电磁波第三章作业题解答
电磁场和电磁波课后习题答案与解析三章习题解答
三章习题解答3.1 真空中半径为a 的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和q -，试计算球赤道平面上电通密度的通量Φ(如题3.1图所示)。
解 由点电荷q 和q -共同产生的电通密度为33[]4q R R π+-+-=-=R R D 22322232()(){}4[()][()]r z r z r z a r z a q r z a r z a π+-++-+-++e e e e 则球赤道平面上电通密度的通量d d zz SSS Φ====⎰⎰D S D e223222320()[]2d 4()()aq a ar r r a r aππ--=++⎰ 22121)0.293()aqaq q r a ==-+ 3.2 1911年卢瑟福在实验中使用的是半径为a r 的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为Ze -的电子云，在球心有一正电荷Ze （Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314ra Ze r r r π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D e ，试证明之。
解 位于球心的正电荷Ze 球体内产生的电通量密度为 124rZer π=D e 原子内电子云的电荷体密度为333434a a Ze Zer r ρππ=-=- 电子云在原子内产生的电通量密度则为 32234344r ra r Ze rr r ρπππ==-D e e 故原子内总的电通量密度为 122314ra Ze r r r π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭D D D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30C m ρ, 两圆柱面半径分别为a 和b ，轴线相距为c )(a b c -<，如题3.3图()a 所示。
求空间各部分的电场。
解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。
但可把半径为a 的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0ρ±的两种电荷分布，这样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为0ρ的均匀电荷分布，而在半径为a 的整个圆柱体内则具有体密度为0ρ-的均匀电荷分布，如题3.3图()b 所示。
电磁场与电磁波：第三章作业答案
3.1 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。
（1）计算线电荷平分面上任意点的电位ϕ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用ϕ=-∇E 核对。
解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。
根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为2(,0,0)L L ϕρ-==⎰2ln(4L l L z ρπε-'+=04l ρπε=02l ρπε （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为d d E ρρρθ'===Ee e 022320d 2()l z z ρρρπερ''+e故长为L 的线电荷在点P 的电场为2022320d d 2()L l z z ρρρπερ'==='+⎰⎰E E e20002L l ρρπερ'=e ρe 由ϕ=-∇E 求E ，有002l ρϕπε⎡⎢=-∇=-∇=⎢⎥⎣⎦E(00d ln 2ln 2d l L ρρρπερ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦e0012l ρρπερ⎧⎫⎪--=⎬⎪⎭e ρe可见得到的结果相同。
3.3 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cos a a A aϕρρϕρρφρρ=≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩（1）求圆柱内、外的电场强度；L L -ρρ题3.1图（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由ϕ=-∇E ，可得到a ρ<时， 0ϕ=-∇=Ea ρ>时， ϕ=-∇=E 22[()cos ][()cos ]a a A A ρφρφρφρρρφρ∂∂----=∂∂e e 2222(1)cos (1)sin a a A A ρφφφρρ-++-e e（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0002cos S n a a A ρρρρεεεφ=====-e E e E3.4 已知0>y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）cosh y e x -； （2）x e y cos -；（3）cos sin e x x （4）z y x sin sin sin 。
电磁学第三章课后习题答案
电磁学第三章课后习题答案电磁学第三章课后习题答案电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流之间相互作用的规律。
在电磁学的学习过程中，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
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1. 一个导线的长度为l，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × (ρl/A)。
2. 一个导线的电阻为R，电流为I，如图所示。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，导线两端的电势差为V = I × R。
3. 一个导线的电阻为R，电流为I，导线的长度为l，电阻率为ρ，横截面积为A。
求导线两端的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
而导线的电阻可以通过电阻率乘以长度除以横截面积来计算。
所以，导线两端的电势差为V = I × R = I × (ρl/A)。
4. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电流为I。
求两个电阻器上的电势差。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，第一个电阻器上的电势差为V1 = I × R1，第二个电阻器上的电势差为V2 = I × R2。
5. 在一个电路中，有一个电阻为R1的电阻器和一个电阻为R2的电阻器连接在一起，电阻器之间的电势差为V。
求电流的大小。
答案：根据欧姆定律，电势差等于电流乘以电阻。
所以，V = I × (R1 + R2)。
解方程可得电流的大小为I = V / (R1 + R2)。
6. 一个电路中有两个电阻器，电阻分别为R1和R2，电流为I。
求电路中的总电阻。
答案：电路中的总电阻可以通过电阻器的并联和串联来计算。
如果电阻器是串联的，总电阻等于各个电阻器的电阻之和，即R = R1 + R2。
教科版高中物理必修第三册第三章电磁场与电磁波初步4电磁波的发现及其应用练习含答案
第三章电磁场与电磁波初步4电磁波的发现及其应用基础过关练题组一电磁场1.(多选题)按照麦克斯韦的电磁场理论,以下说法中正确的是( )A.恒定的电场周围产生恒定的磁场,恒定的磁场周围产生恒定的电场B.变化的电场周围产生磁场,变化的磁场周围产生电场C.均匀变化的电场周围产生均匀变化的磁场,均匀变化的磁场周围产生均匀变化的电场D.均匀变化的电场周围产生稳定的磁场,均匀变化的磁场周围产生稳定的电场2.(多选题)关于电磁场理论的叙述正确的是( )A.变化的磁场周围一定存在着电场,与是否有闭合电路无关B.变化的磁场周围不一定存在变化的电场C.变化的电场和稳定的磁场相互关联,形成一个统一的场,即电磁场D.电场周围一定存在磁场,磁场周围一定存在电场3.(经典题)(2023江苏南京二十九中学检测)根据麦克斯韦电磁场理论判断,如图所示的4组电场产生的磁场(或磁场产生的电场)随时间t变化的规律中,错误的是( )题组二电磁波和电磁波谱4.(多选题)(2024浙江温州环大罗山联盟期中)关于电磁波,下列说法正确的是( )A.麦克斯韦预言了电磁波的存在,赫兹最先用实验证实了电磁波的存在B.非均匀变化的电场和磁场可以相互“激发”,形成电磁波C.在真空中,频率越高的电磁波传播速度越大D.利用电磁波传递信号可以实现无线通信,但电磁波不能通过电缆、光缆传输5.(2024江苏扬州期中)“中国天眼”位于贵州的大山深处,它通过接收来自宇宙深处的电磁波探索宇宙。
关于电磁波下列说法正确的是( )A.电磁波不能在水中传播B.红外线的波长比紫外线的长C.用手机通话时没有利用电磁波D.不同电磁波在真空中传播速度不同6.(2023黑龙江大庆铁人中学月考)如图所示的四种电场变化情况,能发射电磁波的是( )7.(多选题)甲、乙两种磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示,下列说法正确的是( )A.磁场甲能够产生电场B.磁场甲能够产生电磁波C.磁场乙的磁感应强度最大时产生的电场最强D.磁场乙的磁感应强度为零时产生的电场最强。
电磁场与电磁波第三章习题及参考答案
第3章习题3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算 1） 电流密度；2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=，3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m J v /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为m A L I J S /7.1663.050μ===因为 v J S S ρ= 所以 2/33.8207.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ证：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U J ρ=代入电荷守恒定律tJ ∂∂-=⋅∇ρ得0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）如题图3.5所示⎰⎰==2122)(tan zz lz dzS dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ 01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /22===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2rI S I J π==电场强度为 2r IJ E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
高中鲁科版物理新选修3-4第三章电磁波章节练习含答案解析
高中鲁科版物理新选修3-4第三章电磁波章节练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．电视机的室外天线能把电信号接收下来，是因为()A．天线处于变化的电磁场中，天线中产生感应电流，相当于电源，通过馈线输送给LC 电路B．天线只处于变化的电场中，天线中产生感应电流，相当于电源，通过馈线输送给LC 电路C．天线只是有选择地接收某电台信号，而其他电视台信号则不接收D．天线将电磁波传输到电视机内2．人类社会已经进入了信息化时代，下列选项中不属于现代信息技术的三大基础的是（）A．信息的拾取B．信息的推广C．信息的处理D．信息的传输3．太阳光通过棱镜时，在竖直放置的屏幕上形成如图所示的光带(忽略棱镜对各色光的吸收)．若将灵敏温度计的球部放在屏幕上的MN、NP、PQ区域时，在哪个区域上升的示数最大( )A．MN B．NP C． PQ D．无法确定4．在电视发射端，由摄像管摄取景物并将景物反射的光转化为电信号，这一过程完成了（）A．光、电转化B．电、光转化C．光、电、光转化D．电、光、电转化5．1932年，英国物理学家查德威克用α射线轰击铍核（94Be）时，产生了碳核（126C）和一种不受电场和磁场影响、穿透能力很强的射线，经过进一步证实，这种射线是（）A．光子流B．中子流C．电子流D．质子流6．卫星定位系统在日常生活中有广泛的应用，定位时，接收器需要获得卫星发送的信号．卫星发送的是（）A．声波B．电磁波C．次声波D．机械波7．转换电视频道，选择自己喜欢的电视节目，称为( )A．调幅B．调频C．调制D．调谐二、填空题8．电磁波谱是按________连续排列的图谱，从电磁波谱图中可看出光其实是________ 9．“嫦娥三号”依靠________（选填“电磁”或“声”）波将拍到的月貌图片传回地球，此波由真空进入大气的传播过程中，保持不变的是________（选填“速度”或“频率”）．10．现代通信主要有卫星通讯、网络通信、________通信和________通信四种方式，用________颗同步卫星可以实现全球通信．发射频率为AM1000kHz的电磁波长为________m11．雷达利用了微波________、________的特点来工作的．三、解答题12．如图所示的振荡电路中，线圈自感系数L=0.5H，电容器电容C=2μF，现使电容器上极板带正电，从接通电键K时刻算起。
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案
电磁场与电磁波第三版-郭辉萍-第三章习题答案第一题问题一个磁感应强度为B的均匀磁场，在其中有一个长为l、电阻为R的长直导线。
导线与磁感应强度方向成夹角θ。
若导线被引出的两个端头A、B相距d，则导线两个端头的电势差是多大？解答根据电磁感应定律，导线两个端头的电势差可以通过导线所受的磁场力与电阻的乘积来计算。
设电流的方向与磁场方向成夹角α，则磁场力的大小为F = BIL sinα，其中I为电流的大小。
电流可以通过欧姆定律来计算，即I = U / R，其中U为电阻两端的电势差。
将电流的表达式代入磁场力的表达式中，得到F = B(U / R)l sinα。
根据电势差的定义，有U = Fd = B(U / R)l sinα * d. 移项整理得到U(1 - Bld sinα / R) = 0，解得U = 0 或者 1 - Bld sinα / R = 0。
如果U = 0，则代表导线两个端头的电势差为0，即没有电势差。
这种情况下，导线两个端头之间的电势相等。
如果1 - Bld sinα / R = 0，则导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
综上所述，导线两个端头的电势差为U = Bld sinα / R。
第二题问题一个半径为R的导线圈，通过其中的电流为I，产生的磁感应强度为B。
若导线圈的匝数为N，导线圈中心处的磁感应强度是多少？解答根据长直导线的磁场公式，通过导线圈中心点的磁感应强度的大小可以通过长直导线的磁场公式来计算。
长直导线的磁场公式为B = μ0I / (2πd)，其中B为磁感应强度，μ0为真空中的磁导率，I为电流的大小，d为测量点到导线的距离。
对于导线圈来说，可以将导线分成无数个长直导线，然后将它们对应的磁场强度相加。
考虑到导线圈的几何形状，可以得到导线圈中心处的磁感应强度的大小为Bm = N * B，其中Bm为导线圈中心处的磁感应强度，N为导线圈的匝数，B为单根导线产生的磁感应强度。
电磁场与电磁波第三版答案第三章
《电磁场与电磁波》——习题详解第三章 恒定电流的电场和磁场3-1 一个半径为 a 的球内均匀分布着总量为 q 的电荷,若其以角速度 ω 绕一直径匀 速旋转,求球内的电流密度. 解:传导电流:导体中的自由电子或半导体中的自由电荷在电场作用下作定向 运动所形成的电流. 运流电流: 带电粒子在真空或气体中运动时形成的电流. 本题求的是运流电流. 选 取 球 坐 标系 . 设 转 轴和 直 角 坐 标系 的 z 轴 重 合 , 球 内 某 一点 的 坐标为 ( r , θ , φ ),则电流密度为v v J =ρv =q v 3qω r sin θ v eφ ω r sin θ eφ = 2 4π a 3 4π a 3注意到球面坐标的有向面积元为v v v v d S = er r 2 sin θ d θ d φ + eθ r sin θ d r d φ + eφ r d r d θ可以得到总电流为I=∫∫Sv v J dS =∫ ∫0πJr d r d θ =0aqω 2π2π总电流也可以通过电流强度的定义计算. 因为球体转动一周的时间为 T = 所以ω,I=3-2球形电容器内,外极板的半径分别为 a , b ,其间媒质的电导率为 σ ,当外加 电压为 U 0 时,计算功率损耗并求电阻. 解:设内,外极板之间的总电流为 I .由对称性,可以得到极板间的电流密q qω = T 2π度为v J= v E=I24π r I v e 2 r 4πσ rv er ,U0 = E d r =a∫bI 1 1 4πσ a b 25习题三从而I=v 4πσU 0 σU 0 v ,J = er 1 1 1 1 2 r a b a b2单位体积内功率损耗为 U0 J 1 1 p= =σ r 2 σ a b 2总功率损耗为P=∫b ap 4π r d r =24πσ U 02 1 1 a b2∫d r 4πσ U 02 = 2 1 1 a r a bb由P =U 02 ,得 R R= 1 1 1 4πσ a b 3-3土壤的电导率为 σ . 略去地面的影 一个半径为 a 的导体球作为电极深埋地下, 响,求电极的接地电阻. 解: 当不考虑地面影响时, 这个问题就相当于计算位于无限大均匀导电媒质中的导体球的恒定电流问题.设导体球的电流为 I ,则任意点的电流密度为v J=I 4π rI2v v er , E =I 4πσ rI2v er导体球面的电位为(选取无穷远处为电位零点)U =接地电阻为∫∞a4πσ r2dr =4πσ aR=3-4U 1 = I 4πσ a在无界非均匀导电媒质(电导率和介电常数均是坐标的函数)中,若恒定电流存 在,证明媒质中的自由电荷密度为 ρ = E (ε 证明:由方程 J = 0 得vε σ ) . σv26《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v J = (σ E ) = E σ + σ E = 0即E = 故有vσ v Eσρ = D = (ε E ) = E ε + ε Ev ε σ v v = E ε ε E = E ε σ σ σ vvvv3-5如图 3-1,平板电容器间由两种媒质完全填充,厚度分别为 d1 和 d 2 ,介电常数 分别为 ε 1 和 ε 2 ,电导率分别为 σ 1 和 σ 2 ,当外加电压 U 0 时,求分界面上的自 由电荷面密度. 解:设电容器极板之间的电流密度为 J ,则J = σ 1 E1 = σ 2 E2E1 =于是Jσ1, E2 =Jσ2U0d1 d2ε1,σ1 ε2,σ2U0 =即Jd1σ1+Jd 2σ2图 3-1J=U0σ1 σ 2分界面上的自由面电荷密度为d1+d2ρ S = D2 n D1n = ε 2 E2 ε 1 E1 = ε ε U0 = 2 1 σ σ d1 d 2 1 2 +3-6 ε2σ2ε1 J σ1 σ1 σ 2内,外导体半径分别为 a , c 的同轴线,其间填充两种漏电媒质,电导率分别27习题三为 σ 1 ( a < r < b )和 σ 2 ( b < r < c ),求单位长度的漏电电阻. 解:设每单位长度从内导体向外导体的电流为 I ,则电流密度为v J=各区域的电场为I2π rv erv E1 = v E2 =内,外导体间的电压为I2πσ 1rv er ( a < r < b ) v er ( b < r < c )I2πσ 2 rU0 =∫c av v E dr =∫I dr + 2πσ 1 r ab∫ 2πσ r = 2πσb 2cI drIln1b I c + ln a 2πσ 2 b因而,单位长度的漏电电阻为R=3-71 1 U b c = ln + ln I 2πσ 1 a 2πσ 2 b一个半径为 10cm 的半球形接地电极,电极平面与地面重合,如图 3-2,若土 壤的电导率为 0.01S/m,求当电极通过的电流为 100A 时,土壤损耗的功率. 解:半球形接地器的电导为G = 2πσ a接地电阻为I σ a图 3-21 1 R= = G 2πσ a土壤损耗的功率为100 2 = ≈ 1.59 ×106 W P=I R= 2πσ a 2π × 0.01× 0.12I23-8一个正 n 边形(边长为 a )线圈中通过的电流为 I ,试证此线圈中心的磁感应强 度为B= 0 nI π tan 2π a n解:先计算有限长度的直导线在线圈中心产生的磁场.使用公式B=0 I (sin α1 sin α 2 ) 4π r28《电磁场与电磁波》——习题详解并注意到α1 = α 2 =2π π = 2n n设正多边形的外接圆半径是 a .由于r π = cos a n所以,中心点的磁感应强度为B=3-9 0 nI π tan 2π a n求载流为 I ,半径为 a 的圆形导线中心的磁感应强度. 解:电流元 I d l 在中心处产生的磁场为vv v v 0 I d l × er dB = 4π r2各电流元在中心处产生的磁场在同一方向,并注意 的磁场为 3-100 I2a∫rdl2=2π ,所以,圆心处 a.一个载流 I1 的长直导线和一个载流 I 2 的圆环(半径为 a )在同一平面内,圆心 与导线的距离是 d .证明两电流之间的相互作用力为 0 I1 I 2 1 d a d22BdF解:选取图 3-3 所示的坐标.直线电流产生的 I1 磁感应强度为I2 d图 3-3v I v 0 I1 v B1 = 0 1 eφ = eφ 2π r 2π (d + a cos θ )v v v F = I 2 d l 2 × B1θ a∫由对称性可以知道,圆电流环受到的总作用力仅仅有水平分量, d l2 × eφ 的 水平分量为 a cos θ d θ ,再考虑到圆环上,下对称,得vvF=使用公式 0 I1 I 2 2π∫π20 0 I1 I 2 a cos θ dθ = π d + a cos θ∫π0d 1 d θ d + a cos θ 29习题三∫π0dθ = d + a cos θπd a22最后得出二回路之间的作用力为 0 I1 I 2 力). 3-11 d 1 (负号表示吸引 2 2 d a 内,外半径分别为 a , b 的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流 I ,求柱 内,外的磁感应强度. 解:法一:取积分回路为半径为 r ,圆心在轴上的圆,由安培定律 r≤a 时∫lv v v v H dl = 0 H = 0 B = 0a<r≤b 时 v v H dl =∫lI π (r 2 a 2 ) π (b a 2 )2(r 2 a 2 ) I H 2π r = 2 b a2 H = (r 2 a 2 ) I 2π r (b 2 a 2 )v v (r 2 a 2 ) I 0 v er B = 0 H = 2π r (b 2 a 2 )r >b时∫lv v H dl = I v H= I v er2π r v v I v B = 0 H = 0 er 2π r法二:使用圆柱坐标系.电流密度沿轴线方向为30《电磁场与电磁波》——习题详解 r<a 0, I J = , a<r <b 2 2 π (b a ) 0, b<r 由电流的对称性,可以知道磁场只有圆周分量.用安培定律计算不同区域的磁 场.当 r < a 时,磁场为零.当 a < r < b 时,选取安培回路为半径等于 r 且与导电 圆柱的轴线同心的圆.该回路包围的电流为I ′ = Jπ (r 2 a 2 ) =由 B dl = 2π rB =I (r 2 a 2 ) b2 a2∫vv 0 I ′ ,得 0 I (r 2 a 2 ) B= 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时,回路内包围的总电流为 I ,于是 B = 3-120 I . 2π r两个半径都为 a 的圆柱体,轴间距为 d , d < 2a (如图 3-4).除两柱重叠部 分 ( R 区域) 外,柱间有大小相等,方向相反的电流,密度为 J ,求 R 区域 的B.v解:在重叠区域分别加上量值相等(密度为 J ),方向相反的电流分布,可以 将原问题电流分布化为一个圆柱体内均匀分布正向电流,另一个圆柱体内均匀分布 反向电流.由其产生的磁场可以通过叠加原理计算. 由沿正方向的电流(左边圆柱)在重叠y区域产生的磁感应强度为 B1 :∫B1 d l = 2π r1 B1 = 0π r12 JJ r1r2JB1 = 0 r1 J2o1 vdo2x其方向为左边圆周方向 eφ 1 .图 3-4由沿负方向的电流(右边圆柱)在重叠区域产生的磁感应强度为 B2 :B2 = 0 r2 J231习题三其方向为右边圆柱的圆周方向 eφ 2 . 注意:vv v v v v v eφ1 = ez × eρ1 , eφ 2 = ez × eρ 2 v v v Jv v v B = B1 + B2 = 0 ez × (r1eρ 1 r2 eρ 2 ) 2 Jv J v v = 0 ez × (d ex ) = 0 d e y 2 2 v v v v v 3-13 证明矢位 A1 = ex cos y + e y sin x 和 A2 = e y (sin x + x sin y ) 给出相同的磁场 v B ,并证明它们得自相同的电流分布.它们是否均满足矢量泊松方程?为什么? 证明:与给定矢位相应的磁场为v v ex ey v v B1 = × A1 = x y cos y sin x v ex v v B2 = × A2 = x 0v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0 v ez v = ez (cos x + sin y ) z 0v ey y sin x + x sin y所以,两者的磁场相同.与其相应的电流分布为v v 1 1 v v J1 = × B1 = (ex cos y + e y sin x)00v 1 v v J2 = (ex cos y + e y sin x)0可以验证,矢位 A1 满足矢量泊松方程,即vv v v v v 2 A1 = 2 (e x cos y + e y sin x) = (e x cos y + e y sin x) = 0 J 1但是,矢位 A2 不满足矢量泊松方程,即v32《电磁场与电磁波》——习题详解v v v v 2 A2 = 2 [e y (sin x + x sin y )] = e y (sin x + x sin y ) ≠ 0 J 2这是由于 A2 的散度不为零.当矢位不满足库仑规范时,矢位与电流的关系为vv v v v × × A2 = 2 A2 + ( A2 ) = 0 J 2可以验证,对于矢位 A2 ,上式成立,即vv v v 2 A2 + ( A2 ) = e y (sin x + x sin y ) + ( x cos y )v v v = e y (sin x + x sin y ) + ex cos y e y x sin y v v = e y sin x + ex cos y v = 0 J 23-14 半径为 a 的长圆柱面上有密度为 J S 的面电流, 电流方向分别为沿圆周方向和 沿轴线方向,分别求两种情况下柱内,外的 B . 解:(1)当面电流沿圆周方向时,由问题的对称性可以知道,磁感应强度仅仅 是半径 r 的函数,而且只有轴向方向的分量,即vvv v B = ez Bz (r )由于电流仅仅分布在圆柱面上,所以,在柱内或柱外, × B = 0 .将 B = ez Bz (r ) 代入 × B = 0 ,得vvvvv v B × B = eφ z = 0 r即磁场是与 r 无关的常量.在离柱面无穷远处的观察 点,由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流 元之和,所以磁场为零.由于 B 与 r 无关,所以在柱外的任 一点处,磁场恒为零 . 为了计算柱内的磁场, 选取安培回路为图 3-5 所示的矩 形回路vh图 3-533习题三∫lv v B d l = hB = h 0 J S因而柱内任一点处, B = e z 0 J S (2) 当面电流沿轴线方向时,由对称性可知,空间的磁场仅仅有圆周分量,且 只是半径的函数.在柱内,选取安培回路为圆心在轴线并且位于圆周方向的圆.可 以得出,柱内任一点的磁场为零.在柱外,选取圆形回路, B d l =lvv∫vv 0 I ,与该回路交链的电流为 2π aJ S , B d l = 2π rB ,所以l∫vvv v a B = eφ 0 J S r 3-15 一对无限长平行导线,相距 2a ,线上载有大小相等,方向相反的电流 I (如 v v 图 3-6),求磁矢位 A ,并求 B .解:将两根导线产生的磁矢位看作是单个导线产生的磁矢位的叠加,对单个 导线,先计算有限长度产生的磁矢位.设导线长度为 l ,导线 1 的磁矢位为(场点选 在 xoy 平面)A1 =0 I 4π∫ I l / 2 + [(l / 2) 2 + r12 ]l / 2 dz = 0 ln 2 2 12 2π r1 l / 2 (r + z ) 1l/2当 l → ∞ 时,有y A1 =0 I l ln r1 2π-ar2 I图 3-6r1 a I x同理,导线 2 产生的磁矢位为A2 = 由两个导线产生的磁矢位为0 I l ln r2 2πv v l v I l A = ez ( A1 + A2 ) = ez 0 ln ln r 2π 1 r2 v 0 I r2 v 0 I ( x + a) 2 + y 2 = ez ln = ez ln 2π r1 4π ( x a) 2 + y 2相应的磁场为34《电磁场与电磁波》——习题详解v v A v A v B = × A = ex z e y z y x v I = ex 0 2π y y ( x + a) 2 + y 2 ( x a) 2 + y 2 x+a xa v I ey 0 2 2 2 2 2π ( x + a) + y ( x a) + y v v v v v v 3-16 由无限长载流直导线的 B 求矢位 A (用 B d S = A d l , 并且 r = r0 处为∫S∫C磁矢位的参考零点),并验证 × A = B . 解:设导线和 z 轴重合.由于电流只有 z 分量,磁矢位也只有 z 分量.用安培 环路定律,可以得到直导线的磁场为vvv I v B = 0 eφ 2π r 选取矩形回路 C ,如图 3-7 所求.在此回路上,注意到磁矢位的参考点.磁矢位的线积分为∫ ∫SCv v A d l = Az hv v BdS =∫∫0 I Ih r d r d z = 0 ln r0 2π r 2πIBh r0 r图 3-7由此得到I r Az (r ) = 0 ln r0 2π可以验证rv v I v A v B = × A = z eφ = 0 eφ 2π r r3-17 证明 xoy 平面上半径为 a , 圆心在原点的圆电流环(电流为 I )在 z 轴上的磁标 位为 m = 1 2 2 1 2 2 (a + z ) 证明:法一:由毕奥萨伐尔定律可求得,z 轴上某一点的磁感应强度为:Iz35习题三v B=Ia 22( a + z )2 2 3/ 2v ezv v B H = =Ia 2 v e 2 2 3/ 2 z 2(a + z )由 H = m = (v m v m v m v e + e + e ) x x y y z z可得 m Ia 2 = z 2( a 2 + z 2 ) 3 / 2 m = ∫ Ia 2 Iz dz = +C 2 2 3/ 2 2 2( a + z ) 2(a + z 2 )1 / 2当 z → ∞ 时, m = 0 ,求得C=所以I 2 z ) ( a + z 2 )1 / 22 m = (1 I 2法二:整个圆形回路在轴线上产生的磁场,由于对称,仅仅有轴向分量.使用 叠加原理,可以计算出轴线上任一点的磁场强度为Ia 2 H= 2( a 2 + z 2 ) 3 2由磁标位与磁场强度的关系式 H = m ,可以得到m =3-18∫∞zHdz =∫∞z Ia 2 I z d z = 1 2 2 12 2 2 32 2 (a + z ) 2(a + z )一个长为 L ,半径为 a 的圆柱状磁介质沿轴向方向均匀磁化(磁化强度为M 0 ),求它的磁矩.若 L = 10cm , a = 2cm , M 0 = 2 A / m ,求出磁矩的值. 解:均匀磁化介质内的磁化电流为零.在圆柱体的顶面与底面,有v v v Jms = M × n = 036《电磁场与电磁波》——习题详解在侧面v v v v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 eφ侧面的总电流为I = JmsL = M 0L磁矩为m = IS = Iπ a 2 = M 0 Lπ a 2代入相关数值后得m = M 0 Lπ a 2 = 2 × 0.1× π × 0.02 2 = 2.512 × 10 4 A m 23-19 球心在原点,半径为 a 的磁化介质球中, M = M 0 磁化电流的体密度和面密度. 解:磁化电流的体密度为vz2 v ez ( M 0 为常数) ,求 a2v v Jm = × M = 0在球面上v v v z2 v v v J m s = M × n = M 0 ez × er = M 0 2 sin θ eφ a注意,在球面上v v z = a cos θ , J m s = M 0 cos 2 θ sin θ eφ3-20 证明磁介质内部的磁化电流是传导电流的( r 1 )倍. 证明:由于 J = × H , J m = × Mvvvv因而 3-21v v v v v v v B = H = 0 ( H + M ) , M = 1 H = ( r 1) H 0 v v J m = ( r 1) J已知内,外半径分别为 a , b 的无限长铁质圆柱壳(磁导率为 )沿轴向有恒 定的传导电流 I ,求磁感应强度和磁化电流.37习题三解: 考虑到问题的对称性, 用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度. 当 r < a 时, B = 0vv I (r 2 a 2 ) v 当 a < r < b 时, B = eφ 2π r (b 2 a 2 )当 r > b 时, B = 当 a < r < b 时,v0 I v eφ 2π rv v I (r 2 a 2 ) v 1 v M = ( r 1) H = ( r 1) B = ( r 1) eφ 2π r (b 2 a 2 ) v v v 1 (rM ρ ) v ( r 1) I J m = × M = ez = ez r r π (b 2 a 2 )当 r > b 时, J m = 0 在 r = a 处,磁化强度 M = 0 ,所以vvv v v v v J m s = M × n = M × (er ) = 0在 r = b 处,磁化强度 M =v Jms3-22( r 1) I v eφ ,所以 2π b v v v v ( 1) I v = M × n = M × er = r ez 2π b v设 x < 0 的半空间充满磁导率为 的均匀磁介质, x > 0 的空间为真空,线电流 I 沿 z 轴方向,如图 3-8,求磁感应强度和磁场强度. 解:由恒定磁场的边界条件,可以判断出,在磁介质和真空中,磁感应强度相 同,而磁场强度不同.由问题的对称性,选取以 z 轴为轴线,半径为 r 的圆环为安 培回路,有∫注意到lv v H d l = π rH 1 + π rH 2 = Iy0H1 =1B1, H2 =2B2, B1 = B2 = BIx图 3-838《电磁场与电磁波》——习题详解1 = 0 , 2 = 因而得B= 0 I π ( 0 + )r其方向沿圆周方向. 3-23 已知在半径为 a 的无限长圆柱导体内有恒定电流 I 沿轴向方向.设导体的磁 导率为 1 ,其外充满磁导率为 2 的均匀磁介质,求导体内,外的磁场强度, 磁感应强度,磁化电流分布. 解:考虑到问题的对称性,在导体内,外分别选取与导体圆柱同轴的圆环作 为安培回路,并注意电流在导体内是均匀分布的.可以求出磁场强度如下:Ir v eφ 2π a 2 v I v r > a 时, H = eφ 2π r磁感应强度如下:v r ≤ a 时, H =v Ir v r ≤ a 时, B = 1 2 eφ 2π a v 2 I v r > a 时, B = eφ 2π r为了计算磁化电流,要求出磁化强度:v v v v Ir I v , J m = × M = e z 1 1 r ≤ a 时, M = eφ 1 1 2 2π a 2 0 0 π av v v v I r > a 时, M = eφ 2 1 , Jm = × M = 0 0 2π r在 r = a 的界面上计算面电流时,可以理解为在两个磁介质之间有一个很薄的 真空层.这样,其磁化面电流就是两个磁介质的磁化面电流之和,即v v v v v J m s = M 1 × n1 + M 2 × n2这里的 n1 , n2 分别是从磁介质到真空的单位法向.如果取从介质 1 到介质 2 的单位法向是 n ,则有vvvv v v v v J m s = M1 × n M 2 × n39习题三代入界面两侧的磁化强度,并注意到 n = er ,得vvv I v v 2 I J m s = e z 1 1 2π a + ez 1 2π a 0 0 I v = ez 2 1 0 0 2π a3-24 试证长直导线和其共面的正三角形之间的互感为M=0 a (a + b) ln1 + b a π 3 其中 a 是三角形的高,b 是三角形平行于长直导线的边至直导线的距离(且该 边距离直导线最近). 证明:取如图 3-9 所示的坐标.直线电流 I 产生的磁场为B=0 I 2π x由图 3-9 知道,三角形三个顶点的坐标分别为 A(b, a3 ) , B (b, a3) ,C (a + b,0) ,直线 AC 的方程为 z=互感磁通为z A I1 b B图 3-91 (a + b x) 3C b+axΨ = BdS = 2∫∫a +b b0 I 1 (a + b x) d x 2π x 3=0 I a (a + b) ln1 + b a π 3 0 a (a + b) ln1 + b a π 3 直线与矩形回路的互感为M=3-25无限长的直导线附近有一矩形回路(二者不共面,如图 3-10),试证它们之间 的互感为40《电磁场与电磁波》——习题详解M =0 a R ln 2 2 12 2π [2b( R c ) + b 2 + R 2 ]1 2b a R R1图 3-10IIc证明:直线电流 I 产生的磁场为 B =0 I ,作积分,得出磁通量 2π rΨ = BdS =注意:∫∫R1 R 0 Ia Ia R d r = 0 ln 1 R 2π r 2π1 2 1 2 1 2R1 = [c + (b + R c ) ] = [2b( R c ) + b + R ]2 2 2 2 2 2 2 2将其代入,即可得到互感. 3-26 外导体的内半径为 b , 通过的电流为 I . 空气绝缘的同轴线, 内导体半径为 a , 设外导体壳的厚度很薄,因而其储存的能量可以忽略不计.计算同轴线单位 长度的储能,并由此求单位长度的自感. 解:设内导体的电流均匀分布,用安培环路定律可求出磁场.r < a 时, H =Ir 2π a 2 I a < r < b 时, H = 2π rWm =单位长度的磁场能量为∫a01 H 2 2π r d r + 2 0∫b a1 H 2 2π r d r 2 0=0 I 2 0 I 2 b ln + 16π 4π aL=故得单位长度的自感为0 0 b + ln 8π 2π a41习题三其中第一项是内导体的内自感. 3-27 一个长直导线和一个圆环(半径为 a )在同一平面,圆心与导线的距离是 d , 证明它们之间互感为M = 0 (d d 2 a 2 )证明:设直导线位于 z 轴上,由其产生的磁场I r d θB=0 I 0 I = 2π x 2π (d + r cos θ ) 0 I其中各量的含义如图 3-11 所示,磁通量为图 3-11Φ = BdS =∫∫∫0 2π 0a2π 02π (d + r cos θ )2πr dθ d r上式先对 θ 积分,并用公式∫得dθ = d + a cos θd 2 a2Φ = 0 I所以互感为 3-28∫ardr d r2 20= 0 I (d d 2 a 2 )M = 0 (d d 2 a 2 )如图 3-12 所示的长密绕螺线管(单位长度 n 匝),通过的电流为 I ,铁心的磁 导率为 ,面积为 S ,求作用在它上面的力. 解:在忽略边缘影响时,密绕螺线管内部的磁场是一个均匀磁场,其值为H = NI , 管外磁场为零. 设螺线管的长度为 L , 铁心位于螺线管内的部分长度为 x , 总的磁场能量为Wm =1 1 Sx( NI ) 2 + 0 S ( L x)( NI ) 2 2 2Wm xL● ● ● ● ● ● ●用电流不变情形下的虚位移公式,得到铁心受力 x0SF==I1 ( 0 ) SN 2 I 2 2× × × × × × × 图 3-12力的方向沿 x 增加的方向.42。
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第三章 恒定电流与恒定电场 作业习题解答
3-1．半径为a 和b 的同心球，内球的电位为0u U =，外球的电位为0u =，两球之间介质的电导率为σ，试求这个球形电阻器的电阻。
解 设内球与外球之间的总电流为I ，而体电流密度矢量J V 在半径为r 的球面上大小相等，沿e r 方向，由此可写出电流密度矢量为
2
4V r I r
=p J e
根据欧姆定律
V =s J E 得到两球间的电场强度矢量
2
4r I r
=
p s E e
由电场强度矢量，可计算两球间的电压，有
2
2
1444b
b
b
r r a
a
a
I I U d dr
dr
r
r
I b a U ab
=
??p s p s
-=
=p s
蝌
E l e e
由此可得两球间的电阻为 014U b a R I ab
-=
=
p s
3-2．已知电流密度矢量2
2
2
2
1022(A/m )V x y z y z x y x z J e e e =-+，试求：（1）穿过面积3x =，
23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流；（2）在上述面积中心处电流密度的大小；
（3）在上述面积上电流密度X 方向的分量J x 的平均值。
解 （1）根据电流I 与电流密度矢量J V 之间的通量关系
()
V S I d =
蝌
J S
则穿过面积3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤，沿e x 方向的总电流为
()3352
2
2
2
2381022..x x y z x .I y
z x y x z dydz =
-+
蝌e e e e
()
3
52
2
2
38
10399A ..y zdydz =
=蝌
（2）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤中心处的坐标为
3x =， 2.5y =， 4.5z = 代入J V 的表达式，得到
2
2
2
2
2
2
2
102210 2.5 4.523 2.523 4.5281.254581(A /m )
V x y z
x y z x y z y z x y x z J e e e e e e e e e =-+=⨯⨯-⨯⨯+⨯
⨯=-+ 电流密度矢量的大小为
2
296.12(A/m )V V J J ==
≈
（3）面3x =，23y ≤≤，3.8 5.2z ≤≤上电流密度的平均值为
()()
()2
399
285A /m
325238x x I J S ..=
=
=--
由此可以看出，由于电流密度矢量非均匀，X 方向平均电流密度的大小与该面中心处的电流密度大小不相等。
3-9．无限大导电介质中有恒定电流流过，已知导电介质中的电场强度为E ，电导率为
(),,x y z σσ=和介电常数(),,x y z εε=，试求该介质中的电荷体密度。
解 根据电荷体密度ρV 与电通密度矢量D 之间的关系，有
(
)V x ,y ,z 轾r =炎=炎e =e 炎+籽e 臌D E E E 由于电流恒定，则有
(
)0V x ,y ,x 轾炎=炎s =s 炎+籽s =臌J E E E 求解可得
籽s 炎=-s
E E
代入电荷体密度的表达式，得到
V 轾籽s s 裡-e 裺
犏
r =e 炎+籽e =-e +籽e = 犏s
s 臌
E E E E E
3-12．有一非均匀导电介质板，厚度为d ，其两侧面
为良导体电极，下板表面与坐标z=0重合，介质的电阻率为
1
2
1
1R R
R R z d
ρρρρσ-=
=+
介质的介电常数为ε0，介质中有0V z J J e =的均匀电流，试求：（1）介质中的自由电荷密度；（2）两极板
间的电位差；（3）面积为A 的一块介质板中的功率损耗。
解 （1）由题知，介质中的电阻率非均匀，因而电导率非均匀。
利用关系 V r =炎D 有
()1210000R R V
V
R z J z d 轾骣r -r 骣÷ç÷犏ç÷r =炎=炎e =炎e =炎e r +ç÷ç÷÷犏çç÷ç桫s 桫犏臌J D E e
12121
0000R R R R R J z J z d d
轾骣r -r r -r ¶÷ç犏÷=e r +=e ç÷犏ç÷ç¶桫犏臌
（2）两极板间的电位差为
1
21
00
d
d
d
R R V z R z z U d dz z J dz d 骣r -r 骣÷
ç÷ç÷=
??r + ç÷ç÷÷
çç÷ç桫s 桫蝌
J
E l e e e
121
122
000
11
322
d
R R R R R J z z
J d d 轾r -r 轾犏=r +=
r -r 犏臌犏臌
（3）假设介质板的面积为A ，可得介质板中的功率损耗为 ()
()
1
21
2
d
R R V V
V R V V P dV
dV
J
z A dz d 骣r -r ÷
ç÷=
??r +ç÷ç÷çs
桫
蝌蝌
蝌
J E J J ()122
0132
R R J A d =
r -r。