2021年湖南省娄底市中考数学5月模拟试题

2021年湖南省娄底市中考数学5月模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2020的倒数是（）A．12020B．12020-C．2020 D．-20202．下列运算正确的是（）A．（ab）2＝a2b2B．a2+a2＝a4C．（a2）3＝a5D．a2•a3＝a6 3．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直4．某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97 B．90 C．95 D．885．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( )A．91.210⨯个B．91210⨯个C．101.210⨯个D．111.210⨯个6．下列命题是真命题的是（）A．两直线平行，同位角相等B．相似三角形的面积比等于相似比C．菱形的对角线相等D．相等的两个角是对顶角7．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A．B．C．D．8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )A．4 B．6.25 C．7.5 D．99．函数y＝11x的大致图象是（）A．B．C．D．10．如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则不等式kx+b＞0的解集是A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正确的是( )A．①②B．①④C．②③D．②④12．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2，第n 次移动到点A n ，则点A 2020的坐标是（ ）A ．(1010，0)B ．(1010，1)C ．(1009，0)D ．(1009，1)二、填空题 13．函数y ＝41x +的自变量x 的取值范围是_____． 14．从﹣3,﹣l ，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是负数的概率是____________. 15．如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截．若a b ∥，1130︒∠=，230︒∠=，则3∠的度数为___度．16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，120AOC ∠=︒，则CDB ∠=_____︒．17．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根，则x 1+x 2+x 1x 2＝_____．18．阅读材料：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），如果a ∥b ，则x 1•y 2＝x 2•y 1，根据该材料填空，已知a ＝（4，3），b ＝（8，m ），且a ∥b ，则m ＝_____.三、解答题19．计算：（π﹣2020）0+4sin60°+|﹣3|．20．先化简，再求值：22321122x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．21．某校为了庆祝建国七十周年，决定举办一台文艺晚会，为了了解学生最喜爱的节目形式，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“歌曲”，“舞蹈”，“小品”，“相声”和“其它”五个选项中选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图中信息，解答下列题：（1）在此次调查中，该校一共调查了名学生；（2）a＝；b＝；（3）在扇形计图中，计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有1200名学生，请你估计最喜爱“相声”的学生的人数．22．如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC≈1.732，结果精确到0.1）23．为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用400元购买10个体育用品，备选体育用品及单价如表：（1）若400元全部用来购买足球和排球共10个，则足球和排球各买多少个； （2）若学校先用一部分资金购买了a 个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余30元，求a 的值．24．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，CD 是⊙O 的直径，与AB 相交于点G ，过点D 作EF ∥AB ，分别交CA 、CB 的延长线于点E 、F ，连接BD ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）求证：BD 2＝AC•BF.25．如图，过线段AB 的端点B 作射线BG ⊥AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使∠EAP ＝∠BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）． （1）求证：AEP △≌CEP △；（2）判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；（3）试探究AE+EF+AF 与2AB 是否相等，并说明理由．26．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．参考答案1．A【分析】按照倒数的定义解答即可．【详解】解：2020的倒数是1 2020．故答案A．【点睛】本题考查了倒数的定义，掌握互为倒数的两个数积为1是正确解答本题的关键．2．A【分析】根据积的乘方，等于各个因式乘方后的积；合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；对各选项分析判断即可得出结论．【详解】解：A选项，积的乘方：（ab）2＝a2b2，故正确；B选项，合并同类项：a2+a2＝2a2，故错误；C选项，幂的乘方：（a2）3＝a6，故错误；D选项，同底数幂相乘：a2•a3＝a5，故错误．故选：A．【点睛】此题考查的是幂的运算性质和合并同类项，掌握积的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法和幂的乘方是解决此题的关键．3．C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D 、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误， 故选C ． 【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键. 4．B 【解析】 【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97， 所以这组数据的中位数为90分， 故选：B ． 【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5．C 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数． 【详解】120亿个用科学记数法可表示为：101.210⨯个． 故选C ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．A 【分析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．【详解】两直线平行，同位角相等，A是真命题；相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题；相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题；故选A．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，故选C.【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.8．A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴11()22AB AC BC r AB AC++=⋅，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9．D【分析】y＝11x+的大致图象是由y＝1x向左平移1个单位得到，由此即可判断；【详解】解：y＝11x+的大致图象是由y＝1x向左平移1个单位得到，∵y＝1x的图象是双曲线，图象在一、三象限，∴函数y＝11x+的大致图象是D．【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，掌握平移的法则是解题的关键．10．D【解析】试题分析：∵直线y=kx+b 交x 轴于A （﹣2，0），∴不等式kx+b ＞0的解集是x ＞﹣2．故选D ．11．A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．【详解】①图象开口向下，与y 轴交于正半轴，能得到：a ＜0，c ＞0，∴ac ＜0，故①正确；②∵对称轴x ＜﹣1， ∴2b a＜﹣1，-2a ＞0， ∴b ＜2a ，∴b ﹣2a ＜0，故②正确；③图象与x 轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④当x ＝﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④错误，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．A【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A 2020的坐标．A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2020÷4＝505，所以A2020的坐标为（505×2，0），则A2020的坐标是（1010，0）．故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．13．x≠﹣1【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母x+1≠0，解得x的范围．【详解】解：根据分式有意义的条件得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数是分式，要使得函数式子有意义，必须满足分母不等于0．14．2 5【解析】【分析】五个数中有两个负数，根据概率公式求解可得.【详解】∵在﹣3.﹣l，π，0，3这五个数中，负数有﹣3和﹣1，共2个，∴抽取一个数，恰好为负数的概率为25，故答案为：2 5【点睛】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 15．100【分析】直接利用平行线的性质结合三角形外角的性质得出答案．【详解】a b ，34∠∠∴=，12423∠∠∠∠∠=+=+，1130∠︒=，230∠︒=，130303∠︒︒∴=+，解得：3100∠︒=，故答案为：100.【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键.注意数形结合思想的应用.16．30【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】180********BOC AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1302CDB BOC ∠∠=︒＝． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，然后利用整体思想进行计算．【详解】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查根与系数的关系，解题关键在于得到x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1.18．6【解析】【分析】根据材料可以得到等式4m＝3×8，即可求m；【详解】∵a＝（4，3），b＝（8，m），且a∥b，∴4m＝3×8，∴m＝6故答案为6【点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键. 19．4【分析】直接利用二次根式的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】﹣解：原式＝1+4×2＝1+【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的值、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．20．11x -，-1. 【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后选择使原式有意义的数值代入化简后的结果进行计算即可.【详解】 原式()2x 12x 3x 2x 2x 2x 2---⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭ =()2x 1x 2x 2x 1--⋅-- 1x 1=-， 由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x ≠2且x ≠1，所以x=0，当x 0=时，原式1=-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键.21．（1）50；（2）8，5；（3）108°；（4）240人.【分析】（1）从表格和统计图中可以得到喜欢“小品”的人数为12人，占调查人数的24%，可求出调查人数，（2）舞蹈占50人的16%可以求出a 的值，进而从总人数中减去其他组的人数得到b 的值，（3）先计算“歌曲”所占的百分比，用360°去乘即可，（4）样本估计总体，用样本喜欢“相声”的百分比估计总体的百分比，进而求出人数．【详解】（1）12÷24%＝50人 故答案为50．（2）a ＝50×16%＝8人， b ＝50﹣15﹣8﹣12﹣10＝5人，故答案为：8，5．（3）360°×1550＝108° 答：“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为108°；（4）1200×1050＝240人 答：该校1200名学生中最喜爱“相声”的学生大约有240人．【点睛】考查扇形统计图、频数统计表的制作方法，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键．22．约为15.3米【分析】作DH ⊥AE 于点H ，作DG ⊥BC 于点G ，如图，由勾股定理得出222(2)DH DH +=．求出DH ＝CG ＝3m ，则AH ＝2DH ＝6m ，设BC ＝xm ，则BG ＝（x ﹣3）m ，得出36x x -=+，解方程即可得出答案．【详解】解：作DH ⊥AE 于点H ，作DG ⊥BC 于点G ，如图，则四边形DGCH 为矩形，在Rt △ADH 中， ∵12DH AH =， ∴AH ＝2DH ，∵AH 2+DH 2＝AD 2，∴222(2)DH DH +=．∴DH ＝CG ＝3m ，∴AH ＝2DH ＝6m ，设BC ＝xm ，则BG ＝（x ﹣3）m ，在Rt △BAC 中，∠BAC ＝45°，∴AC ＝BC ＝xm ，∴CH ＝DG ＝（x+6）m ，在Rt △BDG 中，∠BDG ＝30°，∵tan30°＝BG DG，∴363x x -=+，解得，x ． 答：大树BC 的高度约为15.3米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题关键是根据题意合理利用锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念．23．（1）购买足球6个，排球4个；（2）4【分析】（1）设购买足球x 个，排球y 个，根据总价＝单价×数量结合用400元购买足球和排球共10个，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由购买排球的数量，可得出购买足球和篮球的数量，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设购买足球x 个，排球y 个，根据题意得：105025400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：64x y =⎧⎨=⎩， 答：购买足球6个，排球4个；（2）∵购买了a 个排球， ∴购买了102a -个足球，102a -个篮球， 根据题意得：25a+50×102a -+40×102a -＝400﹣30， 解得：a ＝4，答：a 的值为4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据圆的对称性可得∠ACD ＝∠BCD ，根据等腰三角形的性质可得CD ⊥AB ，由EF//AB 可得∠CDF ＝∠CGB ＝90°，即可得答案；（2）先证明△BCD ∽△BDF ，利用相似三角形的性质可知：BD BC BF BD=，利用BC ＝AC 即可求证BD 2＝AC•BF. 【详解】（1）∵AC ＝BC ，CD 是圆的直径，∴由圆的对称性可知：∠ACD ＝∠BCD ，∴CD ⊥AB ，∵AB ∥EF ，∴∠CDF ＝∠CGB ＝90°，∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵∠BDF+∠CDB ＝∠CDB+∠C ＝90°，∴∠BDF ＝∠CDB ，∴△BCD ∽△BDF ，∴BD BC BF BD，∴BD2＝BC•BD，∵BC＝AC，∴BD2＝AC•BF.【点睛】本题考查相似三角形，涉及圆的对称性、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解题关键.25．（1）见解析；（2）CF⊥AB，见解析；（3）AE+EF+AF＝2AB，见解析【分析】（1）四边形APCD正方形，则DP平分∠APC，PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，即可求解；（2）△AEP≌△CEP，则∠EAP＝∠ECP，而∠EAP＝∠BAP，则∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，则∠FCP+∠CMP＝90°，则∠AMF+∠PAB＝90°即可求解；（3）证明△PCN≌△APB（AAS），则CN＝PB＝BF，PN＝AB，即可求解．【详解】解：（1）证明：∵四边形APCD正方形，∴DP平分∠APC，PC＝PA，∴∠APD＝∠CPD＝45°，∵PE＝PE，∴△AEP≌△CEP（SAS）；（2）CF⊥AB，理由如下：∵△AEP≌△CEP，∴∠EAP＝∠ECP，∵∠EAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠FCP，令CF与线段AP交于点M，∵∠FCP+∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，∴∠AMF+∠PAB＝90°，∴∠AFM＝90°，∴CF⊥AB；（3）过点C 作CN ⊥PB ．∵CF ⊥AB ，BG ⊥AB ，∴FC ∥BN ，∴∠CPN ＝∠PCF ＝∠EAP ＝∠PAB ，又AP ＝CP ，∴△PCN ≌△APB （AAS ），∴CN ＝PB ＝BF ，PN ＝AB ，∵△AEP ≌△CEP ，∴AE ＝CE ，∴AE+EF+AF ＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2AB ，即AE+EF+AF ＝2AB ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质、平行线的性质、等量代换等知识点，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法及其性质．26．（1）y ＝﹣12x 2+32x +2；（2）①当t ＝2时，线段PQ 的最大值为5；②满足条件的P 点坐标为（3，2）或（32，258）． 【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-12，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-12x+2，设P（t，﹣12t2+32t+2），则M（t，-12t+2），用t表示出PM=-12t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=t2然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC=PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣12t2+32t+2﹣2）2＝（﹣12t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．【详解】（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣12，所以抛物线解析式为y＝﹣12x2+32x+2；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC当x＝0时，y＝﹣12x2+32x+2＝2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，2），B（4，0）得240nm n=⎧⎨+=⎩，解得122mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝﹣12x+2，设P（t，﹣12t2+32t+2），则M（t，﹣12t+2），∴PM＝﹣12t2+32t+2﹣（﹣12t+2）＝﹣12t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴PQ PMOB BC=，即PQ，∴PQ t2t t﹣2）2，∴当t＝2时，线段PQ②当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△CBO，此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝32对称，∴此时P点坐标为（3，2）；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△CBO，∵∠OBC＝∠NPQ，∴∠CPQ＝∠MPQ，而PQ⊥CM，∴△PCM为等腰三角形，∴PC＝PM，∴t2+（﹣12t2+32t+2﹣2）2＝（﹣12t2+2t）2，解得t＝32，此时P点坐标为（32，258），综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（32，258）．【点睛】此题考查二次函数综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和利用相似三角形的性质进行解答.。