2011年人大附中高三数学(理科)考试卷及答案

2011年人大附中高三数学（理科）考试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U=R ，f (x )=sin x ，g (x )=cos x ，M ={}()0x f x ≠，N ={}()0x g x ≠，那么集合{}()()0x f x g x =等于（ ） A ()U M ð⋂()U N ð B ()U M N ⋃ð C M ⋃()U N ðD ()U M ð⋃()U N ð 2. 下列命题中，正确的是（ ）A 若z C ∈,则2z ≥0；B 若,a b R ∈,且a b >，则a i b i +>+；C 若a R ∈，则()1a i +⋅是纯虚数；D 若1z i=,则3z +1 对应的点在复平面内的第一象限。

3. 如图，直线()00Ax By C AB ++=≠的右下方有一点(),m n ，则Am Bn C ++的值（ ）A 与C 同号B 与A 同号C 与B 同号D 与A ，B 均同号4. 已知：f (x )是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则f （2T-）等于（ ） A 0B 2T C T D 2T -5. 若函数f (x )=32ax bx cx d +++的图象如图所示，则一定有（ ）A a <0 b >0 c >0 d <0B a <0 b <0 c >0 d <0C a <0 b >0 c <0 d <0D a <0 b <0 c <0 d <0………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 班级：___________ 学号：____________ 姓名：_____________6. 若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为（ ）A 9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B 5,24⎛⎫- ⎪⎝⎭C 7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭D 7,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 7. 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －1111A B C D 中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD 上任意两点，且EF 的长为定值。

则下面的四个结论中：①点P 到平面QEF 的距离为定值； ②直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值； ③二面角P －EF －Q 的大小为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值。

正确的是（ ） A ① ② ③ B ② ③ ④ C ① ③ ④ D ① ② ④8. 国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式xn y=，x :：人均食品支出总额；y ：人均个人消费支出总额。

若李先生居住地2004年比2000年食品价格下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品地与2000年大致相同的情况下，人均少支出了75元，则该家庭2004年属于（ ） A 贫困 B 温饱 C 小康 D 富裕二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题后表格中. 9. 已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++= 且k a =13,则k =________________。

10. 已知函数 f (x )=()()sin cos 4a x b x πθπφ⋅++⋅++，若f (2004)=3,则f (2005)=__________11. 21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--= ⎪+⎝⎭，则a =___________，b =__________.12. 把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-a （m >0）平移后，所得A的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________。

13. 12,F F 为椭园22142x y += 的左右焦点，l 是它的一条准线，点P 在l 上，则12F PF ∠的最大值为__________________。

14. 设有两个命题：（1）不等式|x |+|x －1|>m 的解集为R ；（2）定义在R 上的函数()()73xf x m =--是减函数；这两个命题中有且只有一个命题是真命题，则m 的取值范围是___________。

三、 解答题：本大题共6小题．共80分．15. 已知向量()()()()cos ,sin ,sin 2,1cos2,0,1,0,x x x x x π==-=∈a b c .(1)向量,a b 是否共线？证明你的结论；(2)若函数f (x )=||()-+⋅b a b c ,求f (x )的最大值,并指出取最大值时对应的x 值.16. 已知：()212,n n n f x a x a x a x =+++ 且数列{}n a 成等差数列。

（1）当n 为正偶数时，(1)n f n -=，且1a =1，求数列{}n a 的通项；（2）在（1）的条件下，试比较1()2n f 与3的大小。

………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题17. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点。

（1）求证：PB //平面EAC ；（2）求证：AE ⊥平面PCD ； （3）若AD =AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值； （4）当ADAB 为何值时，PB ⊥AC ？………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 班级：___________ 学号：____________ 姓名：_____________18.一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。

有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。

鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x次试飞时飞出了房间,求试飞次数x的分布列；（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间,求试飞次数y的分布列；19. 点Q 位于直线3x =-右侧,且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4.（1）求动点Q 的轨迹C ；（2）直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+，0EP AB = ，又OE=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由。

20. 设12,x x 是函数()()322032a b f x x x a x a =+->的两个极值点，且122x x +=. （1）证明：b ≤. （2）若()()()1'2g x f x a x x =--，证明当12x x <<时，且10x <时，()4g x a ≤。

………………………………………密………………………………………封………………………………………线………………………………………请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题 请不要在密封线内答题人大附中2005届高三数学月考试卷 05.2（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． DDBAA ACD三、 解答题：本大题共6小题．共80分． 15．（本小题13分）解：（1）向量,a b 是共线的。

……………………………………………2分∵()cos 1cos2sin sin2cos cos 0x x x x x x --=-=,∴,a b 共线。

……………………………………………………6分（2）f (x )=()2||()2sin sin 2sin x x x -+⋅=-+b a b c 2112sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∴ f (x )的最大值为18，…………………………………………11分此时1arcsin 4x =或1arcsin 4π-。

………………………………13分16．（本小题13分）解：(1)若n 为偶数，则1231n n a a a a a n --+-+-+=设{}n a 的公差为d ，则12dn =n ，所以，d =2。

又∵1a =1，∴ 21n a n =-.…………………………………………………………6分(2)()2111113212222nn f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭231111113(23)(21)2222nn n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得：1122n f ⎛⎫= ⎪⎝⎭23111111222(21)22222n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，2111()3(21)222n n n f n -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，1()32n f <。

……………………………………………………13分17．（本小题14分）（1）证明：连DB ，设DB AC O = ，则在矩形ABCD 中，O 为BD 中点。

连EO 。

因为E 为DP 中点，所以，//OE BP 。

又因为OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，所以，PB //平面EAC 。

……………………………………………………3分（2） ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面正三角形PAD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥，又PDC PAD PD = 面面，所以，AE ⊥平面PCD 。