【精品】2018年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(理科)

2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=12．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x03．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．104．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1 6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．197．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+128．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q 两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．2017-2018学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．x±2y=1 C．2x±y=0 D．2x±y=1【解答】解：双曲线的标准方程为﹣y2=1，可得a=2，b=1，由于渐近线方程为y=±x，即为y=±x．即x±2y=0．故选：A．2．（5分）命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为（）A．￢p：∃x0∈R，f（x0）∈N且f（x0）≥x0B．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N且f（x0）＜x0C．￢P：∀x∈R，f（x）∉N且f（x）＜x D．￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题p：∀x∈R，f（x）∈N且f（x）≥x的否定为：￢p：∃x0∈R，f（x0）∉N或f（x0）＜x0．故选：D．3．（5分）点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，则|PF2|的长度不可能为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：点P为双曲线﹣=1左支上一点，F2为其右焦点，a=3，b=4，c=5，则|PF2|≥a+c=8，则|PF2|的长度不可能为：7．故选：A．4．（5分）设a，b，c为空间中不同的直线，α，β为空间中不同的平面，有下列命题：（1）a∥b，c∥b⇒a∥b（2）a⊥c，b⊥c⇒a∥b（3）a∥α，α∩β=b⇒a∥b（4）a⊥α，b⊥α⇒a∥b其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于（1），a∥b，c∥b⇒a∥b，根据空间平行线的传递性，可判定（1）正确；对于（2），a⊥c，b⊥c⇒a与b可能相交、平行、异面，故（2）错；对于（3），a∥α，α∩β=b⇒a∥b或a、b异面，故（3）错；对于（4），a⊥α，b⊥α⇒a∥b，根据线面垂直的性质，可判定（4）正确；故选：B．5．（5分）直线l：y=x+m与椭圆+y2=1有两个不同的交点的一个充分不必要条件是（）A．﹣＜m B．m或m＞C．﹣2＜m＜2 D．0≤m＜1【解答】解：由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0，结合题意△=16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，解得：﹣＜m＜，故﹣＜m＜的一个充分不必要条件是：0≤m＜1，故选：D．6．（5分）某程序框图如图，如果输入的m=187，n=85，则输出结果为（）A．11 B．13 C．17 D．19【解答】解：当m=187，n=85时，r=17，m=85，n=17，不满足退出循环的条件；当m=85，n=17时，r=0，m=17，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为17，故选：C．7．（5分）已知某几何体的三视图如图中粗线部分所示，每个小方格的边长为1，则该几何体的表面积为（）A．48 B．16+12C．20+12D．20+12【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个下底边长为4，上底边长为2，高为2的正四棱台，故下底面面积为：16，上底面面积为：4，棱台的侧高为=，故侧面积为：4×（2+4）×=12，故该几何体的表面积为20+12，故选：C．8．（5分）如图，在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，则折叠后直线AD，BC所成的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取AB中点O，连结OC，∵在以AB为直径的圆中，C，D为圆上的点，且AC=BC，AB=2AD，现将该圆沿着AB折叠，使得二面角D﹣AB﹣C为直二面角，∴OC⊥AB，设AD=1，则OC=OA=OB=1，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，过O作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，﹣1，0），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，，），=（1，﹣1，0），设折叠后直线AD，BC所成角为θ，则cosθ===．∴折叠后直线AD，BC所成的余弦值为．故选：B．9．（5分）设F1，F2是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，则C的离心率e的范围是（）A．（0，）B．[，1）C．[，]D．[，1）【解答】解：∵椭圆C上存在点M使得|F1F2|=3|MF2|，利用椭圆的定义，∴椭圆C上存在点M使得|MF2|=，又∵|MF2|∈[a﹣c，a+c]，∴a﹣c≤≤a+c，解得，则C的离心率e的范围是[），故选：B．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为（）A．直线B．圆C．双曲线D．椭圆【解答】解：由题意可得过点A1的动直线与CC1所成角的大小为，所有动直线构成以直线A1A为轴线的圆锥面，且半锥角为，如图轴线与平面BDC1所成的角为∠CC1H，设正方体的边长为1，可得CH=，C1H=，可得sin∠CC1H=＞，可得∠CC1H大于半锥角，则这些动直线与平面BC1D的交点的轨迹为椭圆．故选：D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别为AB，AD 的中点，则四棱锥C﹣EFD1B1的体积为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：如图：四棱锥C﹣EFD1B1的体积为：=8﹣﹣=3．故选：C．12．（5分）已知圆O：x2+y2=1，A（2，0），动点B满足线段AB为直径的动圆C 与圆O外切，则B点的轨迹方程为（）A．x2+=1 B．x2﹣=1（x＞0）C．x2﹣=1 D．x2﹣=1（x＞0）【解答】解：圆O：x2+y2=1，圆心（0，0），半径为1．设AB的中点为M，切点为N，连OM，则|NM|=|MA|=|MB|，|OM|﹣|MN|=|ON|=1，可得M的轨迹是双曲线的右支，a=，c=1，则b=，双曲线的中心（1，0），实轴在x轴上，双曲线方程为：，x＞0动点B（x，y），则M（，），可得，即x2﹣=1（x＞0）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知某程序框图如图，可知该程序框图的输出结果为31．【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，k=2，s=3；当k=2时，满足进行循环的条件，k=4，s=7；当k=4时，满足进行循环的条件，k=6，s=13；当k=6时，满足进行循环的条件，k=8，s=21；当k=8时，满足进行循环的条件，k=10，s=31；当k=10时，不满足进行循环的条件，故输出的k值为31，故答案为：31．14．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，则k的范围为（9，25] ．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆+=1（k＞0）的离心率范围为（0，]，可得，解得：9＜k≤25．则k的范围为：（9，25]．故答案为：（9，25]．15．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=4，AB=1，AC=2，∠BAC=，则该三棱柱的外接球的表面积为．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，∠BAC=，由余弦定理可得BC==，设底面ABC的小圆半径为r，则，可得r=连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，则R=∴外接球的表面积S=4πR2=故答案为：．16．（5分）已知双曲线﹣=1，过其左焦点F的直线交双曲线左支于P，Q两点，|PF2|=|F1F2|，|QF1|=2|PF1|，则该双曲线的离心率为．【解答】解：如图，l为该双曲线的左准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵=，|QF1|=2|PF1|，∴=，|QQ1|=2d；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：==；∴解得d=（c﹣）∵根据双曲线的定义，|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF1|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，=，整理成：（e﹣1）（3e﹣5）=0∴双曲线的离心率为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+（a﹣2）x+1≥0，命题P是真命题时，可得：（a﹣2）2﹣4≤0，解得a∈[0，4]；x∈[2，3]，x﹣1≥1，x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x=2时取等号，命题q：∃x∈[2，3]，a＞x+．可得a＞3．若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可得两个命题一真一假，依题意p为真，q为假时：可得a∈[0，3]；q真p假时，a∈（4，+∞）实数a的取值范围：[0，3]∪（4，+∞）．18．（12分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C过点A（，），B （﹣1，﹣）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，求该直线方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1，（m≠n．m＞0，n＞0），∵椭圆C过点A（，），B（﹣1，﹣）．∴，解得m=，n=，∴该椭圆的标准方程为．（2）椭圆的左焦点F（﹣1，0），过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣1，则A（﹣1，），B（﹣1，﹣），|AB|=3，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），联立，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵过该椭圆左焦点的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=，∴=，解得k=±1，∴直线l的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x﹣y+1=0．19．（12分）如图，六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，BE∥AF．（1）证明：DB⊥CF；（2）求直线CF与平面DEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AC，∵六面体ABCDEF中，ABCD为正方形，AB=EB=2，AF=3，AF⊥平面ABCD，∴AC⊥BD，AF⊥BD，∵AC∩AF=A，∴BD⊥平面ACF，∵CF⊂平面ACF，∴DB⊥CF．（法二：向量法）：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，2，0），D（2，0，0），C（2，2，0），F（0，0，3），=（2，﹣2，0），=（﹣2，﹣2，3），=﹣4+4+0=0，∴BD⊥CF．解：（2）E（0，2，2），=（﹣2，2，2），=（﹣2，0，3），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（3，1，2），设直线CF与平面DEF所成角为θ，则sinθ===．∴直线CF与平面DEF所成角的正弦值为．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，D 是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．（1）求证：PB1∥平面BDA1；（2）求二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）（法一：几何法）：连结AB 1，交A1B于点O，连结OD，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1的中点，∵D是棱CC1的中点，∴OD∥PB1，∵OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．（法二：向量法）：以A1为原点，A1B1为x轴，A1C1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=1，AC=AA1=2，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，∴P（0，4，0），B1（1，0，0），A1（0，0，0），B（1，0，2），D（0，2，1），=（1，﹣4，0），=（1，0，2），=（0，2，1），设平面BDA1的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣2，得=（4，1，﹣2），∵•=0，PB1⊄平面BDA1，∴PB1∥平面BDA1．解：（2）=（1，0，0），=（0，2，1），设平面A1B1D的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，﹣2），平面BDA1的法向量=（4，1，﹣2），设二面角B1﹣A1D﹣B的平面角为θ．则cosθ===．∴二面角B1﹣A1D﹣B的余弦值为．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），斜率为﹣且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆C于A，B两点，且向量+与向量=（2，1）平行（O为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，满足=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），求λ，μ满足的关系式．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y=﹣（x﹣c），代入椭圆方程，化简得（a2+4b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣4a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∴y1+y2=﹣+c∵+=（x1+x2，y1+y2）与=（2，1）平行，∴2（y1+y2）﹣（x1+x2）=0，∴2（﹣+c）﹣=0，∴3a2=4b2=4（a2﹣c2），∴4c2=a2，∴2c=a，∴e==；（2）由（I）知a2=b2，所以椭圆可化为3x2+4y2=4b2，F（c，0），设M（x，y），由已知=λ（+）+μ（λ∈R，μ∈R），∴∵M（x，y）在椭圆上，即（λ﹣μ）2（3x12+4y12）+2（λ2﹣μ2）（3x1x2+4y1y2）+（λ+μ）2（3x22+4y22）=4b2．①由（1）知a2=4c2，b2=3c2．∴x1+x2=，x1x2=﹣c2，∴y1y2=（﹣x1+c）（﹣x2+c）=（x1x2﹣c（x1+x2）+c2）=﹣c2，∴3x1x2+4y1y2=﹣c2﹣c2=﹣c2，又3x12+4y12=4b2=12c2，3x22+4y22=4b2=12c2，代入①得λ2+47μ2=12．22．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0的圆心为C，定点D（﹣2，0），不与x 轴重合的直线l过点D交圆C于M，N两点，过点D作CM的平行线交CN于点P．（1）求动点P的轨迹方程C1；（2）过定点D的直线l1与C1交于E，F两点，过原点的直线l2与C1交于P，Q两点，且l1，l2的斜率之积为﹣，求四边形PEQF面积的范围．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x﹣32=0，得（x﹣2）2+y2=36，∵|CM|=|CN|，MC∥DP，∴∠CMN=∠CNM=∠PDN，|PD|=|PN|，故|PD|+|PC|=|PN|+|PC|=|CN|=6，由题设得D（﹣2，0），C（2，0），|PD|+|PC|=6＞|CD|=4，由椭圆定义可得点P的轨迹方程为：（y≠0）；（2）由题意可设l1的方程为y=k（x+2）（k≠0），E（x1，y1），F（x2，y2），联立，得（9k2+5）x2+36k2x+36k2﹣45=0，则x1+x2=，x1x2=，∴|EF|===．直线l2的方程为y=，联立，解得，．不妨取k＞0，则∴P（﹣，+），Q（，﹣），则P到直线kx﹣y+2k=0的距离=．Q到直线kx﹣y+2k=0的距离=．∴四边形PEQF面积：S=====∈（10，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。