2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间向量及其运算
第1页共16页2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》
§8.5空间向量及其运算最新考纲1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.了解空间向量的概念，了解空
间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性
运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
1．空间向量的有关概念
名称概念表示
零向量模为0的向量0
单位向量长度(模)为1的向量
相等向量方向相同且模相等的向量a＝b
相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a
共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合的向量a∥b
共面向量平行于同一个平面的向量
2．空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p
＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→
＝a，OB→
＝b，则∠AOB叫做向量a，b第2页共16页的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π
2，则称a与b互相垂直，
记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b
＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a
1，a
2，a
3)，b＝(b
1，b
2，b
3).
向量表示坐标表示
数量积a·ba
1b
1＋a
2b
2＋a
3b
3
共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a
1＝λb
1，a
2＝λb
2，a
3＝λb
3
垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a
1b
1＋a
2b
2＋a
3b
3＝0
模|a|a2
1＋a2
2＋a2
3
夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a
1b
1＋a
2b
2＋a
3b
3
a2
1＋a2
2＋a2
3·b2
1＋b2
2＋b2
3
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．
2．零向量能作为基向量吗？
提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不
能作为基向量．
3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐
标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)第3页共16页(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(×)
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(×)
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→
＋BC→
＋CD→
＋DA→
＝0.(√)
(6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(×)
题组二教材改编
2．如图所示，在平行六面体ABCD—A
1B
1C
1D
1中，M为A
1C
1与B
1D
1的交点．若AB→
＝a，AD→
＝b，AA
1→
＝c，则下列向量中与BM→
相等的向量是()
A．－1
2a＋1
2b＋cB.1
2a＋1
2b＋c
C．－1
2a－1
2b＋cD.1
2a－1
2b＋c
答案A
解析BM→
＝BB
1→
＋B
1M→
＝AA
1→
＋1
2(AD→
－AB→
)
＝c＋1
2(b－a)＝－1
2a＋1
2b＋c.
3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
答案
2
解析|EF→
|2＝EF→
2＝(EC→
＋CD→
＋DF→
)2
＝EC→
2＋CD→
2＋DF→
2＋2(EC→
·CD→
＋EC→
·DF→
＋CD→
·DF→
)
＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)
＝2，
∴|EF→
|＝2，∴EF的长为2.
题组三易错自纠
4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则
直线AB与CD的位置关系是()
A．垂直B．平行
C．异面D．相交但不垂直
答案B
解析由题意得，AB→
＝(－3，－3，3)，CD→
＝(1，1，－1)，第4页共16页∴AB→
＝－3CD→
，∴AB→
与CD→
共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.
5．已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________.
答案
26
解析∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0，
∴x＝2，∴|b|
＝－42＋
22＋22＝26.
6．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP→
＝3
4OA→
＋1
8OB→
＋tOC→
，若P，A，B，C
四点共面，则实数t＝______.
答案1
8
解析∵P，A，B，C四点共面，
∴3
4＋1
8＋t＝1，∴t＝1
8.
题型一空间向量的线性运算
例1如图所示，在空间几何体ABCD－A
1B
1C
1D
1中，各面为平行四边形，设AA
1→
＝a，AB→
＝b，
AD→
＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C
1D
1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP→
；
(2)MP→
＋NC
1→
.
解(1)因为P是C
1D
1的中点，
所以AP→
＝AA
1→
＋A
1D
1→
＋D
1P→
＝a＋AD→＋1
2D
1C
1→
＝a＋c＋1
2AB→
＝a＋c＋1
2b.
(2)因为M是AA
1的中点，第5页共16页所以MP→
＝MA→
＋AP→
＝1
2A
1A→
＋AP→
＝－1
2a
＋a＋c＋1
2
b
＝1
2a＋1
2b＋c.
又NC
1→
＝NC→
＋CC
1→
＝1
2BC→
＋AA
1→
＝1
2AD→
＋AA
1→
＝1
2c＋a，
所以MP→
＋NC
1→
＝1
2a＋1
2b＋
c
＋a＋1
2
c＝3
2a＋1
2b＋3
2c.
思维升华用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
跟踪训练1(1)如图所示，在长方体ABCD－A
1B
1C
1D
1中，O为AC的中点．用AB→
，AD→
，AA
1→
表
示OC
1→
，则OC
1→＝________________.答案1
2AB→＋1
2AD→
＋AA
1→
解析∵OC→＝1
2AC→＝1
2(AB→
＋AD→
)，
∴OC
1→
＝OC→
＋CC
1→＝1
2(AB→
＋AD→
)＋AA
1→＝1
2AB→＋1
2AD→
＋AA
1→
.
(2)如图，在三棱锥O—ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA→
＝a，OB→
＝b，OC→
＝c，
用a，b，c表示NM→
，则NM→
等于()
2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图!
- 1 - 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.
答案 B
2.如图所示的几何体是棱柱的有( )
A.②③⑤ B.③④⑤
C.③⑤ D.①③
解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱.
答案 C
3.(2017·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析 易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右上角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.
答案 D
4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为( ) - 2 -
解析 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故B正确.
答案 B
5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A.62
B.42
C.6 D.4
解析 如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6.
答案 C
6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④
解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.
答案 A
7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视 - 3 - 图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图学案!
1 第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
知 识 梳 理
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
2.旋转体的形成
几何体 旋转图形 旋转轴
圆柱 矩形
任一边所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线
圆台 直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球 半圆 直径所在的直线
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.
②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.
4.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) 2 (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
[推荐学习]2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法一_证明平行与
![[推荐学习]2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第7讲立体几何中的向量方法一_证明平行与](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/512fdcd5aef8941ea76e0550.webp)
生活的色彩就是学习
K12的学习需要努力专业专心坚持 第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知 识 梳 理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直.
答案 C
3.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
2020年 名师讲解高考数学总复习 第8章 8.5 空间向量及其运算
1 §8.5 空间向量及其运算
考情考向分析 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力．
2
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量中的有关定理
(1)共线向量定理
3 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量课时规范练34基本立体图形及空间几何
课时规范练34
基础巩固组
1.能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是( )
答案:A
解析:此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成,是由A中的平面图形旋转形成的.故选A.
2.(2022·广东潮州二模)已知一个圆柱的轴截面为正方形,且它的侧面积为36π,则该圆柱的体积为( )
A.16π B.27π
C.36π D.54π
答案:D
解析:设圆柱底面半径为R,高为h,则{ℎ=2𝑅,2π𝑅ℎ=36π,解得{𝑅=3,ℎ=6,∴圆柱的体积V=πR2h=54π.
3.(2022·广东深圳二模)已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍,则这个球的半径是( )
A.2 B.√2
C.3 D.√3
答案:D
解析:设球的半径为R,则根据球的表面积公式和体积公式,可得4πR2=43πR3×√3,化简得R=√3.
4.(2023·福建福州格致中学模拟)已知一个直三棱柱的高为2,其底面ABC水平放置的直观图为A'B'C',如图所示,其中O'A'=O'B'=O'C'=1,则此三棱柱的表面积为( )
A.4+4√2 B.8+4√2
C.8+4√5 D.8+8√5
答案:C 解析:由斜二测画法可得底面的平面图如图所示,其中OA=2OB=2OC=2,所以AB=AC=√5,所以此三棱柱的表面积S=2×12×2×2+(2+2√5)×2=8+4√5.
5.(2022·山东菏泽一模)如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为( )
图1
图2
A.3 B.4 C.4√2 D.6
答案:A
解析:在图1中V水=12×2×2×2=4,在图2中,V水=𝑉𝐴𝐵𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1−𝑉𝐶-𝐴1𝐵1𝐶1=12×2×2×h-13×12×2×2×h=43h,∴43h=4,∴h=3.
2020版高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算教案理(含解析)新人教A版
§8.6 空间向量及其运算
最新考纲
考情考向分析
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.
1.空间向量的有关概念及定理
语言描述
共线向量
(平行向量) 如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
共线向
量定理 两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb
共面向
量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb
空间向量
分解定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc
2.两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，通常规定0≤〈a，b〉≤π.
3.两条异面直线所成的角
把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做两条异面直线所成的角.
4.数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积：
①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
③|a|2＝a·a，|a|＝x2＋y2＋z2.
(2)向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
高考数学(理)专题八：立体几何(6)空间向量及其运算
立体几何（6）空间向量及其运算
1、在平行六面体1111ABCDABCD中，,,,,,EFGHPQ分别是111111,,,,,AAABBCCCCDDA的中点，则( )
A.0EFGHPQ B.0EFGHPQ
C.0EFGHPQ D.0EFGHPQ
2、空间中任意四个点,,,ABCD,则BACBCD等于( )
A.DB B.AD C.DA D.AC
3、已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，设,,ABaBCbACc，则abc( )
A.0 B.3 C.22 D.22
4、在四面体OABC中，点M在OA上，且2,OMMAN为BC的中点.若1344xxOGOAOBOC，则使,,GMN三点共线的x的值为( )
A.1 B.2 C.23 D.43
5、已知空间任意一点O和不共线的三点,,ABC.若(,,R)OPxOAyOBzOCxyz，则“2,3,2xyz”是“,,,PABC四点共面”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、有下列命题：①若向量pxayb，则p与,ab共面；②若p与,ab共面，则pxayb；③若MPxMAyMB,则,,,PMAB四点共面；④若,,,PMAB四个点共面，则MPxMAyMB.其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7、已知12,ee是夹角为60的两个单位向量，则12aee与12bee的夹角是( )
A.60 B.120 C.30 D.90
8、若空间向量a与b不共线，0ab，且aacabab，则向量a与c的夹角为( )
A.0 B.6
C.3 D.2
旧教材适用2024高考数学一轮总复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图
1
第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 相互□01平行
且□02全等 多边形 相互□03平行
且□04相像
侧棱 □05平行且相等 相交于□06一点，但不肯定相等 延长线交于
□07一点
侧面形态 □08平行四边形 □09三角形 □10梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 相互平行且相等，□11垂直于底面 相交于□12一点 延长线交于□13一点 —
轴截面 全等的□14矩形 全等的□15等腰三角形 全等的□16等腰
梯形 □17圆
侧面绽开图 □18矩形 □19扇形 □20扇环 —
(3)特殊的四棱柱 2
2．直观图
(1)画法：常用□21斜二测画法．
(2)规则
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□2245°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面□23垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□24平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□25不变，平行于y轴的线段长度在直观图中□26变为原来的一半．
3．三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的□27正前方、□28正左方、□29正上方视察几何体画出的轮廓线．
说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．
(2)三视图的画法
①基本要求：□30长对正，□31高平齐，□32宽相等．
②画法规则：□33正侧一样高，□34正俯一样长，□35侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画□36虚线．
1．常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆．
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．
(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．
(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．
2．三视图的绘制
2023年新高考数学一轮复习8-6 空间向量及其运算和空间位置关系(知识点讲解)含详解
专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
1．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量 共面向量
定
义 位置
关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__
平行于同一个__平面__的向量 特征 方向__相同或相反__
特例 零向量与__任意向量__共线
充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__ 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__惟一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__
推论 对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__OP→＝OA→＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量AB→＝a，则OP→＝__OA→＋tAB→__ 点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝__xAB→＋yAC→__或对空间任意一点O，有OP→＝__OA→＋xAB→＋yAC→__
2．数量积的性质设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；
θ＝__π__时，a与b反向． ②a⊥b⇔θ＝__π2__⇔a·b＝0．
③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__．
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|．
⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．
2021年高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算理
实用文档 2021年高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量及其运算理
一、选择题
1．以下四个命题中正确的是 ( )．
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向
量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB→·AC→＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．
答案 B
2．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝
( )．
A．－4 B．－2 C．4 D．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
答案 D
3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案 C
4.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝π3，则cos〈OA→，BC→〉的值为 ( )． 实用文档 A．0 B.12