电磁场与电磁波(第三章)
电磁场与电磁波：第三章作业答案
3.1 长度为L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0l ρ。
（1）计算线电荷平分面上任意点的电位ϕ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E ，并用ϕ=-∇E 核对。
解 （1）建立如题3.1图所示坐标系。
根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P 的电位为2(,0,0)L L ϕρ-==⎰2ln(4L l L z ρπε-'+=04l ρπε=02l ρπε （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元z l 'd 0ρ在点P 的电场为d d E ρρρθ'===Ee e 022320d 2()l z z ρρρπερ''+e故长为L 的线电荷在点P 的电场为2022320d d 2()L l z z ρρρπερ'==='+⎰⎰E E e20002L l ρρπερ'=e ρe 由ϕ=-∇E 求E ，有002l ρϕπε⎡⎢=-∇=-∇=⎢⎥⎣⎦E(00d ln 2ln 2d l L ρρρπερ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦e0012l ρρπερ⎧⎫⎪--=⎬⎪⎭e ρe可见得到的结果相同。
3.3 电场中有一半径为a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2()0()()cos a a A aϕρρϕρρφρρ=≤⎧⎪⎨=-≥⎪⎩（1）求圆柱内、外的电场强度；L L -ρρ题3.1图（2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。
解 （1）由ϕ=-∇E ，可得到a ρ<时， 0ϕ=-∇=Ea ρ>时， ϕ=-∇=E 22[()cos ][()cos ]a a A A ρφρφρφρρρφρ∂∂----=∂∂e e 2222(1)cos (1)sin a a A A ρφφφρρ-++-e e（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为0002cos S n a a A ρρρρεεεφ=====-e E e E3.4 已知0>y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解? （1）cosh y e x -； （2）x e y cos -；（3）cos sin e x x （4）z y x sin sin sin 。
电磁场与电磁波第三章课件3
这相当于一个N匝的线圈，其匝数为：
N
Ii I
r2 a2
故，总的磁链为：
i
0 Il 2 a4
a 0
r 3dr
0 Il 8
所以，
Li
i I
0l 8
乘以2
Li 0
0 4
单位长电感为：
Li0
Li l
0 8
•在下图直角坐标系中，双根线在两线之间的轴上所产
•生的磁场强度为
Hy
I
2
x
2
I D
x
所以对应的外磁链为：
所以有：
M12 M 21
回路1的电流所产生并与它自己的回路相交链的自感磁链ψ11和
I1成正比，则比值
L1
11
I1
称为回路1的自感
同理，回路2的自感为
L2
22
I2
自感可分为内自感和外自感两部分。内自感Li是导线内的磁链ψi （即内磁链）和导线中全部电流I的比值，即
Li
i I
而外自感则是导线外的磁链（即外磁链，也称为全磁通）和导 线中全部电流的比值，即
应该指出，这里的电流回路都是由无限细的导线构成。在线性 磁介质中，两电流回路间的互感只与回路及其导线的形状、尺 寸、相互位置、周围磁介质及导线的磁导率有关，而与电流的 大小无关。
回路一中的电流在空间任意一点所产生的矢势为：
A1
0 N1I1 4
dl1 R l1
由回路一产生并与回路二相交的磁链为：
21 N2 m21 N2
Ir
2 ri2
对内外导体之间：H e
I
2 r
对外导体内部：
H i
I
2 r
r32 r32
电磁场与电磁波第三章静态场及其边值问题的解PPT课件
解法的优缺点
分离变量法的优点是简单易行，适用于具有多个变量 的偏微分方程。但是，该方法要求边界条件和初始条
件相互独立，且解的形式较为复杂。
有限差分法的优点是简单直观，适用于各种形状的求 解区域。但是，该方法精度较低，且对于复杂边界条
件的处理较为困难。
有限元法的优点是精度较高，适用于各种形状的求解 区域和复杂的边界条件。但是，该方法计算量大，且
05 实例分析
实例一：简单电场的边值问题求解
总结词
通过一个简单的电场边值问题，介绍如 何运用数学方法求解静态场的边值问题 。
VS
详细描述
选取一个简单的电场模型，如平行板电容 器间的电场，通过建立微分方程和边界条 件，采用有限差分法或有限元法进行数值 求解，得出电场分布的解。
实例二：复杂电场的边值问题求解
恒定磁场与准静态场的定义与特性
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
准静态场
接近静态场的动态场，其特性随 时间缓慢变化。
特性
恒定磁场与准静态场均不产生电 磁波，具有空间稳定性和时间恒
定性。
恒定磁场与准静态场的边值问题
边值问题
描述场域边界上物理量（如电场强度、磁场强度）的约束条件。
解决边值问题的方法
静电屏蔽
在静电屏蔽现象中，静态 场用于解释金属屏蔽壳对 内部电荷或电场的隔离作 用。
高压输电
在高压输电线路中，静态 场用于分析电场分布和绝 缘性能。
02 边值问题的解法
定义与分类
定义
边值问题是指在一定的边界条件下，求解微分方程或积分方程的问题。在电磁场理论中，边值问题通常涉及到电 场、磁场和波的传播等物理量的边界条件。
特性
空间均匀性
电磁场与电磁波课后习题答案第3章(杨儒贵编着)
第三章 静电场3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。
解 已知点电荷q 的电位为rq 4πεϕ=，令)0,1,0(1q q -=，)0,1,3(2q q +=，)0,0,1(3q q -=，)0,0,0(4q q +=，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为∑=414ii r q πεϕ令0=ϕ，得 0 4 4 4 44321=+-+-r qr q r q r q πεπεπεπε 由4个点电荷的分布位置可见，对于x =1.5cm 的平面上任一点，4321 ,r r r r ==，因此合成电位为零。
同理，对于x =0.5cm 的平面上任一点，3241 ,r r r r ==，因此合成电位也为零。
所以，x =1.5cm 及x =0.5cm 两个平面的电位为零。
3-2 试证当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于)(q -。
证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy 平面，点电荷距离导体表面的高度为h ，如图3-2所示。
那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为32023101 4 4r q r q πεπεr r E -=X 习题图3-1(r , z )习题图3-2电通密度为)(43223110r r q r r E D -==πε 式中 232231])([h z r r -+=； 232232])([h z r r ++=那么，⎥⎥⎥⎦⎤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++-+⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++--+-+=z z zh z r hz h z r h z h z r r h z r r q h z r h z r h z r h z r q e e e e e e D r r r 232223222322232223222322])([])([ ])([])([4 ])([)(])([)(4ππ 已知导体表面上电荷的面密度n s D =ρ，所以导体表面的感应电荷为2322232223220)(2][][4h r qh h r h h r h q D z zs +-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++-+-===ππρ 则总的感应电荷为q h r r r qh r r S q s ss -=+-===⎰⎰⎰∞∞2322)(d d 2d 'πρρ3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为π的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。
电磁场与电磁波(王家礼 西电第三版)第三章 恒定电流的电场和磁场
3-7 所示)。设土壤的电导率为σ；接地半球的电导率为无穷大。
第三章 恒定电流的电场和磁场
图 3-7 半球形接地器
第三章 恒定电流的电场和磁场
解：导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可 将导体球看作等位体。在土壤内，半径r等于常数的半球面是 等位面。假设从接地线流入大地的总电流为I，可以容易地求 出，在土壤内任意点处的电流密度，等于电流I均匀分布在半 个球面上。即：
图 3-5 同轴线横截面
第三章 恒定电流的电场和磁场
两导体间的电位差为
b
U Edr
I
lnb
a
2π a
这样，可求出单位长度的漏电导为
G0
I U
2π
ln b
a
例 3-2 一个同心球电容器的内、外半径为a、b，其间媒质
的电导率为σ，求该电容器的漏电导。
解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体，设流
过半径为r的任一同心球面的漏电电流为I，则媒质内任一点的
RIP2 4π1(a11b)
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1.7 恒定电流场与静电场的比拟 如果我们把导电媒质中电源外部的恒定电场与不存在体电荷
区域的静电场加以比较,则会发现两者有许多相似之处,如表 3-2 。 可见，恒定电场中的E、j、J、I和σ分别与静电场中的E、 j 、
D、q和ε相互对应，它们在方程和边界中处于相同的地位，因而 它们是对偶量。由于二者的电位都满足拉普拉斯方程，只要两种 情况下的边界条件相同，二者的电位必定是相同的。因此，当某 一特定的静电问题的解已知时，与其相应的恒定电场的解可以通 过对偶量的代换(将静电场中的D、q和ε换为J、I和σ)直接得出。 这种方法称为静电比拟法。例如，将金属导体 1、2 作为正、负极 板置于无限大电介质或无限大导电媒质中，如图 3-6 所示，可以 用静电比拟法从电容计算极板间的电导。因为电容为
电磁场与电磁波（第4版）第3章部分习题参考解答
ρ ≥ a 时， E = −∇ϕ = −eρ
G
G ∂ ∂ρ
3.4 已知 y > 0 的空间中没有电荷，试判断下列函数中哪些是可能的电位解？ (1) e− y cosh x ；(2) e− y cos x ；(3) e− 2 sin x cos x ；(4) sin x sin y sin z 。 解：在电荷体密度 ρ = 0 的空间，电位函数应满足拉普拉斯方程 ∇ 2ϕ = 0 。
∂2 − y ∂2 − y ∂2 − y (e cosh x) + 2 (e cosh x) + 2 (e cosh x) = 2e− y cosh x ≠ 0 (1) ∂x 2 ∂y ∂z −y 所以函数 e cosh x 不是 y > 0 空间中的电位解； ∂2 − y ∂2 − y ∂2 − y (e cos x) + 2 (e cos x) + 2 (e cos x) = −e− y cos x + e− y cos x = 0 (2) ∂x 2 ∂y ∂z −y 所以函数 e cos x 是 y > 0 空间中可能的电位解； ∂ − 2 ∂ ∂ (e sin x cos x) + 2 (e− 2 sin x cos x) + 2 (e − 2 sin x cos x) (3) 2 ∂x ∂y ∂z
G ρ = −eρ l 0 2πε 0 G = eρ
ρl 0 4πε 0 ρ
⎧ ρ 1⎫ ⎪ ⎪ − ⎬ ⎨ 2 2 2 2 ρ⎪ ⎪[ L / 2 + ρ + ( L / 2) ] ρ + ( L / 2) ⎩ ⎭ z'
ρ 2 + ( L / 2) 2
3.2 点电荷 q1 = q 位于 P 1 ( − a, 0, 0) ，另一点电荷 q2 = −2q 位于 P 2 ( a, 0, 0) ，求空间的 零电位面。 解：两个点电荷 + q 和 −2q 在空间产生的电位 ⎤ q 1 ⎡ 2q ϕ ( x, y , z ) = − ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 2 4 πε 0 ⎢ ( ) ( ) ⎥ x a y z x a y z + + + − + + ⎣ ⎦ 1 2 − =0 令 ϕ ( x, y, z ) = 0 ，则有 2 2 2 2 ( x + a) + y + z ( x − a) + y 2 + z 2
电磁场与电磁波第三章习题及参考答案
第3章习题3-1 半径为的薄圆盘上电荷面密度为s ρ，绕其圆弧轴线以角频率旋转形成电流，求电流面密度。
解：圆盘以角频率旋转，圆盘上半径为r 处的速度为r ω，因此电流面密度为ϕωρρˆr v J s s s ==3-2 在铜中，每立方米体积中大约有28105.8⨯个自由电子。
如果铜线的横截面为210cm ，电流为A 1500。
计算 1） 电流密度；2） 电子的平均漂移速度； 解：1）电流密度m A S I J /105.11010150064⨯=⨯==- 2) 电子的平均漂移速度 v J ρ=，3102819/1036.1105.8106.1m C eN ⨯=⨯⨯⨯==-ρs m J v /101.11036.1105.14106-⨯=⨯⨯==ρ 3-3 一宽度为cm 30传输带上电荷均匀分布，以速度s m /20匀速运动，形成的电流，对应的电流强度为A μ50，计算传输带上的电荷面密度。
解：电流面密度为m A L I J S /7.1663.050μ===因为 v J S S ρ= 所以 2/33.8207.166m C v J S S μρ=== 3-4 如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，证明：0=∂∂+∇⋅+⋅∇tU U ρρρ证：如果ρ是运动电荷密度，U是运动电荷的平均运动速度，则电流密度为U J ρ=代入电荷守恒定律tJ ∂∂-=⋅∇ρ得0=∂∂+∇⋅+⋅∇t U U ρρρ3-5 由m S /1012.17⨯=σ的铁制作的圆锥台，高为m 2，两端面的半径分别为cm 10和cm 12。
求两端面之间的电阻。
解：用两种方法（1）如题图3.5所示⎰⎰==2122)(tan zz lz dzS dl R ασπσ)11()(tan 1212z z -=ασπ 01.0202.0tan ==α题3.5图m r z .1001.0/1.0tan /11===α，m r z 1201.0/12.0tan /22===αΩ⨯=-⨯⨯⨯=-=--647212107.4)121101(101012.11)11()(tan 1πασπz z R （2）设流过的电流为I ，电流密度为2rI S I J π==电场强度为 2r IJ E πσσ== 电压为 dz z IEdz V z z z z ⎰⎰==21212)tan (σαπ ⎰==2122)(tan zz zdz I V R απσΩ⨯=-6107.4 3-6 在两种媒质分界面上，媒质1的参数为2,/10011==r m S εσ，电流密度的大小为2/50m A ，方向和界面法向的夹角为030；媒质2的参数为4,/1022==r m S εσ。
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第三章习题
3.23一电荷量为 q 质量为 m 的小带电体，放置在无限长导体 平面下方，与平面距离 h 。求 q 的值以使带电体上受到的 −3 静电力恰好与重力相平衡（设 m = 2 ×10 kg , h = 0.02m）。 解：小带电体可视为一点电荷 q ，它所受静电力，来自导体
' 平板的感应电荷，也就是镜像电荷 q（平面上方 h 处， q' =−q）对它的作用力。
a2 ϕ = A(r − ) cos ϕ r
r≥a
(1)求圆柱内、外的电场强度； (2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解： (1)电场
在
处 ur r ur a 2 uu a2 E = − er A cos ϕ (1 + 2 ) − eϕ A(1 − 2 sin ϕ ) r r 即 ur ur uu r a2 A a2 A E = er (− A − 2 ) cos ϕ + eϕ ( A − 2 sin ϕ ) ( r ≥ a ) r r
由安培环路定律有315无限长直线电流垂直于磁导率分别为的两种磁介质的交界面试求1两种媒质中的磁感应以z轴为中心为半径做一个圆形回路c由安培环路定律有16319同轴线内导体是半径为a的圆柱外导体是半径为b的薄圆柱面其厚度可忽略不计
第三章 习题
3.3 有一半径为 a 的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 ϕ =0 r≤a
E1t = E2t = E
En = 0
所以此题仍可用高斯定理
∫
S
ur u r D dS = q
求解，即
D1S1 + D2 S2 = q
4π r 2 4π r 2 ε1 E + ε2E =q 2 2
所以
E=
电磁场与电磁波(第三章)
dS
O
S S1
eR
4 Ω= 0
Ω2
O 点在闭合曲面内
O 点在闭合曲面外
Ω1
O
二、静电场的散度
q
r'
r
qer 4 R
2
R r r'
P
o
设真空中存在某点电荷 q r ，则 P 点的电位移 D 0
对任意闭合曲面S 积分
S
D0 dS
4 R
S
qer
2
dS
其正电荷的中心与负电荷的中心不再重合。
电子极化：电子云与原子核发生位移而出现电矩。 ◇ 分类 离子极化：正负离子发生位移而出现电矩。 取向极化：分子固有电矩在外电场作用时产生合成电矩。
三、极化强度
◇ 定义：单位体积内的电偶极矩数。用p 表示极化的程度，即
P
lim
0
P
i
N p av
例：电荷按体密度 r 0 1 r 2 / a 2 分布于半径为a 的球形区域内，其中 0 为 常数，试计算球内外的电通密度（电位移矢量）。 解：由于电荷分布具有球对称性，则电场也具有球对称性，E 和D0 方向均为径向。 根据电位移的表达式 D r 当 r≤a
则
aU e E r e r r r2 r 0
r a r a
3.7 唯一性定理
◇ 静电场的边值问题是在给定边界条件下求泊松方程或拉普拉斯方程的解。
s f 1 第一类边界条件 第二类边界条件 f2 ◇ 实际边值问题的边界条件分为三类 s n 第三类边界条件 s f3 n
第3章 静电场分析
电磁场与电磁波_第四版_第三章
能量。
静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终 电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服
电荷之间的相互作用力而作功。
如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过 程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能
Da
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
16
例3.3 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间
填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
l E ( ) e 2
1 0 q d 2 q 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电
1
场能量We ，即
1 We q 2 对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具 1 dWe dV 2
有的电场能量为
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
19
1 We dV 2 V 对于面分布电荷，电场能量为 W 1 dS e S S 2 对于多导体组成的带电系统，则有
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
3.1.2 电位函数
3.1.3 3.1.4 导体系统的电容 静电场的能量
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
D dS q D S 微分形式： 积分形式： E dl 0 E 0 C 本构关系： D E D1n D2 n S 2. 边界条件 en ( D1 D2 ) S 或 E1t E2t 0 e ( E E ) 0 1 2 n
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第3章习题
习题3.3
解：
（1） 由ϕ-∇=E
可得到 a <ρ时， 0=-∇=ϕE
a >ρ时， φρφρϕφρsin 1cos 12222⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∇=a A e a A e E
（2） 圆柱体为等位体且等于0，所以为导体制成，其电荷面密度为
φεεερρρρcos 2000A E
e E
e a
a
n s -=⋅=⋅===
习题3.5
证：
根据高斯定律q S d D S
=⋅⎰
，得
0R r <时。
ρππ344312
r D r =，则0
01113,3εερεερr r r
D E r D === 0R r >时。
ρππ3443022
R D r =，则203002
223023,3r R D E r
R D ερερ=== 则中心点的电位为
20
0200
203
020
13633)0(0
ερεερερεερϕR
R dr r
R dr r dr E dr E r R R R r R +=
+=+=⎰⎰
⎰⎰∞
∞
习题3.8
解：
根据高斯定律q S d D S
=⋅⎰
，得同轴线内、外导体间的电场强度为
περ
ρ2)(l q E =
内、外导体间的电压为
a
b q d q Ed U l b a
b
a
l ln 22περπερ
ρ=
==⎰⎰
则同轴线单位长度的电容为
)
/ln(2a b U q U Q C l πε
=
==
则同轴线单位长度的静电储能为
)/ln(422212122
2
a b q d q dV E W l b a l V e περπρπερεε=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰⎰
习题3.11
解：
（1） 设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ，电流密度
)(2c a I e J <<=ρπρ
ρ
介质中的电场
)(21
1
1b a I e J E <<==ρπρσσρ
)(22
2
2c b I e J E <<==ρπρσσρ
而
⎰
⎰+=
⋅+⋅=b
a
b a
b
c I a b I
d E d E U ln 2ln
221
210πσπσρρ )
/ln()/ln(2120
21b c a b U I σσσπσ+=
得到两种介质中的电流密度和电场强度分别为
[]
)()/ln()/ln(120
21c a b c a b U e J <<+=ρσσρσσρ
[])()/ln()/ln(120
21b a b c a b U e E <<+=ρσσρσρ
[]
)()/ln()/ln(120
12c b b c a b U e E <<+=ρσσρσρ
（2） 同轴电缆中单位长度的漏电阻为
2
11202)
/ln()/ln(σπσσσb c a b I U R +=
=
由静电比拟，可得同轴电缆中单位长度的电容
)
/ln()/ln(2122
1b c a b C εεεπε+=
习题3.19
解：
（1）同轴线的内外导体之间的磁场沿φ方向，根据两种磁介质的分界面上，磁场法向方向连续，则两种磁介质的磁感应强度B e B B B φ
===21，注意磁场强度21H H
=。
利用安培环路定律， 当a <ρ时，2
2002πρπμπρa
I B =
所以，)(22
00a a I
B <=
ρρπμ
当b a <<ρ时，I H H =+)(21πρ， 即，I B B =+
)(
2
2
1
1
μμπρ
所以，)()(2121b a I e B <<+=ρρ
μμπμμφ
同轴线中单位长度储存的磁场能量为
a
b I I d B d B d B W a b a b a m ln )(2162121221212
212002
2
12020μμπμμπμρ
πρμρπρμρπρμ++=
++=⎰⎰⎰
（2）由2
2
1LI W m =
，得到单位长度的自感为 a b
I
W L m ln )(82212102
μμπμμπμ++==。