《全程复习方略》2016届高考数学(全国通用)：第七章 立体几何 7.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算
同一起点,故空间任意两非零向量共面.
(2)错误.若a与b是非零向量,才有a·b=0⇒a⊥b.
(3)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量 ,(a·b)·c
=λ c,a·(b·c)=μ a,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等.
(4)错误.根据向量数量积的几何意义,a·b=b·c说明a在b方向上的投 影与c在b方向上的投影相等,而不是a=c. (5)错误,a·b>0,则<a,b>∈ [0, ), 即<a,b>可能为0,也就是a与b同向. 答案:(1)√ (2)〓 (3)〓 (4)〓 (5)〓
(1)空间中任意两非零向量a,b共面.(
(2)对于任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.( (3)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).( (4)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.( (5)若a·b>0,则<a,b>是锐角.( ) )
【解析】(1)正确.由于向量可平移,因此空间任意两向量都可平移到
空间向量 单位向量 零向量 相等向量
相反向量
共线向量 (或平行向量)
共面向量
(4)空间向量的有关定理 ①共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 a= λ b 存在实数λ ,使得______. 不共线 那么向量p与向量a,b共 ②共面向量定理:如果两个向量a,b_______, 唯一 的有序实数对(x,y),使________. p=xa+yb 面的充要条件是存在_____ 不共面 那么对空间任一向 ③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_______,
p=xa+yb+zc 其中,________ {a,b,c} 叫做 量p,存在有序实数组{x,y,z},使得___________. 空间的一个基底.
(5)空间向量的数量积及运算律
∠AOB
〈a,b〉
0≤<a,b>≤π
|a||b|cΒιβλιοθήκη s<a,b>λ (a·b) (λ a)·b b· a
a·b+a·c
(3)空间向量的有关概念
名 称 义 大小 方向 在空间中,具有_____和_____的量 1 长度(或模)为__的向量 0 长度(或模)为__的向量 相同 相等 方向_____且模_____的向量 相反 相等 方向_____且模_____的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量 ___________ 同一个平面 的向量 平行于___________ 定
2
2.教材改编
链接教材
练一练
(1)(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AC与BD的交点为点M,设 AB a, AD b, AA1 c, 则下列向量中与 C1M 相等的向量是(
1 1 A.- a+ b+c 2 2 B. 1 a+ 1 b+c 2 2 1 1 C.- a- b-c 2 2 D.- 1 a- 1 b+c 2 2
【解析】由|a|=6,得 22 42 x 2 =6,解得x=〒4, 又a⊥b,所以2〓2+4y+2x=0.即x+2y=-2, 当x=4时,得y=-3,所以x+y=1 当x=-4时,得y=1,所以x+y=-3. 答案:1或-3
)
【解析】选C. C1M C1C CM
1 1 AA1 AC AA1 (AB AD) 2 2 1 1 1 1 AB AD AA1 a b c. 2 2 2 2
(2)(选修2-1P98T8改编)已知a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b, 则x+y的值为 .
(2)空间两点间的距离公式、中点公式
①距离公式:
(ⅰ)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
x1 x 2 y1 y2 z1 z 2 则|AB|=__________________________;
2 2 2
(ⅱ)设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为
(6)空间向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(a,b均为非零向量):
a1b1+a2b2+a3b3=0 a1b1+a2b2+a3b3
2 2 2 a1 a2 a3
a1b1 a 2 b 2 a 3b3
2 2 2 2 2 a1 a2 2 a 3 b1 b 2 b 3
x y z |OP|=____________.
2 2 2
②中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则
x1 x 2 x , 2 y1 y 2 y , 2 z1 z 2 z . 2
______________
第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
【知识梳理】
1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)空间直角坐标系及有关概念 ①空间直角坐标系: 以空间一点O为原点, 具有相同的单位长度, 给定正方向,建立两两 定义 垂直的数轴:x轴、y 轴、z轴,建立了一个 Oxyz 空间直角坐标系_____ 坐标原点 坐标轴 坐标 平面 点O x轴、y轴、z轴 ______________ 通过每 两个坐标轴 的平面
2.必用技法
核心总结
看一看
(1)常用方法:利用向量的线性运算和空间向量基本定理用基向量表示 指定向量的方法;利用共线向量定理、空间向量定理证明一些平行、 共面问题的方法;利用数量积运算解决一些距离(长度)、夹角问题的 方法. (2)数学思想:数形结合思想,转化与化归思想和函数与方程思想.
【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ) ) )
②空间一点M的坐标:
(ⅰ)空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作
横坐标 叫做点M的_______,z 纵坐标 叫做 M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y 竖坐标 点M的_______; (ⅱ)建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z) 一一对应 的关系. 可建立_________
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第七章第2讲空间几何体的表面积与体积
第2讲 空间几何体的表面积与体积[做一做1．(2014·高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．1解析：选A.以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r ＝1，高h ＝1，所以侧面积S ＝2πrh ＝2π.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6B ．3 3C ．2 3D ．3解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.1．辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错． 2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ；③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. [做一做] 3．(2014·高考陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2π D.4π3解析：选D.正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r ＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，球的体积V ＝4π3r 3＝4π3.故选D.4. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，8解析：选B. 由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V ＝13×22×2＝83.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为5，∴S 侧＝4×12×2×5＝4 5.考点一__空间几何体的表面积__________________(1)(2014·高考浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2 (2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．2＋1＋52πB ．2＋1＋252πC ．2＋(1＋5)πD ．2＋2＋52π[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝⎛⎭⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3 ＝99＋39＝138(cm 2)．(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为5，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即12π＋12π×5＋12×2×2＝2＋1＋52π，故选A.[答案] (1)D (2)A[规律方法] (1)多面体的表面积的求法：求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系．(2)旋转体的表面积的求法：圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．1.(1)(2014·高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18 (2)(2015·江西八校联考) 若一个圆台的正视图如图所示，则其表面积等于________．解析：(1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×⎝⎛⎭⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A. (2)由图知圆台的上、下底面半径分别为r ＝1，r ′＝2，母线长为l ＝5， 则圆台表面积为π(r ＋r ′)l ＋π(r 2＋r ′2)＝5π＋35π.答案：(1)A (2)5π＋35π考点二__空间几何体的体积(高频考点)__________空间几何体的体积是每年高考的热点，考查时多与三视图结合考查，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度偏小，属于容易题．高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积；(3)求以三视图为背景的几何体的体积．(1)(2014·高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4(2)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为 3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32C ．1 D.32(3)(2014·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.[解析] (1)这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3，S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A -B 1DC 1底面上的高．∴V 三棱锥A - B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4，高为2的圆锥，下部是一个底面直径为2，高为4的圆柱．故该几何体的体积V ＝13π×22×2＋π×12×4＝20π3.[答案] (1)B (2)C (3)20π3[规律方法] 求空间几何体体积的解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解． (2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．2.(1)(2015·太原市模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫32＋π4cm 3B.⎝⎛⎭⎫32＋π2cm 3C.⎝⎛⎭⎫41＋π4cm 3D.⎝⎛⎭⎫41＋π2cm 3(2)(2013·高考江苏卷) 如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F -ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析：(1)根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是两个长方体和一个圆柱的组合体，∴所求几何体的体积V ＝4×4×2＋π×⎝⎛⎭⎫122×1＋3×3×1＝⎝⎛⎭⎪⎫41＋π4cm 3.(2)设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为V 2＝Sh .因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以△ADE 的面积等于14S .又因为F 为AA 1的中点，所以三棱锥F -ADE 的高等于12h ，于是三棱锥F -ADE 的体积V 1＝13×14S ·12h ＝124Sh ＝124V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.答案：(1)C (2)1∶24考点三__球与空间几何体的接、切问题__________(2015·唐山市统一考试)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1C. 2D.22[解析] 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 位于BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.[答案] C[规律方法] 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．3.(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π方法思想——求空间几何体的体积、面积问题(补形法)(1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π(2)已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若P A ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．[解析] (1)由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π.(2) 由于正三棱锥的侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，故以P A ，PB ，PC 为棱补成正方体如图，可知球心O 为体对角线PD 的中点，且PO ＝3，又P 到平面ABC 的距离为h ，则13×34×(22)2·h ＝13×12×2×2×2. ∴h ＝233.∴球心到截面ABC 的距离为3－233＝33.[答案] (1)B (2)33[名师点评] (1)对称补形求体积某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形，把它们放入一个规则几何体中加以解决．(2)联系补形某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解．三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．1.(2015·河南洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.12 B.13 C.56D ．1解析：选C.由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角，其直观图如图，其中正方体的棱长为1，则正方体的体积为1，去掉的三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16，所以该几何体的体积为1－16＝56. 2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ改编)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最大的面的面积为( )A ．8B ．4 5C ．12D ．6 2解析：选C.根据三视图可知， 该多面体是棱长为4的正方体内的四面体D 1ECC 1(其中E 为棱BB 1的中点)易得S △ECC 1＝S △D 1CC 1＝8，S △D 1C 1E ＝45，S △D 1EC ＝12，故选C.1．(2015·安徽合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋42B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.2. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3 解析：选B.设底面边长为x ，则V ＝34x 3＝23，∴x ＝2.由题意知这个正三棱柱的侧视图为长为2，宽为3的矩形，其面积为2 3.3．(2015·广东广州模拟)设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( )A.2πB.6πC.π6D.π2解析：选D.设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎫233R 2＝π2. 4．(2015·浙江嘉兴市高三模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12解析：选B.由三视图可得该几何体是一个底面是边长分别为3和2的矩形、高为2的四棱锥，所以该几何体的体积是13×2×3×2＝4，故选B.5．(2015·湖北荆州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π3B ．πC.4π3D ．2π解析：选A.由三视图可知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，则圆柱的体积V 柱＝π×12×2＝2π，挖去的两个半球的半径均为1，因此挖去部分的体积为V 球＝2×12×43π×13＝43π，因此，几何体的体积为V ＝V 柱－V 球＝2π－4π3＝2π3，故选A.6．(2015·福建福州一中月考)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则棱柱的高h ＝________．解析：底面周长为3，所以正六边形的边长为12.则六边形的面积为338.又因为六棱柱的体积为98，即338h ＝98，∴h ＝ 3.答案： 37．(2014·高考山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋（3）2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.答案：12 8．(2014·高考江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32.答案：329. (2015·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5，S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝1483π.10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的表面积S .解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1，所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.1．(2014·高考大纲全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9π D.27π4解析：选A. 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94， ∴该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝814π.2．(2015·成都模拟)已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a ＝( )A.52 B ．3 C.72D ．4解析：选C.由三视图可知此几何体是一个底面边长分别为a ＋2和3，高为6的长方体截去一个三棱锥，且截去的三棱锥的三条侧棱长分别为3，4，a ，故该几何体的体积为6×(a ＋2)×3－13×3×12×4×a ＝92，解得a ＝72.3．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝1，则四面体A -EFB 的体积等于________．解析：连接BD 交AC 于点O ，则OA 为四面体A -EFB 的高，且OA ＝22，又S △EFB ＝12×1×1＝12，所以V A -EFB ＝13×12×22＝212.答案：2124．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图，设球O 的半径为R ， 则由AH ∶HB ＝1∶2，得HA ＝13·2R ＝23R ，∴OH ＝R3.∵截面面积为π＝π·(HM )2， ∴HM ＝1.在Rt △HMO 中，OM 2＝OH 2＋HM 2，∴R 2＝19R 2＋HM 2＝19R 2＋1，∴R ＝324.∴S 球＝4πR 2＝4π·(324)2＝92π.答案：92π5．如图所示，从三棱锥P -ABC 的顶点P 沿着三条侧棱P A ，PB ，PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3.(1)在三棱锥P -ABC 中，求证：P A ⊥BC ；(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P -ABC 的体积． 解：(1)证明：由题设知A ，B ，C 分别是P 1P 3， P 1P 2，P 2P 3的中点， 且P 2P 1＝P 2P 3，从而PB ＝PC ，AB ＝AC ，取BC 的中点D ，连接AD ，PD (图略)， 则AD ⊥BC ，PD ⊥BC .又AD ∩PD ＝D ，∴BC ⊥平面P AD . 又P A ⊂平面P AD ，故P A ⊥BC .(2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，P A ＝P 1A ＝BC ＝10，PB ＝PC ＝P 1B ＝13， ∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12.在等腰三角形DP A 中， 底边P A 上的高h ＝ AD 2－（12P A ）2＝119，∴S △DP A ＝12P A ·h ＝5119.又BC ⊥平面P AD ， ∴V P ABC ＝V B -PDA ＋V C PDA＝13BD ·S △DP A ＋13DC ·S △PDA ＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5 119＝503119. 6．(选做题)如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值． 解：(1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0<x <2)，S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0<x <2)．(2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2＝23－（x 2－2）2＋4. ∵0<x <2，∴0<x 2<4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.。
高中全程复习方略数学(文)课件：第七章立体几何7.1
2 ，则R＝
2 2
，所以半球的体积为
2 3
πR3＝
2 6
π，又正四棱锥的体积为
1 3
×12×1＝
1 3
，所以该几何体的
体积为13＋ 62π，故选C. 答案：C
5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边
长为2
cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为
________，面积为________cm2.
解析：①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母 线；②正确；③错误；棱台的上、下底面是相似且对应边平行的 多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
悟·技法 空间几何体结构特征的解题策略 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特 征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中 的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定. (2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，只要举出一个反例即可.
(2)“三不变”平 与行x轴性平不行变的线段长度不变 相对位置不变
[变式练]——(着眼于举一反三) 3．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________．
解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝12OC＝
答案：D
4．(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视
图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋23π
B.13＋
2 3π
C.13＋ 62π D．1＋ 62π
解析：由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长
2016高考数学复习指导：立体几何
2016年高考数学复习指导：立体几何2016高考各科复习资料2016年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2016年高考复习，2016年高考一轮复习，2016年高考二轮复习，2016年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。
立体几何初步(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
高三数学(理)高考总复习教师用书：第七章 立体几何 Word版含答案
第七章错误!立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征：①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[小题体验]1．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为()A．2,2 3 B．22，2C．4,2 D．2,4解析：选D由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为23，故底面边长为4，故选D．2．(教材习题改编)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱三棱柱1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[小题纠偏]1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()解析：选B俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B．2．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上结论正确的个数是________．解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．答案：1考点一空间几何体的结构特征(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选B①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④[谨记通法]解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析．考点二空间几何体的三视图(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2017·东北四市联考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P-A1B1A的侧视图为()解析：选D如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P-A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D．2．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B． 2C． 3 D．2解析：选C根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1．所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3．[由题悟法]1．已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．[提醒]对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．[即时应用]1．(2016·沈阳市教学质量监测)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()解析：选B 根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B ，故选B ．2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析：选D 由俯视图是圆环可排除A 、B 、C ，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D ．考点三 空间几何体的直观图(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．解析：如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ．在Rt △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22． 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1． 由此可还原原图形如图在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎫1＋1＋22×2＝2＋22．答案：2＋22[由题悟法]原图与直观图中的“三变”与“三不变”(1)“三变”⎩⎨⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度改变(减半)图形改变(2)“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变与x 轴平行的线段长度不变相对位置不变[即时应用]如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形解析：选C 如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm ．∴OC ＝OD 2＋CD 2＝(42)2＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()解析：选D几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．2．下列说法正确的是()A．棱柱的两个底面是全等的正多边形B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}解析：选D因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：选A因为正视图和侧视图都为三角形，可知几何体为锥体，又因为俯视图为三角形，故该几何体为三棱锥．4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，面积为________cm2．解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．答案：矩形85．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，ABCD-A1B1C1D1，如图，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．答案：①②二保高考，全练题型做到高考达标1．已知底面为正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()解析：选C根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C．2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AC ，最短的是AD解析：选B 由条件知，原平面图形中AB ⊥BC ，从而AB ＜AD ＜AC ．3．(2016·沈阳市教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A ．三棱台B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥解析：选B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．4．(2016·淄博一模)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A -BCD 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A ．22 B ．12C ．24D ．14解析：选D 由正视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14． 5．已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P -ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S △PBC ＝12×4×3＝6．所以四个侧面中面积最大的是6． 6．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm ．解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C ． 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)． ∴AB ＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥V -ABCD 中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD 的中心O ，连结VO ，AO ，则VO 就是正四棱锥V -ABCD 的高．因为底面面积为16，所以AO ＝22． 因为一条侧棱长为211． 所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6．所以正四棱锥V -ABCD 的高为6． 答案：69．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32，C ′D ′＝O ′C ′sin 45°＝32×22＝64． 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64．答案：6410．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8解析：选C 设该三棱锥为P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝12×4×23＝43，S △PAB ＝S △PAC＝12×4×4＝8，S △PBC ＝12×4×(42)2－22＝47，故四个面中面积最大的为S △PBC ＝47，选C ．3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA ．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2．(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝62．由正视图可知AD ＝6， 且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中， PA ＝PD 2＋AD 2＝(62)2＋62＝63cm ．第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式2．空间几何体的表面积与体积公式[小题体验]1．(2016·全国甲卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28π D．32π解析：选C由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝22＋(23)2＝4，S表＝πr2＋ch＋12cl＝4π＋16π＋8π＝28π．2．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝33． 答案：3 33．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为________．解析：在正三棱柱ABC -A1B 1C 1中，∵AD ⊥BC ，AD ⊥BB 1，BB 1∩BC ＝B ，∴AD ⊥平面B 1DC 1． ∴VA -B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12×2×3×3＝1．答案：11．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念． [小题纠偏]1．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶12．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S ＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋162．答案：72＋16 2考点一 空间几何体的表面积(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2．又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B ．2．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：选B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋22．3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为( )A ．12 5B ．24 2C ．24D ．12 3解析：选A 由三视图得， 这是一个正四棱台， 由条件知斜高h ＝22＋12＝5，侧面积S ＝(2＋4)×52×4＝125．[谨记通法] 几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第1题．考点二 空间几何体的体积(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．13＋23πB ．13＋23πC ．13＋26πD ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π． 2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56．所以V 1V 2＝1656＝15．[由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略[即时应用]1．(2016·西安质检)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A ．43B ．52C ．73D ．3解析：选A 根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V 几何体＝V三棱柱＋V 三棱锥＝12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43． 2．(2017·云南省统检)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图，则被削掉的那部分的体积为( )A ．π＋23B ．5π－23C ．5π3－2D ．2π－23解析：选B 由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成， 其体积V ＝13×12×π×12×2＋13×12×2×1×2＝π3＋23，∴被削掉的那部分的体积为π×12×2－⎝⎛⎭⎫π3＋23＝5π－23．3．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3．解析：由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm,4 cm,2 cm ，右边也是一个长方体，交于一点的三条棱的长分别为2 cm ，2 cm ，4 cm ．几何体的表面积为(2×2＋2×4＋2×4)×2×2－2×2×2＝72(cm 2)， 体积为2×2×4×2＝32(cm 3)． 答案：72 32考点三 与球有关的切、接问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球与四棱锥的外接球； (2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的内切、外接球．[题点全练]角度一：正四面体的内切球与四棱锥的外接球1．(2017·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π． 答案：63π角度二：直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A ．3172B ．210C ．132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M ．又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132．角度三：正方体(长方体)的内切、外接球3．如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A ．66π B ．π3C ．π6D ．33π 解析：选C 平面ACD1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝22×tan 30°＝66， 所以S ＝πr 2＝π×16＝16π．[通法在握]“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[演练冲关]1．(2017·广州市综合测试)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )A ．20πB ．205π3 C ．5πD ．55π6解析：选D 由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r ＝1，其高h ＝1，∴球半径为R ＝r 2＋⎝⎛⎭⎫h 22＝1＋14＝52，∴该球的体积V ＝43πR 3＝43×⎝⎛⎭⎫523π＝55π6． 2．(2016·河南省六市第一次联考)三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为( )A ．253πB ．252π C ．833πD ．832π 解析：选D 由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，∴x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝546，∴R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π，故选D ．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163πB ．323π C ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2．所以体积为43πR 3＝32π3．2．(2016·长春市质量检测(二))几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．323B ．16－2π3C ．403D ．16－8π3解析：选C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥所得，所以其体积为2×2×4－13×2×2×2＝403．故选C ．3．(2016·全国乙卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：选A 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2．因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π．故选A ．4．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝32．答案：325．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3．解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π．答案：83π二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ， 则另一底面半径为3r ．由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7．2．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )A ．6B ．8C ．12D ．24解析：选C 由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′． 由题意，得13×6×34×22×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12．故选C ．3．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．13＋2πB ．13π6 C ．7π3D ．5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π．4．(2017·兰州市实战考试)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为()A ．32π B ．32C ．3πD ．3解析：选A 由题意得，该几何体为四棱锥，且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球，其半径为32，故体积为43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，故选A ． 5．(2016·山西省高三考前质量检测)某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x 的值是( )A ．7B ．27C ．4D ．5解析：选C 分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P -ABCD ，故其体积V ＝13×32＋32×4×CP ＝37，∴CP ＝7，∴x ＝32＋(7)2＝4，故选C ．6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2． 答案：1∶27．(2016·合肥市第二次质量检测)已知球O 的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O 的表面积为________．解析：由题意可得，球心在轴截面正方形的中心，则外接球的半径R ＝12＋12＝2，该球的表面积为4πR 2＝8π．答案：8π8．(2016·四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝2，BD ＝23，设O 为BD 的中点，连接OA ，OC ，则OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，结合正视图可知AO ⊥平面BCD ．又OC ＝CD 2－OD 2＝1，∴V 三棱锥A -BCD＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33． 答案：339．(2017·武汉调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，因为底面边长为22，所以AC ＝4．在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，所以R ＝52，所以球的表面积S ＝4πR 2＝25π．答案：25π。
2016高考数学(新课标)一轮复习配套课件：第七章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和
第七章 立体几何
(1)(2013·高考四川卷) 一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的直观图可以是( D )
栏目 第二十三页，编辑于星期六：点 四导十四引分。
第七章 立体几何
(2)(2015·济宁模拟)点 M，N 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 A1B1，A1D1 的中点，用过点 A，M，N 和点 D，N， C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图 1 所示，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图 2 中的( B )
为△ABC 是边长为 a 的正三角形，求直观图△A′B′C′
的面积． 解：如图所示的实物图和直观图． 由图可知，A′B′＝AB＝a， O′C′＝12OC＝ 43a． 在图中作 C′D′⊥A′B′交 x′轴于点 D′， 则 C′D′＝ 22O′C′＝ 86a．
∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a× 86a＝ 166a2．
第七章 立体几何
第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观 图
第五页，编辑于星期六：点 四十四分。
第七章 立体几何
1．多面体的结构特征 (1)棱柱
底 侧面 面： ：互 都相 是______平四____行__________边形，且每相邻两个侧面的公 共边都_平_行__且__相__等__
(2)棱锥底侧面面：：是都_是__有_多_一__个_____公边__共形_顶__点___的三角形 (3)棱台 棱锥被平行于棱锥___底__面_____的平面所截，截面 与底面之间的部分．
其中正确命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
栏目 第十九页，编辑于星期六：点 四十导四分引。
2016届高考数学文自由复习步步高系列专题06立体几何(通用版)(解析版)
2016年高考备考之考前十天自主复习第六天（文科）回顾一：空间几何体1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线． 3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.回顾二：空间中的平行于垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．3． 平行关系及垂直关系的转化示意图热点一：三视图与表面积、体积【典例】( 福建省龙岩市2016届高三教学质量检查数学文8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A B+C+D1【答案】D考点：1.三视图；2.几何体的表面积【题型概述】这类题以三视图为载体，考查面积、体积的计算，尤其三视图及柱、锥与球的接切问题相结合是考试的重点和热点，这类题的解决方法一般为将三视图还原几何体，再利用几何体的表面积公式或体积公式计算，解决的关键是要熟悉常见几何体的三视图，尤其注意几何体的不同摆放位置三视图会发生变化．【跟踪练习1】( 2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文10)一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为．【解析】-，从侧视图试题分析：试题分析：从三视图可以看出原几何体为三棱锥，不妨设为P ABCAC=三角形PAC的AC就是可以看出侧面PAC⊥底面ABC，从正视图看2,三棱锥的高，从俯视图可以看出底面ABC 是等腰三角形，从侧试图可以看出AC 边上的高位1，所以三棱锥的体积-ABC 11=2132P V ⨯⨯⨯⨯； 考点：三视图【跟踪练习2】( 东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试文6)已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）A ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可以看出这个三棱锥的放置方法，正视图恰好为三棱锥的底面，它是一个边长为2的等边三角形，底面在后与水平面垂直，从正视图和侧视图中可以看出棱锥的顶点正对照正视图的视线，从俯视图可以看出棱锥的高为，所以三棱锥的体积为：21323v =⋅⋅= 考点：三视图热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学文18)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA //平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【答案】(1)证明详见解析；(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF .【解析】(2)当点F 位于PC 三分之一分点(靠近P 点)时, //PA 平面BDF连结,AC BD 交于O 点//AB CD ,所以AOB ∆相似于COD ∆，又因为12AB DC =，所以12AO OC =从而在CPA ∆中,13AO AC =，而13PF PC =，所以//OF PA ，而OF ⊂平面BDFPA ⊄平面BDF ，所以//PA 平面BDF考点：空间直线与平面间的关系.【题型概述】空间中的平行关系在高考命题中主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，重点考查空间中直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质，解决该类题的关键是注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系的转化． 【跟踪练习1】(江西省六校2016届高三3月联考数学文4)设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是（ ） A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：当m ⊂α时，如果n α∥，那么n α⊄，所以m n ∥或m n ，异面；反之，若m n ∥，则n α∥或n α⊂，即当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的既不必要也不充分条件，A 不正确；当m ⊂α时，如果m ⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，则m β⊥或m β⊂或//m β，即当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件，B 正确；当n ⊥α时，若n ⊥β，则α∥β；反之也成立，C 正确；当m ⊂α时，若 n ⊥α，则m 垂直于平面α内的每一条直线，即m ⊥n ；反之，若m ⊥n ，则n ⊥α不一定成立，即当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件，D 正确.选A .考点：1.充要条件；2.平行关系、垂直关系【跟踪练习2】( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学文19)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明AD ⊥面1AOB ; （2）当平面ABCD ⊥平面11AA D D ，求11B CDD V -．1A【答案】（1）证明见解析；（2）1．考点：（1）直线与平面垂直；（2）棱锥的体积【跟踪练习3】如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证：平面ABC ⊥平面APC.P【解析】(1)由已知，得MD 是ABP ∆的中位线，所以//MD AP ，又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故//MD 平面APC .(2)因为PMB ∆为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.所以AP PB ⊥.又AP PC ⊥，PB PC所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP BC ⊥.又BC AC ⊥， AC AP A ＝，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC . 【考点定位】直线和平面平行、面面垂直．1．(2014——2016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文5)某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（ ）.A π .B .C .D π 【答案】D考点：1、三视图；2、空间几何体的体积2．等腰梯形ABCD ，上底1CD =，腰AD CB ==3AB =，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图''''A B C D 的面积为_______．【解析】如上图，,CF AB DE AB ⊥⊥ ，1EF CD == ，3112FB -== ，因为CB =，所以1CF === ，所以，在直观图中12C G C F CF ''''=== ，()1132A B C D S ''''=⨯+=梯形 【考点定位】直观图3．(山东省潍坊市第一中学2016届高三1月期末考前模拟数学文7)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）//,////,//m n m n αβαβ且则 （B ）,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥ （C ）,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ （D ）,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ 【答案】B 【解析】试题分析：选项A 错，因,m n 可能相交或异面；选项B 显然正确；选项C 中,αβ可能相交，不一定垂直；选项D 中必须要求,m n 相交 考点：线面的位置关系4．如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB,试在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE ．【解析】。
(新课标)2016高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、.
(1)[证明] 因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1， 所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC， 又PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD， 所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O， 所以AD⊥平面PAC. (2)[解] 取DO的中点N，连接MN，AN， 因为M为PD的中点，所以MN∥PO， 且 MN ＝ PO ＝ 1 ， 由 PO⊥ 平 面 ABCD ， 得 MN⊥ 平 面 ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
[解析] 如图，取 AC 的中点 O，连接 DO， BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90°.设正方形边 长为 1，则 DO＝BO＝ 22，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60°.
[答案] 60°
DAB＝
[典例透析] 考向一 直线与平面垂直的判定与性质
在 Rt△AFB 中，根据射影定理得 AF2＝AH·AB， ∴AF＝1，sin∠ABF＝AABF＝12， ∴∠ABF＝30°. ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30°.
考向三 二面角的求法
例3 (2015·宁波模拟)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1的 底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是 AC的中点.
而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1. 又A1C⊂平面ACC1A1，∴AB⊥A1C. ∴EF⊥A1C. (2)解：设直线 BD 与平面 ABC 所成的角为 θ，
∵直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为31414，
∴tan
θ＝
3 ，又 5
BC＝
AB2＋AC2＝
2016高考数学(理)一轮全程复习构想课件：立体几何-7
1．两个重要向量 (1)直线的方向向量： 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直 线的方向向量有①______个． (2)平面的法向量： 直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有②______个，它们是共线向量．
的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
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1．已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两
平面所成的二面角为( )
A．45°
B．135°
C．45°或 135°
D．90°
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A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
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解析：∵正方体棱长为 a，A1M＝AN＝ 32a， ∴M→B＝23A→1B，C→N＝23C→A， ∴M→N＝M→B＋B→C＋C→N ＝23A→1B＋B→C＋23C→A ＝23(A→1B1＋B→1B)＋B→C＋23(C→D＋D→A) ＝23B→1B＋B→C＋23D→A.
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① ② ③
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答案：①无数 ②无数 ③a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2
④a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ⑤a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
⑥a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2 ⑦k(a2，b2，c2) ⑧a1a2＋b1b2
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B→1F·E→F＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， 则B→1F⊥E→F，∴B1F⊥EF， ∵B→1F·A→F＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0， ∴B→1F⊥A→F，即 B1F⊥AF. 又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面 AEF.
2016届高考数学文自由复习步步高系列专题06立体几何(通用版)(原卷版)
2016年高考备考之考前十天自主复习第6天（文科）回顾一：空间几何体1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．3．直观图的斜二测画法空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．4．空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)；②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)． (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)；④V 球＝43πR 3.回顾二：空间中的平行于垂直1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理2．提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图热点一：三视图与表面积、体积【典例】( 福建省龙岩市2016届高三教学质量检查数学文8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）A B+C+D1【题型概述】这类题以三视图为载体，考查面积、体积的计算，尤其三视图及柱、锥与球的接切问题相结合是考试的重点和热点，这类题的解决方法一般为将三视图还原几何体，再利用几何体的表面积公式或体积公式计算，解决的关键是要熟悉常见几何体的三视图，尤其注意几何体的不同摆放位置三视图会发生变化．【跟踪练习1】(2016年浙江省杭州市严州中学高三三月阶段测试数学文10)一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为．【跟踪练习2】(东北三省三校2016年高三第一次联合模拟考试文6)已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．热点二：证明或判断空间平行、垂直关系【典例】( 四川省遂宁市2016届高三第二次诊断考试数学文18)如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ， =ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使P A //平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由.【题型概述】空间中的平行关系在高考命题中主要与平面问题中的平行、简单几何体的结构特征等问题相结合，重点考查空间中直线与平面平行、平面与平面平行的判定及性质，解决该类题的关键是注意线线位置关系、线面位置关系、面面位置关系的转化． 【跟踪练习1】(江西省六校2016届高三3月联考数学文4)设α,β是空间两个平面，m, n 是空间两条直线，则下列选项不正确．．．的是（ ） A ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 B ．当m ⊂α时，“m β⊥”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件【跟踪练习2】( 2014-2016江西省景德镇高三第二质检数学文19)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，160A AD DAB ∠=∠=︒,O 是AD 的中点．（1）证明AD ⊥面1AOB ; （2）当平面ABCD ⊥平面11AA D D ，求11B CDD V -．1A【跟踪练习3】如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC.P1．(2014——2016学年度上学期辽宁省丹东五校协作体高三期末考试文5)某几何体三视图如下，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）.Aπ.B.C.Dπ2．等腰梯形ABCD，上底1CD=，腰AD CB==3AB=，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图''''A B C D的面积为_______．3．(山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学文7)设,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）//,////,//m n m n αβαβ且则 （B ）,m n αβαβ⊥⊥⊥且，则m n ⊥ （C ）,,m n m n αβ⊥⊂⊥，则αβ⊥ （D ）,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ 4．如图,四边形ABCD 为矩形,AD ⊥平面ABE,F 为CE 上的点,且BF ⊥平面ACE. (1)求证:AE ⊥平面BCE ；(2)设M 在线段AB 上,且满足AM=2MB,试在线段CE 上确定一点N,使得MN ∥平面DAE ．5．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=BC,点D 是AB 的中点． (1)求证：BC 1∥平面CA 1D ； (2)求证：平面CA 1D ⊥平面AA 1B 1B ；6. (甘肃省兰州市2016年高三诊断考试文18)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，2AB =,1BC CD ==AB ∥CD ，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（Ⅰ）求证：1AD BC ⊥；（Ⅱ）在AB 上是否存在点M ，使得1C M ∥平面11ADD A ？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．7. (吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测（二）文19)如图，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥平面CD AB ，D 2PA =AB =A =，四边形D AB ⊥A ，C//D B A 且C 4B =，点M为C P 中点．()1求证：平面D A M ⊥平面C PB ； ()2求点P 到平面D A M 的距离．。
2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第七章立体几何Word版含答案
第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图对应学生用书P99基础盘查一空间几何体的结构特征(一)循纲忆知认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(二)小题查验1．判断正误(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面()答案：(1)×(2)×(3)√2．(人教A版教材习题改编)如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH ∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．答案：五棱柱三棱柱基础盘查二空间几何体的三视图(一)循纲忆知1．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型．2．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图，了解空间图形的不同表示形式．3．会画出某些建筑物的三视图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．(二)小题查验1．判断正误(1)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(2)圆锥的俯视图是一个圆()(3)圆台的正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形()答案：(1)×(2)√(3)√2．(北师大版教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图，则该几何体是由__________________组合而成．答案：圆柱和正四棱柱3．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是________．答案：②③基础盘查三空间几何体的直观图(一)循纲忆知1．会用斜二测画法画出几何体的直观图．2．会用平行投影与中心投影画出简单空间图形的直观图．了解空间图形的不同表示形式．3．会画某些建筑物的直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．(二)小题查验1．判断正误(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°()(2)斜二测画法中，平行于x 轴y 轴的线段平行性不变，且长度也不变( )(3)斜二测画法中，原图形中的平行垂直关系在直观图中不变( )答案：(1)× (2)× (3)×2．(2015·东北三校第一次联考)利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是________．答案：①②对应学生用书P100考点一 空间几何体的结构特征(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1．多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧ 底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形 (3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到．[提醒](1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识．(2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．图1易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．图23．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；③正确，如图1，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD为矩形，可证明∠P AB，∠PCB为直角，这样四个侧面都是直角三角形；命题④由棱台的定义知是正确的；⑤错误，当以斜边为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图2所示，它是由两个同底圆锥形成的．答案：①③④[类题通法]解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析，多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．考点二空间几何体的三视图(重点保分型考点——师生共研)[必备知识](1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；③看不到的线画虚线．[提醒]若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的区别．[典题例析]1．(2014·江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：选B将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．[类题通法]1．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图．2．由三视图还原几何体时，要遵循以下三步：(1)看视图，明关系；(2)分部分，想整体；(3)综合起来，定整体．[演练冲关]1．(2015·南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线，故答案为C.2.如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数，则该几何体的侧视图为()解析：选C由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1.考点三空间几何体的直观图(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．[典题例析](2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.[类题通法]用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．[演练冲关]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为() A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.对应B本课时跟踪检测(四十)一、选择题1．(2014·福建高考)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：选A圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．2.(2015·青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的直观图如图所示，则该几何体的俯视图为()解析：选C长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C.3．(2015·烟台一模)若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A-BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D.4．(2015·淄博一模)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.22 B.12 C.24 D.14解析：选D 由正视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14，选D. 5．(2015·武昌调研)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是( )解析：选D 易知该三棱锥的底面是直角边分别为1和2的直角三角形，注意到侧视图是从左往右看得到的图形，结合B 、D 选项知，D 选项中侧视图方向错误，故选D.6.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P -ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为( ) A.12B ．1C ．2D ．不确定，与点P 的位置有关解析：选B 如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P -ABC 的正(主)视图与侧(左)视图都是三角形，且面积都是12a 2，故选B. 二、填空题7.(2015·西城区期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为________．解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长．因为侧(左)视图中三角形的边长为2，所以高为3，所以正视图的面积为2 3.答案：2 38．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6，O ′C ′＝2，则原图形OABC 的面积为________．解析：由题意知原图形OABC 是平行四边形，且OA ＝BC ＝6，设平行四边形OABC 的高为OE ，则OE ×12×22＝O ′C ′， ∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2. 答案：24 29．(2015·昆明、玉溪统考)如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．解析：设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33. 答案：3310．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．解析：①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中的四面体A -CB 1D 1；②错误，反例如图所示，底面△ABC 为等边三角形，可令AB ＝VB ＝VC ＝BC ＝AC ，则△VBC 为等边三角形，△VAB 和△VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．答案：①三、解答题11．已知：图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝6 3 cm.第二节空间几何体的表面积与体积对应学生用书P101基础盘查一柱体、锥体、台体的表面积(一)循纲忆知了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．(二)小题查验1．判断正误(1)几何体的表面积就是其侧面积与底面积的和()(2)几何体的侧面积是指各个侧面积之和()答案：(1)√(2)√2．(人教A版教材例题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，它的表面积为________．解析：过S作SD⊥BC，∵BC＝a，∴SD＝3 2a∴S△SBC＝34a2，∴表面积S＝4×34a2＝3a2.答案：3a23.(2015·北京石景山一模)正三棱柱的侧(左)视图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为________．解析：由侧(左)视图知：正三棱柱的高(侧棱长)为2，底边上的高为3，所以底边边长为2，侧面积为3×2×2＝12.答案：12基础盘查二 柱体、锥体、台体的体积 (一)循纲忆知了解柱体、锥体、台体的体积的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等( ) (2)在三棱锥P -ABC 中，V P -ABC ＝V A -PBC ＝V B -P AC ＝V C -P AB ( ) 答案：(1)√ (2)√2．(人教B 版教材例题改编)如图，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C -A ′DD ′，则棱锥C -A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为________．答案：1∶53．(2015·海淀高三练习)已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43.答案：43基础盘查三 球的表面积与体积 (一)循纲忆知了解球的表面积与体积的计算公式． (二)小题查验 1．判断正误(1)球的表面是曲面，不能展开在一平面上，故没有展开图( )(2)正方体的内切球中其直径与棱长相等( ) 答案：(1)√ (2)√2．(人教A 版教材例题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶13.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R ，则2R ＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR 2＝4π(3)2＝12π.答案：12π对应学生用书P102考点一 空间几何体的表面积(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：S 圆柱侧＝2πrl =r r'←−−−S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl[提醒] 组合体的表面积应注意重合部分的处理．[题组练透]1．(2014·陕西高考)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.2．(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18解析：选A 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S ＝6×4－12×6＋2×34×(2)2＝21＋ 3.3．已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为23的圆台，则几何体的表面积S ＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×(23)2＋22＝26π.答案：26π[类题通法]求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．考点二 空间几何体的体积(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．柱体V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2h . 2．锥体V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .3．台体V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．[提醒](1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题需注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[典题例析]1．(2014·辽宁高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B 直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的14圆柱，所以该几何体的体积为23－2×π×12×2×14＝8－π.2．(2014·山东高考)三棱锥P -ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D -ABE 的体积为V 1，P -ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析：如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，三角形P AB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E －ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.答案：14[类题通法]1．计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．[演练冲关]1．(2015·唐山统考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π＋16B ．8π－16C ．8π＋8D ．16π－8解析：选B 由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.2．(2015·苏州测试)如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在AA 1，CC 1上，且AE ＝34AA 1，CF ＝13CC 1，点A ，C 到BD 的距离之比为3∶2，则三棱锥E -BCD 和F -ABD 的体积比V E -BCDV F -ABD＝________.解析：由题意可知点A ，C 到BD 的距离之比为3∶2，所以S △BCD S △ABD ＝23，又直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AE ＝34AA 1，CF ＝13CC 1，所以AE CF ＝94，于是V E -BCDV F -ABD＝13S △BCD ·AE 13S △ABD ·CF ＝23×94＝32. 答案：32考点三 与球有关的切、接问题(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1．球的表面积公式：S ＝4πR 2； 球的体积公式V ＝43πR 32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a . (2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a . (3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1-AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)．[多角探明]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球； (2)直三棱柱的外接球； (3)正(长)方体的外接球； (4)四棱锥的外接球.角度一：正四面体的内切球1．(2015·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π角度二：直三棱柱的外接球2．(2015·唐山统考)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2D.22解析：选C 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中心．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.角度三：正方体的外接球3．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3，∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.答案：43π角度四：四棱锥的外接球4．(2014·大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9πD.27π4解析：选A 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2.∵PO ′＝4，∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4，故选A. [类题通法]“切”“接”问题的处理规律 1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．对应A 本课时跟踪检测(四十一)一、选择题1．(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于( )A ．100π B.100π3C ．25πD.25π3解析：选A 易知该几何体为球，其半径为5，则表面积为S ＝4πR 2＝100π.2．(2014·陕西高考)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2πD.4π3解析：选D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋(2)2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3.故选D.3．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.4．(2015·遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A.3＋ 6B.3＋ 5C.2＋ 6D.2＋ 5解析：选C 由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2.。