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2020年中考数学一轮专项复习14 二次函数的图象及性质(含答案)

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2020届中考数学总复习讲义课件：第三单元 第14课时 二次函数的图象和性质(二)

2020届中考数学总复习讲义课件：第三单元 第14课时 二次函数的图象和性质(二)

A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
图 14－3
【解析】 ①对称轴位于 x 轴的右侧，则 a，b 异号，即 ab＜0， 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴b＝－2a， ∵x＝－1 时，y＝0，∴a－b＋c＝0， 而 b＝－2a，∴c＝－3a， ∴b－c＝－2a＋3a＝a＜0，即 b＜c，故②正确；
(3)没有交点⇔b_2_－__4__a_c_<__0⇔方__程___没___有__实___数___根__．
数形结合思想
二次函数的图象与性质是数形结合最好的体现，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的
图象特征与 a，b，c 及根的判别式 b2－4ac 的符号之间的关系如下表：
项目 字母的符号
字母
图 14－6
解：(1)令 y＝0，则－12x2＋2x＋6＝0， 解得 x1＝－2，x2＝6， ∴A(－2，0)，B(6，0)， 由函数图象，得当 y≥0 时，－2≤x≤6； (2)由题意，得 B1(6，m)，B2(6－n，m)，B3(－n，m)， 函数图象的对称轴为直线 x＝－22＋6＝2， ∵点 B2，B3 在二次函数图象上且纵坐标相同，
A．①②
B．①④
C．②③
D．②④
图 14－1
3．[2018·孝感]如图 14－2，抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 的两个交点坐标分别为 A(－2，4)，B(1，1)，则方程 ax2＝bx＋c 的解是_x_1_＝___－___2_，___x_2_＝___1．
图 14－2
4．[2019·泰安]若二次函数 y＝x2＋bx－5 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x 的方程 x2＋bx－5＝2x－13 的解为x_1_＝___2_，___x_2_＝___4． 【解析】 ∵二次函数 y＝x2＋bx－5 的对称轴为直线 x＝2，∴－b2＝2，解得 b＝－ 4， 则 x2＋bx－5＝2x－13 可化为 x2－4x－5＝2x－13， 解得 x1＝2，x2＝4.

2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析

2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析

二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题1．（2020·衢州）二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 {答案}C{解析}由于 A 选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 2．（2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ） A ．y ＝(x ＋2)2＋2 B ．y ＝(x －1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2－1 D ．y ＝(x －1)2＋5{答案}D{解析}将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y ＝(x －1)2＋2＋3，即y ＝(x －1)2＋5，故选D ．3.(2020·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是 A ．abc <0 B ．4ac －b 2>0 C ．c －a >0 D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y ≥c {答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a ＞0，∵二次函数图象的对称轴为x ＝－1，所以－2ba ＝－1，所以b ＝2a>0，∵抛物线与y 轴正半轴交于点C ，所以c ＞0，所以abc>0，A 错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac －b2<0，B 错误；∵b ＝2a ，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝c －a ＜0，∴C 错误；当x ＝－n2－2(n 为实数)时，y ＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c ＝a(－n2－2)2＋2a(－n2－2)＋c ＝a(n2＋1)2－a ＋c ，∵n 为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a ＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c ＞0，∴y≥c ，∴D 正确，因此本题选D ．4．（2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y{答案}{解析}本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B ．5．（2020·杭州）设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象，因为在2()y a x h k =-+中，当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，所以抛物线2()y a x h k =-+经过点A （1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A 作AC6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =∴tan ∠ABC ≥0，∴n ﹣m ≥0，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C ，D 都错误； ②当n ﹣m ＝1时，如图2，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH ＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b a-≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．图1 图28．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D的右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16{答案}D{解析}本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝52，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0）.因为对称轴为直线x＝52，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝16-，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．9．（2020·新疆）二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数y ax b=+与反比例函数cyx=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ···························································（）{答案}D{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以2ba-＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数y ax b=+经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数cyx=经过第一、三象限，因此本题选D．10．（2020·遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a－b＝0;②c≤3a;③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根;④b2＋2b> 4ac．xyba（b，m）(a，n）CEDOABxy(a，m）（b，n）a bHP QOMN240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1{答案} B{解析}本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =， 0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.EF)＝－CE ＋2EF ＝4－x ，易知△BFH 是等边三角形，∴y ＝S △BFH ＝12·(4－x)·()342x -＝34(4－x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x ＝2时，y ＝3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A 符合.图1图213．（2020·哈尔滨）将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．()532++=x yB ．()532+-=x yC ．()352++=x yD ．()352+-=x y{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为()352+-=x y ，因此本题选D ．14．(2020·绥化)将抛物线y ＝2(x －3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A ．y ＝2(x －6)2B ．y ＝2(x －6)2＋4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2＋4{答案}C{解析}原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y ＝2x2．故选C ． 15．（2020·枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ∴ac ＜0；∴b 2－4ac ＞0；∴2a －b ＝0；∴a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}C{解析}根据抛物线与系数a ，b ，c 的关系特征判断各结论正确与否．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2－4ac ＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴12b a -=，∴－b ＝2a ，∴2a+b ＝0，故③错误；抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3，0）关于直线x ＝1的对称点为（－1，0），即抛物线又经过点（－1，0），即x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故④正确． 综上可知，正确的结论有①②④，共3个． 16．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m －3沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限GABCDE F FE DC BA HO 1 yx3{答案}D{解析}平移后的抛物线的表达式为y ＝x2－(m －1)x ＋m －3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为()2341,24m m ⎛⎫-+- ⎪-⎪⎝⎭，由于m ＞1，所以12m -＞0，2312x x x --=-＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点在第四象限．17．（2020·贵阳）（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A ．﹣2或0 B ．﹣4或2 C ．﹣5或3 D ．﹣6或4{答案} B ．{解析}解：∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y ＝0时，0＝ax2+bx+c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣1， 又∴关于x 的方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴关于x 的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2， 故选：B ．18．(2020自贡)函数y =kx 与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．{答案} D ．{解析}本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象确知a ＜0，b ＜0，∴函数y ＝kx ﹣b 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选D ．19．（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． {答案} C{解析}本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＜0、b=0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．20.（2020·四川甘孜州）10．如图，二次函数y ＝a (x ＋1) 2＋k 的图象与x 轴交于A (－3，0)， B 两点，下列说法错误的是( )A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2，0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．21.．（2020·福建）10.已知()111,P x y，()222,P x y是抛物线22=-y ax ax上的点，下列命题正确的是（）A.若12|1||1|->-x x，则12>y y B.若12|1||1|->-x x，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x，则12=y y D.若12=y y，则12=x x{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax=a（x-1）2-a，∴抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x，则12=y y，因此本题选C．22．（2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个{答案}B{解析}（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x＝1，得－2ba＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x 的增大而增大，于是④错误．综上，结论正确的有3个，故选B．23.(2020·南充）10.关于二次函数)0(542≠--=aaxaxy的三个结论：①对任意实数m，都有mx+=21与mx-=22对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则134-≤<-a或341<≤a；第10题图1-1OyxA.①②B.①③C.②③D.①②③{答案}D2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x≤4上y随x的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y要有4个整以③正确.故选D.24．（2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个{答案} C{解析}根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．25.（2020·德州）11.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2 B. 30a c +=C. 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根D. 当0x ≥时，y 随x 的增大而减小{答案}D{解析}∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2本选项正确； ∵对称轴x ＝﹣＝1，∴b ＝﹣2a . 由函数的图象知：当x ＝﹣1时，y =0；即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，故本选项正确；∵抛物线2y ax bx c =++与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故本选项正确；∵抛物线在对称轴x ＝1的左侧或左侧，y 随着x 的增大而增大（或减小），故本选项错误.26． （2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点. 若关于x 的二次函数()0102≠+--=m m x x y 有两个不相等的零点()212,1x x x x <，关于x 的方程02102=--+m x x 有两个不相等的非零实数根()434,3x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）A ． 1310<<x x B ．131>x x C ．1420<<x x D ．142>x x{答案}A{解析}∵关于x 的方程02102=--+m x x 可变形为02102=++--m x x ，∴关于x 的方程02102=++--m x x 有两个不相等的非零实数根()4343,x x x x <，∴二次函数()02102≠++--=m m x x y 有两个不相等的零点()4343,x x x x <，二次函数()02102≠++--=m m x x y 的图象由()0102≠+--=m m x x y 的图象向上平移两个单位而得．对称轴都为直线52102-=---=-=a b x ，画出草图，由图可知：013<<x x ，两边都除以3x 得，1031<<x x ，故选A ．27.（2020·湖北孝感）将抛物线C 1：y=x 2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为( )A.y=-x 2-2B.y=-x 2+2C.y=x 2-2D.y=x 2+2 {答案}A{解析}利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线C 2得解析式：y=(x +1)2-2(x+1)+3，整理得y=x 2+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y=-x 2-2.故选A.28.（2020·达州）如图，直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y = ax 2+（b -k ）x +c 的图象可能是（ ）{答案}B{解析}由直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 的图象可知k ＞0，a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2﹣4ac ＞0，所以b ﹣k ＜0，（b -k ）2﹣4ac= b 2﹣2bk ＋k 2－4ac ＞0，即y= ax 2+（b -k ）x+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴的左侧且与x 轴有两个交点．29．（2020·菏泽）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）{答案}B{解析}根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解．A、∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax＋b 的图象应过第一、三、四象限，故A错误；B、∴抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，∴a＞0，b＞0，∴直线应过第一、二、三象限，故B正确；C、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴直线应过第一、二、四象限，故C错误；D、∴抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴直线应过第二、三、四象限，故D错误．30．(2020·荆门)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax 2＋bx＋c＝0的根的情况是( )A．有两个大于1的不相等实数根B．有两个小于1的不相等实数根C．有一个大于1另一个小于1的实数根D．没有实数根{答案}C{解析}依题意得a＋b＋c＝－1．∴c＝－(1＋a＋b)．∵原方程的判别式△＝b2－4ac＝b2＋4a(1＋a＋b)＝b2＋4a＋4a2＋4ab＝(2a＋b)2＋4a＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝ca＋ba＋1＝1a(a＋b＋c)＝－1a＜0．∴x1－1与x2－1异号，这说明x1，x2中一个大于1，另一个小于1．故选C．31．（2020·随州）如图所示，已知二次函数c+bx+ax=y2的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，22-=a.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个{答案}B{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：O xyAO xyBO xyCO xyD∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a-b+c=0.A ．154 B ．4 C ．−154 D ．−174直角坐标系中的图象大致是（ ）{答案}B{解析}由二次函数的图象确定a 、b 、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开34．（2020·深圳）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，n )，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（ ）A ．abc ＞0B ．4ac －b 2＜0C ．3a ＋c ＞0D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根{答案}C{解析}根据抛物线开口向下，得到a ＜0，对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，知b ＝2a ＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 正确；根据抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0，故选项B 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，又∵b ＝2a ，∴3a ＋c ＜0，∴选项C 错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n ），∴函数有最大值n ，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝n ＋1无交点，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根，选项D 正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C ．35．（2020·鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 {答案}B{解析}此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x ＝﹣2时，y ＞0可判断③；由x ＝-1和2a 与b 的关系可判断④． ∵抛物线开口向上， ∴a >0， ∴0abc >，故①错误；∴-b <2a ，即2a ＋b >0，故②错误； 当x ＝-2时，y ＝4a -2b ＋c >0，故③正确； 当x ＝-1时，抛物线过x 轴，即a -b ＋c ＝0， ∴b ＝a ＋c ， 又2a ＋b >0，∴2a ＋a ＋c >0，即3a ＋c >0，故④正确； 故答案选：B ．36.（2020•湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）（第10题图）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤{答案}D{解析}本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＜0，即b ﹣2a ＞2c>0，故此选项错误；③当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确．⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x 2b a =-=1，即a 2b =-，代入得9（2b-）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．因此本题选 D ．37.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ） A. 12y y =-B. 12y y >C. 12y y <D. 1y 、2y 的大小无法确定 {答案}B {解析}首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小. ∵20a b ->，b 2≥0, ∴a>0.又∵0ab <， ∴b<0∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+. ∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2.故选：B.38．（2020·天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①；②关于x 的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即.2y ax bx c =++,,a b c 0,1a c ≠>()2,012x =0abc >2ax bx c a ++=12a <-ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a ，即可判断③．∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的，∵，而 ∴关于x 的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C.39．(2020·成都)关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8） C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D ．y 的最小值为﹣9{答案}D{解析}根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∴二次函数y ＝x2+2x ﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x ﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误； 当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x ＝﹣1时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 正确；故选：D ． 40．（2020·河北）如图9，现要在抛物线y =x （4-x ）上找点P （a ,b ）.针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲:若b =5，则点P 的个数为0； 乙:若b =4，则点P 的个数为1； 丙:若b =3，则点P 的个数为1. 下列判断正确的是A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对240b ac ->1c >2y ax bx c =++()2,012x =(1,0)-222224=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>0a ≠2ax bx c a ++=1c >12a <-{答案}C{解析}∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P 的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P 的个数为0；当b=4时，点P 的个数为1；当b=3时，点P 的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C.41．（2020·广东）把函数212y x 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22yx B ．211y x C ．222yx D ．213y x{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2），向右平移1个单位后变成（2，2），所以新函数为222y x ，也可用规律“左加右减”得222y x ，因此本题选C ．42．（2020·广东）如题10图，抛物线2yax bx c 的对称轴是x ＝1.下列结论：∴0abc ；∴240b ac ；∴80a c ；∴520a b c ，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个{答案}B{解析}本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得0a和0c ，再通过对称轴1x，可得2b a和12b a，所以0b 和2b a ，所以：（1）0abc ，故∴错误；（2）由于抛物线与x 轴有两个交点，因此所对应的一元二次方程20ax bx c有两个不相等的实数根，即240b ac，因此∴正确；（3）将2b a 代入原抛物线解析式，得：22y ax axc ，由图象可知，当4x时，0y，因此1680aa c，即80a c，故∴正确；（4）由于当1x 和2x时，都有0y ，所以有：0a b c和420ab c，两式相加得：520ab c，故∴正确综上所述，共有3个正确结论，因此本题选B ．题10图43.（2020·牡丹江）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝21，且经过点（2，0). 下列说法：∴abc ＜0；∴ -2b+c ＝0；∴4a+2b+c ＜0；∴若15()2y -，，25()2y ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；∴41b ＞m(am+b) (其中m≠21). 其中说法正确的是（ ）A. ∴∴∴∴B. ∴∴∴C. ∴∴∴D. ∴∴∴{答案}A{解析}根据抛物线开口方向得到a ＜0，根据抛物线的对称轴得b ＝﹣a ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c ＝﹣2a ，则得到﹣2b+c ＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c ＝0，则可对③进行判断；通过点（25-，y1）和点（25，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x ＝21，开口向下，得到当x ＝21时，y 有最大值，所以41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21），由a ＝﹣b 代入则可对⑤进行判断．具体判断过程如下： ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝21，∴b ＝﹣a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确； ∵对称轴为x ＝21，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ac＝﹣1×2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b+c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x ＝2时，y ＝0，∴4a+2b+c ＝0，所以③错误；∵点（25-，y1）离对称轴要比点（25，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝21，∴当x ＝21时，y 有最大值，∴41a+21b+c ＞am2+bm+c （其中m≠21），∴41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21）， ∵a ＝﹣b ，∴﹣41b+21b ＞m （am+b ），∴41b ＞m （am+b ），所以⑤正确；故选A.44．（2020·咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） A.y x =-B. 2y x =+C. 2y x= D. 22y x x =-（第12题图）x=2 Oyx{答案}B{解析}本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：2x =±，经检验2x =±是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本题选B ． 45．（2020·凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有如下结论：∴abc ＞0；∴2a ＋b ＝0；∴3b －2c ＜0；∴am 2＋bm ≥a ＋b （m 为实数）．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}D{解析}（1）由图可知抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，从而∴正确；（2）∴12b a -=，∴b ＝－2a ．∴2a ＋b ＝0，从而∴正确；（3）∴b ＝－2a ，∴3b－2c ＝－2a ＋2b －2c ＝－2(a －b ＋c)．而由图象可知，当x ＝－1时，y ＞0，从而a －b ＋c ＞0，于是－2(a －b ＋c)＜0，从而3b －2c ＜0．故∴正确；（4）由图可知，当x ＝1，ymin ＝a ＋b ＋c ，∴当x ＝m 时，am2＋bm ＋c≥a ＋b ＋c ，即am2＋bm≥a ＋b （m 为实数），从而∴正确．故选D ． 46．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，CD ∴AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ∴AC 于点E ，作PF ∴BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A.B.C.D.{答案}A{解析}根据三个角是直角，得出四边形CEPF 为矩形，再结合△APE 是等腰直角三角形，用含x 的代数式表示矩形的边PE 与EC 的长，求出矩形CEPF 的面积，再利用二次函数图像性质即可求解． Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，则AD ＝DC ＝2．∵PE ⊥AC ， PF ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∴四边形CEPF 为矩形．当点P 在AD 上时，即0≤x≤2，∵在等腰直角△APE中，AE ＝PE ＝22x ，∴EC ＝AC －AE ＝22－22x ，∴矩形CEPF 的面积y ＝PE·EC ＝22x ×(22A BCEDP F124321xy O O y x123421Oy x123421124321xy O 第12题图321-1O x =1y x－2)＝－12x2＋2x ；如图，当点P 在CD 上时，即2≤x≤4，由题意可知四边形CEPF 为正方形，此时CP ＝4－x ，∴四边形形CEPF 的面积y ＝12CP2＝12 (4－x)2．结合所求的函数关系式，及二次函数图像性质，可知选项A 正确．故选择A ．47.（2020·安顺）已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是 3.则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ）A.2-或0B.4-或2C.5-或3D.6-或4{答案}B{解析} ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线1,x =-又∵关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3，∴另一个根为－5.∵0n m <<，且方程20ax bx c n +++=有两个整数根，∴20ax bx c n +++=的根的范围分别是12533x x <<<<－－，１，∴方程的两个整数根分别为－4或2.48．（2020·滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，(且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：∴abc ＜0，∴b 2＞4ac ，∴4a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞0，ya ＋b ≤m (am ＋b )（m 为任意实数），∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 {答案}A{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∵2ba -=1，∴b=-2a ＜0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac ＞0，∴b2＞4ac ，故②正确；③当x=2，y=4a+2b+c ＜0，故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴3a+c ＞0，故④正确；⑤当x=1时，y 的值最小，此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am2+bm+c ，所以a+b+c≤am2+bm+c ，故a+b≤am2+bm ，即a+b≤m （am+b ），故⑤正确，⑥当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误，因此本题选A ．DAB C EFP49．（2020·宜宾）函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0．以下结论正确的是（ ） ∴abc ＞0；∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在x ＝1和x ＝﹣2处的函数值相等；∴函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象总有两个不同交点； ∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在﹣3≤x ≤3内既有最大值又有最小值． A ．∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴∴∴ {答案} C{解析}①由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0，可得出顶点在第二象限，b ＝2a ，且图象与x 轴交于点（2，0），得出抛物线的开口方向向下，∴a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①正确； ②由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），得出函数图象的对称轴为直线x ＝﹣1，函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝1和x ＝﹣3处的函数值相等，或函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝0和x ＝﹣2处的函数值相等，∴结论②错误；③由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），与x 轴交于点（2，0），可得b ＝2a ，c ＝－8a ，∴y ＝ax2+2a x －8a ，将y ＝kx+1与y ＝ax2+2a x －8a 联立方程组，得到方程ax2+（2a －k ）x －8a －1＝0，Δ=（2a －k ）2－4a （－8a －1），无法判断Δ是否大于0，∴函数y ＝kx+1的图象与y ＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象的交点情况无法确定，∴结论③错误；④由③可得y ＝ax2+2a x －8a ，在﹣3≤x≤3内，当x ＝﹣1时，y 有最大值n ＝－9a ，当x ＝﹣3时，y ＝7a ，当x ＝3时，y ＝－5a ，由①可知a ＜0，－9a ＞－5a ＞7a ，∴函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．∴结论④正确．50．（2020·恩施）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()2,0A -、()10B ,两点．则以下结论：∴0ac >；∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；∴20a c +=；∴0a b c -+>．其中正确的有（ ）个．A. 0B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}根据二次函数的图像性质逐个进行分析：∴：二次函数开口向下，故a <0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c >0，故ac <0，故∴错误； ∴：二次函数的图像与x 轴相交于()2,0A -、()1,0B ，由对称性可知，其对称轴为：21122x -+==-，故∴错误；。

(浙江专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练14二次函数的图象与性质二

(浙江专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练14二次函数的图象与性质二

课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.抛物线y=2x 2-2√2x+1与坐标轴的交点个数是 ( )A .0B .1C .2D .32.若二次函数y=x 2+mx 的对称轴是直线x=3,则关于x 的方程x 2+mx=7的解为 ( ) A .x 1=0,x 2=6 B .x 1=1,x 2=7 C .x 1=1,x 2=-7D .x 1=-1,x 2=73.[2019·淄博]将二次函数y=x 2-4x+a 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a 的取值范围是 ( ) A .a>3B .a<3C .a>5D .a<54.如图K14-1,已知二次函数y 1=23x 2-43x 的图象与正比例函数y 2=23x 的图象交于点A (3,2),与x 轴交于点B (2,0),若0<y 1<y 2,则x 的取值范围是 ( )图K14-1A .0<x<2B .0<x<3C .2<x<3D .x<0或x>35.[2019·鄂州]二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图K14-2所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①abc<0;②3a+c>0;③(a+c )2-b 2<0;④a+b ≤m (am+b )(m 为实数).其中结论正确的个数为 ( )图K14-2A .1个B .2个C .3个D .4个6.[2019·泸州]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点,且当x<-1时,y 随x 的增大而减小,则实数a 的取值范围是 ( ) A .a<2B .a>-1C .-1<a ≤2D .-1≤a<27.[2019·湖州]已知a ,b 是非零实数,|a |>|b |,在同一平面直角坐标系中,二次函数y 1=ax 2+bx 与一次函数y 2=ax+b 的大致图象不可能是 ( )图K14-38.[2019·广元]如图K14-4,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是.图K14-49.[2019·雅安]已知函数y={-x 2+2x(x>0),-x(x≤0)的图象如图K14-5所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K14-510.[2019·达州]如图K14-6,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;②若点M(-2,y1),点N12,y2,点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;④点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为√34+√2.其中正确判断的序号是.图K14-611.[2019·荆门]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1<m<3,n<0),下列结论:①abc>0;②3a+c<0;③a (m-1)+2b>0;④a=-1时,存在点P 使△PAB 为直角三角形. 其中正确结论的序号为 .12.[2018·黄冈]已知直线l :y=kx+1与抛物线y=x 2-4x. (1)求证:直线l 与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l 与该抛物线的两交点为A ,B ,O 为原点,当k=-2时,求△OAB 的面积.13.如图K14-7,抛物线l :y=-12(x-t )(x-t+4)(常数t>0)与x 轴从左到右的交点为B ,A ,过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴,交双曲线y=kx (k>0,x>0)于点P ,且OA ·MP=12.(1)求k 的值;(2)当t=1时,求AB 的长,并求直线MP 与抛物线l 的对称轴之间的距离;(3)把抛物线l 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ,用t 表示图象G 最高点的坐标.图K14-714.[2019·杭州]设二次函数y=(x-x 1)(x-x 2)(x 1,x 2是实数).(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=12时,y=-12.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示)..(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn<116|拓展提升|15.[2018·杭州]四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c为常数)时,甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ()A.甲B.乙C.丙D.丁16.如图K14-8所示,将二次函数y=x2-m(其中m>0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:(1)当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时,b有唯一值为1;(2)当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m>4或0<m<7;4(3)当m=b时,y1与y2至少有两个交点,且其中一个为(0,m);(4)当m=-b时,y1与y2一定有交点.其中正确说法的序号为.图K14-817.如图K14-9①,抛物线y=-x2+mx+n交x轴于点A(-2,0)和点B,交y轴于点C(0,2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点M在抛物线上,且S△AOM=2S△BOC,求点M的坐标;(3)如图②,设点N是线段AC上的一动点,作DN⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DN长度的最大值.图K14-918.[2019·仙桃]在平面直角坐标系中,已知抛物线C:y=ax2+2x-1(a≠0)和直线l:y=kx+b,点A(-3,-3),B(1,-1)均在直线l上.(1)若抛物线C与直线l有交点,求a的取值范围;(2)当a=-1,二次函数y=ax2+2x-1的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最大值为-4,求m的值;(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点,请直接写出a的取值范围.【参考答案】1.C2.D3.D4.C5.C [解析]①∵抛物线开口向上,∴a>0, ∵抛物线的对称轴在y 轴右侧, ∴-x2x >0,∴b<0.∵抛物线与y 轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①错误; ②当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,∵-x2x =1,∴b=-2a ,把b=-2a 代入a-b+c>0中得3a+c>0,故②正确; ③当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴a+c<-b.∵a-b+c>0,∴a+c>b ,∴|a+c|<|b|,∴(a+c )2<(-b )2,即(a+c )2-b 2<0,所以③正确; ④∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴x=1时,函数的最小值为a+b+c , ∴a+b+c ≤am 2+mb+c ,即a+b ≤m (am+b ),所以④正确.故选C . 6.D [解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x 2-2ax+a 2-3a+6,∵抛物线与x 轴没有公共点,∴Δ=(-2a )2-4(a 2-3a+6)<0,解得a<2. ∵抛物线的对称轴为直线x=--2x 2=a ,抛物线开口向上,而当x<-1时,y 随x 的增大而减小,∴a ≥-1,∴实数a 的取值范围是-1≤a<2.7.D [解析]由{x =xx +x ,x =xx 2+xx ,得{x 1=1,x 1=x +x ,{x 2=-xx ,x 2=0,故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1,a+b )和-x x,0. 对于D 选项,从直线过第一、二、四象限可知:a<0,b>0.又∵|a|>|b|,∴a+b<0.从而(1,a+b )在第四象限,因此D 选项不正确,故选D . 8.-6<M<6 [解析]∵y=ax 2+bx+c 过点(-1,0),(0,2),∴c=2,a-b=-2,∴b=a+2. ∵顶点在第一象限,a<0,∴-x2x >0,b>0,a+2>0,a>-2, ∴-2<a<0,M=4a+2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6,∴-6<M<6.9.0<m<14 [解析]由y=x+m 与y=-x 2+2x 得x+m=-x 2+2x ,整理得x 2-x+m=0,当有两个交点时,b 2-4ac=(-1)2-4m>0,解得m<14,当直线y=x+m 经过原点时与函数y={-x 2+2x (x >0),-x (x ≤0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m>0,∴m 的取值范围为0<m<14.10.①③④ [解析]由题意得,m+2=-x 2+2x+m+1,化简得x 2-2x+1=0,∵b 2-4ac=0,∴抛物线y=-x 2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,①正确;由图可得:y 1<y 3<y 2,故②错误;y=-x 2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m ,故③正确;当m=1时,抛物线解析式为y=-x 2+2x+2,∴A (0,2),C (2,2),B (1,3).作点B 关于y 轴的对称点B'(-1,3),作点C 关于x 轴的对称点C'(2,-2).连结B'C',与x 轴、y 轴分别交于点D ,E.则BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=B'C'+BC.此时,四边形BCDE 的周长最小.为√34+√2,故④正确.11.②③ [解析]将A (-1,0),B (m ,0),C (-2,n )代入解析式y=ax 2+bx+c ,∴对称轴x=x -12=-x2x ,∴-xx =m-1,a (m-1)=-b.∵1<m<3,∴ab<0.∵n<0,∴a<0,∴b>0.∵a-b+c=0,∴c=b-a>0,∴abc<0,①错误; ②易知当x=3时,y<0,∴9a+3b+c=9a+3(a+c )+c=12a+4c=4(3a+c )<0,②正确; ③a (m-1)+2b=-b+2b=b>0,③正确; ④a=-1时,y=-x 2+bx+c=-x 2+bx+b+1,∴Px2,b+1+x 24,若△PAB 为直角三角形,则△PAB 为等腰直角三角形, ∴b+1+x 24=x 2+1,∴b=-2,∵b>0,∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形.④错误.故答案为②③.12.解:(1)证明:联立两个函数表达式,得x 2-4x=kx+1,即x 2-(4+k )x-1=0,其中Δ=(4+k )2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l 与抛物线总有两个交点. (2)如图,连结AO ,BO ,联立两个函数表达式,得x 2-4x=-2x+1,解得x 1=1-√2,x 2=1+√2.设直线l 与y 轴交于点C ,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C (0,1),OC=1.所以S △ABO =S △AOC +S △BOC =12·OC ·|x A |+12·OC ·|x B |=12·OC ·|x A -x B |=12×1×2√2=√2.13.解:(1)设点P (x ,y ),则MP=y ,由OA 的中点为M 知OA=2x ,代入OA ·MP=12,得2x ·y=12,即xy=6, ∴k=xy=6.(2)当t=1时,令y=0,得0=-12(x-1)(x+3). ∴x 1=1,x 2=-3.由点B 在点A 的左边,得B (-3,0),A (1,0), ∴AB=4.∵抛物线l 的对称轴为直线x=-1,而点M 的坐标为(12,0), ∴直线MP 与抛物线l 的对称轴之间的距离为32.(3)∵A (t ,0),B (t-4,0),∴抛物线l 的对称轴为直线x=t-2,直线MP 为直线x=x2. 当t-2≤x2,即t ≤4时,顶点(t-2,2)就是G 的最高点;当t-2>x 2,即t>4时,抛物线l 与直线MP 的交点(x 2,-18x 2+x )就是G 的最高点.14.解:(1)乙求得的结果不正确,理由如下: ∵当x=0时,y=0;当x=1时,y=0, ∴二次函数图象经过点(0,0),(1,0), ∴x 1=0,x 2=1,∴y=x (x-1)=x 2-x , 当x=12时,y=-14,∴乙求得的结果不正确.(2)对称轴为直线x=x 1+x 22.当x=x 1+x 22时,y=-(x 1-x 2)24,∴函数的最小值为-(x 1-x 2)24.(3)证明:∵二次函数的图象经过(0,m )和(1,n )两点, ∴m=x 1x 2,n=1-x 1-x 2+x 1x 2,∴mn=x 1x 2(1-x 1)(1-x 2)=(x 1-x 12)(x 2-x 22)=-x 1-122+14-x 2-122+14.∵0<x 1<x 2<1,并结合函数y=x (1-x )的图象,∴0<-x 1-122+14≤14,0<-x 2-122+14≤14,且-x 1-122+14与-x 2-122+14不能同时取14,∴0<mn<116. 15.B [解析]甲:-x2=1,b=-2; 乙∶1-b+c=0; 丙:4x -x 24=3,4c-b 2=12;丁:4+2b+c=4.若甲错:{1-x +x =0,4x -x 2=12,4+2x +x =4,由乙、丁得{x =13,x =-23,代入丙,不成立,不合题意;若乙错:{x =-2,4x -x 2=12,4+2x +x =4,由甲、丁得{x =-2,x =4,代入丙,成立,符合题意;若丙错:{x =-2,1-x +x =0,4+2x +x =4,由甲、丁得{x =-2,x =4,代入乙,不成立,不符合题意;若丁错:{x =-2,1-x +x =0,4x -x 2=12,由甲、乙得{x =-2,x =-3,代入丙,不成立,不合题意.16.(2)(3) [解析]根据题意,y 1={x 2-x (x ≤-√x 或x ≥√x ),-x 2+x (-√x <x <√x ).(1)中,当m=1时,由于y 1与y 2恰好有三个交点,故有两种可能:一是直线y=x+b 过点(-1,0)且与抛物线y=-x 2+1相交,解得b=1;二是直线y=x+b 与抛物线y=-x 2+1有且仅有1个交点,且与抛物线y=x 2-1有两个交点,解得b=54,故(1)不正确.(2)中,要使y 1与y 2恰有两个交点,有两种情况:一是直线y=x+2与y=-x 2+m 没有交点,令x 2+x+2-m=0,由12-4(2-m )<0,得m<74,则0<m<74;二是直线y=x+2与x 轴的交点横坐标x 满足-√x <x<√x ,即-√x <-2<√x ,解得m>4,故(2)正确.(3)中,由{x =-x 2+x ,x =x +x得两个交点(0,m ),(-1,m-1),故(3)正确.(4)中,直线y=x-m 恒过点(0,-m ),将x=√x 代入y=x-m ,得y=√x -m ,显然不一定大于或等于0,即y 1与y 2不一定有交点,故不正确.17.解:(1)将A (-2,0),C (0,2)的坐标代入抛物线的解析式y=-x 2+mx+n , 得{-4-2x +x =0,x =2, 解得{x =-1,x =2.∴抛物线的解析式为y=-x 2-x+2.(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y=-x 2-x+2,易得B (1,0),依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得:12·AO×|y M |=2×12×OB×OC , ∴12×2×|-a 2-a+2|=2, ∴a 2+a=0或a 2+a-4=0, 解得a=0或-1或-1±√172,∴符合条件的点M 的坐标为:(0,2)或(-1,2)或-1+√172,-2或-1-√172,-2.(3)设直线AC 的解析式为y=kx+b ,将A (-2,0),C (0,2)代入, 得{-2x +x =0,x =2,解得{x =1,x =2. ∴直线AC 的解析式为y=x+2,设N (x ,x+2)(-2≤x ≤0),则D (x ,-x 2-x+2),ND=(-x 2-x+2)-(x+2)=-x 2-2x=-(x+1)2+1, ∵-1<0,∴x=-1时,ND 有最大值1.18.[解析](1)先求出直线的解析式,然后由二次函数解析式与一次函数解析式得到一元二次方程,利用根的判别式Δ≥0,求出a 的取值范围;(2)对自变量的取值范围在对称轴的左、右两侧进行分类,结合增减性求出m 的值;(3)抛物线经过(0,-1)这一定点,将抛物线分开口向上和开口向下两种情况求出a 的取值范围. 解:(1)将A (-3,-3),B (1,-1)的坐标代入 y=kx+b 中,得:{-3x +x =-3,x +x =-1,解得{x =12,x =-32.∴直线l 的解析式为:y=12x-32.∵抛物线C 与直线l 有交点, ∴ax 2+2x-1=12x-32有实数根,整理得2ax 2+3x+1=0, ∴Δ=9-8a ≥0,∴a ≤98, ∴a 的取值范围是a ≤98且a ≠0.(2)当a=-1时,抛物线为:y=-x 2+2x-1=-(x-1)2,对称轴为直线x=1, 当m ≤x ≤m+2<1时,y 随x 的增大而增大, 当x=m+2时,函数y 有最大值-4, ∴m=1(舍去)或-3.当1<m ≤x ≤m+2时,y 随x 的增大而减小, 当x=m 时,函数y 有最大值-4, ∴m=-1(舍去)或3. 综上所述m=±3. (3)49≤a<98或a ≤-2.[解析]当a<0时,对称轴为直线x=-1x ,-1x >0,将B (1,-1)代入y=ax 2+2x-1,得a=-2,∴当a ≤-2时,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点; 当a>0时,对称轴为直线x=-1x ,-1x <0, 将A (-3,-3)代入y=ax 2+2x-1,得a=49,∴当49≤a<98时,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点. 综上所述,抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点时,49≤a<98或a ≤-2.。

(浙江专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质二课件

(浙江专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第14课时二次函数的图象与性质二课件

考向一 抛物线位置与a,b,c的符号关系
例1 [2019·凉山州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图14-3所示,有以下结论:① 3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0,其中错误结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
图14-3
[答案] A [解析]根据对称轴-2������������=-32得 b=3a,故可得 3a-b=0,所以结论①正确; 由于抛物线与 x 轴有两个不同的交点,所以 b2-4ac>0,结论②正确, ∵b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,∴5a-2b+c=-a+c>0, 结论③正确; 根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含 这两点),所以当 x=1 时,y=a+b+c<0, ∵a=13b,∴43b+c<0,∴4b+3c<0,所以结论④错误.故选 A.
2.[2019·随州]如图 14-5 所示,已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A,B
两点,与 y 轴交于点 C,OA=OC,对称轴为直线 x=1,则下列结论:①abc<0;②a+ 12b+14c>0;③ac+b+1=0;④2+c 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根.其 中正确的有 ( )
【方法点析】二次函数图象的特征主要从开口方向、对称轴、与x轴的交点、 与y轴的交点入手,确定a,b,c及b2-4ac的符号,有时要把x的特殊值代入,根据图象 确定y的符号.常用特殊值:x=1时,y=a+b+c;x=-1时,y=a-b+c;x=2时,y=4a+2b+c等.

备战中考数学 第三篇 函数 专题14 二次函数的图象和性质(含解析)

备战中考数学 第三篇 函数 专题14 二次函数的图象和性质(含解析)

第三篇 函数专题14 二次函数的图象和性质☞解读考点☞2年中考【2017年题组】一、选择题1．（2017内蒙古包头市）已知一次函数14y x =，二次函数2222y x =+，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为1y 与2y ，则下列关系正确的是（ ） A ． 12y y > B ．12y y ≥ C ． 12y y < D ．12y y ≤ 【答案】D ． 【解析】试题分析：由2422y x y x =⎧⎨=+⎩消去y 得到：2210x x -+=，∵△=0，∴直线y =4x 与抛物线222y x =+只有一个交点，如图所示，观察图象可知：12y y ≤，故选D ．考点：二次函数与不等式（组）．2．（2017四川省乐山市）已知二次函数mx x y 22-=（m 为常数），当﹣1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是（ ） A ．23 B ．2 C ．23 或2 D ．23-或2 【答案】D ． 【解析】考点：1．二次函数的最值；2．最值问题；3．分类讨论；4．综合题．3．（2017四川省凉山州）已知抛物线222y x x m =+--与x 轴没有交点，则函数my x=的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C ． 【解析】考点：1．反比例函数的图象；2．抛物线与x 轴的交点．4．（2017四川省泸州市）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程222240x tx t t -+-+=的两实数根，则(2)(2)m n ++的最小值是（ ）A ．7B ．11C ．12D ．16 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵△=（2t ）2﹣4（224t t -+）≥0，∴t ≥2，又∵m +n =2t ，mn =224t t -+，∴(2)(2)m n ++=2()4mn m n +++ =224224t t t -++⨯+=228t t ++=2(1)7t ++ ，根据二次函数的性质，t ≥-1时，函数值随t 的增大而增大，∵t ≥2，∴当t =2时，(2)(2)m n ++的值最小，此时(2)(2)m n ++=2(21)7++=16，即最小值为16．故选D ．考点：1．二次函数的性质；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．根与系数的关系；5．综合题．5．（2017四川省泸州市）已知抛物线2114y x =+具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 3），P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C ． 【解析】考点：1．二次函数的性质；2．三角形三边关系；3．动点型；4．最值问题．6．（2017山东省威海市）已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，则正比例函数y =（b +c ）x 与反比例函数xcb a y +-=在同一坐标系中的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ． 【解析】试题分析：由二次函数图象可知a ＞0，c ＞0，由对称轴x =2ba-＞0，可知b ＜0，当x =1时，a +b +c ＜0，即b +c ＜0，所以正比例函数y =（b +c ）x 经过二四象限，反比例函数xcb a y +-=图象经过一三象限，故选C ．考点：1．反比例函数的图象；2．正比例函数的图象；3．二次函数的图象．7．（2017山东省泰安市）已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B ． 【解析】考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．二次函数的性质．8．（2017山东省泰安市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm /s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm /s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）A ．19cm 2B ．16cm 2C ．15cm 2D ．12cm 2【答案】C ． 【解析】试题分析：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC cm ．设运动时间为t （0≤t ≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形PABQ =S △ABC ﹣S △CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t =t 2﹣6t +24=（t ﹣3）2+15，∴当t =3时，四边形PABQ 的面积取最小值，最小值为15．故选C ．考点：1．二次函数的最值；2．动点型；3．二次函数的最值；4．最值问题．9．（2017山东省淄博市）将二次函数221y x x =+-的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）A ．2(3)2y x =+-B ．2(3)2y x =++ C ． 2(1)2y x =-+ D ．2(1)2y x =-- 【答案】D ． 【解析】考点：二次函数图象与几何变换．10．（2017南宁）如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线1C ：2x y =（x ≥0）和抛物线2C ：42x y =（x≥0）交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则EADOFES S ∆∆的值为（ ）A ．62 B ．42 C ． 41 D ．61【答案】D ． 【解析】试题分析：设点A 、B 横坐标为a ，则点A 纵坐标为2a ，点B 的纵坐标为24a ，∵BE ∥x 轴，∴点F 纵坐标为24a ，∵点F 是抛物线2x y =上的点，∴点F 横坐标为x 12a ，∵CD ∥x 轴，∴点D 纵坐标为2a ，∵点D 是抛物线42x y =上的点，∴点D 横坐标为x a ，∴AD =a ，BF =12a ，CE =234a ，OE =214a ，∴则EADOFE S S ∆∆=1212BF OEAD CE ⋅⋅ =1483⨯=61，故选D ．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．综合题． 11．（2017江苏省盐城市）如图，将函数()21212y x =-+的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A '、B '．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A ．()21222y x =--B ．()21272y x =-+ C ．()21252y x =-- D ．()21242y x =-+ 【答案】D ． 【解析】考点：二次函数图象与几何变换．12．（2017江苏省苏州市）若二次函数21y ax =+的图象经过点（﹣2，0），则关于x 的方程2(2)10a x -+= 的实数根为（ ）A ．x 1=0，x 2=4B ．x 1=﹣2，x 2=6C ．x 1=32，x 2=52D ．x 1=﹣4，x 2=0 【答案】A ． 【解析】考点：抛物线与x 轴的交点．13．（2017江苏省连云港市）已知抛物线2y ax =（a ＞0）过A （﹣2，1y 、B （1，2y ）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y >>D ．210y y >> 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵抛物线2y ax =（a ＞0），∴A （﹣2，1y ）关于y 轴对称点的坐标为（2，1y ）．又∵a ＞0，0＜1＜2，∴2y ＜1y ．故选C ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．14．（2017浙江省嘉兴市）下列关于函数1062+-=x x y 的四个命题： ①当x =0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x =3+n 时的函数值大于x =3﹣n 时的函数值；③若n ＞3，且n 是整数，当n ≤x ≤n +1时，y 的整数值有（2n ﹣4）个； ④若函数图象过点（a ，y 0）和（b ，y 0+1），其中a ＞0，b ＞0，则a ＜b ． 其中真命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】C ． 【解析】∵抛物线1062+-=x x y 的对称轴为x =3，a =1＞0，∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，当x =n +1时，y =（n +1）2﹣6（n +1）+10，当x =n 时，y =n 2﹣6n +10，（n +1）2﹣6（n +1）+10﹣[n 2﹣6n +10]=2n ﹣5，∵n 是整数，∴2n ﹣5是整数，故③正确；∵抛物线1062+-=x x y 的对称轴为x =3，1＞0，∴当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∵y 0+1＞y 0，∴当0＜a ＜3，0＜b ＜3时，a ＞b ，当a ＞3，b ＞3时，a ＜b ，当0＜a ＜3，b ＞3时，a ＜b ，当0＜a ＜3，b ＞3时，a ＜b ，故④是假命题．故选C ． 考点：1．命题与定理；2．二次函数的性质；3．综合题．15．（2017湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中2条直线为l 1：y =﹣3x +3，l 2：y =﹣3x +9，直线l 1交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线l 2交x 轴于点D ，过点B 作x 轴的平行线交l 2于点C ，点A 、E 关于y 轴对称，抛物线2y ax bx c =++过E 、B 、C 三点，下列判断中：①a ﹣b +c =0；②2a +b +c =5；③抛物线关于直线x =1对称；④抛物线过点（b ，c ）；⑤S 四边形ABCD=5，其中正确的个数有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C ． 【解析】∵抛物线2y ax bx c =++过E 、B 、C 三点，∴03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴y =﹣x 2+2x +3．①∵抛物线2y ax bx c =++过E （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，故①正确； ②∵a =﹣1，b =2，c =3，∴2a +b +c =﹣2+2+3=3≠5，故②错误；③∵抛物线过B （0，3），C （2，3）两点，∴对称轴是直线x =1，∴抛物线关于直线x =1对称，故③正确； ④∵b =2，c =3，抛物线过C （2，3）点，∴抛物线过点（b ，c ），故④正确；⑤∵直线l 1∥l 2，即AB ∥CD ，又BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴S 四边形ABCD =BC •OB =2×3=6≠5，故⑤错误．综上可知，正确的结论有3个． 故选C ．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．关于x 轴、y 轴对称的点的坐标；5．综合题．16．（2017湖北省鄂州市）如图抛物线c bx ax y ++=2的图象交x 轴于A （﹣2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB =OC ，下列结论： ①2b ﹣c =2；②a =12；③ac =b ﹣1；④a bc+＞0 其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ． 【解析】∵ac ﹣b +1=0，∴b =ac +1，a =12，∴b =12c +1，∴2b ﹣c =2，故①正确； 故选C ．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．二次函数图象与系数的关系．17．（2017辽宁省盘锦市）如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜0；③﹣43≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B ． 【解析】∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； 一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根的判别式；3．二次函数的性质．18．（2017辽宁省辽阳市）如图，抛物线223y x x =--与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（ ）A ．1B ．1C ．1D ．1-1【答案】A ． 【解析】试题分析：令x =0，则y =﹣3，所以，点C 的坐标为（0，﹣3），∵点D 的坐标为（0，﹣1），∴线段CD 中点的纵坐标为12×（﹣1﹣3）=﹣2，∵△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为﹣2，∴x 2﹣2x ﹣3=﹣2，解得x 1=1，x 2=1+P 在第四象限，∴点P 的横坐标为1+A ． 考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．等腰三角形的性质． 二、填空题19．（2017湖北省咸宁市）如图，直线y =mx +n 与抛物线2y ax bx c =++交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式2mx n ax bx c +>++的解集是 ．【答案】x ＜﹣1或x ＞4． 【解析】考点：二次函数与不等式（组）．20．（2017湖北省武汉市）已知关于x 的二次函数22(1)y ax a x a =+--的图象与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）．若2＜m ＜3，则a 的取值范围是 ． 【答案】13＜a ＜12或﹣3＜a ＜﹣2． 【解析】试题分析：∵22(1)y ax a x a =+--=（ax ﹣1）（x +a ），∴当y =0时，x 1=1a，x 2=﹣a ，∴抛物线与x 轴的交点为（1a，0）和（﹣a ，0）． ∵抛物线与x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）且2＜m ＜3，∴当a ＞0时，2＜1a ＜3，解得：13＜a ＜12； 当a ＜0时，2＜﹣a ＜3，解得：﹣3＜a ＜﹣2． 故答案为：13＜a ＜12或﹣3＜a ＜﹣2． 考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．分类讨论；3．综合题．21．（2017上海市）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是．（只需写一个）【答案】答案不唯一，形如21y ax =-（a ＞0）即可，如：221y x =-． 【解析】考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．开放型． 22．（2017四川省德阳市）若抛物线22(1)(1)na a ay ax x n n n n +=-+-++与x 轴交于A n 、B n 两点（a 为常数，a≠0，n 为自然数，n ≥1），用S n 表示A n 、Bn 两点间的距离，则S 1+S 2+……+S 2017＝_____________． 【答案】20172018． 【解析】试题分析：∵22(1)(1)na a a y ax x n n n n +=-+-++=﹣a （x ﹣11n +）（x ﹣1n ）=0，∴点A n 的坐标为（11n +，0），点B n 的坐标为（1n ，0）（不失一般性，设点A n 在点B n 的左侧），∴S n =1n ﹣11n +，∴S 1+S 2+…+S 2017111111 (22320172018)-+-++-=112018-=20172018．故答案为：20172018． 考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．规律型；3．综合题．23．（2017山东省莱芜市）二次函数2y ax bx c =++（a ＜0）图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，与y 轴交于点C ，下面四个结论： ①16a ﹣4b +c ＜0；②若P （﹣5，y 1），Q （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＞y 2；③a =﹣13c ；④若△ABC是等腰三角形，则b =．其中正确的有 （请将结论正确的序号全部填上） 【答案】①③． 【解析】试题分析：①根据抛物线开口方向和与x 轴的两交点可知：当x =﹣4时，y ＜0，即16a ﹣4b +c ＜0； ②根据图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x =﹣1，可得：（﹣4.5，y 3）与Q （52，y 2）是对称点，所以y 1＜y 2；③根据对称轴和x =1时，y =0可得结论；④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB =BC =4或AB =AC =4或AC =BC ，先计算c 的值，再联立方程组可得结论．试题解析：①∵a ＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，∴当x =﹣4时，y ＜0，即16a ﹣4b +c ＜0； 故①正确；②∵图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x =﹣1，∵P （﹣5，y 1），Q （52，y 2），﹣1﹣（﹣5）=4，52﹣（﹣1）=3.5，由对称性得：（﹣4.5，y 3）与Q （52，y 2）是对称点，∴则y 1＜y 2；故②不正确； ③∵2b a -=﹣1，∴b =2a ，当x =1时，y =0，即a +b +c =0，3a +c =0，a =﹣13c ； ④要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB =BC =4或AB =AC =4或AC =BC ，当AB =BC =4时，∵AO =1，△BOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16﹣9=7，∵由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c ，与b =2a 、a +b +c =0联立组成解方程组，解得b =﹣3； 同理当AB =AC =4时，∵AO =1，△AOC 为直角三角形，又∵OC 的长即为|c |，∴c 2=16﹣1=15，∵由抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，∴c b =2a 、a +b +c =0联立组成解方程组，解得b = 同理当AC =BC 时，在△AOC 中，AC 2=1+c 2，在△BOC 中BC 2=c 2+9，∵AC =BC ，∴1+c 2=c 2+9，此方程无实数解． 经解方程组可知有两个b 值满足条件． 故⑤错误．综上所述，正确的结论是①③． 故答案为：①③．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．抛物线与x 轴的交点；3．等腰三角形的性质；4．综合题． 24．（2017四川省乐山市）对于函数mnx x y +=，我们定义11--+='m n mx nx y （n m 、为常数）．例如24x x y +=，则x x y 243+='． 已知：()x m x m x y 223131+-+=． （1）若方程0='y 有两个相等实数根，则m 的值为 ；（2）若方程41-='m y 有两个正数根，则m 的取值范围为 ． 【答案】（1）12；（2）m ≤34且m ≠12．【解析】试题解析：根据题意得y ′=222(1)x m x m +-+，（1）∵方程222(1)x m x m +-+有两个相等实数根，∴△=[2（m ﹣1）]2﹣4m 2=0，解得：m =12，故答案为：12； （2）41-='m y ，即222(1)x m x m +-+=14m -，化简得：2212(1)04x m x m m +-+-+=，∵方程有两个正数根，∴2222(1)01041[2(1)]4()04m m m m m m ⎧⎪-->⎪⎪-+>⎨⎪⎪---+≥⎪⎩，解得：m ≤34且m ≠12．故答案为：m ≤34且m ≠12． 考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根的判别式；3．根与系数的关系；4．新定义；5．综合题． 25．（2017四川省广元市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有下列结论：①abc ＜0；②a +c ＞b ；③3a +c ＜0；④a +b ＞m （am +b ）（其中m ≠1），其中正确的结论有 ．【答案】①③④． 【解析】③当x =3时函数值小于0，y =9a +3b +c ＜0，且x =2ba-=1，即b =﹣2a ，代入得9a ﹣6a +c ＜0，得3a +c ＜0，故此选项正确；④当x =1时，y 的值最大．此时，y =a +b +c ，而当x =m 时，y =am 2+bm +c ，所以a +b +c ＞am 2+bm +c ，故a +b ＞am 2+bm ，即a +b ＞m （am +b ），故此选项正确． 故③④正确． 故答案为：①③④．考点：二次函数图象与系数的关系．26．（2017四川省阿坝州）如图，抛物线的顶点为P （﹣2，2），与y 轴交于点A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P ′（2，﹣2），点A 的对应点为A ′，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为．【答案】12．【解析】试题分析：根据平移的性质得出四边形APP′A′是平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．试题解析：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：A P∥A′P′，AP=A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO =AOP=45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′=2=AD=DO=sin45°•OA×，∴抛物线上PA段扫过的区域=12．故答案为：12．（阴影部分）的面积为：2考点：二次函数图象与几何变换．27．（2017新疆）如图，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发，均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是cm2．【答案】3，18． 【解析】18．故答案为：3，18．考点：1．二次函数的最值；2．正方形的性质；3．动点型；4．最值问题；5．二次函数的最值． 28．（2017江苏省常州市）已知二次函数23y ax bx =+-自变量x 的部分取值和对应函数值y 如下表：则在实数范围内能使得50y ->成立的x 取值范围是 ．【答案】x ＞4或x ＜-2． 【解析】考点：二次函数图象上点的坐标特征．29．（2017河北）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min = ；若{}22min (1),1x x -=，则x = ．【答案】2或-1． 【解析】试题分析：首先理解题意，进而可得min {{}22min (1),1x x -=时再分情况讨论，当x ＞0时和x ≤0时，进而可得答案．试题解析：因为<min { 当()221x x ->时，21x =，解得11x =（舍），21x =-； 当()221x x -<时，()211x -=，解得32x =，40x =（舍）．考点：1．二次函数的性质；2．新定义；3．实数大小比较；4．分类讨论；5．解一元二次方程-直接开平方法． 三、解答题30．（2017天门）已知关于x 的一元二次方程221(1)(1)02x m x m -+++=有实数根． （1）求m 的值；（2）先作221(1)(1)2y x m x m =-+++的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y =2x +n （n ≥m ）与变化后的图象有公共点时，求24n n -的最大值和最小值． 【答案】（1）1；（2）242y x x =---；（3）最大值为21，最小值为﹣4． 【解析】（2）由（1）可知221y x x =-+=2(1)x - ，图象如图所示：平移后的解析式为2(2)2y x =-++，即242y x x =---．（3）由2242y x ny x x =+⎧⎨=---⎩消去y 得到2620x x n +++=，由题意△≥0，∴36﹣4n ﹣8≥0，∴n ≤7，∵n≤m ，m =1，∴1≤n ≤7，令y ′=n 2﹣4n =（n ﹣2）2﹣4，∴n =2时，y ′的值最小，最小值为﹣4，n =7时，y ′的值最大，最大值为21，∴24n n -的最大值为21，最小值为﹣4．考点：1．抛物线与x 轴的交点；2．根的判别式；3．二次函数图象与几何变换；4．二次函数的最值；5．最值问题．31．（2017湖南省株洲市）如图所示，Rt △PAB 的直角顶点P （3，4）在函数ky x=（x ＞0）的图象上，顶点A 、B 在函数ty x=（x ＞0，0＜t ＜k ）的图象上，PA ∥x 轴，连接OP ，OA ，记△OPA 的面积为S △OPA ，△PAB 的面积为S △PAB ，设w =S △OPA ﹣S △PAB ． ①求k 的值以及w 关于t 的表达式；②若用w max 和w min 分别表示函数w 的最大值和最小值，令T =w max +a 2﹣a ，其中a 为实数，求T min ．【答案】①k =12，w =211242t t -+；②54． 【解析】（2）∵w =211242t t -+=213(6)242t --+，∴w max =32，则T =w max +a 2﹣a =232a a -+=215()24a -+，∴当a =12时，T min =54． 考点：1．反比例函数系数k 的几何意义；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．二次函数的最值；4．最值问题．32．（2017湖南省益阳市）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为（m ，n ），求直线MN 的表达式（用含m 、n 的代数式表示）； （3）在抛物线2y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P （12，12），求此抛物线的表达式． 【答案】（1）不一定；（2）y =﹣x +m +n ；（3）221y x x =--． 【解析】（3）设点A （p ，q ），则 q =2p ，由直线AB 经过点P （12，12），得到p +q =1，得到q =﹣1或q =2，将这一对“互换点”代入2y x bx c =++得，于是得到结论．试题解析：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a ，b ）和（b ，a ）． ①当ab =0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab ≠0时，由b =k a 可得a =kb，即（a ，b ）和（b ，a ）都在反比例函数ky x=（k ≠0）的图象上； （2）由M （m ，n ）得N （n ，m ），设直线MN 的表达式为y =cx +d （c ≠0）． 则有：mc d n nc d m +=⎧⎨+=⎩ ，解得：1c d m n=-⎧⎨=+⎩，∴直线MN 的表达式为y =﹣x +m +n ；（3）设点A （p ，q ），则q =2p ，∵直线AB 经过点P （12，12），由（2）得：1122p q =-++，∴p +q =1，∴21p p-=，解并检验得：p =2或p =﹣1，∴q =﹣1或q =2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入2y x bx c =++得，∴12421b c b c -+=⎧⎨++=-⎩，解得：21b c =-⎧⎨=-⎩，∴此抛物线的表达式为221y x x =--．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．待定系数法求一次函数解析式；3．待定系数法求二次函数解析式；4．新定义．33．（2017湖南省益阳市）如图1，直线y =x +1与抛物线22y x =相交于A 、B 两点，与y 轴交于点M ，M 、N 关于x 轴对称，连接AN 、BN ．（1）①求A 、B 的坐标；②求证：∠ANM =∠BNM ；（2）如图2，将题中直线y =x +1变为y =kx +b （b ＞0），抛物线22y x =变为2y ax =（a ＞0），其他条件不变，那么∠ANM =∠BNM 是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）①A （12-，12），B （ 1，2）；②证明见解析；（2）∠ANM =∠BNM 成立． 【解析】试题解析：（1）①由已知得221x x =+，解得12x =-或x =1，当12x =-时，y =12，当x =1时，y =2，∴A 、B 两点的坐标分别为（12-，12），（ 1，2）； ②如图1，过A 作AC ⊥y 轴于C ，过B 作BD ⊥y 轴于D ，由①及已知有A （12-，12），B （ 1，2），且OM =ON =1，∴tan ∠ANM =AC CN =12112+=13，tan ∠BNM =BD DN =112+ =13，∴tan ∠ANM =tan ∠BNM ，∴∠ANM =∠BNM ；（2）∠ANM =∠BNM 成立，①当k =0，△ABN 是关于y 轴的轴对称图形，∴∠ANM =∠BNM ； ②当k ≠0，根据题意得：OM =ON =b ，设A （1x ，21ax ）、B （2x ，22ax ）．如图2，过A 作AE ⊥y 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，由题意可知：ax 2=kx +b ，即ax 2﹣kx ﹣b =0，∴12kx x a+=，12bx x a=-，∵222121b ax b ax NF NE BF AE x x ++-=-- 2211222112bx ax x bx ax x x x +++= =121212()()x x ax x b x x ++=[()]0()k ba b a a b a⋅-+=-，∴NF NE BF AE =，∴Rt △AEN ∽Rt △BFN ，∴∠ANM =∠BNM ．考点：二次函数综合题．34．（2017贵州省贵阳市）如图，直线y =2x +6与反比例函数ky x=（k ＞0）的图象交于点A （1，m ），与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y =n （0＜n ＜6）交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ． （1）求m 的值和反比例函数的表达式；（2）直线y =n 沿y 轴方向平移，当n 为何值时，△BMN 的面积最大？【答案】（1）m =8，8y x=；（2）n =3． 【解析】（2）由题意，点M ，N 的坐标为M （8n ，n ），N （62n -，n ），∵0＜n ＜6，∴62n -＜0，∴S △BMN =12×（|62n -|+|8n|）×n =12×（﹣62n -+8n ）×n =2125(3)44n --+，∴n =3时，△BMN 的面积最大．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．平移的性质；3．最值问题；4．二次函数的最值． 35．（2017辽宁省盘锦市）如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线212y x bx c =++ 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．【答案】（1）213222y x x =--；（2）PE =5或2，P （2，﹣3）或（5，3）；（3）E 的对称点坐标为（95，﹣185）或（3.6，﹣1.2）． 【解析】（3）①当P 点在直线BD 的上方时，如图1，设点E 关于直线AB 的对称点为E ′，过E ′作E ′H ⊥DE 于H ，求得直线EE ′的解析式为1922y x =-，设E ′（m ，1922m -），根据勾股定理即可得到结论；②当P 点在直线BD 的下方时，如图2，设点E 关于直线AB 的对称点为E ′，过E ′作E ′H ⊥DE 于H ，得到直线EE ′的解析式为132y x =-，设E ′（m ，132m -），根据勾股定理即可得到结论． 试题解析：（1）把B （3，﹣2），C （﹣1，0）代入212y x bx c =++得：19322102b c b c ⎧⨯++=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，∴322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x =--； （2）设P （m ，213222m m --），在213222y x x =--中，当x =0时，y =﹣2，∴D （0，﹣2），∵B （3，﹣2），∴BD ∥x 轴，∵PE ⊥BD ，∴E （m ，﹣2），∴DE =m ，PE =2132222m m --+，或PE =2132222m m --++，∵△PDE 为等腰直角三角形，且∠PED =90°，∴DE =PE ，∴m =21322m m -，或m =21322m m -+，解得：m =5，m =2，m =0（不合题意，舍去），∴PE =5或2，P （2，﹣3）或（5，3）；（3）①当P 点在直线BD 的上方时，如图1，设点E 关于直线AB 的对称点为E ′，过E ′作E ′H ⊥DE 于H ，由（2）知，此时，E （5，﹣2），∴DE =5，∴BE ′=BE =2，∵EE ′⊥AB ，∴设直线EE ′的解析式为12y x b =+ ，∴﹣2=12×5+b ，∴b =﹣92，∴直线EE ′的解析式为1922y x =-，设E ′（m ，1922m -），∴E ′H =﹣2﹣1922m +=5122m -，BH =3﹣m ，∵E ′H 2+BH 2=BE ′2，∴（5122m -）2+（3﹣m ）2=4，∴m =95，m =5（舍去），∴E ′（95，﹣185）；②当P 点在直线BD 的下方时，如图2，设点E 关于直线AB 的对称点为E ′，过E ′作E ′H ⊥DE 于H ，由（2）知，此时，E （2，﹣2），∴DE =2，∴BE ′=BE =1，∵EE ′⊥AB ，∴设直线EE ′的解析式为12y x b =+，∴﹣2=12×2+b ，∴b =﹣3，∴直线EE ′的解析式为132y x =-，设E ′（m ，132m -），∴E ′H =1322m -+=112m -，BH =m ﹣3，∵E ′H 2+BH 2=BE ′2，∴（112m -）2+（m ﹣3）2=1，∴m =3.6，m =2（舍去），∴E ′（3.6，﹣1.2）． 综上所述，E 的对称点坐标为（95，﹣185）或（3.6，﹣1.2）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．翻折变换（折叠问题）；4．分类讨论；5．压轴题． 36．（2017四川省雅安市）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （l ，0），B （-3，0），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ，连接BD ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 在直线BD 上，当PE =PC 时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，作PF ⊥x 轴于F ，点M 为x 轴上一动点，N 为直线PF 上一动点，G 为抛物线上一动点，当以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-；（2）P （﹣2，﹣2）；（3）点M 的坐标为（12-，0），（12--，0），，0），，0）． 【解析】（3）设出点D 的坐标，进而得出点G ，N 的坐标，利用FM =MG 建立方程求解即可得出结论．试题解析：（1）∵抛物线2y x bx c =++的图象经过点A （1，0），B （﹣3，0），∴10930b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，∴23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）知，抛物线的解析式为223y x x =+-，∴C （0，﹣3），抛物线的顶点D （﹣1，﹣4），∴E （﹣1，0），设直线BD 的解析式为y =mx +n ，∴304m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，∴26m n =-⎧⎨=-⎩，∴直线BD 的解析式为y =﹣2x﹣6，设点P （a ，﹣2a ﹣6），∵C （0，﹣3），E （﹣1，0），根据勾股定理得，PE 2=（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2，PC 2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2，∵PC =PE ，∴（a +1）2+（﹣2a ﹣6）2=a 2+（﹣2a ﹣6+3）2，∴a =﹣2，∴y =﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，∴P （﹣2，﹣2）；（3）如图，作PF ⊥x 轴于F ，∴F （﹣2，0），设D （d ，0），∴G （d ，d 2+2d ﹣3），N （﹣2，d 2+2d ﹣3），∵以点F ，N ，G ，M 四点为顶点的四边形为正方形，必有FM =MG ，∴|d +2|=|d 2+2d ﹣3|，∴d =12-或d ，∴点M ，0），，0），，0），，0）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．压轴题．37．（2017江苏省镇江市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 坐标为（4，t ）（t ＞0），二次函数2y x bx =+（b ＜0）的图象经过点B ，顶点为点D ． （1）当t =12时，顶点D 到x 轴的距离等于 ；（2）点E 是二次函数2y x bx =+（b ＜0）的图象与x 轴的一个公共点（点E 与点O 不重合），求OE •EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC 的对角线OB 、AC 交于点F ，直线l 平行于x 轴，交二次函数2y x bx =+（b ＜0）的图象于点M 、N ，连接DM 、DN ，当△DMN ≌△FOC 时，求t 的值．【答案】（1）14；（2）OE •AE 的最大值为4，抛物线的表达式为22y x x =-；（3） 【解析】（3）过D 作DG ⊥MN ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ．依据全等三角形的性质可得到MN =CO =t ，DG =FH =2，然后由点D 的坐标可得到点N 的坐标，最后将点N 的坐标代入抛物线的解析式可求得t 的值． 试题解析：（1）当t =12时，B （4，12）．将点B 的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b =12，解得：b =﹣1，∴抛物线的解析式2y x x =-，∴211()24y x =--，∴D （12，14），∴顶点D 与x 轴的距离为14．故答案为：14． （2）将y =0代入抛物线的解析式得：x 2+bx =0，解得x =0或x =﹣b ，∵OA =4，∴AE =4﹣（﹣b ）=4+b ，∴OE •AE =﹣b （4+b ）=﹣b 2﹣4b =﹣（b +2）2+4，∴OE •AE 的最大值为4，此时b 的值为﹣2，∴抛物线的表达式为22y x x =-．（3）过D 作DG ⊥MN ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥CO ，垂足为H ．∵△DMN ≌△FOC ，∴MN =CO =t ，DG =FH =2．∵D （﹣2b ，﹣24b ），∴N （﹣22b t +，﹣24b +2），即（2t b -，284b -）．把点N 和坐标代入抛物线的解析式得：284b - =（2t b -）2+b •（2t b-），解得：t =±．∵t ＞0，∴t =考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题．【2016年题组】一、选择题1．（2016内蒙古呼伦贝尔市，第11题，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线212y x =-向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．21322y x x =---B ．21122y x x =-+-C ．21322y x x =-+-D ．21122y x x =---【答案】A ． 【解析】考点：二次函数图象与几何变换．2．（2016内蒙古呼和浩特市）已知a ≥2，2220m am -+=，2220n an -+=，则22(1)(1)m n -+-的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．﹣3D ．0 【答案】A ． 【解析】考点：1．根与系数的关系；2．二次函数的最值；3．最值问题．3．（2016天津市）已知二次函数2()1y x h =-+（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ）A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大，当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，∴①若h ＜1≤x ≤3，x =1时，y 取得最小值5，可得：2(1)15h -+=，解得：h =﹣1或h =3（舍）；②若1≤x ≤3＜h ，当x =3时，y 取得最小值5，可得：2(3)15h -+=，解得：h =5或h =1（舍）． 综上，h 的值为﹣1或5，故选B ．考点：1．二次函数的最值；2．分类讨论；3．最值问题．4．（2016四川省凉山州）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图，则反比例函数ay x=-与一次函数y bx c =-在同一坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C ． 【解析】考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象；3．二次函数的图象．5．（2016四川省巴中市）如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x =﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b =0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B ． 【解析】试题分析：由抛物线交y 轴的正半轴，∴c ＞0，故①正确； ∵对称轴为直线x =﹣1，∴点B （32-，1y ）距离对称轴较近，∵抛物线开口向下，∴12y y >，故②错误； ∵对称轴为直线x =﹣1，∴2ba-=﹣1，即2a ﹣b =0，故③正确；由函数图象可知抛物线与x 轴有2个交点，∴24b ac -＞0即24ac b -＜0，∵a ＜0，∴244ac b a-＞0，故④错误；综上，正确的结论是：①③，故选B ．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．推理填空题．6．（2016四川省攀枝花市）如图，二次函数2y ax bx c =++（a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）A ．2a ﹣b =0B ．a +b +c ＞0C ．3a ﹣c =0D ．当a =12时，△ABD 是等腰直角三角形 【答案】D ． 【解析】当a =12，则b =﹣1，c =32-，对称轴x =1与x 轴的交点为E ，如图，∴抛物线的解析式为21322y x x =--，把x =1代入得y =13122--=﹣2，∴D 点坐标为（1，﹣2），∴AE =2，BE =2，DE =2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ADB 为等腰直角三角形，∴选项D 正确． 故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．7．（2016四川省泸州市）已知二次函数22y a x b x =--（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ．14或34【答案】A ． 【解析】考点：二次函数的性质．8．（2016四川省自贡市）二次函数=++2y ax bx c 的图象如图，反比例函数=ay x与正比例函数=y bx 在同一坐标系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】考点：1．二次函数的性质；2．正比例函数的图象；3．反比例函数的图象．9．（2016四川省资阳市）已知二次函数2y x b x c =++与x 轴只有一个交点，且图象过A （1x ，m ）、B （1x +n ，m ）两点，则m 、n 的关系为（ ）A ．m =12n B ．m =14n C ．m =212n D ．m =214n 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵抛物线2y x b x c =++与x 轴只有一个交点，∴当x =2b -时，y =0．且240b c -=，即24b c =．又∵点A （1x ，m ），B （1x +n ，m ），∴点A 、B 关于直线x =2b -对称，∴A （22b n --，m ），B （22b n -+，m ），将A 点坐标代入抛物线解析式，得m =2()()2222b n b nb c --+--+，即m =2244n b c -+，∵24b c =，∴m =214n ，故选D ． 考点：抛物线与x 轴的交点．10．（2016四川省达州市）如图，已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1．下列结论： ①abc ＞0，②4a +2b +c ＞0，③24ac b -＜8a ，④13＜a ＜23，⑤b ＞c ． 其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解析】③∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），∴当x =﹣1时，y =（﹣1）2a +b ×（﹣1）+c =0，∴a ﹣b +c =0，即a =b ﹣c ，c =b ﹣a ，∵对称轴为直线x =1，∴2b a-=1，即b =﹣2a ，∴c =b ﹣a =（﹣2a ）﹣a =﹣3a ，∴24ac b -=4a •（﹣3a ）﹣2(2)a -=216a -＜0，∵8a ＞0，∴24ac b -＜8a ，故③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c ＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1，∴23＞a ＞13；故④正确； ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确； 故选D ．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象及其性质；3．综合题．11．（2016山东省临沂市）二次函数2y ax bx c =++，自变量x 与函数y 的对应值如表：下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大C ．二次函数的最小值是﹣2D ．抛物线的对称轴是52x =- 【答案】D ． 【解析】A ．a =1＞0，抛物线开口向上，A 不正确；B ．522b a =--，当x ≥52-时，y 随x 的增大而增大，B 不正确； C ．254y x x =++=259()24x +-，二次函数的最小值是94-，C 不正确；D ．522b a =--，抛物线的对称轴是x =52-，D 正确． 故选D ．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数的图象；3．二次函数的性质．12．（2016山东省威海市）已知二次函数2()y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数aby x=与一次函数y =ax +b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B ． 【解析】考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象；3．二次函数的图象．13．（2016山东省日照市）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为x =1，下列结论：①abc ＞0；②2a +b =0；③4a +2b +c ＜0；④若（32-，1y ），（103，2y ）是抛物线上两点，则1y ＜2y 其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④ 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x =2ba-=1，∴b =﹣2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵b =﹣2a ，∴2a +b =0，所以②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），∴当x =2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0，所以③错误； ∵点（32-，1y ）到对称轴的距离比点（103，2y ）对称轴的距离远，∴1y ＜2y ，所以④正确． 故选C ．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．数形结合．14．（2016山东省泰安市）一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ） A ．无实数根 B ．有一正根一负根 C ．有两个正根 D ．有两个负根 【答案】C ． 【解析】考点：1．根的判别式；2．解一元二次方程-因式分解法；3．根与系数的关系；4．抛物线与x 轴的交点． 15．（2016山东省泰安市）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m ，n ，则二次函数2()y x m n =-+的。

2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析

2020年中考数学专题汇编 二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 含解析

二次函数概念、性质和图象、代数方面的应用 一、选择题1．（2020·衢州）二次函数2y x =的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 {答案}C{解析}由于 A 选项平移后的解析式为y=(x+2)2-2，当x=2时，y=14，所以它不经过（2，0）；B 选项平移后的解析式为y=(x+1)2+2，当x=2时，y=7，所以它不经过（2，0）；C 选项平移后的解析式为y=(x-1)2-1，当x=2时，y=0，所以它经过（2，0）；D 选项平移后的解析式为y=(x-2)2+1，当x=2时，y=1，它不经过（2，0），因此本题选C. 2．（2020·宿迁）将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是（ ）A ．y ＝(x ＋2)2＋2B ．y ＝(x －1)2＋2C ．y ＝(x －1)2－1D ．y ＝(x －1)2＋5{答案}D{解析}将二次函数y ＝(x －1)2＋2的图像向上平移3个单位，得到的图像对应的函数表达式是y ＝(x －1)2＋2＋3，即y ＝(x －1)2＋5，故选D ．3.(2020·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x ＝－1.则下列选项中正确的是 A ．abc <0 B ．4ac －b 2>0 C ．c －a >0 D ．当x ＝－n 2－2(n 为实数)时，y ≥c {答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象和性质.∵抛物线开口向上，所以a ＞0，∵二次函数图象的对称轴为x ＝－1，所以－2ba ＝－1，所以b ＝2a>0，∵抛物线与y 轴正半轴交于点C ，所以c ＞0，所以abc>0，A 错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴b2－4ac>0，∴ 4ac －b2<0，B 错误；∵b ＝2a ，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝c －a ＜0，∴C 错误；当x ＝－n2－2(n 为实数)时，y ＝a(－n2－2)2＋b(－n2－2)＋c ＝a(－n2－2)2＋2a(－n2－2)＋c ＝a(n2＋1)2－a ＋c ，∵n 为实数，∴n2≥0，(n2＋1)2≥1.又∵a ＞0，∴a(n2＋1)2－a≥0.又∵c ＞0，∴y≥c ，∴D 正确，因此本题选D ．4．（2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y{答案}{解析}本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y1）和（-1，y1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y2＞y1＞y3，因此本题选B ．5．（2020·杭州）设函数2()y a x h k =-+（a ，h ，k 是实数，0a ≠），当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，（ ）A ．若4h =，则0a <B ．若5h =，则0a >C ．若6h =，则0a <D ．若7h =，则0a >{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象，因为在2()y a x h k =-+中，当1x =时，1y =；当8x =时，8y =，所以抛物线2()y a x h k =-+经过点A （1，1），（8，8）．当抛物线开口向上时，如图①，过点A 作AC6．（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数211y x ax =++，222y x bx =++，234y x cx =++，其中a ，b ，c 是正实数，且满足2b ac =．设函数1y ，2y ，3y 的图象与x 轴的交点个数分别为1M ，2M ，3M ，（ ）A ．若12M =，22M =，则30M =B ．若11M =，20M =，则30M =C ．若10M =，22M =，则30M =D ．若10M =，20M =，则30M =∴tan ∠ABC ≥0，∴n ﹣m ≥0，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C ，D 都错误； ②当n ﹣m ＝1时，如图2，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH ＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b a-≥1，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误. 因此本题选B．图1 图28．（2020·黔西南州）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D的右边），对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a＝16-D．OC•OD＝16{答案}D{解析}本题考查了二次函数的性质，点的坐标意义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理．因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A（0，4）．因为对称轴为直线x＝52，AB∥x轴，所以B（5，4），选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C（8，0）.因为对称轴为直线x＝52，所以D（－3，0）．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A（0，4）代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝16-，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．9．（2020·新疆）二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，则一次函数y ax b=+与反比例函数cyx=在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ···························································（）{答案}D{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数的图象，由抛物线开口向下知a＞0，因为抛物线的对称轴在y轴右侧，所以2ba-＞0，因为a＞0，所以b＜0．因为抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，所以c＞0．因为a＞0，b＜0，所以一次函数y ax b=+经过第一、三、四象限．因为c＞0，所以反比例函数cyx=经过第一、三象限，因此本题选D．10．（2020·遵义）抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2，抛物线与x轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：xyba（b，m）(a，n）CEDOABxy(a，m）（b，n）a bHP QOMN240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1{答案} B{解析}本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =， 0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.34x2(0＜x ≤2)，该抛物线开口向上，对称轴为y 轴；如图2，当AB 与DF 有交点H 时，则BF ＝CE －2(CE －EF)＝－CE ＋2EF ＝4－x ，易知△BFH 是等边三角形，∴y ＝S △BFH ＝12·(4－x)·()342x -＝34(4－x)2，该抛物线开口向上，对称轴为y.特殊地，当x ＝2时，y ＝3，此时重叠部分的面积取最大值.综上所述，选项A 符合.图1图213．（2020·哈尔滨）将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）A ．()532++=x yB ．()532+-=x yC ．()352++=x yD ．()352+-=x y{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线2x y =向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为()352+-=x y ，因此本题选D ．14．(2020·绥化)将抛物线y ＝2(x －3)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )A ．y ＝2(x －6)2B ．y ＝2(x －6)2＋4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2＋4{答案}C{解析}原抛物线的顶点是(3，2)，平移后的顶点是(0，0)，因此平移后所得抛物线的解析式是y ＝2x2．故选C ． 15．（2020·枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ∴ac ＜0；∴b 2－4ac ＞0；∴2a －b ＝0；∴a －b ＋c ＝0． 其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}C{解析}根据抛物线与系数a ，b ，c 的关系特征判断各结论正确与否．∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＜0，故①正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2－4ac ＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴12b a -=，∴－b ＝2a ，∴2a+b ＝0，故③错误；抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，则点（3，0）关于直线x ＝1的对称点为（－1，0），即抛物线又经过点（－1，0），即x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故④正确． 综上可知，正确的结论有①②④，共3个．GABCDE F FE DC BA HO 1 yx316．（2020·陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2－(m －1)x ＋m －3沿y 轴向下平移3个单位，则平移后得到的抛物线顶点一定在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限{答案}D{解析}平移后的抛物线的表达式为y ＝x2－(m －1)x ＋m －3，通过配方求出该抛物线的顶点坐标为()2341,24m m ⎛⎫-+- ⎪-⎪⎝⎭，由于m ＞1，所以12m -＞0，2312x x x --=-＜0，所以平移后的抛物线的顶点一点在第四象限．17．（2020·贵阳）（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x 的方程ax 2+bx +c +m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x 的方程ax 2+bx +c +n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，这两个整数根是（ ） A ．﹣2或0 B ．﹣4或2 C ．﹣5或3 D ．﹣6或4{答案} B ．{解析}解：∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y ＝0时，0＝ax2+bx+c 的两个根为﹣3和1，函数y ＝ax2+bx+c 的对称轴是直线x ＝﹣1， 又∴关于x 的方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m ＝0（m ＞0）的另一个根为﹣5，函数y ＝ax2+bx+c 的图象开口向上， ∴关于x 的方程ax2+bx+c+n ＝0 （0＜n ＜m ）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2， 故选：B ．18．(2020自贡)函数y =kx 与y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则函数y ＝kx ﹣b 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．{答案} D ．{解析}本题考查了反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质等知识，根据反比例函数的图象位于一、三象限知k ＞0，根据二次函数的图象确知a ＜0，b ＜0，∴函数y ＝kx ﹣b 的大致图象经过一、二、三象限， 因此本题选D ．19．（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． {答案} C{解析}本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y=ax 2+bx+c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y=ax+b 的图像可知a＞0、b＜0，则选项C正确；选项D中y=ax2+bx+c的图像可知a＞0、b＜0，y=ax+b的图像可知a＜0、b=0，则选项D不正确；，因此本题选C．20.（2020·四川甘孜州）10．如图，二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的图象与x轴交于A (－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a<0 B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0) D．当x<0时，y随x的增大而增大{答案}D{解析}本题考查了二次函数的图象与系数a、b、c的关系．∵抛物线开口向下，∴a<0，故A正确；∵二次函数y＝a(x＋1) 2＋k的顶点坐标为(－1，k) ，∴图象的对称轴为直线x＝－1，故B正确；由抛物线的对称性，得B(2，0) ，故C正确；由图象得，当x<－1时，y随x的增大而增大，当x＞－1时，y随x的增大而减小，故D错；综上此题选D．21.．（2020·福建）10.已知()111,P x y，()222,P x y是抛物线22=-y ax ax上的点，下列命题正确的是（）A.若12|1||1|->-x x，则12>y y B.若12|1||1|->-x x，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x，则12=y y D.若12=y y，则12=x x{答案}C{解析}本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax=a（x-1）2-a，∴抛物线的对称轴为x=1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x，则12=y y，因此本题选C．22．（2020·襄阳）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随着x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个{答案}B{解析}（1）由抛物线开口向上且与y轴的负半轴相交，得a＞0，c＜0，从而ac＜0，于是①正确；（2）由抛物线的对称轴为x＝1，得－2ba＝1，于是b＝－2a．由抛物线过点(－1，0)，得a－b＋c＝0，于是a－(－2a)＋c＝0，即3a＋c＝0，从而②正确；（3）由抛物线与x轴有两个不同的交点，得b2－4ac＞0，从而4ac－b2＜0，于是③正确；（4）由图可知，当－1＜x≤1时，y随着x的增大而减小，当x＞1时，y随着x第10题图1-1Oyx23.(2020·南充）10.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21A.①②B.①③C.②③D.①②③ {答案}D2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x=3时y=-3a-5，x=4时y=-5,所以y 要有4个整以③正确.故选D.24．（2020·齐齐哈尔）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝l ，结合图象给出下列结论： ①ac ＜0； ②4a ﹣2b +c ＞0；③当x ＞2时，y 随x 的增大而增大；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案} C{解析}根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x 轴y 轴的交点，综合判断即可．抛物线开口向上，因此a ＞0，与y 轴交于负半轴，因此c ＜0，故ac ＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x ＝1，与x 轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a ﹣2b +c ＝0，所以②不正确；x ＞1时，y 随x 的增大而增大，所以③正确；抛物线与x 轴有两个不同交点，因此关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：C ．25.（2020·德州）11.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列选项错误的是 A. 若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2 B. 30a c +=C. 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根D. 当0x ≥时，y 随x 的增大而减小{答案}D{解析}∵抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x=1，所以x=-2与x=4时的函数值相等，所以若（-2，y 1）,（5，y 2）是图象上两点，则y 1＞y 2本选项正确； ∵对称轴x ＝﹣＝1，∴b ＝﹣2a . 由函数的图象知：当x ＝﹣1时，y =0；即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，即3a +c =0，故本选项正确；∵抛物线2y ax bx c =++与直线y=-2有两个不同的交点，所以 方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，故本选项正确；∵抛物线在对称轴x ＝1的左侧或左侧，y 随着x 的增大而增大（或减小），故本选项错误.26． （2020·岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点. 若关于x 的二次函数()0102≠+--=m m x x y 有两个不相等的零点()212,1x x x x <，关于x 的方程02102=--+m x x 有两个不相等的非零实数根()434,3x x x x <，则下列关系式一定正确的是（ ）A ． 1310<<x xB ．131>x x C ．1420<<x x D ．142>x x{答案}A{解析}∵关于x 的方程02102=--+m x x 可变形为02102=++--m x x ，∴关于x 的方程02102=++--m x x 有两个不相等的非零实数根()4343,x x x x <，∴二次函数()02102≠++--=m m x x y 有两个不相等的零点()4343,x x x x <，二次函数()02102≠++--=m m x x y 的图象由()0102≠+--=m m x x y 的图象向上平移两个单位而得．对称轴都为直线52102-=---=-=a b x ，画出草图，由图可知：013<<x x ，两边都除以3x 得，1031<<x x ，故选A ．27.（2020·湖北孝感）将抛物线C 1：y=x 2-2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为( )A.y=-x 2-2B.y=-x 2+2C.y=x 2-2D.y=x 2+2 {答案}A{解析}利用平移得性质“上加下减，左加右减”得抛物线C 2得解析式：y=(x +1)2-2(x+1)+3，整理得y=x 2+2，再利用关于x 轴对称的性质“横坐标不变，纵坐标互为相反数”得：y=-x 2-2.故选A.28.（2020·达州）如图，直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y = ax 2+（b -k ）x +c 的图象可能是（ ）{答案}B{解析}由直线y 1=kx 与抛物线y 2=ax 2+bx +c 的图象可知k ＞0，a ＜0，b ＜0，c ＜0，b 2﹣4ac ＞0，所以b ﹣k ＜0，（b -k ）2﹣4ac= b 2﹣2bk ＋k 2－4ac ＞0，即y= ax 2+（b -k ）x+c 的图象开口向下，对称轴在y 轴的左侧且与x 轴有两个交点．29．（2020·菏泽）一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）{答案}B{解析}根据一次函数与二次函数系数的取值范围与函数图象的位置关系分类讨论求解．A 、∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，∴a ＞0，b ＜0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图象应过第一、三、四象限，故A 错误；B 、∴抛物线开口向上，对称轴在y 轴左侧，∴a ＞0，b ＞0，∴直线应过第一、二、三象限，故B 正确；C 、∴抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧，∴a ＜0，b ＞0，∴直线应过第一、二、四象限，故C 错误；D 、∴抛物线开口向下，对称轴在y 轴左侧，∴a ＜0，b ＜0，∴直线应过第二、三、四象限，故D 错误．30．(2020·荆门)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( )A ．有两个大于1的不相等实数根B ．有两个小于1的不相等实数根C ．有一个大于1另一个小于1的实数根D ．没有实数根 {答案}C{解析}依题意得a ＋b ＋c ＝－1．∴c ＝－(1＋a ＋b )．∵原方程的判别式△＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (1＋a ＋b )＝b 2＋4a ＋4a 2＋4ab ＝(2a ＋b )2＋4a ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ，∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝c a ＋b a ＋1＝1a (a ＋b ＋c )＝－1a＜0．∴x 1－1与x 2－1异号，这说明x 1，x 2中一个大于1，另一个小于1．故选C ．31．（2020·随州）如图所示，已知二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角形时，22-=a .其中正确的有（ ） O xyAO x yBO x yCO x yD{答案}B{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下： ∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∵二次函数c +bx +ax =y 2的图象经过点A （-1，0），∴a-b+c=0.A ．154B ．4C ．−154D ．−174直角坐标系中的图象大致是（ ）{答案}B{解析}由二次函数的图象确定a 、b 、c 的符号，再确定一次函数和反比例函数图象的位置．因为抛物线开34．（2020·深圳）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为(－1，n )，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（ ）A ．abc ＞0B ．4ac －b 2＜0C ．3a ＋c ＞0D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根{答案}C{解析}根据抛物线开口向下，得到a ＜0，对称轴为直线x ＝－b2a ＝－1，知b ＝2a ＜0，抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 正确；根据抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，即4ac －b 2＜0，故选项B 正确；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，又∵b ＝2a ，∴3a ＋c ＜0，∴选项C 错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n ），∴函数有最大值n ，即抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝n ＋1无交点，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n ＋1无实数根，选项D 正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C ．35．（2020·鄂州）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和B ，与y 轴交于点C ．下列结论：①0abc <；②20a b +<；③420a b c -+>；④30a c +>，其中正确的结论个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 {答案}B{解析}此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，进而判断①；根据对称轴<1求出2a 与b 的关系，进而判断②；根据x ＝﹣2时，y ＞0可判断③；由x ＝-1和2a 与b 的关系可判断④． ∵抛物线开口向上， ∴a >0， ∵对称轴y 轴右边，∴-b <2a ，即2a ＋b >0，故②错误； 当x ＝-2时，y ＝4a -2b ＋c >0，故③正确； 当x ＝-1时，抛物线过x 轴，即a -b ＋c ＝0， ∴b ＝a ＋c ， 又2a ＋b >0，∴2a ＋a ＋c >0，即3a ＋c >0，故④正确； 故答案选：B ．36.（2020•湘西州）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象的对称轴为x ＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc ＞0，②b ﹣2a ＜0，③a ﹣b +c ＞0，④a +b ＞n （an +b ），（n ≠1），⑤2c ＜3b ．正确的是（ ）（第10题图）A ．①③B ．②⑤C ．③④D ．④⑤{答案}D{解析}本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y ＝ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．①由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故此选项错误；②当x ＝﹣2时，y ＝4a ﹣2b +c ＜0，即b ﹣2a ＞2c>0，故此选项错误；③当x=-1时，y=a-b+c ＜0，故此选项错误；④当x ＝1时，y 的值最大．此时，y ＝a +b +c ，而当x ＝n 时，y ＝an 2+bn +c ，所以a +b +c ＞an 2+bn +c ，故a +b ＞an 2+bn ，即a +b ＞n （an +b ），故此选项正确．⑤当x ＝3时函数值小于0，y ＝9a +3b +c ＜0，且x 2b a =-=1，即a 2b =-，代入得9（2b-）+3b +c ＜0，得2c ＜3b ，故此选项正确；故④⑤正确．因此本题选 D ．37.（2020·株洲）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（ ） A. 12y y =- B. 12y y >C. 12y y <D. 1y 、2y 的大小无法确定 {答案}B {解析}首先分析出a,b,x 1的取值范围，然后用含有代数式表示y 1,y 2，再作差法比较y 1,y 2的大小. ∵20a b ->，b 2≥0, ∴a>0.又∵0ab <， ∴b<0∵12x x <，120x x +=， ∴21x x =-,x 1<0.∵点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数2y ax bx c =++的图象上∴2111y ax bx c =++，2222211y ax bx c ax bx c =++=-+. ∴y 1-y 2=2bx 1>0. ∴y 1>y 2.故选：B.38．（2020·天津）已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ①；②关于x 的方程有两个不等的实数根； ③． 其中，正确结论的个数是（ ）.2y ax bx c =++,,a b c 0,1a c ≠>()2,012x =0abc >2ax bx c a ++=12a <-A. 0B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．根据对称轴和抛物线与x 轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a ，即可判断③．∵抛物线经过点，对称轴是直线， ∴抛物线经过点，b=-a当x= -1时，0=a-b+c ，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c ， ∴a+b=0，∴ab<0，∵c ＞1， ∴abc ＜0，由此①是错误的，∵，而 ∴关于x 的方程有两个不等的实数根，②正确； ∵，c=-2a>1， ∴，③正确 故选：C.39．(2020·成都)关于二次函数y ＝x 2+2x ﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象的对称轴在y 轴的右侧 B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，8） C ．图象与x 轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D ．y 的最小值为﹣9{答案}D{解析}根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∴二次函数y ＝x2+2x ﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x ﹣2）， ∴该函数的对称轴是直线x ＝﹣1，在y 轴的左侧，故选项A 错误； 当x ＝0时，y ＝﹣8，即该函数与y 轴交于点（0，﹣8），故选项B 错误；当y ＝0时，x ＝2或x ＝﹣4，即图象与x 轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C 错误；当x ＝﹣1时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 正确；故选：D ． 40．（2020·河北）如图9，现要在抛物线y =x （4-x ）上找点P （a ,b ）.针对b 的不同取值，所找点P 的个数，三人的说法如下，甲:若b =5，则点P 的个数为0； 乙:若b =4，则点P 的个数为1； 丙:若b =3，则点P 的个数为1.240b ac ->1c >2y ax bx c =++()2,012x =(1,0)-222224=4(2)890b ac a a a a a a ---=+=>0a ≠2ax bx c a ++=1c >12a <-下列判断正确的是A.乙错，丙对B.甲和乙都错C.乙对，丙错D.甲错，丙对{答案}C{解析}∵y=x(4-x)=-x2+4x=-（x-2）2+4,∴抛物线的顶点坐标为（2,4），即点P 的纵坐标的最大值为4.∴当b=5时，点P 的个数为0；当b=4时，点P 的个数为1；当b=3时，点P 的个数为2.故甲和丙判断错误，乙判断正确，答案为C.41．（2020·广东）把函数212y x 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ） A ．22yx B ．211y x C ．222yx D ．213y x{答案}C{解析}本题考查了二次函数图象的平移，由条件得原函数的顶点为（1，2），向右平移1个单位后变成（2，2），所以新函数为222y x ，也可用规律“左加右减”得222y x ，因此本题选C ．42．（2020·广东）如题10图，抛物线2yax bx c 的对称轴是x ＝1.下列结论：∴0abc ；∴240b ac ；∴80a c ；∴520a b c ，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个{答案}B{解析}本题考查了二次函数的系数与图象的关系、抛物线与一元二次方程的关系，首先通过图象，可得0a和0c ，再通过对称轴1x，可得2b a和12b a，所以0b 和2b a ，所以：（1）0abc ，故∴错误；（2）由于抛物线与x 轴有两个交点，因此所对应的一元二次方程20ax bx c有两个不相等的实数根，即240b ac，因此∴正确；（3）将2b a 代入原抛物线解析式，得：22y ax axc ，由图象可知，当4x时，0y，因此1680aa c，即80a c，故∴正确；（4）由于当1x 和2x时，都有0y ，所以有：0a b c和420ab c，两式相加得：520ab c，故∴正确题10图综上所述，共有3个正确结论，因此本题选B ．43.（2020·牡丹江）如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x ＝21，且经过点（2，0). 下列说法：∴abc ＜0；∴ -2b+c ＝0；∴4a+2b+c ＜0；∴若15()2y -，，25()2y ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；∴41b ＞m(am+b) (其中m≠21). 其中说法正确的是（ ）A. ∴∴∴∴B. ∴∴∴C. ∴∴∴D. ∴∴∴{答案}A{解析}根据抛物线开口方向得到a ＜0，根据抛物线的对称轴得b ＝﹣a ＞0，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则abc ＜0，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与x 轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出c ＝﹣2a ，则得到﹣2b+c ＝0，于是可对②进行判断；由于经过点（2，0），则得到4a+2b+c ＝0，则可对③进行判断；通过点（25-，y1）和点（25，y2）离对称轴的远近对④进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x ＝21，开口向下，得到当x ＝21时，y 有最大值，所以41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21），由a ＝﹣b 代入则可对⑤进行判断．具体判断过程如下： ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线对称轴为直线x ＝a b 2-＝21，∴b ＝﹣a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确； ∵对称轴为x ＝21，且经过点（2，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ac＝﹣1×2＝﹣2，∴c ＝﹣2a ，∴﹣2b+c ＝2a ﹣2a ＝0，所以②正确； ∵抛物线经过点（2，0）∴x ＝2时，y ＝0，∴4a+2b+c ＝0，所以③错误；∵点（25-，y1）离对称轴要比点（25，y2）离对称轴要远，∴y1＜y2，所以④正确． ∵抛物线的对称轴为直线x ＝21，∴当x ＝21时，y 有最大值，∴41a+21b+c ＞am2+bm+c （其中m≠21），∴41a+21b ＞m （am+b ）（其中m≠21）， ∵a ＝﹣b ，∴﹣41b+21b ＞m （am+b ），∴41b ＞m （am+b ），所以⑤正确；故选A.44．（2020·咸宁）在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（ ） （第12题图）x=2 OyxA.y x =-B. 2y x =+C. 2y x=D. 22y x x =-{答案}B{解析}本题考查了函数图像上的点的坐标，根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：2x =±，经检验2x =±是原方程的解，即“好点”为（2，2）和（-2，-2），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；，因此本题选B ． 45．（2020·凉山州）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，有如下结论：∴abc ＞0；∴2a ＋b ＝0；∴3b －2c ＜0；∴am 2＋bm ≥a ＋b （m 为实数）．其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个{答案}D{解析}（1）由图可知抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，从而∴正确；（2）∴12b a -=，∴b ＝－2a ．∴2a ＋b ＝0，从而∴正确；（3）∴b ＝－2a ，∴3b－2c ＝－2a ＋2b －2c ＝－2(a －b ＋c)．而由图象可知，当x ＝－1时，y ＞0，从而a －b ＋c ＞0，于是－2(a －b ＋c)＜0，从而3b －2c ＜0．故∴正确；（4）由图可知，当x ＝1，ymin ＝a ＋b ＋c ，∴当x ＝m 时，am2＋bm ＋c≥a ＋b ＋c ，即am2＋bm≥a ＋b （m 为实数），从而∴正确．故选D ． 46．（2020·抚顺本溪辽阳）如图，在Rt∴ABC 中，∴ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，CD ∴AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ∴AC 于点E ，作PF ∴BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A.B.C.D.{答案}A{解析}根据三个角是直角，得出四边形CEPF 为矩形，再结合△APE 是等腰直角三角形，用含x 的代数式表示矩形的边PE 与EC 的长，求出矩形CEPF 的面积，再利用二次函数图像性质即可求解． Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝22，则AD ＝DC ＝2．∵PE ⊥AC ， PF ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠PEC ＝∠PFC ＝90°，∴四边形CEPF 为矩形．当点P 在AD 上时，即0≤x≤2，∵在等腰直角△APEA BCEDP F124321xy O O y x123421Oy x123421124321xy O 第12题图321-1O x =1y x中，AE ＝PE＝2，∴EC ＝AC －AE＝2，∴矩形CEPF 的面积y ＝PE·EC＝2×(－)＝－12x2＋2x ；如图，当点P 在CD 上时，即2≤x≤4，由题意可知四边形CEPF 为正方形，此时CP ＝4－x ，∴四边形形CEPF 的面积y ＝12CP2＝12 (4－x)2．结合所求的函数关系式，及二次函数图像性质，可知选项A 正确．故选择A ．47.（2020·安顺）已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是 3.则关于x 的方程20ax bx c n +++=(0)n m <<有两个整数根，这两个整数根是（ ）A.2-或0B.4-或2C.5-或3D.6-或4{答案}B{解析} ∵二次函数2y ax bx c =++的图象经过(3,0)-与(1,0)两点，∴抛物线的对称轴为直线1,x =-又∵关于x 的方程20ax bx c m +++=(0)m >有两个根，其中一个根是3，∴另一个根为－5.∵0n m <<，且方程20ax bx c n +++=有两个整数根，∴20ax bx c n +++=的根的范围分别是12533x x <<<<－－，１，∴方程的两个整数根分别为－4或2.48．（2020·滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，(且a≠0)如图所示，小明同学得出了以下结论：∴abc ＜0，∴b 2＞4ac ，∴4a ＋2b ＋c ＞0，∴3a ＋c ＞0，ya ＋b ≤m (am ＋b )（m 为任意实数），∴当x ＜－1时，y 随x 的增大而增大，其中结论正确的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6 {答案}A{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系，：①由图象可知：a ＞0，c ＜0，∵2ba -=1，∴b=-2a ＜DAB C EFP0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac ＞0，∴b2＞4ac ，故②正确；③当x=2，y=4a+2b+c ＜0，故③错误；④当x=-1时，y=a-b+c ＞0，∴3a+c ＞0，故④正确；⑤当x=1时，y 的值最小，此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am2+bm+c ，所以a+b+c≤am2+bm+c ，故a+b≤am2+bm ，即a+b≤m （am+b ），故⑤正确，⑥当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误，因此本题选A ． 49．（2020·宜宾）函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0．以下结论正确的是（ ） ∴abc ＞0；∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在x ＝1和x ＝﹣2处的函数值相等；∴函数y ＝kx +1的图象与y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的函数图象总有两个不同交点； ∴函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）在﹣3≤x ≤3内既有最大值又有最小值． A ．∴∴ B ．∴∴∴ C ．∴∴ D ．∴∴∴ {答案} C{解析}①由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），其中n ＞0，可得出顶点在第二象限，b ＝2a ，且图象与x 轴交于点（2，0），得出抛物线的开口方向向下，∴a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＞0，∴结论①正确； ②由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），得出函数图象的对称轴为直线x ＝﹣1，函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝1和x ＝﹣3处的函数值相等，或函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在x ＝0和x ＝﹣2处的函数值相等，∴结论②错误；③由函数图象的顶点坐标为（﹣1，n ），与x 轴交于点（2，0），可得b ＝2a ，c ＝－8a ，∴y ＝ax2+2a x －8a ，将y ＝kx+1与y ＝ax2+2a x －8a 联立方程组，得到方程ax2+（2a －k ）x －8a －1＝0，Δ=（2a －k ）2－4a （－8a －1），无法判断Δ是否大于0，∴函数y ＝kx+1的图象与y ＝ax2+bx+c （a≠0）的函数图象的交点情况无法确定，∴结论③错误；④由③可得y ＝ax2+2a x －8a ，在﹣3≤x≤3内，当x ＝﹣1时，y 有最大值n ＝－9a ，当x ＝﹣3时，y ＝7a ，当x ＝3时，y ＝－5a ，由①可知a ＜0，－9a ＞－5a ＞7a ，∴函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．∴结论④正确．50．（2020·恩施）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于()2,0A -、()10B ,两点．则以下结论：∴0ac >；∴二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴为1x =-；∴20a c +=；∴0a b c -+>．其中正确的有（ ）个．A. 0B. 1C. 2D. 3{答案}C{解析}根据二次函数的图像性质逐个进行分析：∴：二次函数开口向下，故a <0，与y 轴的交点在y 的正半轴，故c >0，故ac <0，故∴错误；。

2年中考1年模拟备战2020年中考数学精品专题14 二次函数的图象和性质(解析版)

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第三篇函数专题14二次函数的图象和性质知识点名师点晴二次函数概念、图象和性质1．二次函数的概念会判断一个函数是否为二次函数．2．二次函数的图象知道二次函数的图象是一条抛物线．3．二次函数的性质会按在对称轴左右判断增减性．4．二次函数的解析式确定能用待定系数法确定函数解析式．二次函数与二次方程的关系5．判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系．会用数形结合思想解决此类问题．能根据图象信息，解决相应的问题．归纳1：二次函数中各系数a、b、c的几何意义基础知识归纳：a决定开口方向，a＞0开口向上，a＜0开口向下，ab乘积决定对称轴的位置（左同右异），c决定与y轴的交点位置．基本方法归纳：根据a、b、c的符号逐步分析判断．注意问题归纳：当只有ac或者bc时，要考虑用对称轴方程这个式子去代换变形．【例1】（2019辽宁省沈阳市，第10题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b=0【答案】D．【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，函数与x轴有两个不同的交点，当x=﹣1时，y ＞0．【详解】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，∴b=﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b=﹣2a，D正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．考点：二次函数图象与系数的关系．归纳2：二次函数图象与几何变换基础知识归纳：二次函数的平移．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数平移主要考虑顶点的变化．注意问题归纳：平移规律是“左加右减，上加下减．【例2】（2019黑龙江省哈尔滨市，第6题，3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x﹣2）2﹣3D．y=2（x+2）2﹣3【答案】B．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣2）2+3．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．线动型．归纳3：二次函数图象性质的综合应用基础知识归纳：用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与其他函数图象交点，与三角形和四边形的综合，面积问题．基本方法归纳：解这类问题的一般方法是数形结合．注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2019广安，第26题，10分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =﹣x 2+3x +4，y =﹣x ﹣1；（2）18；（3）点M 的坐标为：（214，﹣314214﹣314）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．【分析】（1）将点A 、D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）PE +PF =2PF =2（﹣x 2+3x +4+x +1）=﹣2（x ﹣2）2+18，即可求解；（3）分NC 是平行四边形的一条边、NC 是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．【详解】（1）将点A 、D 的坐标代入直线表达式得：056k n k n -+=⎧⎨+=-⎩，解得：11k n =-⎧⎨=-⎩，故直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，将点A 、D 的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =﹣x 2+3x +4；（2）直线l 的表达式为：y =﹣x ﹣1，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即：则PE =PE ，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点F （x ，﹣x ﹣1），PE +PF =2PF =2（﹣x 2+3x +4+x +1）=﹣2（x ﹣2）2+18．∵﹣2＜0，故PE +PF 有最大值，当x =2时，其最大值为18；（3）NC =5，分两种情况讨论：①当NC 是平行四边形的一条边时，设点P 坐标为（x ，﹣x 2+3x +4）、则点M （x ，﹣x ﹣1），由题意得：|y M ﹣y P |=5，即：|﹣x 2+3x +4+x +1|=5，解得：x =214或0或4（舍去0），则点M 坐标为（214，﹣314或（214314）或（4，﹣5）；②当NC 是平行四边形的对角线时，则NC 的中点坐标为（0，32），设点P 坐标为（m ，﹣m 2+3m +4）、则点M （n ，﹣n ﹣1），N 、C ，M 、P 为顶点的四边形为平行四边形，则NC 的中点即为PM 中点，即：02m n +=，2334122m m n -++--=，解得：n =0或﹣4（舍去0），故点M （﹣4，3）；故点M 的坐标为：（2，﹣323）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型；5．探究型；6．存在型；7．分类讨论；8．压轴题．【2019年题组】一、选择题1．（2019衢州，第6题，3分）二次函数y =（x ﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3）【答案】A ．【分析】由抛物线顶点式可求得答案．【详解】∵y =（x ﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3）．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x ﹣h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．考点：二次函数的性质．2．（2019湖北省咸宁市，第7题，3分）已知点A （﹣1，m ），B （1，m ），C （2，m ﹣n ）（n ＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A ．y =xB ．y 2x=-C ．y =x 2D ．y =﹣x 2【答案】D ．【分析】由点A （﹣1，m ），B （1，m ）的坐标特点，可知函数图象关于y 轴对称，于是排除选项A 、B ；再根据B （1，m ），C （2，m ﹣n ）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，故D 选项正确．【详解】∵A （﹣1，m ），B （1，m ），∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于y=x，y2x=-的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；∵n＞0，∴m﹣n＜m；由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象上点的坐标特征．3．（2019辽宁省沈阳市，第10题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a﹣b+c＜0D．2a+b=0【答案】D．【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，函数与x轴有两个不同的交点，当x=﹣1时，y ＞0．【详解】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x=1，∴b=﹣2a＜0；∴abc＞0，A错误；由图象可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，C错误；∵b=﹣2a，D正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够从给出的图象上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．考点：二次函数图象与系数的关系．4．（2019辽宁省葫芦岛市，第8题，3分）二次函数y =ax 2+bx 的图象如图所示，则一次函数y =ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D ．【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．【详解】由二次函数图象，得出a ＜0，2b a＜0，b ＜0，A 、一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故A 错误；B ．一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故B 错误；C ．一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故C 错误；D ．一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y =kx +b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．考点：1．一次函数的图象；2．二次函数的图象．5．（2019重庆，第5题，4分）抛物线y =﹣3x 2+6x +2的对称轴是（）A ．直线x =2B ．直线x =﹣2C ．直线x =1D ．直线x =﹣1【答案】C．【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．【详解】∵y=﹣3x2+6x+2=﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x=1．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．考点：二次函数的性质．6．（2019陕西，第10题，3分）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y=x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y=x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m57=，n187=-B．m=5，n=﹣6C．m=﹣1，n=6D．m=1，n=﹣2【答案】D．【分析】根据关于y轴对称，a，c不变，b变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．【详解】∵抛物线y=x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y=x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴21324m m n m n-=+⎧⎨-=⎩，解之得12 mn=⎧⎨=-⎩．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键．考点：二次函数图象与几何变换．7．（2019黑龙江省哈尔滨市，第6题，3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=2（x+2）2+3B．y=2（x﹣2）2+3C．y=2（x﹣2）2﹣3D．y=2（x+2）2﹣3【答案】B．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣2）2+3．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．线动型．8．（2019黑龙江省齐齐哈尔市，第10题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x12=-，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两根分别为x113=-，x212=；⑤244b aca-＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3=0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C．【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断．【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x12=-，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a=b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0，∴abc＞0故结论①正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0∵a=b，∴c=﹣6a，∴3a+c=﹣3a＞0故结论②正确；∵当x12-＜时，y随x的增大而增大；当12-＜x＜0时，y随x的增大而减小，∴结论③错误；∵cx2+bx+a=0，c＞0，∴ca x2ba+x+1=0∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴ax2+bx+c=0的两根是﹣3和2，∴ba=1，ca=-6，∴cax2ba+x+1=0即为：﹣6x2+x+1=0，解得x113=-，x212=；故结论④正确；∵当x12=-时，y244ac ba-=＞0，∴244b aca-＜0故结论⑤正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y=ax2+bx+c=a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3=0的两个根，∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）=﹣3的两个根，∴m，n（m＜n）为函数y=a（x+3）（x﹣2）与直线y=﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2故结论⑥成立．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．考点：1．根与系数的关系；2．二次函数图象与系数的关系；3．抛物线与x轴的交点；4．综合题．9．（2019湖北省鄂州市，第9题，3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【分析】①由抛物线开口方向得到a ＞0，对称轴在y 轴右侧，得到a 与b 异号，又抛物线与y 轴正半轴相交，得到c ＜0，可得出abc ＞0，选项①错误；②把b =﹣2a 代入a ﹣b +c ＞0中得3a +c ＞0，所以②正确；③由x =1时对应的函数值y ＜0，可得出a +b +c ＜0，得到a +c ＜﹣b ，x =﹣1时，y ＞0，可得出a ﹣b +c ＞0，得到|a +c |＜|b |，即可得到（a +c ）2﹣b 2＜0，选项③正确；④由对称轴为直线x =1，即x =1时，y 有最小值，可得结论，即可得到④正确．【详解】①∵抛物线开口向上，∴a ＞0．∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴b ＜0．∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，①错误；②当x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞0．∵12b a-=，∴b =﹣2a ，把b =﹣2a 代入a ﹣b +c ＞0中得3a +c ＞0，所以②正确；③当x =1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴a +c ＜﹣b ，当x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＜0，∴a +c ＞b ，∴|a +c |＜|b |，∴（a +c ）2＜b 2，即（a +c ）2﹣b 2＜0，所以③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴x =1时，函数的最小值为a +b +c ，∴a +b +c ≤am 2+mb +c ，即a +b ≤m （am +b ），所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．考点：二次函数图象与系数的关系．10．（2019湖北省随州市，第10题，3分）如图所示，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC ，对称轴为直线x =1，则下列结论：①abc ＜0；②a 12+b 14+c =0；③ac +b +1=0；④2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【分析】①由抛物线开口方向得a ＜0，由抛物线的对称轴位置可得b ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c ＞0，则可对①进行判断；②根据对称轴是直线x =1，可得b =﹣2a ，代入a 12+b 14+c ，可对②进行判断；③利用OA =OC 可得到A （﹣c ，0），再把A （﹣c ，0）代入y =ax 2+bx +c 即可对③作出判断；④根据抛物线的对称性得到B 点的坐标，即可对④作出判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x 2b a=-=1，∴b =﹣2a ＞0．∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①正确；∵b =﹣2a ，∴a 12+b =a ﹣a =0．∵c ＞0，∴a 12+b 14+c ＞0，所以②错误；∵C （0，c ），OA =OC ，∴A （﹣c ，0），把A （﹣c ，0）代入y =ax 2+bx +c 得ac 2﹣bc +c =0，∴ac ﹣b +1=0，所以③错误；∵A （﹣c ，0），对称轴为直线x =1，∴B （2+c ，0），∴2+c 是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根，所以④正确．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键．考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．抛物线与x 轴的交点；4．综合题．11．（2019内蒙古通辽市，第10题，3分）在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c =0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数）；⑤4ac ﹣b 2＜0．其中错误结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A ．【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知：a ＞0，c ＜0，对称轴x 2b a=-＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②由对称轴可知：2b a -=-1，∴b =2a ．∵x =1时，y =a +b +c =0，∴c +3a =0，∴c +2a =﹣3a +2a =﹣a ＜0，故②正确；③（1，0）关于x =﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x =﹣3时，y =9a ﹣3b +c =0，故③正确；④当x =﹣1时，y 的最小值为a ﹣b +c ，∴x =m 时，y =am 2+bm +c ，∴am 2+bm +c ≥a ﹣b +c ，即a ﹣b ≤m （am +b ），故④错误；⑤抛物线与x 轴有两个交点，∴△＞0，即b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故⑤正确．故选A ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．考点：二次函数图象与系数的关系．12．（2019辽宁省大连市，第10题，3分）如图，抛物线y 14=-x 212+x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ．AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为（）AB ．CD ．【答案】B ．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B ，C ，D 的坐标，由点A ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线AD 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点P ，Q 的坐标，进而可求出线段PQ 的长．【详解】当y =0时，14-x 212+x +2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=4，∴点A 的坐标为（﹣2，0）；当x =0时，y 14=-x 212+x +2=2，∴点C 的坐标为（0，2）；当y =2时，14-x 212+x +2=2，解得：x 1=0，x 2=2，∴点D 的坐标为（2，2）．设直线AD 的解析式为y =kx +b （k ≠0），将A （﹣2，0），D （2，2）代入y =kx +b ，得：2022k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为y 12=x +1．当x =0时，y 12=x +1=1，∴点E 的坐标为（0，1）．当y =1时，14-x 212+x +2=1，解得：x 1=1x 2=1P 的坐标为（1，1），点Q 的坐标为（11），∴PQ=1（1．故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出点P，Q的坐标是解题的关键．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．抛物线与x轴的交点；3．压轴题；4．（2019内蒙古包头市，第12题，3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y=kx+b上，则b的最大值是（）A．78-B．34-C．﹣1D．0【答案】A．【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y=kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．【详解】连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A=∠ABO=90°．又∵MN⊥MC，∴∠CMN=90°，∴∠AMC=∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴AC AMMB BN=，设BN=y，AM=x．则MB=3﹣x，ON=2﹣y，∴23xx y=-，即：y12=-x232+x，∴当x33212222ba=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，y最大12=-⨯（32）2339228+⨯=．∵直线y=kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON=OB﹣BN=29788-=，此时，N（0，78-）b的最大值为7 8-．故选A．【点睛】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．考点：1．一次函数的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．动点型；4．二次函数的最值；5．最值问题；6．压轴题．13．（2019四川省南充市，第10题，3分）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（1 2，m），给出下列结论：①若点（n，y1）与（32-2n，y2）在该抛物线上，当n12＜时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解，那么（）A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误【答案】A．【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可；②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．【详解】①∵顶点坐标为（12，m），n12＜，∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x12=的对称点为（1﹣n，y1），∴点（1﹣n，y1）与（32-2n，y2）在该抛物线上．∵（1﹣n）﹣（32-2n）=n12-＜0，∴1﹣n32-＜2n．∵a＞0，∴当x12＞时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故此小题结论正确；②把（12，m）代入y=ax2+bx+c中，得m14=a12+b+c，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0中，△=b2﹣4ac+4am﹣4a=b2﹣4ac+4a（14a12 b+c）﹣4a=（a+b）2﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解，故此小题正确．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．考点：1．根的判别式；2．二次函数的性质；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．抛物线与x轴的交点．14．（2019四川省资阳市，第10题，4分）如图是函数y=x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m≤0C．0≤m≤1D．m≥1或m≤0【答案】C．【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的m的值，则m的范围可知．【详解】如图1所示，当t等于0时．∵y=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x=0时，y=﹣3，∴A（0，﹣3），当x=4时，y=5，∴C（4，5），∴当m=0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m=1时，此时最小值为﹣4，最大值为1．综上所述：0≤m≤1．故选C．【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题的关键．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．动线型；3．二次函数的最值；4．最值问题．15．（2019莱芜区，第11题，3分）将二次函数y=x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．734-或﹣12B．734-或2C．﹣12或2D．694-或﹣12【答案】A．【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．【详解】如图所示，过点B的直线y=2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点．令y=x2﹣5x﹣6=0，解得：x=﹣1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6=2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b=0，△=49+4（﹣6﹣b）=0，解得：b734=-，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y=2x+b得：0=12+b，解得：b=﹣12．综上，直线y=2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或73 4 -．故选A．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．考点：1．一次函数的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象上点的坐标特征；4．二次函数图象与几何变换；5．抛物线与x轴的交点；6．线动型．16．（2019广西梧州市，第12题，3分）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m=0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2【答案】A．【分析】可以将关于x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m=0的解为x1，x2看作是二次函数m=（x+1）（x﹣2）与x 轴交点的横坐标，而与x轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得：即可以求出x1与x2，当函数值m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分所对应的x的取值范围，再根据x1＜x2，做出判断．【详解】关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m=0的解为x1，x2，可以看作二次函数m=（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标．∵二次函数m=（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；又∵x1＜x2，∴x1=﹣1，x2=2，∴x1＜﹣1＜2＜x2．故选A．【点睛】理清一元二次方程与二次函数的关系，将x的方程（x+1）（x﹣2）﹣m=0的解为x1，x2的问题转化为二次函数m=（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，借助图象得出答案．考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．抛物线与x轴的交点．二、填空题17．（2019江苏省徐州市，第17题，3分）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．【答案】y12=（x﹣4）2．【分析】设原来的抛物线解析式为：y=ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．【详解】设原来的抛物线解析式为：y=ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2=4a，解得a1 2 =．故原来的抛物线解析式是：y12=x2．设平移后的抛物线解析式为：y12=（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得212=（2﹣b）2．解得b=0（舍去）或b=4．所以平移后抛物线的解析式是：y12=（x﹣4）2．故答案为：y12=（x﹣4）2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法确定原来函数关系式是解题的关键．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数图象与几何变换；4．动线型．18．（2019江苏省无锡市，第14题，2分）某个函数具有性质：当x＞0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个符合题意的答案即可）．【答案】y=x2（答案不唯一）．【分析】根据函数的性质写出一个反比例函数或二次函数为佳．【详解】y=x2中开口向上，对称轴为x=0，当x＞0时y随着x的增大而增大．故答案为：y=x2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的性质，根据函数的增减性写出答案即可．考点：1．一次函数的性质；2．正比例函数的性质；3．反比例函数的性质；4．二次函数的性质．19．（2019江苏省镇江市，第12题，2分）已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2+a+1的最小值是．【答案】7 4．【分析】根据题意得4a+1≥3，解不等式求得a12≥，把x12=代入代数式即可求得．【详解】∵抛物线y=ax2+4ax+4a+1=a（x+2）2+1（a≠0），∴顶点为（﹣2，1），过点A（m，3），B（n，3）两点，∴a＞0，∴对称轴为直线x=﹣2，线段AB的长不大于4，∴4a+1≥3，∴a12≥，∴a2+a+1的最小值为：（12）212++174=．故答案为：7 4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出4a+1≥3是解题的关键．考点：1．二次函数的性质；2．二次函数图象上点的坐标特征；3．二次函数的最值；4．最值问题．20．（2019浙江省台州市，第16题，5分）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且23mn=，则m+n的最大值为．【答案】25 3．【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，得到DM=y﹣4，DN=4﹣x，根据相似三角形的性质得到xy=mn，y32=-x+10，由23mn=，得到n32=m，于是得到（m+n）最大52=m，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y．∵BD=4，∴DM=y﹣4，DN=4﹣x．∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°，∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，∴∠EAB=∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴AE BEBF CF=，即x mn y=，∴xy=mn．∵∠ADN=∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴AN DNCM DM=，即4243m xn y-==-，∴y32=-x+10．∵23mn=，∴n32=m，∴（m+n）最大52=m，∴当m最大时，（m+n）最大52=m．∵mn=xy=x（32-x+10）32=-x2+10x32=m2，∴当x10103322=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，mn最大50332==m2，∴m最大103=，∴m+n的最大值为51025 233⨯=．故答案为：25 3．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．综合题．21．（2019湖北省武汉市，第15题，3分）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c=b﹣bx的解是．【答案】x1=﹣2，x2=5．【分析】由于抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y=a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，从而得到抛物线y=a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的解．【详解】关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c=b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0，把抛物线y=ax2+bx+c 沿x轴向右平移1个单位得到y=a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，因为抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B （4，0），所以抛物线y=a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与x轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的解为x1=﹣2，x2=5．故答案为：x1=﹣2，x2=5．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．抛物线与x轴的交点．22．（2019湖北省荆州市，第11题，3分）二次函数y=﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7．【分析】直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．【详解】y=﹣2x2﹣4x+5=﹣2（x+1）2+7，即二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是7．故答案为：7．【点睛】本题考查了二次函数的最值，正确配方是解题的关键．考点：1．二次函数的最值；2．最值问题．23．（2019湖北省荆门市，第17题，3分）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经。

2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)

2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)

2020年中考数学专题培优 二次函数图像和性质（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。

4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．21(8)52＝－＋y x B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）CA B -1x=1xy O -11-4xyO①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 ……则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴顶点坐标yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAx y O B xyO C x yODxyO()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ； 当x ＝ 时，y 有最 值为 ；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而 ， 在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是 ．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。

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2020年中考数学一轮复习——二次函数的图象及性质一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( ) A .－2 B .－4 C .2 D .42.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( )A .2＞y 1＞y 2B .2＞y 2＞y 1C .y 1＞y 2＞2D .y 2＞y 1＞23.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( )A .m ＝57，n ＝－187 B .m ＝5，n ＝－6C .m ＝－1，n ＝6D .m ＝1，n ＝－25.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A .甲B .乙C .丙D .丁6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( )A .①④B .②④C .②③D .①②③④ 二、填空题7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 (只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 .9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 .10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0).(1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a＋b＜0，点P(2，m)(m＞0)在该二次函数图象上，求证：a＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)交x轴正半轴于点C，连结AO，AB.(1)求点C的坐标和直线AB的表达式；(2)设抛物线y＝ax2－2ax(a＞0)分别交边BA，BA延长线于点D，E.①若AE＝3AO，求抛物线表达式；②若△CDB与△BOA相似，则a的值为.(请直接写出答案)参考答案一、选择题1.(2019·河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n 的值为( B ) A .－2 B .－4 C .2 D .42.(2019·兰州)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A )A .2＞y 1＞y 2B .2＞y 2＞y 1C .y 1＞y 2＞2D .y 2＞y 1＞23.(2019·湖州)已知a ，b 是非零实数，|a |＞|b |，在同一平面直角坐标系中，二次函数y 1＝ax 2＋bx 与一次函数y 2＝ax ＋b 的大致图象不可能是( D )4.(2019·陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n)x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为( D )A .m ＝57，n ＝－187 B .m ＝5，n ＝－6C .m ＝－1，n ＝6D .m ＝1，n ＝－25.四位同学在研究函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 是常数)时，甲发现当x ＝1时，函数有最小值；乙发现－1是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x ＝2时，y ＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( B )A .甲B .乙C .丙D .丁6.(2019·巴中)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b 2＞4ac ，②abc ＜0，③2a ＋b －c ＞0，④a ＋b ＋c ＜0.其中正确的是( A )A .①④B .②④C .②③D .①②③④ 二、填空题7.某个函数具有性质：当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 y ＝x 2(答案不唯一) (只要写出一个符合题意的答案即可).8.将二次函数y ＝x 2－4x ＋5化成y ＝a (x －h)2＋k 的形式为 y ＝(x －2)2＋1 .9.(2019·武汉)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3,0)，B(4,0)两点，则关于x 的一元二次方程a (x －1)2＋c ＝b －bx 的解是 x 1＝－2，x 2＝5 .10.(2019·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为 2 .三、解答题11.(2019·温州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m ＞0，n ＞0，求m ，n 的值.解：(1)A(－2,0)，B(6,0)，由函数图象得，当y ≥0时，－2≤x ≤6；(2)由题意得，B 1(6，m)，B 2(6－n ，m)，B 3(－n ，m)，函数图象的对称轴为直线x ＝2，∵点B 2，B 3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n ＋(－n)2＝2，∴n ＝1，∴m ＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72，∴m ，n 的值分别为72，1.12.(2019·黄石)如图，已知抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A(－1,0)，B(5,0).(1)求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；(2)若点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为8，求四边形AMBC 的面积.解：(1)函数的表达式为：y ＝13(x ＋1)(x －5)＝13(x 2－4x －5)＝13x 2－43x －53，点M 坐标为(2，－3)； (2)当x ＝8时，y ＝13(x ＋1)(x －5)＝9，即点C(8,9)，S 四边形AMBC ＝12AB(y C －y M )＝12×6×(9＋3)＝36.13.设二次函数y ＝ax 2＋bx －(a ＋b )(a ，b 是常数，a ≠0). (1)判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由.(2)若该二次函数图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1)三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式.(3)若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数图象上，求证：a ＞0.解：(1)由题意Δ＝b 2－4·a [－(a ＋b )]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b )2≥0，∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个；(2)当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b )＝0，∴抛物线不经过点C ，把点A(－1,4)，B(0，－1)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ）， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2， ∴抛物线解析式为y ＝3x 2－2x －1；(3)当x ＝2时，m ＝4a ＋2b －(a ＋b )＝3a ＋b ＞0①，∵a ＋b ＜0，∴－a －b ＞0②， ①②相加得：2a ＞0，∴a ＞0.14.(温州二模)如图，在平面直角坐标系中，点A(1,2)，B(5,0)，抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB.(1)求点C 的坐标和直线AB 的表达式；(2)设抛物线y ＝ax 2－2ax (a ＞0)分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E. ①若AE ＝3AO ，求抛物线表达式；②若△CDB 与△BOA 相似，则a 的值为 .(请直接写出答案)解：(1)∵x ＝－b2a＝1，∵O ，C 两点关于直线x ＝1对称，∴C(2,0)，设直线AB ：y ＝k x ＋b ，把A(1,2)，B(5,0)代入得y ＝－12x ＋52；(2)①∵A(1,2)，B(5,0)，O(0,0)，∴OA ＝5，OB ＝5，AB ＝25，∴OA 2＋AB 2＝OB 2，∴∠OAB ＝90°，∴∠OAE ＝90°，作EF ⊥AF ，AG ⊥x 轴，∵∠FEA ＝∠OAG ，∠F ＝∠AGO ＝90°，∴△EAF ∽△AOG ，∴EF AG ＝AF OG ＝3，∴E(－5,5)，代入解析式可得，a ＝17，∴y ＝17x 2－27x ；②若△CDB 与△BOA 相似，CD AO ＝BD AB ＝BC BO ，∴CD 5＝BD 25＝35，∴D(135，65)，代入解析式可得a ＝1013.。

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