在,请说明理由.
解:(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ.故λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{an}是等差数列.